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CAPÍTULO 1 – MATRIZES 1.1 . Definição Uma matriz é um quadro formado por números reais distribuídos em m linhas e n colunas (indica-se m x n e lê-se: m por n), m e n números naturais não nulos. As matrizes são representadas por letras maiúsculas (M, A, T, ...) e seus elementos ficam dispostos entre colchetes [ ] ou parênteses ( ) . Exemplo: 3 5 1 0 4 / 5 2 M − = é uma matriz 2 x 3 4 3 3/ 7 2 4 1 A − = é uma matriz 3 x 2 Cada elemento de uma matriz qualquer A é indicado pela notação: ija . O índice i indica a linha e o índice j a coluna às quais o elemento pertence. As linhas são numeradas de cima para baixo (de 1 até m) e as colunas, da esquerda para a direita (de 1 até n). Dessa forma, uma matriz genérica m x n é representada por: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ Podemos também representar uma matriz A qualquer da seguinte forma: ( )ij m x nA a= { }mi ,,3,2,1 ⋯∈ e { }nj ,,3,2,1 ⋯∈ . Exercício 1: 1) Escrever explicitamente as matrizes: a) ( ) 2x3ij A a= tal que ija i j= + b) ( ) 2x2ij B b= tal que 2 3ijb i j= − c) ( ) 3x3ij C c= tal que se 0 se ij i j i j c i j + ≠ = = d) ( ) 2x4ij D d= tal que 0 se 2 3 se 1 se ij i j d i j i j i j 〉 = + 〈 = 2 2) Escrever a matriz ( )ijA a= nos seguintes casos: a) A é de ordem 3x2 com 1 se 2 se ij i j a i j ≠ = = b) A é uma matriz quadrada de terceira ordem ( )3x3 com 0 se 1 se ij i j a i j 〈 = ≥ c) A é uma matriz em que 0 se 1 se ij i j a i j ≠ = = { }1, 2i∈ e { }1, 2, 3j∈ 3) Calcular o produto dos elementos da segunda linha da matriz ( ) 4x3ij A a= sendo i se j se ij i j a i j ≥ = 〈 4) Dada a matriz ( ) 2x2ij A a= em que ( )2 1ija i j= + − , calcular o valor da expressão: 11 22 12 212 3 a a a a− 1.2 . Matrizes especiais Do universo de matrizes, destacam-se algumas que possuem características especiais, as quais relacionamos a seguir: a) Matriz-linha: também chamada de vetor-linha é toda matriz que tem uma única linha (1 x n). Exemplo: [ ]7190 − b) Matriz-coluna: também chamada de vetor-coluna é toda matriz que tem uma única coluna (m x 1). Exemplo: − 3 1 5 c) Matriz-nula: é toda matriz cujos elementos são todos iguais a zero. Exemplo: 000 000 00 00 3 d) Matriz-quadrada de ordem n: é toda matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas (n x n). Exemplo: nnnn n n aaa aaa aaa ⋯ ⋮⋮⋮⋮ ⋯ ⋯ 21 22221 11211 Neste tipo de matriz destacamos duas particularidades: a diagonal principal e a diagonal secundária. d.1) A diagonal principal é o conjunto dos elementos que têm os dois índices iguais, isto é: 11 22 33{ / } { , , , , }ij nna i j a a a a= = ⋯ d.2) A diagonal secundária é o conjunto dos elementos que têm soma dos índices igual a n + 1, isto é: 1 2, 1 3, 2 1{ / 1} { , , , , }ij n n n na i j n a a a a− −+ = + = ⋯ Exemplo: A matriz 8 9 7 6 4 5 1 2 3 A − = − − é quadrada de ordem 3. Sua diagonal principal é formada pelos elementos {8, 4, 3} e sua diagonal secundária é formada pelos elementos{ -7, 4, -1}. e) Matriz-diagonal: é toda matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são iguais a zero. Exemplo: − − 300 020 004 000 000 000 f) Matriz-identidade de ordem n (indica-se In): é toda matriz-diagonal cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1. Exemplo: 2 1 0 0 1 I ⇒ 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I ⇒ g) Matriz-triangular superior: é toda matriz-quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, 0 se ija i j= 〉 . 