Cálculo Integral AVA- ONLINE 2

Prévia do material em texto

Cálculo Integral 
Avaliação On-Line 2 (AOL 2) - Questionário
10/10
Conteúdo do exercício
Conteúdo do exercício
1. Pergunta 1
/1
O estudo das derivadas permitiu a compreensão de como se dá a inclinação de uma reta tangente a uma curva em um determinado ponto e qual a taxa de variação instantânea referente a ele. Somado a isso, em algumas situações é preferível que, ao se saber a derivada de uma função desconhecida, realize-se a operação inversa a ela, para se descobrir a função que a gerou, chamada função primitiva ou antiderivada.
Considerando essas informações e tendo em vista o conteúdo estudado sobre integrais indefinidas e antiderivadas, analise as afirmativas a seguir.
I. Se uma função F’(x) = f(x), diz-se que F(x) é uma antiderivada de f(x).
II. Tomando determinada função, pressupõe-se que esta função tem uma antiderivada.
III.  é uma representação notacional de uma integral indefinida.
IV.  é uma propriedade de uma integral definida.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I e III.
Resposta correta
2. 
I e IV.
3. 
II e III.
4. 
II, III e IV.
5. 
I, III e IV.
2. Pergunta 2
/1
O conhecimento acerca dos métodos de derivação é muito útil para encontrar retas tangentes e taxas de variações. Derivar funções trigonométricas é fundamental para o prosseguimento dos estudos no Cálculo, já que existem diversas aplicações reais dos conceitos aprendidos nesta disciplina, como na modelagem de sistemas harmônicos simples e de correntes alternadas, por exemplo.
Considerando essas informações e com base nos seus conhecimentos acerca das derivadas trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas características:
1) f(x) = sen(x).
2) f(x) = cos(x).
3) f(x) = tg(x).
4) f(x) = sec(x).
( ) Sua derivada segunda é f(x)*(-1).
( ) Sua derivada é 
( ) Sua derivada terceira é sen(x).
( ) Sua derivada é sec²(x).
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
4, 2, 1, 3.
2. 
4, 1, 2, 3.
3. 
1, 4, 2, 3.
Resposta correta
4. 
1, 3, 2, 4.
5. 
2, 1, 3, 4.
3. Pergunta 3
/1
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em física, é utilizado para descrever as equações horárias de movimento, que são funções polinomiais. Essas funções polinomiais podem ser integradas e derivadas conforme o estudo de cálculo integral para, a partir daí, obter outros conhecimentos.
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à equação horária da velocidade v(t), e a integral desta é igual à equação horária do movimento S(t). Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre derivação, analise as afirmativas a seguir.
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é uma função do primeiro grau.
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) = cos(x).
III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que S(t) é uma função do primeiro grau.
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) = 6m/s e que a aceleração é constante e vale 2m/s².
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e IV.
2. 
III e IV.
Resposta correta
3. 
II e IV.
4. 
II, III.
5. 
I, II, III.
4. Pergunta 4
/1
O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de funções. A inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da função, e a integral da função mensura a área abaixo da curva que a descreve.
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos seus conhecimentos acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual a 2.
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo gráfico de g(x).
III. ( ) h(x) é uma função.
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, V, F.
2. 
V, V, F, F.
3. 
F, F, V, V.
4. 
V, F, V, F.
5. 
V, F, V, V.
Resposta correta
5. Pergunta 5
/1
Saber calcular o valor de uma derivada é fundamental para o estudo de cálculo integral, já que este valor possui um significado prático para análise da curva do gráfico de uma determinada função que indica uma taxa de variação instantânea. Isso pode significar encontrar uma taxa de variação referente a outra função ou algo similar, o que implica na possibilidade de se aplicar a operação reversa à derivada.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integral indefinida, pode-se afirmar que aplicar a operação inversa à derivada é relevante porque:
Ocultar opções de resposta 
1. 
passa a ser possível derivar outros tipos de funções.
2. 
permite determinar a função primitiva de uma derivada, ou seja, a função que a gerou.
Resposta correta
3. 
tem uma interpretação geométrica diferente da derivada.
4. 
vale para qualquer tipo de função e intervalo.
5. 
elimina indeterminações em que a regra de L’Hospital falha.
