Calculo Multiplas Variaveis Aula 5

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GRADUAÇÃO ENGENHARIA
ARA0018 – CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
OLGA MARIA DAS NEVES DE LEMOS
PROFESSORA
Rio de Janeiro, 16/08/2021 – 15/12/2021
UNESA – Universidade Estácio de Sá.
CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Verificando o Aprendizado - Módulo 3
1 - Considere a função H(u) = [-4 cos u, 8, 4sen u], definida para u∈ 0,
2π. Qual é o versor normal principal à curva para u =π/6?
a) [-1/2, 0, 3/2] 
b) [1/2, 0, - 3/2] 
c) [ 3/2, 0, -1/2] 
d) [- 3/2, 0, ½]
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CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Solução 1 H(u) = [-4 cos u, 8, 4sen u]
T(u) =
H′(u)
|H′(u)|
=
H′(u) = [4 sen u, 0, 4cos u] e |H′(u)| = 16 sen2 u + 16 cos2 u = 4
T(u) =
[4 sen u, 0, 4cos u]
4
= [sen u, 0, cos u]
N(u) =
T′(u)
|T′(u)|
=
[cos u, 0, −sen u]
1
N(𝝅/6) = [cos𝝅/6, 0, −sen𝝅/6] = [
3
2
, 0, -
1
2
] Resp.: C
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2. Considere a função Ԧ𝐹(t) = [2t , cos 2t, sen 2t], definida 
para t∈0,π. Qual é a curvatura da curva? 
a) t/2 
b) t 
c) 2 
d) 1/2
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Solução 2
Ԧ𝐹(t) = [2t , cos 2t, sen 2t]
Ԧ𝐹′(t) = [2 , -2sen 2t, 2cos 2t]
Ԧ𝐹′′(t) = [0 , -4cos 2t, -4sen 2t]
i j k i j
2 -2sen 2t 2cos 2t 2 -2sen 2t 
0 -4cos 2t -4sen 2t 0 -4cos 2t 
= 8 sen2 2ti + 0j + - 8 cos 2tk
8 cos2 2ti + 8sen 2tj + 0K
= (8 sen2 2t +8 cos2 2t)i + 8sen 2tj - 8 cos 2tk
= 8i, 8sen2tj, -8cos2tk 
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Ԧ𝐹′(t) = [2 , -2sen 2t, 2cos 2t]
|𝐹′(t)| = 4 + 4 𝑠𝑒𝑛2 2𝑡 + 4𝑐𝑜𝑠2 2𝑡 = 8 =2 2
K(t) = 
8 2
( 2 2 )3
= 
8 2
8 8
=
2
2 2
= 
1
2
Resp.: D 
|𝐹′ (t) x |𝐹′ (t)| = 82 +(8sen 2t)2 + (−8 cos 2𝑡)2
|𝐹′ (t) x |𝐹′ (t)| = (64 + 64 sen 22𝑡 + 64𝑐𝑜𝑠22𝑡 = 64 + 64 = 8 2
|𝐹′ (t) x |𝐹′ (t)| = 8i + 8sen 2tj - 8 cos 2tk 
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Sistema de Coordenadas Polares
𝝆
θ
P = (𝝆 , θ)
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CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
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Coordenadas 
Cartesianas
Coordenadas 
Polares
(1, 0) (1, 0)
(1, 1) ( 2 , 𝝅/4)
(-2, -2) (2 2 , 3𝝅/4)
(-3, 0) (3, 𝝅)
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x = 𝝆 cosθ
y = 𝝆 senθ
𝝆 = 𝑥2+ 𝑦2 ou 𝝆2 = 𝑥2+ 𝑦2
tg θ = 
𝑦
𝑥
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Exercícios 1
1 - Determine as coordenadas cartesianas do ponto P, que 
tem coordenadas polares (2, 𝝅/4).
2 - Determine as coordenadas polares do ponto P, que tem 
coordenadas cartesianas P (-
1
2
, 
3
2
).