4 Exemplo: 2 1 3 0 1 4 0 0 1 − − 0 a b c h) Matriz-triangular inferior: é toda matriz-quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, 0 se ija i j= 〈 . Exemplo: 5 0 0 1 2 0 3 2 9 − i) Matriz transposta: A transposta de uma matriz A qualquer do tipo m x n é a matriz do tipo n x m obtida através da troca ordenada de linha por coluna. A matriz transposta é indicada por ou tA A′ . Exemplo: 3x2 3 2 4 5 1 0 A = 2x3 3 4 1 2 5 0 A ′ = Propriedades da matriz transposta: 1) ( )ttA A= 2) ( )t t tA B A B+ = + 3) ( )t tkA kA k= ∈ℝ 4) ( )t t tAB B A= j) Matriz simétrica: é toda matriz quadrada onde os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são iguais, ou seja, ij jia a= . Exemplo: 6 4 9 10 10 2 2 −7 −7 1 5 5 3 Pode-se dizer que uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual a sua transposta, ou seja A A′= . 5 1.3 . Igualdade de matrizes Duas matrizes ( ) xij m n A a= e ( ) xij m n B b= são iguais quando ij ija b= para todo { }1, 2, 3, ,i m∈ ⋯ e { }1, 2, 3, , nj∈ ⋯ . Isto significa que para serem iguais duas matrizes devem ser do mesmo tipo e apresentar todos os elementos correspondentes (elementos com índices iguais) iguais. Exemplo: 1 3 1 3 7 4 7 4 − − = − − pois: 11 11 12 12 21 21 22 22 a b a b a b a b = = = = 1 3 1 7 7 4 3 4 − ≠ − − − pois: 12 12 21 21 a b a b ≠ ≠ Exercício 2: 1) Determine os valores de , , e x y z t para que as igualdades abaixo sejam verdadeiras: a) 2 3 2 8 21 252 3 x y z x y z − − − − = + b) 2 20 109 3 9 55 5 xx x x x y − + − = −− c) 2 2 1 6 9 4 2 1 0 1 2 3 3 2 3 y x x t z z t − − = − d) 3 8 2 2 3 3 x x y x z y t + = + + − 2) Determinar os elementos da diagonal principal, em cada matriz abaixo, sabendo que estas representam uma matiz diagonal. a) 2 5 3 x y y x x y − + + + b) ( ) 2 2 4 9 2 3 3 x x y x y y − − − − − 3) Calcular a soma dos elementos da diagonal principal da matriz ( ) 4x4ij A a= , sendo ( ) ( )1 1i jija = − + − 4) Determinar os valores de , , e a b c d , de forma que a matriz dada represente uma matriz identidade. 3 2 2 3 9 a b c d a b c d − − − + − 5) Sendo ( ) 3x4 t ijA b= com ijb i j= − , determinar a matriz A . 6 6) Se a b A c d = , qual é a condição que , , e a b c d devem satisfazer para que se tenha tA A= ? 1.4 . Operações com matrizes 1.4.1 . Adição A soma de duas matrizes A e B do tipo xm n é uma matriz C , do mesmo tipo, em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B . Assim, sendo ( ) xij m n A a= e ( ) xij m n B b= e ( ) xij m n C c A B= = + , tem-se: { } { } 1, 2, 3, , m e 1, 2, 3, , nij ij ijc a b i j= + ∀ ∈ ∈⋯ ⋯ . Exemplo: a) 1 2 3 4 1 1 1 4 2 ( 1) 3 1 5 1 4 4 5 6 4 0 6 4 ( 4) 5 0 6 ( 6) 0 5 0 − + + − + + = = − − + − + + − b) 7 8 0 1 7 9 9 9 2 3 11 12 + = c) 5 1 6 11 2 9 3 3 15 4 4 + − = Propriedades: Sendo , e A B C matrizes quaisquer do tipo xm n e M a matriz nula, também xm n , tem-se: 1) Associativa: ( ) ( )A B C A B C+ + = + + 2) Comutativa: A B B A+ = + 3) Existência de elemento neutro: /M A M A∃ + = 4) Existência de elemento oposto: ( ) / ( )A A A M∃ − + − = Nota: Dada a matriz ( ) xij m n A a= , chama-se Oposta de A (e indica-se A− ) a matriztal que ( ) 0A A+ − = (matriz nula). 7 Exemplo: a) 1 21 2 433 4 5 5 A A − − = ⇒ − = −− b) 9 8 7 9 8 7 2 0 1 2 0 1 T T − − − = ⇒ − = − − 1.4.2 . Subtração Dadas duas matrizes ( ) xij m n A a= e ( ) xij m n B b= , chama-se diferença A B− à matriz soma de A com a oposta de B . Exemplo: 11 9 8 1 0 0 1 1 11 9 8 1 0 0 1 1 11 9 7 0 1 4 7 1 4 7 8 1 1 4 7 1 4 7 8 1 5 3 1 2 − − − = + = − − − − − − − − − 1.4.3 . Multiplicação de uma matriz por um escalar Multiplicar uma matriz A por um escalar k (número real) é construir uma matriz B formada pelos elementos de A todos multiplicados por k . Ou seja, sendo ( ) xij m n A a= e k um número real qualquer, o produto ( ) xij m n kA B b= = de forma que e ij ijb ka i j= ∀ ∀ . Exemplo: a) 1 7 2 3 21 6 3 5 1 2 15 3 6 ⋅ = − − − − b) 0 2 4 0 1 2 1 8 6 4 4 3 22 10 12 6 5 6 3 ⋅ = − − Propriedades: Sendo A