Exercícios

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Questão 1
Correto
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Texto da questão
Considere que um sistema físico formado por um sistema oscilatório que pode ser um pêndulo simples, um oscilador harmônico simples, ou qualquer outro tipo de oscilação que apresente como equação de movimento uma equação diferencial linear de segunda ordem. Nesse contexto, marque a alternativa correta com respeito a solução das equações diferenciais desse tipo.
a.
As soluções dessas equações sempre serão da forma de uma função quadrática.
b.
A solução pode ser dada por funções cíclicas. Essas são aquelas funções que suas derivadas correspondem a função original ou múltiplos delas.
c.
Serão sempre formadas por funções não lineares.
d.
Equações de movimento para esses sistemas apresentam sempre derivadas de ordens superiores.
e.
São obtidas pelo método das séries de Frobenius.
Questão 2
Correto
Vale 1,00 ponto(s).
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Texto da questão
Considere que um sistema físico que reproduza um fenômeno da natureza possa ser modelado a partir da segunda lei de Newton. Nesse contexto, sabe-se que tal lei é composta por um termo correspondente à aceleração do sistema, que é causada pela ação de uma força resultante. Em resumo, o modelo é escrito por meio da seguinte equação diferencial:
Nesse contexto, f é a função a ser estudada, t é o tempo, m a massa, ω é a velocidade angular do sistema e φ é a denominada constante de fase. Com base nessas informações, marque a alternativa correta em relação à classificação da referida equação diferencial exposta.
a.
A equação diferencial apresenta ordem unitária e uma equação exata.
b.
A equação diferencial é ordinária de segunda ordem no tempo.
c.
É uma equação exata não linear de segunda ordem no tempo.
d.
É um fator integrante de uma equação diferencial não linear.
e.
É uma equação de derivadas de terceira ordem.
Questão 3
Incorreto
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Texto da questão
A ordem de uma equação diferencial é dada com base no grau de sua derivada mais alta. Nesse contexto, existem várias teorias na natureza que utilizam equações diferenciais de ordem superior. Uma delas são as denominadas teorias de ordem superior, no contexto da gravitação. Baseado nas técnicas de solução para esses tipos de equação marque a alternativa correta.
a.
São sempre dadas em termos de polinômios cujo grau corresponde ao grau das derivadas envolvidas.
b.
As técnicas envolvidas para resolver esses tipos de equações são as mesmas para o caso de equações diferenciais de segunda ordem, apenas com modificações para ordem mais altas.  
c.
São funções não lineares e não cíclicas.
d.
Só podem serem resolvidas de foram numérica através de computadores.
e.
São sempre representadas por termos envolvendo uma força de resistência.
Questão 4
Correto
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Texto da questão
Conhecida como Modelo de Verhulst, a equação logística é modelo utilizado para compreender o crescimento da população de uma espécie qualquer. Em 1838, o matemático Pierre Verhult a apresentou como:
Em que r indica a taxa máxima de crescimento da população, N(t) representa o total da população em função do tempo e K corresponde a capacidade de carga.
Considerando a classificação desta equação diferencial quanto à sua ordem, assinale a alternativa correta.
a.
A Equação Diferencial Ordinária (EDO) é de 1ª ordem, pois não há derivada em sua composição.
b.
A Equação Diferencial Ordinária (EDO) é de 1ª ordem, pois o grau da sua maior derivada é um.
c.
A Equação Diferencial Ordinária (EDO) é de 2ª ordem, pois o grau da sua maior derivada é dois.
d.
A Equação Diferencial Ordinária (EDO) é de 2ª ordem, pois há uma derivada para cada variável.
e.
A Equação Diferencial Ordinária (EDO) é de 3ª ordem, pois há três derivadas em sua composição.
Questão 5
Incorreto
Vale 1,00 ponto(s).
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Texto da questão
Toda equação que composta por derivada(s) de uma função desconhecida recebe o nome de Equação Diferencial. Existem diferentes tipos de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO), entre estas, a chamada Equação Diferencial Exata. 