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Solução 1
𝝆 = 2 e θ = 𝝅/4
x = 𝝆 cosθ = 2cos 𝝅/4
x = 2 
2
2
= 2
y = 𝝆 senθ=2sen 𝝅/4
y = 2 
2
2
= 2
P( 2 , 2 )
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Solução 2 P (-
1
2
, 
3
2
)
tg θ= 
𝑦
𝑥
tg θ= 
3
2
− 1
2
= 
3
2
* (-2) = - 3
arc tg 3 = 60º para - 3 poderíamos ter θ=150º= 
5𝝅
6
= ou 300º= 
5𝝅
3
Como x<0 e y> 0 então o ponto esta no 2º quadrante
𝝆 = 1/4 + 3/4 =1
P = (1, 
5𝝅
6
)
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Curvas Polares
As curvas no plano R2, que podem ter seu gráfico definido por uma
equação cartesiana, também são representadas por uma equação
polar do tipo ρ = f (θ). Com essa representação, tais curvas são
denominadas curvas polares.
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Exemplo 1 - Considere a curva planar com imagem dada pela
função vetorial Ԧ𝐹(t)=[2cos t, 2 sen t] e determine a equação polar
para essa curva.
x = 2 cosθ
y = 2 senθ
x2 + y2 = 4 
𝝆2 cos2θ+ 𝝆2 sen2 θ = 4 𝝆2 = 4 𝝆 = 2 
Eq polar 𝝆 = 2 
x2 + y2 = 4cos2 θ + 4sen2 θ
x2 + y2 = 4 circunferência de raio 2 e centro na origem
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Exemplo 2 - Determine a equação cartesiana da figura no plano
cuja equação polar é dada por 𝝆 =4 cos θ
x = 𝝆 cosθ cosθ =
𝑥
𝝆 pela coordenada polar
𝝆2 = 𝑥2+ 𝑦2
𝝆 =4 cos θ
𝝆 = 4
𝑥
𝝆 ρ
2= 4x
4𝑥 = 𝑥2+ 𝑦2 𝑥2+ 𝑦2 – 4x = 0
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𝑥2+ 𝑦2 – 4x = 0
Lembrando que a eq da circunferência 
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 sendo r o raio da circunferência e P(a, b) o centro
𝑥2+ 𝑦2 – 4x + 4 – 4 = 0
(x – 2)2 + y2 = 4 circunferência de r = 2 e centro P(2, 0)
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Vamos determina a reta tangente a uma curva polar com equação
ρ = f(θ), teremos:
x = f(θ) cos θ
y = f(θ) sen θ
O coeficiente angular da reta tangente à curva será dado por:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑θ
𝑑θ
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑θ
𝑑𝑥
𝑑θ
= f ′(θ) sen θ + f(θ) cos θ
f ′(θ) cos θ − f (θ) sen θ
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𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑θ
𝑑θ
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑θ
𝑑𝑥
𝑑θ
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CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Exemplo 3 - Obtenha a equação da reta tangente à curva polar de
equação ρ = 2 + sen θ, no ponto que θ=π.