e B matrizes quaisquer do tipo mxn e a e b números reais quaisquer, tem-se: 1) ( ) ( )a b A a b A⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 2) ( )a A B a A a B⋅ + = ⋅ + ⋅ 3) ( )a b A a A b A+ ⋅ = ⋅ + ⋅ 4) 1 A A⋅ = 8 1.4.4 . Multiplicação de matrizes Sejam as matrizes ( ) xij m n A a= e ( ) xjk n p B b= . O produto AB é a matriz ( ) xik m pC c= de forma que: 1 1 2 2 3 3 1 n ik i k i k i k in nk ij jk j c a b a b a b a b a b = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅∑⋯ { } { }1, 2, 3, , m e 1, 2, 3, , pi k∀ ∈ ∀ ∈⋯ ⋯ Observação: • O produto de duas matrizes só será definido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B . • A matriz C , resultado do produto AB , é uma matriz que tem o número de linhas de A e o número de colunas de B . Exemplo: Calcular o produto AB sendo 2x3 1 2 3 4 5 6 A = e 3X1 7 8 9 B = Como A é 2x3 e B é 3x1, a matriz C resultante do produto AB será do tipo 2x1 . 11 11 12 21 13 31 21 11 22 21 23 31 2x1 7 1 2 3 1 7 2 8 3 9 50 8 4 5 6 4 7 5 8 6 9 122 9 a b a b a b AB a b a b a b ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = = = = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ Propriedades: 1) Associativa: ( ) ( )AB C A BC= quaisquer que sejam as matrizes ( ) xij m n A a= , ( ) xjk n p B b= e ( ) xkl p rC c= 2) Distributiva à direita em relação à adição: ( )A B C AC BC+ = + quaisquer que sejam as matrizes ( ) xij m n A a= , ( ) xij m n B b= e ( ) xjk n p C c= 3) Distributiva à esquerda: ( )C A B CA CB+ = + quaisquer que sejam as matrizes ( ) xij m n A a= , ( ) xij m n B b= e ( ) xmki pC c= 4) ( ) ( ) ( )kA B A kB k AB= = quaisquer que sejam as matrizes ( ) xij m n A a= e ( ) xjk n p B b= e o número k∈ℝ 9 Observação: A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para 2 matrizes quaisquer A e B , é falso que AB BA= necessariamente. Exemplo: 1) Existe o produto AB mas não existe BA ( )x x xm n n p m pA e B AB⇒∃ x xn p m nB e A BA⇒ ∃ 2) Existe AB e BA porém, são de tipos diferentes. Logo AB BA≠ ( )x x xm n n m m mA e B AB⇒∃ ( )x x xn m m n n nB e A BA⇒ ∃ 3) Mesmo quando AB e BA são do mesmo tipo (quando A e B são quadradas e de mesma ordem), tem-se quase sempre que AB BA≠ Exemplo: 1 0 4 5 2 3 26 10 4 5 14 15 6 0 6 0 A AB B BA = ⇒ = = = Quando A e B são matrizes tais que AB BA= , dizemos que A e B comutam. Para tal é necessário que as matrizes sejam quadradas e de mesma ordem. É importante observar que a implicação: 0 0 ou 0AB A B= ⇒ = = não vale para matrizes pois é possível encontrar duas matrizes não nulas cujo produto seja a matriz nula. Exemplo: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 = Cabe também notar que o produto de uma matriz quadrada qualquer pela matriz identidade de mesma ordem atende a propriedade comutativa, ou seja, AI IA A= = Exemplo: 6 3 1 0 1 0 6 3 6 3 2 7 0 1 0 1 2 7 2 7 − − − = = − − − 10 Exercício 3: 1) Calcular os seguintes produtos: a) 0 1 4 7 1 0 2 3 b) [ ] 1 2 3 1 1 2 3 c) 1 1 1 5 2 2 3 1 4 7 3 0 − − − d) 1 1 1 1 5 0 2 1 2 3 7 1 3 1 1 1 − e) 1 1 1 2 3 2 2 4 5 1 3 4 − − f) 0 1 1 1 4 7 2 2 0 0 0 1 0 3 4 1 2 0 2) Sendo: 0 1 3 2 1 4 A − = 5 1 2 3 7 0 B − = − 1 0 3 3 1 4 2 2 0 C = − − [ ]3 2 1D = − − 4 2 3 E = Efetuar, se possível, os seguintes produtos: a) xA B b) xAB c) xCB d) xC B e) xCD f) xAC g) xED h) xEA 3) Sendo: 2 0 1 4 3 2 A = − − 4 1 2 3 9 6 B = − − 3 5 4 2 0 1 C − = , determinar: a) 3A B C− + b) 2 3A B C+ − c) ( )1 1 2 2 3 A B C− − 4) Determinar x e y de modo que as matrizes abaixo comutem. 