Neste contexto e considerando a EDO  é possível afirmar que: 
a. 
b.
c.
d.
e.
Questão 6
Correto
Vale 1,00 ponto(s).
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Texto da questão
Ao ser deslocada de sua posição de equilíbrio, uma mola exerce uma força elástica de restauração que tende a fazer o corpo retornar à posição de equilíbrio. Essa força recebe o nome de força restauradora, e é contrária à força praticada ao corpo, além disso sua intensidade é proporcional à deformação, ou seja,  F = -k∙y.
O sistema massa-mola citado no excerto acima se baseia em qual princípio?
a.
Primeira Lei de Newton, pois a taxa de variação da velocidade é a aceleração.
b.
Primeira Lei de Newton, pois um corpo quando em repouso tende a ficar em repouso.
c.
Segunda Lei de Newton, pois a velocidade é dada pela derivada da função posição.
d.
Segunda Lei de Newton, pois a força é obtida pelo produto entre massa e aceleração.
e.
Terceira Lei de Newton, pois a aceleração da gravidade é obtida pela derivada segunda da aceleração.
Questão 7
Correto
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Texto da questão
Um pêndulo é descrito por um sistema no qual uma massa é suspensa em um fio que, por sua vez, é acoplado a um ponto fixo de determinada superfície, possibilitando a movimentação livre da massa à mercê das leis da gravidade. Para descrever o movimento de um pêndulo simples se utiliza a seguinte EDO linear de segunda ordem.
A partir desta se torna possível concluir que há:
a.
variação da aceleração da gravidade.
b.
variação do ângulo conforme o tempo.
c.
variação da massa perante o peso.
d.
variação do tempo de acordo com a massa.
e.
variação do comprimento em relação a gravidade.
Questão 8
Incorreto
Vale 1,00 ponto(s).
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Texto da questão
Imagine que um sistema envolvendo física de partículas possa ser descrito como oscilações mecânicas. Em outras palavras isso quer dizer que a equação de movimento para esse modelo pode ser, por exemplo, modelada com a seguinte equação:
Sendo A uma constante, f a função utilizada para determinar a posição do sistema em um instante t. Nessas condições, marque a alternativa correta sobre a solução da equação diferencial dada.
a.
b.
c.
d.
e.
Questão 9
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
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Texto da questão
Um sistema oscilante mecânico é acoplado a uma massa "M' na extremidade de uma mola e fixado na outra extremidade Quando esta mola for esticada por alguma força, se essa força é retirada bruscamente a massa começará a oscilar e caso ocorra em uma superfície horizontal "perfeitamente plana" este sistema que manterá uma amplitude constante indefinidamente é chamado:
a.
Primeira Lei de Newton.
b.
Segunda Lei de Newton.
c.
oscilador harmônico simples.
d.
oscilador harmônico forçado.
e.
oscilador harmônico amortecido.
Questão 10
Incorreto
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Texto da questão
Uma série de potências centrada em  apresenta o seguinte formato:
A partir do resultado deste somatório, é possível concluir que:
a.
se o somatório tiver como resultado um número positivo, a série é convergentes, caso seja um valor negativo, a série é divergente.
b.
se o somatório tiver como resultado um número negativo, a série é convergentes, caso seja um valor positivo, a série é divergente.
c.
caso o resultado do somatório seja uma potência de base dois, a série é divergente, caso contrário, a série é admitida como convergente.
d.
caso o somatório seja um valor numérico para determinado x, a série é emneste ponto.
e.
se o total do somatório for um valor numérico para determinado x, a série é divergente neste ponto x. Já se o resultado for  a série é convergente neste ponto.
Questão 11
Correto
Vale 1,00 ponto(s).