m =
f ′(θ) sen θ + f(θ) cos θ
f ′(θ) cos θ − f (θ) sen θ
ρ = 2 + sen θ ρ’ = cos θ
M(θ) =
cosθ sen θ + (2 + sen θ) cos θ
cos θ cos θ − (2 + sen θ) sen θ
M(𝝅) =
cos𝝅sen𝝅+ (2 + sen𝝅) cos𝝅
cos𝝅cos𝝅− (2 + sen𝝅) sen𝝅
=
2 (−1)
(−1) (−1)
= -2
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x = 𝝆 cos θ = (2 + sen θ) cos θ
y = 𝝆 sen θ = (2 + sen θ) sen θ
No ponto θ = 𝝅
x = (2 + sen 𝝅) cos 𝝅 = -2
y = (2 + sen 𝝅) sen 𝝅 = 0
y – yo = m(x – x0)
y - 0 = -2(x + 2)
y = -2x - 4
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Área e Comprimento de uma Curva Polar
A área de uma curva polar, definida pela equação ρ=f(θ),
compreendida entre dois valores de θ, é obtida pela
equação:
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Exemplo 1 – Determine a área da figura definida pela equação 
ρ=2 sen2θ, para o intervalo –π/4<θ<π/4
A=׬θ0
θ1 1
2
(f(θ))2dθ
π/4–׬
π/4
(
1
2
(2sen 2θ)2dθ =
1
2
π/4–׬
π/4
( (4sen2 2θ) dθ = 2 π/4–׬
π/4
( (sen2 2θ) dθ
cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
cos (2a) = cos a.cos a – sen a.sen a = cos2 a – sen2 a 
cos (2a) = 1 - sen2 a – sen2 a = 1 - 2sen2 a 
sen2 a =
1
2
-
1
2
cos 2a
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sen2 2θ =
1
2
-
1
2
cos 4θ
π/4–׬2
π/4
( (sen2 2θ) dθ = 2 π/4–׬
π/4
(
1
2
−
1
2
cos 4θ) dθ
A = ׬–π/4
π/4
dθ − π/4–׬
π/4
(cos 4θ) dθ = {θ –
1
4
sen4θ} variando de −π/4 a π/4
A = 
𝝅
4
- (-
𝝅
4
) + 
1
4
[sen 𝝅 - sen (-𝝅)]= 
𝝅
2
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Comprimento da Curva
Usando coordenadas polares vamos substituir para o parâmetro θ
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[ 
𝑑
𝑑θ
(f(θ)cosθ)]2 = [f’(θ)cosθ – f(θ)senθ]2 = 
[ 
𝑑
𝑑θ
(f(θ)cosθ)]2 = [f’(θ)]2cos2θ + [f(θ)]2sen2θ – 2f’(θ)f(θ) cos θ senθ] eq (1)
[ 
𝑑
𝑑θ
(f(θ)senθ)]2 = [f’(θ)senθ + f(θ)cosθ]2 =
[ 
𝑑
𝑑θ
(f(θ)senθ)]2 =[f’(θ)]2sen2θ + [f(θ)]2cos2θ + 2f’(θ)f(θ) cos θ senθ] eq(2)
(1) + (2) = [f’(θ)]2(cos2θ + sen2θ) + [f(θ)]2(sen2θ +cos2θ) 
(1) + (2) = [f’(θ)]2 + [f(θ)]2
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L(θ)=׬θ0
θ1 [f’(θ)]2 + [f(θ)]2dθ
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Exemplo 2 - Determine o comprimento da curva definida pela
equação ρ=2senθ entre os pontos θ=-π/4e θ=π/4
L(θ)=׬
θ
0
θ1 [f’(θ)]2 + [f(θ)]2dθ=
f(θ)=2senθ f’(θ)=2cosθ
L(θ)=׬
−π/4
π/4
[4sen2θ+4cos2θdθ=׬
−π/4
π/4
2dθ= 2θ
L(θ)=2[
𝝅
4
- ( -
𝝅
4
)]= 𝝅
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Resumo
x = 𝝆 cosθ
y = 𝝆 senθ
𝝆 = 𝑥2+ 𝑦2 ou 𝝆2 = 𝑥2+ 𝑦2
tg θ = 
𝑦
𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑥
= 
𝑑𝑦
𝑑θ
𝑑𝑥
𝑑θ
=
𝑑(𝝆 senθ)
𝑑θ
𝑑(𝝆 cosθ)
𝑑θ
= 
𝝆′senθ+ 𝝆𝑐𝑜𝑠θ
𝝆′cosθ− 𝝆𝑠𝑒𝑛θ
m =
𝝆′senθ+ 𝝆𝑐𝑜𝑠θ
𝝆′cosθ− 𝝆𝑠𝑒𝑛θ
m = 
𝝆′senθ+ 𝝆𝑐𝑜𝑠θ
𝝆′cosθ− 𝝆𝑠𝑒𝑛θ
L(θ)=׬
θ0
θ
1 [f’(θ)]2 + [f(θ)]2dθ
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Exemplo
Uma rosácea de 4 pétalas é definida por curva polar de equação
ρ=10 cos2θ,com ρ em metros e θ em radianos. Um artista plástico
deseja pintar essa curva em uma parede e necessita saber quantos
metros quadrados de tinta será necessário para isso. Determine a
área coberta pela figura para ajudar o levantamento do artista
plástico.