1 2 1 0 A = e 0 1 B x y = 11 1.5 . Resposta dos exercícios Exercício 1 1) a) 2 3 4 3 4 5 A = b) 2 5 1 2 B − − = − c) 0 3 4 3 0 5 4 5 0 C = d) 1 8 11 14 0 1 13 16 D = 2) a) 2 1 1 2 1 1 A = b) 1 0 0 1 1 0 1 1 1 A = c) 1 0 0 0 1 0 A = 3) 12 4) 38 3 − Exercício 2 1) a) 3, 5 e 5x y z= = = − b) 5, 34x y= = c) 1 1 1 3 ou 2; ou ; 1 e 3 3 2 x x y y t z= = − = = − = − = − d) 3 , 5, 1 e 9x y t z= = = − = − 2) a) 11 221 e 8a a= − = − b) 11 229 e 36a a= = 3) zero 4) 3, 2, 4 e 6a b c d= = = = 5) 0 1 2 1 0 1 2 1 0 3 2 1 A − = − − − − − 6) e , , e b c a b c d= ∈ℝ Exercício 3 1) a) 2 3 4 7 b) 3 1 1 2 6 2 2 4 9 3 3 6 c) 5 14 14 13 − d) 14 5 30 13 e) 3 7 2 10 6 8 19 14 13 − − − f) 1 2 1 2 8 16 4 8 3 2) a) 19 3 20 1 AB = − b) 2 6 11 6 5 6 0 7 21 BA − = − − − − c) não é possível realizar o produto 12 d) 16 1 41 0 6 4 CB = − − e) [ ]5 4 17DC = − f) não é possível realizar o produto g) [ ]13DE = − h) 7 22 AE = 3) a) 13 2 3 15 30 19 − − − b) 19 2 0 3 21 13 − − − c) 7 3 3 3 13 2 3 9 7 2 3 − − 4) 1 1 e 2 2 x y= = − 13 CAPÍTULO 2 – DETREMI7A7TES 2.1 . Definição de determinante (n ≤ 3) O determinante de uma matriz quadrada M qualquer (indicado por detM ou M ) é o número obtido através de operações realizadas com os elementos de M , conforme apresentado a seguir: 1º) M é de ordem n = 1. Então detM é o único elemento de M . [ ] 1111 det aMaM =⇒= Exemplo: [ ]6 det 6 6M M= ⇒ = = 2º) M é de ordem n = 2. Então detM é obtido através do produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. 11 12 11 12 21 22 21 22 det a a a a M M a a a a = ⇒ = - 11 22 12 21a a a a= − + Exemplo: 3 1 3 1 3 2 4( 1) 10 4 2 4 2 M − − = ⇒ = ⋅ − − = 3º) M é de ordem n = 3, isto é, = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa M , temos então: 332112322311312213322113312312332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaM ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 14 Uma forma de memorizar a definição é: Os termos precedidos pelo sinal (+) são obtidosmultiplicando-se os elementos segundo as trajetórias indicadas: 333231 232221 131211 aaa aaa aaa Os termos precedidos pelo sinal (-) são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as trajetórias indicadas: 333231 232221 131211 aaa aaa aaa Outra forma de calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 é através da utilização da Regra de Sarrus, da seguinte forma: a) Repete-se ao lado da matriz, as duas primeiras colunas; b) Os termos precedidos pelo sinal (+) são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal principal: 322113312312332211 ;; aaaaaaaaa ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ; c) Os termos precedidos pelo sinal (-) são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária: 332112322311312213 ;; aaaaaaaaa ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅− . Assim, temos: 3231 2221 1211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa Exemplo: 1 3 4 1 3 4 5 2 3 5 2 3 4 9 80 (8 12 30) 49 1 4 2 1 4 2 M = − ⇒ − = − + − − + = - - - + + + 15 Pela regra de Sarrus: 41 25 31 241 325 431 − Exercícios 1: 1) Calcular os determinantes abaixo: a) 2/12 13 −− b) 511 713 c) 152 201 231 −− d) 245 312 713 − − e) 635 1312 1179 − 2) Determinar x tal que: a) 0 1 232 = + x xx b) 11 1354 22 = −+ − xx xx c) 0 11 11 11 = − − x x x d) 0 113 122 1 = +x x xx Nota: Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem 3n 〉 devemos antes introduzir duas definições: 2.2 – Menor Complementar e Complemento Algébrico 2.2.1 . Menor complementar Consideremos uma matriz A de ordem 2n ≥ e seja ija um elemento de A . Define-se menor complementar do elemento ija , e indica-se por ijD , como sendo o determinante da matriz que se obtém, suprimindo a linha i e a coluna j de A . -8 -(-12) -30 4 -9 80 16 Exemplo: Seja = 233 512 434 M . Calcularemos .;; 312111 DDD Temos: 233 512 434 então 13 23 51 11 −==D 233 512 434 então 6 23 43 21 −==D 233 512 434 então 11 51 43 31 ==D 2.2.2 . Complemento algébrico Consideremos uma matriz A de ordem 2n ≥ e seja ija um elemento de A . Definimos complemento algébrico do elemento ija (ou cofator de ija ), e indicamos por ijC , como sendo o número ( ) ij ji D⋅− +1 . Exemplo: Seja − = 357 841 232 M . Calcularemos 11 12 13; ; .C C C Temos: − 357 841 232 então ( )1 111 4 8 1 28 5 3 C += − = − − 357 841 232 então ( )1 212 1 8 1 53 7 3 C += − = 17 − 357 841 232 então ( )1 313 1 4 1 23 7 5 C += − = − 2.3 – Teorema Fundamental de Laplace O determinante de uma matriz M , de ordem 2n ≥ , é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Exemplo: 1) Seja a matriz = 511 713 M . Vamos calcular o seu determinante empregando o teorema de Laplace. Inicialmente vamos escolher uma linha ou uma coluna qualquer. Utilizaremos a primeira coluna. Assim o determinante será: 1 1 2 1 11 11 21 21 13 7 13 ( 1) 5 11 ( 1) 7 13 5 11 7 65 77 12 11 5 a C a C + += ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − = − Caso utilizássemos a segunda linha, por exemplo, o determinante seria calculado da seguinte forma: 2 1 2 2 21 21 22 22 13 7 11 ( 1) 7 5 ( 1) 13 11 ( 7) 5 13 77 65 12 11 5 a C a C + += ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − + ⋅ = − + = − 2) Calculemos agora, utilizando o teorema de Laplace, o determinante da matriz M de ordem 3 abaixo: −−= 152 201 231 M . Para o cálculo do determinante temos que, inicialmente, escolher uma linha ou uma coluna da matriz. Utilizaremos a segunda coluna. Assim, temos: 12 12 22 22 32 32 1 3 2 1 0 2 2 5 1 a C a C a C− − = ⋅ + ⋅ + ⋅ 21 21 )1(5 12 21 )1(0 12 21 )1(3det 232221 −− ⋅−⋅+⋅−⋅+ −− ⋅−⋅= +++M 905033)]2(2[)1(50)]4(1[)1(3det −=⋅−+⋅−=−−−⋅−⋅++−−−⋅−⋅=M 18 Cabe ressaltar que, qualquer outra linha ou outra coluna que fosse empregada para o cálculo do determinante obter-se-ia o mesmo resultado. Exercício 2: 1) Calcular o determinante das matrizes abaixo: a) 3 6 4 1 R = b) 1 4 2 2 6 9 5 0 3 T = − − c) −− − − = 10130 4271 7526 0142 M 2) Calcular o determinante da matriz A , sendo: a) 6 1 4 1 A − = b) 5 4 7 2 A − = − c) 0 10 1 5 A = − d) 1 2 3 5 9 4 0 8 7 A = e) 3 4 2 1 5 1 2 3 4 A = f) 2 2 2 2 a b b a A ab a b − − = + g) a a b c A a c b b c a b c + = + + h) 2 x x y y xy x y − + 3) Dadas as matrizes 2 0 1 4 2 3 5 3 1 A = − e 1 0 0 3 2 4 4 1 3 B = − , calcule: a) det A b) det B c) ( )det A B+ d) ( )det 2 3A B− e) ( )det AB f) ( )det BA g) 1det 2 A h) det 3B 4) Resolva as equações: a) 1 3 30 0 5 10 x x x x − − + = + − b) 1 3 2 5 3 0 7 4 9 x x x x = 19 c) ( ) ( )2 1 0 3 3 1 2 1 5 3 x x x x− = + − + − − d) 1 3 3 2 1 1 10 1 2 1 x x x x x − = − − − − e) 8 2 1 1 x x + = − f) 8 2 5 14 2 x x x x − + = − − − g) 4 5 1 1 0 0 0 1 x x − − = − h) 1 2 3 2 9 2 3 1 2 3 1 2 x x x x − = + 5) Calcule os determinantes abaixo empregando o Teorema de Laplace: a) 2 1 2 4 2 1 0 5 10 5 1 7 1 2 1 1 − − − − − b) 1 2 3 4 2 0 0 5 6 0 3 4 1 0 0 4− c) 2 1 0 0 1 0 1 1 2 4 3 2 0 0 1 1 − − − d) 2 1 3 2 3 0 1 2 1 1 4 3 2 2 1 1 − − − e) 1 3 2 4 1 1 0 0 1 0 0 0 1 4 1 3 − f) 1 0 1 2 1 1 0 3 1 2 1 0 1 x y z g) 1 1 2 3 1 2 2 1 1 0 1 2 1 3 4 0 0 1 2 0 0 4 2 1 1 − − − − − − − 6) Calcule x nas equações a seguir: a) 2 10 10 7,5 0 5 2 0 10 0 4 2 1 1 1 1 x x − = b) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 x x x x x = c) ( ) ( )2 1 0 0 0 3 1 0 1 2 1 3 3 2 1 5 3 x x x x = + − + − − − 20 7) Que valores x poderá assumir para que det 0A = , sendo: a) 3 1 2 6 1 0 1 1 2 3 0 1 2 0 4 2 A x − − − = − b) 1 1 3 4 5 6 x x x A x x x x x x x = 8) Encontre o polinômio na variável x que representa o determinante da matriz A , sendo: a) 1 2 3 1 x x A x x + + = − + b) 2 3 1 2 0 1 x x A x x x = − + c) 0 0 0 1 2 1 0 4 2 2 6 3 x A x x x x − = − d) 3 2 0 0 0 0 0 4 2 1 1 7 3 1 x x A x x x x x = + − − 9) Sendo 3 2 0 0 1 2 1 5 x A x x x x = − − − e 3 1 0 2 3 2 x B x x x x − = + : a) encontre os polinômios que representam det A e det B ; b) determine det A para 1x = − ; c) determine det B para 0x = ; d) determine o quociente e o resto da divisão entre det A e ( )1x − ; e) determine o quociente da divisão entre det B e x ; f) determine x tal que det 0B = ; g) determine x tal que det 0A = . 