6. Pergunta 6
/1
A regra de L’Hospital é muito utilizada para tratar de alguns limites específicos. Ela auxilia no entendimento de algumas funções e na eliminação de inconsistências, que ocorrem em casos onde, ao substituir os valores de x de uma função pelo valor ao qual x tende no cálculo do limite, encontramos expressões da forma 0/0, por exemplo.
Considerando essas informações e os estudos acerca da definição da regra de L’Hospital e suas propriedades, analise as afirmações a seguir:
I. Ela pode ser aplicada inúmeras vezes sobre uma razão se a indeterminação 0/0 ou infinito/infinito ainda estiver valendo.
II. Existem funções que têm a indeterminação, mas o L’Hospital não as resolve.
III. A regra é aplicada por um processo de derivação.
IV. L’Hospital elimina quaisquer indeterminações.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e III.
2. 
III e IV.
3. 
I, II e III.
Resposta correta
4. 
I e II.
5. 
I, II e IV.
7. Pergunta 7
/1
Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno, vimos que as derivadas alternam entre senos e cossenos, seguindo um padrão interminável. Um exemplo disso é derivar uma função cosseno duas vezes, onde na primeira vez ela se torna uma função seno e, na segunda, novamente uma função cosseno. Entender esse padrão permite o cálculo das derivadas de maneira mais rápida e simples.
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com base nos seus conhecimentos acerca da regra da cadeia e da interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3.
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto onde x = 0, é igual a 0.
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)* cos(cos(2sen(3x))).
IV. ( ) f’’(x) = -f(x).
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, V.
2. 
V, F, V, V.
3. 
F, F, V, V.
Resposta correta
4. 
V, V, F, F.
5. 
F, F, V, F.
8. Pergunta 8
/1
Ter pleno conhecimento do limite fundamental trigonométrico e de como aplicá-lo através de manipulações das expressões matemáticas pode salvar muito tempo durante a resolução de exercícios, já que nem sempre é prático deduzir todos os resultados decorrentes da manipulação de funções trigonométricas, de forma que este limite e a regra de L’Hospital servem como importantes ferramentas para resolver limites que recorrem em indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito em poucos passos.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o limite fundamental trigonométricoe a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir.
I. O limite de tg(x²)/x, quando x tende a zero, é igual a zero.
II. A derivada de sen(5x)cos(3x) é 5cos(3x)cos(5x) − 3sen(3x)sen(5x).
III. O limite de sen(mx)/nx, quando x tende a zero, é igual a m/n.
IV. A derivada de cos(5x)sen(3x) é 3cos(3x)cos(5x) − 5sen(3x)sen(5x).
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II e IV.
2. 
II, III e IV.
3. 
I, II e III.
Resposta correta
4. 
II e III.
5. 
I e IV.
9. Pergunta 9
/1
Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos constatar que, quanto menor o denominador, maior o resultado dessa divisão, pois menor seria o número de parcelas dessa divisão. No Ensino Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde aproximamos nossas funções para um ponto em que x tende a algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, algumas funções apresentam indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das funções para o cálculo do limite desconhecido.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir:
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1.
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2.
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito.
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma indeterminação, não podendo ser aplicada a qualquer caso, pois poderia gerar respostas incorretas.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
I, II, III e IV.
2. 
I, II, III.
3. 
III e IV.
4. 
II, III e IV.
Resposta correta
5. 
II, e IV.
10. Pergunta 10
/1
Do círculo trigonométrico de raio 1 extrai-se muitas relações importantes para a matemática, sem usar uma ideia mais rebuscada, como a de limite. Porém, também é possível extrair novas relações quando se alia o estudo de limites à trigonometria. Um exemplo disso é o limite fundamental trigonométrico.
Considerando essas informações e conteúdo estudado sobre o tópico, pode-se afirmar que o limite fundamental trigonométrico é relevante para o cálculo porque:
Ocultar opções de resposta 
1. 
relaciona a tg(x) com a cossec (x), de tal forma que sua razão valha 1.
2. 
as relações trigonométricas deixam de valer quando se aplica o limite.
3. 
relaciona um sen(x) com um arco x, obtendo um valor 1 da razão entre esses dois elementos.
Resposta correta
4. 
torna dispensável a utilização de qualquer outro limite.
5. 
torna dispensável a utilização do círculo trigonométrico.