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ρ=10 cos2θ
A = 0׬
2𝝅 1
2
(10 cos2θ)2𝑑θ 0׬=
2𝝅 1
2
100 cos22θ𝑑θ = 0׬50
2𝝅
cos22θ𝑑θ
Poderíamos tb calcular de 0 a 𝝅/2 e multiplicar por 4
cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
cos (2a) = cos a.cos a – sen a.sen a = cos2 a – sen2 a 
cos (2a) = cos2 a – (1 – cos2 a) = cos2 a –1 + cos2 a = 2cos2 a – 1
2cos2 a = cos 2a – 1 
cos2 a = 
1
2
cos 2a –
1
2
cos2 2θ = 
1
2
cos 4θ –
1
2
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CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
cos2 2θ = 
1
2
cos 4θ –
1
2
A = 500׬
2𝝅
cos22θ𝑑θ 0׬50 =
2𝝅
(
1
2
cos 4θ –
1
2
)𝑑θ
A = 50׬
0
2𝝅 1
2
cos 4θ 𝑑θ ׬50 +
0
2𝝅 1
2
𝑑θ =
A = 25 * 
1
4
sen 4θ + 25 θ
A = 
25
4
(sen 8𝝅 - sen 0) + 25*2𝝅 – 25 * 0
A = 50𝝅m2
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Exercício 1 - Assinale a alternativa que demonstra uma possível
representação em coordenadas polares (ρ, θ) para o ponto que
apresenta (-3, 3 3) em coordenadas cartesianas:
a) 2, 5π/3 
b) 6, -π/3
c) 2, π/3 
d) 6, 5π/3
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x = 𝝆 cosθ
y = 𝝆 senθ
𝝆 = 𝑥2 + 𝑦2
Exercício 1
x = -3
y = 3 3
𝝆 = 9 + 27= 6
x = 𝝆cosθ -3 = 6 cos θ cos θ = -1/2 
y = 𝝆senθ 3 3 = 6 sen θ sen θ = 3 /2 
θ = 120º =
2𝝅
3
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Trigonometria
Sinal da Tangente
cosseno seno
O x
A’ A
y
B
B’
Como sen> 0 e cos < 0 estamos no 2º quadrante
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Exercício 2 - Considere a curva com imagem dada pela equação
cartesiana x2+(y-4)2=16, que é uma circunferência centrada em (0,4) e
com raio 4. Qual é a equação polar para a curva.
a) ρ=2 cosθ 
b) ρ=8 
c) ρ=8 senθ 
d) ρ=senθ+cosθ
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x2+(y-4)2=16Solução 2
x = 𝝆 cosθ x2 = 𝝆2 cos2θ
y = 𝝆 senθ (y – 4)2 = (𝝆 senθ – 4)2 = 𝝆2 sen2θ + 16 - 8 𝝆 senθ
x2+(y-4)2=16
𝝆2 cos2θ + 𝝆2 sen2θ + 16 - 8 𝝆 senθ = 16
𝝆2 (cos2θ + sen2θ) - 8 𝝆 senθ = 0
𝝆2 - 8 𝝆 senθ = 0 𝝆(𝝆 - 8 senθ) = 0
𝝆 - 8 senθ = 0 𝝆 = 8 senθ Resp.: C
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Exercício 3 - Qual é a equação da reta tangente à curva 
polar de equação ρ = 1– cos θ no ponto em que θ=π/2?