10) Sejam os polinômios ( ) 2 1p x x= − e ( ) 4q x x= + e sejam as matrizes: ( ) ( ) ( ) ( )2 p x p x A q x q x − = ( ) 0 3 6 p x B = ( ) ( ) 10 p x y C q x y = − 21 a) determine o valor de x , sendo A B= ; b) encontre x e y para que as matrizes A e C sejam iguais; c) determine A B+ e 2A B− ; d) calcule o polinômio que representa det A ; e) calcule det Bpara 2x = ; f) determine x para que det 6B = − ; g) encontre o quociente da divisão entre det A e ( )q x ; h) encontre o quociente e o resto da divisão de ( )p x por ( )q x ; i) verifique se det A é divisível por det B . 2.4 – Resposta dos exercícios Exercício 1 1) a) 1 2 b) 12− c) 9− d) 40− e) 121 2) a) 1 2 ou 2 x x= = − b) 1 1 ou 2 x x= − = c) 0 ou 1x x= = d) 1 2 x = Exercício 2 1) a) 21− b) 198− c) 765 2) a) 10 b) 18− c) 10 d) 81 e) 29 f) 2 4 a g) 4abc h) 2 2 2 x y− 3) a) 24 b) 10 c) 124 d) 18− e) 240 f) 240 g) 3 h) 270 4) a) 5 7 ou 2 x x= = − b) 2x = ± c) 5 2 ou 6 x x= = − d) 2 5 ou 3 x x= = − e) 1 9 x = − f) 3 ou 6x x= = − g) 1 1 ou 4 x x= = h) 0 ou 3x x= = 5) a) 139 b) 78 c) 25 d) 55− e) 10− f) 2 4 2 8x y z+ + − g) 219− 6) a) 1 2 ou 2 x x= − = − b) 0 ou 1 ou 2x x x= = = − c) 5 2 ou 6 x x= = − 7) a) 4x = − b) 0 ou 1 ou 4 ou 6x x x x= = = = 8) a) 24 8 1x x+ + b) 3 5 3x x− − c) 3 24 2 12x x x− − d) 6 5 43x x x− + + 9) a) 5 4det 7A x x= − e 3 2det 2 3 3B x x x= + + b) 8− c) zero 22 d) 4 3 27 6 6 6 6; 6x x x x+ + + + e) 22 3 3x x+ + f) 0x = g) 1 0 ou 7 x x= = 10) a) 1x = − b) 1 e y 0x = = c) 2 22 2 1 7 2 14 x x A B x x − − + + = + + e 2 21 1 2 2 2 4 x x A B x x − + − + − = − − d) 3 23 12 3 12x x x+ − − e) det 18B = f) 0x = g) 23 3x − h) 4 e 15x − i) det , 2 det 2 A x Sim B = + 2.5 – Propriedades dos determinantes I. O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta. Exemplo: 2 5 det 6 35 29 7 3 A A = ⇒ = − = − 2 7 det 6 35 29 5 3 t tA A = ⇒ = − = − II. Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos todos nulos, o determinante é nulo. Exemplo: 0 0 0 5 4 1 det 0 0 0 0 0 0 0 3 2 7 A A = ⇒ = + + − − − = III. Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante é nulo. Exemplo: 5 5 2 3 3 1 det 90 20 24 24 20 90 0 4 4 6 A A = ⇒ = + + − − − = IV. Se na matriz A duas linhas (ou colunas) são proporcionais, o determinante é nulo. Exemplo: 2 6 det 18 18 0 3 9 A A = ⇒ = − = Observe que a segunda coluna é proporcional a primeira 6 9 3 2 3 = = . 23 V. Se na matriz A cada elemento de uma linha (ou coluna) é uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes. Exemplo: 2 3 5 2 8 20 56 36 7 4 6 7 10 A + = ⇒ = − = − + ( ) ( ) 2 3 2 5 8 21 12 35 13 23 36 7 4 7 6 + = − + − = − − = − OBS: ( )det det detA B A B+ ≠ + Exemplo: 1 2 2 5 A = 3 1 1 3 B = 4 3 3 8 A B + = det 1A = det 8B = ( )det 23 9 det detA B A B+ = ≠ = + VI. O determinante de uma matriz triangular A (superior ou inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo: 1 3 5 0 1 3 det 2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 A A = ⇒ = + + − − − = 6 5 4 7 0 1 3 5 det 6 1 1 2 12 0 0 1 3 0 0 0 2 A A = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ = VII. Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz A, o determinante muda de sinal. Exemplo: 1 3 5 0 0 2 det 0 0 0 0 0 8 8 0 4 12 A A = ⇒ = + + − − − = − Vamos agora trocar a 2a. linha com a 3a., e calcular o determinante: 1 3 5 0 4 12 det 8 0 0 0 0 0 8 0 0 2 A A = ⇒ = + + − − − = 24 VIII. Quando se multiplica por um número real todo os elementos de uma linha (ou coluna) da matriz A, o determinante fica multiplicado por este número. Exemplo: 1 3 5 0 4 12 det 8 0 0 0 0 0 8 0 0 2 A A = ⇒ = + + − − − = Multiplicando-se a 2a. linha por 1 4 temos: 1 3 5 1 0 1 3 det 2 0 0 0 0 0 2 8 4 0 0 2 A A = ⇒ = + + − − − = = ⋅ IX. Quando se multiplica todos os elementos da matriz A por uma constante, seu determinante ficará multiplicado por essa constante elevada a ordem da matriz. Exemplo: 4 1 8 3 5 3 2 A = ⇒ − = Multiplicando-se a matriz por 3 temos: 212 3 72 27 45 3 5 9 6 A = ⇒ − = = ⋅ X. Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (ou coluna) da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (ou coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero. Exemplo: 1 2 4 4 10 12 90 120 112 200 72 84 34 5 7 9 A = = + + − − − = − Vamos agora substituir a 2a. linha pela soma de seus elementos com os elementos correspondentes da 1a. linha previamente multiplicados por (-4). Assim: 1 2 4 0 2 4 18 40 0 40 0 28 34 5 7 9 A = − = − + − − + = − XI. Se uma linha (ou coluna) da matriz A é obtida a partir de uma combinação linear das demais filas paralelas, então seu determinante será nulo. 25 Exemplo: 2 3 12 1 5 13 det 180 234 0 360 54 0 0 6 0 18 A A = ⇒ = + + − − − = Observe que a 3a. coluna é igual a 1a. multiplicada por 3, adicionada com a 2a. multiplicada por 2. XII. O determinante do produto de duas matrizes quadradas e de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes de cada uma das matrizes. Exemplo: 4 2 det 20 2 18 1 5 A A = ⇒ = − = 3 0 det 15 0 15 4 5 B B − = ⇒ = − − = − ( )det det 18 15 270A B⋅ = ⋅ − = − Calculando o produto AB e apurando o seu determinante, temos: 4 2 3 0 4 10 1 5 4 5 17 25 AB − − = = 4 10 det 100 170 270 17 25 AB − = = − − = − XIII. O determinante da inversa de uma matriz A é igual ao inverso do determinante de A. Exemplo: 11 4 det 22 28 6 7 2 A A = ⇒ = − = − 1 1 1 2 11 14 3 13 3 det 7 11 18 18 18 6 6 6 A A− − − = ⇒ = − = − = − − 26 CAPÍTULO 3 – I7VERSÃO DE MATRIZES 3.1 . Matriz inversível Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é uma matriz inversível se existe uma matriz B tal que: nAB BA I= = . Se A é inversível dizemos que A é uma matriz não-singular. As matrizes não-singulares têm determinante diferente de zero. Se A não for inversível ela é dita singular e, neste caso, seu determinante é igual a zero. Dada uma matriz inversível A , chama-se inversa de A à matriz 1A− (que é única) tal que 1 1 nAA A A I − −= = . Exemplo: Se 2 5 1 3 A = , então 3 5 1 2 A − ′ = − é a inversa de A , pois: 2 5 3 5 1 0 1 3 1 2 0 1 AA − ′ = = − e 3 5 2 5 1 0 1 2 1 3 0 1 A A − ′ = = − 3.2 . Propriedades das matrizes inversíveis 1) Se a matriz A admite inversa,então a sua inversa é única. 2) Se a matriz A é inversível, então 1A− é inversével e ( ) 11A A−− = . 3) Se a matriz A é inversível, então tA é inversível e ( ) ( )1 1 ttA A− −= . 4) Se as matrizes A e B são inversíveis , então AB é inversível e ( ) 1 1 1AB B A− − −= . Exemplo: Seja a matriz 8 5 3 2 A = e sua inversa 1 2 5 3 8 A− − = − . Seja a matriz 9 7 5 4 B = .e sua inversa 1 4 7 5 9 B− − = − . 