Fundamentos de Álgebra: Anéis e Ideais

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Fundamentos de Álgebra
Ana Lucia de Sousa
Revisão 2
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Aula 6
TEORIA DOS ANÉIS
3
EXERCÍCIO
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Aula 7
TIPOS DE ANÉIS – Anel comutativo
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6
Anel com unidade
7
8
Aula 8
SUBANÉIS
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EXEMPLO 1
EXEMPLO 3
10
O conjunto 3Z6 é um subanel de Z6.
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EXEMPLO 4
Considere o conjunto S = {0, 2, 4}. Verifique se S é subanel do anel Z12.
Vamos pegar dois elementos de S: 2 e 4
Agora vamos verificar a primeira condição da proposição 1.
2 – 4 = 2 + 8 = 10 → Veja que 10 não pertence ao conjunto S.
Logo, S não é subanel do anel Z12.
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DIVISORES DE UM ANEL
Definição
Considere o anel (A, +, .). Sejam x e y dois
elementos não nulos de A, tais que o
produto xy = 0A. Dizemos que x e y são
divisores de zero 
(ou divisores próprios de zero).
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EXEMPLOS
Seja o anel Z8. 
Note que 2 ≠ 0 e 4 ≠ 0. 
O produto 2.4 = 8 = 0. 
Portanto, 2 e 4 são divisores próprios de zero em Z8.
Seja o anel Z7. 
Note que 2 ≠ 0 e 3 ≠ 0. 
O produto 2.3 = 6 ≠ 0. 
Portanto, o anel Z7 não possui divisores próprios de zero.
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ANEL DE INTEGRIDADE OU DOMÍNIO 
Definição
Um anel A é dito anel de integridade ou domínio se ele é comutativo com unidade, não possui divisores de zero e
1.O anel Z7 é um anel de integridade, pois ele não possui divisores próprios de zero. Considere 2 e 3. 
2 ≠ 0 e 3 ≠ 0 e 2.3 = 6 ≠ 0
 
2.O anel Z8 não é um anel de integridade, pois possui divisores de zero. Considere 2 e 4. 
2 ≠ 0 e 4 ≠ 0 e 2.4 = 8 = 0. Assim, 2 e 4 são divisores de zero em Z8. 
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Aula 9
CORPO
Definição
Um Corpo é um anel comutativo com 
unidade que chamaremos de K. Este anel é 
denominado corpo se todo elemento não 
nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou
 seja, 
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EXEMPLO
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Em Z12 temos que U(Z12) = {5,7,11}.
De fato:
5-1 = 5, pois 5.5 = 25 e 25 dividido por 12 
deixa resto 1
7-1 = 7, pois 7.7 = 49 e 49 dividido por 12 
deixa resto 1
11-1 = 11, pois 11.11 = 121 e 121 dividido por
12 deixa resto 1
Elementos notáveis num anel Conjunto dos elementos inversíveis
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Divisor de zero
Isso ocorre quando x ≠ 0 e existe y em A - {0} tal que xy = 0 ou yx = 0
 
notação: Ddz(A) Conjuntos dos divisores de zero do anel A.
Exemplo:
Seja o anel Z4 temos que:
Ddz(Z4 ) = {2}
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Regular
Isso ocorre quando x ≠ 0 e x não é divisor de zero, ou seja, quando xy ≠ 0 e yx ≠ 0. 
notação: Reg(A) Conjuntos dos elementos regulares do anel A.
Exemplo:
Seja o anel Z4 temos que:
Reg(Z4 ) = {1,3}
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Idempotente
Quando um elemento x do anel A, x2 = x.
notação: Idemp(A) Conjuntos dos elementos idempotentes do anel A.
 Exemplo
Seja o anel Z6.
Temos que (1)2 = 1, (3)2 = 3, (4)2 = 4
Logo, Idemp (Z6 ) = {1,3,4}
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Nilpotente
Quando existe um número natural n, N - {0}, tal que xn = 0.
notação: Nilp(A) Conjuntos dos elementos nilpotentes do anel A.
 
Exemplo
Seja o anel Z8.
Temos que (0)2 = 0, (2)3 = 0, (4)2 = 0, (6)2 = 0 
Logo, Nilp (Z8 ) = {0,2,4, 6}
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Aula 10 
IDEAL DE UM ANEL
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EXEMPLO 1
Considere um anel (Z, +, .) e I = 2Z (conjunto dos números pares).
Podemos definir dois elementos de I da seguinte forma: x = 2m e y = 2n, onde m e n são elementos de Z. Agora temos que:
Logo, 2Z é um ideal no anel Z.
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EXEMPLO 2
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HOMOMORFISMOS DE ANÉIS 
0
0
0
,
,
¹
Þ
¹
¹
Î
"
xy
y
e
x
A
y
x
}
1
;
/
{
)
(
=
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$
Î
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ba
ab
A
b
A
a
A
U
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am
m
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ax
então
A
a
Se
b
I
n
m
n
m
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Î
Î
-
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-
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(
2
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2
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