a) x + 2y – 1 = 0
b) x – y +1 = 0
c) x + y -1 = 0
d) x – y -1 = 0
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Solução 3
m = 
f ′(θ) sen θ + f(θ) cos θ
f ′(θ) cos θ − f (θ) sen θ
f(ρ) = 1– cos θ f’(ρ) = sen θ 
m(θ) = 
senθsen θ + (1– cos θ)cos θ
sen θcos θ −(1– cos θ)sen θ
m(π/2) = 
senπ/2senπ/2+ (1– cosπ/2)cosπ/2
senπ/2cosπ/2−(1– cosπ/2)senπ/2
m(π/2) = 
1∗ 0+ (1– 0)0
1∗ 0−(1– 0)1
=
1
−1
= -1
ρ = 1– cos θ 
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Coeficiente angular da reta é -1, vamos determina o ponto que passa a reta
x = 𝝆 cosθ x = (1– cosθ)cosθ
y = 𝝆 senθ y = (1– cosθ)senθ
No ponto θ = π/2
x = (1– cos π/2)cos π/2 x = (1 - 0) 0 = 0
y = (1– cos π/2)sen π/2 y= (1 – 0) 1 = 1 
-1 = 
𝑥 −0
𝑦 −1
-y + 1 = x 
x + y – 1 = 0 Resp.: C
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Exercício 4 - Qual é o comprimento da curva definida pela 
equação polar 𝝆 = 𝑒−θ entre os pontos θ=0 e θ=𝝅?
a) (1-eπ) 
b) 2 (1 - e-π) 
c) (1 + e-π) 
d) 2(1+eπ)
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Solução 4 𝝆 = 𝑒−θ
L(θ)=׬θ
0
θ
1 [f’(θ)]2 + [f(θ)]2dθ
f(θ) = 𝑒−𝜃 f’(θ) = −𝑒−𝜃
L(θ)=0׬
𝝅
[ −𝑒−𝜃 ]2 + [𝑒−𝜃]2dθ = 0׬
𝝅
𝑒−2𝜃 + 𝑒−2𝜃dθ
L(θ)=0׬
𝝅
2𝑒−2𝜃dθ = 0׬2
𝝅
𝑒−𝜃dθ = - 2 𝑒−𝜃 θ de 0 a 𝝅
L(θ)= - 2 (𝑒−𝝅 - 𝑒−0)= - 2 (𝑒−𝝅 - 1)
L(θ) = 2 (1 - 𝑒−𝝅) Resp.: B
L(θ)=׬θ0
θ
1 [f’(θ)]2 + [f(θ)]2dθ=
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Exercício 5 - Qual é a área da figura definida pela equação 
ρ=3-senθ para o intervalo 0<θ<π?
a)
19π
4
+4
b)
π
4
- 1 
c)
9π
4
+ 5 
d)
9π
4
- 6
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Solução 5 ρ=3-senθ 
f(θ)= ρ = 3-senθ f(θ)2= (3-senθ)2 = 9 + sen2θ - 6senθ
A = ׬
0
𝝅 1
2
(9 + sen2θ − 6senθ)dθ=
A1 ׬ =
0
𝝅 1
2
9dθ = 
9
2
θ = 
9
2
(𝝅 − 0) = 
9
2
𝝅
A2 ׬ =
0
𝝅
−
1
2
6senθdθ = 3 cos θ = 3(cos𝝅 –cos 0) = 3[-1 - (1)] = -6
A3 ׬ =
0
𝝅 1
2
sen2θdθ = 1
2
׬
0
𝝅
sen2θdθ = 1
2
׬
0
𝝅
(
1
2
−
1
2
cos2θ)dθ
A3 = 
1
4
׬
0
𝝅
dθ −
1
4
׬
0
𝝅
cos2θ)dθ = 
1
4
θ -
1
4
* 
1
2
(sen2θ) 
A=׬θ0
θ1 1
2
(f(θ))2dθ
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Solução 5 - Continuação
A3 = 
1
4
θ -
1
4
* 
1
2
(sen2θ)
A3 = 
1
4
(𝝅 − 0) -
1
8
(sen2 𝝅 – sen 0)
A3 =
𝝅
4
- 0
A = 
9𝝅
2
-6 + 
𝝅
4
= 19𝝅
4
- 6 Resp.: D
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CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
Exercício 6 - O comprimento da curva definida pela equação polar 
ρ=θ entre os pontos θ=0 e θ=2π vale:
a) 2π 4π2+1 - ln(2π+ 4π2+1) 
b) π 4π2+1 + ln(2π+ 4π2+1) 
c) π 4π2+1 + 
1
2
ln(2π+ 4π2+1) 