8 5 9 7 97 76 3 2 5 4 37 29 AB = = ( ) 1 29 76 37 97 AB − − = − 1 1 4 7 2 5 29 76 5 9 3 8 37 97 B A− − − − − = = − − − 27 3.3 . Operações elementares São operações realizadas nas linhas de uma matriz. As operações elementares são as seguintes: I. Permutação de duas linhas ( )ijL . II. Multiplicação de todos os elementos de uma linha por um escalar diferente de zero ( )i iL k L= ⋅ . III. Substituição dos elementos de uma linha pela soma deles com os elementos correspondentes de outra linha previamente multiplicadapor um número real diferente de zero ( )i i jL L k L= + ⋅ . Exemplo: Permutar a 2a. linha pela terceira: 23 1 3 5 1 3 5 0 0 2 0 4 12 0 4 12 0 0 2 L → Multiplicar a 2a linha por 1 4 : 2 1 4 1 3 5 1 3 5 0 4 12 0 1 3 0 0 2 0 0 2 L → Substituir os elementos da 1a linha pela soma deles com os elementos correspondentes da 2a linha multiplicados por 3− : ( )1 1 2 3 1 3 5 1 0 4 0 1 3 0 1 3 0 0 2 0 0 2 L L L= + − − → 3.4 . Inversão de uma matriz por meio de operações elementares Para determinar a matriz inversa de uma dada matriz A faremos: 1) coloca-se ao lado da matriz A a matriz I , separada por um traço vertical. 2) Transforma-se, por meio de operações elementares, a matriz A na matriz I , aplicando-se, simultaneamente, à matriz I , colocada ao lado da matriz A , as mesmas operações elementares. 28 Exemplo: Determinar a matriz inversa da matriz 2 1 3 4 2 2 2 5 3 A = ( ) ( )1 2 2 11 42 31 11 0 02 1 3 1 0 0 2 2 2 4 2 2 0 1 0 4 2 2 0 1 0 2 5 3 0 0 1 2 5 3 0 0 1 L L L L= + − → → ( )3 3 1 232 3 31 1 1 11 0 0 1 0 02 2 2 2 2 2 0 0 4 2 1 0 0 0 4 2 1 0 2 5 3 0 0 1 0 4 0 1 0 1 L L L L= + − − − → − − → − ( ) ( )2 31 14 4 13 31 1 1 0 01 0 0 1 22 2 2 2 2 1 10 4 0 1 0 1 0 1 0 04 4 0 0 4 2 1 0 0 0 4 2 1 0 L L − − − → → − − − − ( )1 1 2 12 5 113 3 01 0 01 1 0 8 822 2 2 1 1 1 10 1 0 0 0 1 0 04 4 4 4 0 0 1 0 0 11 1 1 10 02 4 2 4 L L L= + − − − −→ − − ( )1 1 3 32 31 1 8 8 81 0 0 1 10 1 0 04 4 0 0 1 1 1 02 4 L L L= + − − − −→ − Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I , a matriz 31 1 8 8 8 1 104 4 1 1 02 4 − − − − é 1A− , ou seja, a inversa de A . Pode-se fazer a verificação efetuando o produto de ambas as matrizes, cujo resultado deve ser I . Exercício 1: 1) Obtenha a matriz inversa de cada uma das matrizes abaixo. 29 a) 12 7 5 3 A = b) 2 3 1 1 3 1 1 2 1 B − − = − − − c) 2 1 0 2 3 1 2 2 4 1 2 3 3 1 1 2 C − − − − = − − − − 3.5 – Cálculo da matriz inversa através de determinantes 3.5.1 . Matriz dos cofatores Seja M uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos de matriz dos cofatores de M , e indicamos por cM , a matriz que se obtém de M , substituindo cada elemento de M pelo seu cofator. Exemplo: a) Se 1 2 3 4 A = então 4 3 2 1 cA − = − pois: ( )211 1 4 4c = − = ( ) 3 12 1 3 3c = − = − ( )321 1 2 2c = − = − ( ) 4 22 1 1 1c = − = b) Se 1 0 2 2 1 3 3 1 0 B = então 3 9 1 2 6 1 2 1 1 cB − − = − − − pois: ( )211 1 3 1 3 1 0 c = − = − ( )312 2 3 1 9 3 0 c = − = ( )413 2 1 1 1 3 1 c = − = − ( )321 0 2 1 2 1 0 c = − = ( )422 1 2 1 6 3 0 c = − = − ( )523 1 0 1 1 3 1 c = − = − ( )431 0 2 1 2 1 3 c = − = − ( )532 1 2 1 1 2 3 c = − = ( )633 1 0 1 1 2 1 c = − = 3.5.2 . Matriz adjunta Seja M uma matriz quadrada de ordem n e cM e matriz dos cofatores de M . Chamamos de matriz adjunta de M , e indicamos por M , à transposta da matriz cM , isto é, ( )tcM M= . No exemplo anterior, temos: 30 a) 4 3 2 1 cA − = − logo, 4 2 3 1 A − = − b) 3 9 1 2 6 1 2 1 1 cB − − = − − − logo, 3 2 2 9 6 1 1 1 1 B − − = − − − Teorema: Se M é uma matriz quadrada de ordem n e det 0M ≠ , então a inversa de M é: 1 1 det M M M − = ⋅ No exemplo anterior, temos: a) 1 2 3 4 A = ; det 2A = − ; 4 2 3 1 A − = − Logo 1 2 14 21 3 13 12 2 2 A− − − = = −−− b) 1 0 2 2 1 3 3 1 0 B = ; det 5B = − ; 3 2 2 9 6 1 1 1 1 B − − = − − − Logo 1 3 2 2 5 5 53 2 2 1 9 6 19 6 1 5 5 55 1 1 1 1 1 1 5 5 5 B− − − − −= − − = − − − Exercício 2: 1) Calcular, através dos cofatores, a inversa das matrizes do exercício 1. 3.6 – Resposta dos exercícios 1) a) 1 3 7 5 12 A− − = − b) 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3 B− − − = − − − − c) 1 1 1 0 2 1 2 2 0 0 1 0 1 1 0 1 2 C− − − = −
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