LDerivada

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 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
	 Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática
	 Fundamentos de Matemática	
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A Derivada
O conceito de derivada é de origem muito intuitiva, tendo surgido do problema de encontrar a tangente a uma curva por um ponto arbitrário da mesma. Com esse conceito tornou-se possível grande entendimento de muitos fatos matemáticos, além de se abrirem perspectivas para aplicações em diversos ramos do conhecimento.
Com muita freqüência, ao se aplicar uma droga a um paciente, busca-se maximizar seu potencial de ação e, ao mesmo tempo minimizar possíveis efeitos adversos que porventura provoque. Quando uma epidemia está em curso, as autoridades tratam de otimizar as estratégias para detê-la o mais cedo possível. Muitos desses problemas de otimização podem ser resolvidos plenamente com o emprego de derivada. Usualmente, para se conseguir resolver um problema de otimização, deve-se antes construir uma função para representar a grandeza a ser otimizada. No caso de se buscarem os pontos de máximo de uma função 
, de fato desejamos identificar os valores de x que fazem 
 o maior possível.
Taxas de variação
A velocidade pode ser vista como uma taxa de variação da posição em relação ao tempo. Um médico pode estar interessado na taxa com que o raio de uma artéria muda com a concentração de álcool na corrente sanguínea.
Taxa de variação média
Se 
 definimos a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo 
Exemplos:
①  Determine a taxa de variação média de 
, nos seguintes intervalos:
	⒜  
	⒝  
	⒞  
	
②  Determine a taxa de variação média de 
, nos seguintes intervalos:
	⒜  
	⒝  
	⒞  
	
	
	
	
③  Determine a taxa de variação média de 
, nos seguintes intervalos:
	⒜  
	⒝  
	⒞  
	
	
	
	
④  Suponhamos que uma proteína de massa m se decomponha em aminoácidos segundo a fórmula 
, onde t representa o tempo medido em horas. Determine a taxa de variação média de m em relação a t para os seguintes intervalos:
	⒜  
	⒝  
	⒞  
	
	
	
	
Taxa de variação instantânea
Se 
 definimos a taxa de variação instantânea de y em relação a x no intervalo 
O número obtido através da taxa de variação instantânea é chamado de derivada de 
 no ponto 
 e indicamos por 
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Regras de Derivação
➀  Função Constante:  
➁  Função Identidade:  
➂  Soma de duas funções:  
➃  Produto de constante por uma função:  
➄  Função Potência:  
➅  Produto de duas funções:  
➆  Quociente de duas funções:  
➇  Função exponencial:  
⑨  Função logaritmo:  
Exercícios:
Calcule a derivada das funções a seguir através das regras de derivação:
	① 
	② 
	③ 
	④ 
	⑤ 
	⑥ 
	⑦ 
	⑧ 
	⑨  
	⑩ 
	⑪ 
	⑫ 
	⑬ 
	⑭ 
	⑮ 
	⑯ 
	⑰ 
	⑱ 
	⑲ 
	⑳ 
�
Respostas:
	① 
	② 
	③ 
	④ 
	⑤ 
	⑥ 
	⑦ 
	⑧ 
	⑨  
	⑩ 
	⑪ 
	⑫ 
	⑬ 
	⑭ 
	⑮ 
	⑯ 
	⑰ 
	⑱ 
	⑲ 
	⑳ 
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