d) 2π 4π2+1 -
1
2
ln(2π+ 4π2+1) 
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L(θ)=׬
θ0
θ
1 [f’(θ)]2 + [f(θ)]2dθ=
Solução 6 ρ=θ θ=0 e θ=2π 
f(θ) = ρ = θ f’(θ) = 1 
[f’(θ)]2 + [f(θ)]2 = (1 + θ2)dθ
L(θ)=׬θ0
θ1 1 + θ2dθ=
Vamos fazer substituição de variável: θ = tg α
θ2 = tg2 α
dθ = sec2 αdα
(1 + θ2) = (1 + tg2 α) = sec2 α
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(1 + θ2) = sec2 α = sec α
L(θ)=׬θ
0
θ
1 1 + θ2dθ=׬α
0
α
1sec α sec2 αdα =
L(θ)=׬α0
α
1 sec3 αdα
Para θ=0 tgα = 0 α = 0
Para θ=2𝝅 tgα = 2 𝝅 α = arctg 2 𝝅
Solução 6 - Continuação 
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L(α)=׬
0
𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔2𝝅 sec3 α dα =
L(α)= 
1
2
sec α tg α + 
1
2
ln|sec α + tg α|
1 + tg2 α= sec2 α
se tg α = 0 sec α = 1
tg α = 2𝝅 sec α = 1 + 4𝝅2
L(α) =
1
2
sec α tg α + 
1
2
ln|sec α + tg α| − (
1
2
sec 0 tg 0 +
1
2
ln|sec 0 + tg 0|
Solução 6 - Continuação 
0 1 0 
0
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L(α) =
1
2
sec α tg α + 
1
2
ln|sec α + tg α|
L(α) = 
1
2
1 + 4𝝅2 2𝝅 + 
1
2
ln| 1 + 4𝝅2 + 2𝝅 |
L(α) = 𝝅 1 + 4𝝅2 + 
1
2
ln|2𝝅+ 1 + 4𝝅2 |
Solução 6 - Continuação 
tg α = 2𝝅 sec α = 1 + 4𝝅2
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Recordando:
(1 + tg2 α) = sec2 α
sen2 α + cos2 α = 1 dividindo por cos2 α
sen2 α
cos2 α
+ 
cos2 α
cos2 α
=
1
cos2 α
=
tg2 α + 1 = sec2 α
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Verificando Aprendizado Módulo 4
1 - Considere a curva com trajetória elíptica definida pela equação
4x2+y2=1. Assinale a alternativa que apresenta a equação polar
para essa curva.
a) ρ=
1
1+3𝑐𝑜𝑠2θ
b) ρ=
1
1+𝑐𝑜𝑠2θ
c) ρ=
1
1+3𝑠𝑒𝑛θ
d) ρ=
1
1+3𝑠𝑒𝑛2θ
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Solução 1 4x2+y2=1
x = 𝝆 cosθ
y = 𝝆 cosθ
4𝝆2cos2θ + 𝝆2sen2θ =1
4𝝆2cos2 θ + 𝝆2(1- cos2θ) =1
4𝝆2cos2 θ + 𝝆2 - 𝝆2 cos2θ) =1
𝝆2 (3 cos2 θ + 1) =1
𝝆2 = 
1
3 cos2 θ + 1
𝝆 = 
1
3 cos2 θ + 1
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2 - Assinale a alternativa que apresenta o comprimento da curva 
definida pela equação polar ρ=sec θ entre os pontos θ=0 e θ=π/6.
a) 3
b)
3
3
c)
2
3
d) 1
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Solução 2 - ρ=sec θ
ρ=sec θ ρ’=secθtgθ
f’(θ)2 + f(θ)2 = sec2θtg2θ + sec2θ = sec2θ (tg2θ + 1)
como tg2 θ + 1 = sec2 θ
f’(θ)2 + f(θ)2 = sec2θ sec2 θ = sec4θ
L(θ) =׬
0
𝝅/6
sec2θ = tg θ
L(θ) = tg π/6 – tg 0
L(θ) =
3
3
Resp.: B
L(θ)=׬θ
0
θ1 [f’(θ)]2 + [f(θ)]2dθ
"Fazer da educação a nossa identidade"
OBRIGADA !