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Texto da questão
Uma importante aplicação das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem é a que recebe o nome de Lei do Resfriamento de Newton e é representada por:
Nesse modelo, é considerada a variação de temperatura em um corpo por perda de calor para o meio ambiente,em que se conclui que:
a.
a taxa de variação do calor é diretamente proporcional à junção entre a temperatura do objeto e do meio.
b.
a taxa de variação do calor é indiretamente proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o meio.
c.
a taxa de variação do corpo é diretamente proporcional ao quadrado da diferença de calor entre o objeto e o meio.
d.
a taxa de variação da temperatura é diretamente proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o meio.
e.
a taxa de variação da temperatura é indiretamente proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o meio.
Questão 12
Incorreto
Vale 1,00 ponto(s).
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Texto da questão
Observe a seguinte expressão algébrica:
Esta recebe o nome de Série de Taylor da função f em  e possui a capacidade de transformar uma função em uma série de potências.
A partir deste contexto e admitindo a função  em torno de , assinale a alternativa correta.
a.
b.
c.
d.
e.
Questão 13
Correto
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Texto da questão
Entre todas as classificações de tipos de equações diferenciais se destacam especificamente as equações de segunda ordem. O grande sucesso sobre essas equações está no fato da sua ocorrência em sistemas físicos reais. Em outras palavras isso quer dizer que no processo de modelagem de situações reais são obtidas, na maioria dos casos, equações diferenciais deste tipo. Nessas condições e nesse contexto, marque a alternativa correta em relação as equações diferenciais lineares de segunda ordem.
a.
São aquelas equações cujas soluções são funções de segundo grau.
b. A segunda lei de Newton é um dos exemplos de equações diferenciais lineares de segunda ordem.
c.
Não apresentam muitos casos práticos de aplicações.
d.
São equações de derivadas parciais no tempo.
e.
Misturam componentes de acelerações e velocidades em todas os casos.
Questão 14
Incorreto
Vale 1,00 ponto(s).
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Texto da questão
Sabe-se que as equações diferenciais representam uma das áreas da matemática e do cálculo diferencial mais interessante que existe. Todo o seu sucesso está atribuído a suas inúmeras aplicações envolvendo várias áreas do conhecimento. Por meio das equações diferenciais, é possível modelar qualquer sistema ou situação que queiramos estudar. A partir dessas informações, marque a alternativa correta em relação à definição de equações diferenciais ordinárias.
a.
Funções que apresentam em seu argumento derivadas de terceira ordem ou mais.
b.
Equações diferenciais são aquelas em que as variáveis a serem determinadas são funções e não números.
c.
Essas equações são sempre utilizadas para tratar variáveis que são números.
d.
São funções compostas e inversas combinadas, formando o que damos o nome de equações parciais.
e.
Envolvem funções de várias variáveis e derivadas de várias ordem, inclusive derivadas parciais.
Questão 15
Incorreto
Vale 1,00 ponto(s).
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Texto da questão
Considere uma situação em que um modelo simples e básico possa servir inicialmente para o estudo da dissipação do vírus COVID-19 na população mundial. Nesse modelo rudimentar, muitas informações relevantes não foram levadas em consideração, mas é um bom modelo para mostrar aos alunos da disciplina de equações diferenciais a importância e a aplicabilidade das equações. O modelo então é composto pela seguinte lei:
a.
b.
c.
d.
e.
Questão 16
Incorreto
Vale 1,00 ponto(s).
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Texto da questão
Os problemas de valores iniciais são a junção das equações diferenciais com as condições iniciais referidas ao tipo de problema de problema. Isso quer dizer que se a equação de segunda ordem necessita de duas condições iniciais para serem resolvidas, as equações de terceiro grau, necessita de três condições iniciais e assim sucessivamente. Baseado nessas informações, marque a alternativa correta.
a.
As soluções utilizando condições iniciais sempre são da forma polinomial.
b.
As condições iniciais são utilizadas para determinar a solução de forma única auxiliando assim na determinação das constantes envolvidas.
c.
As soluções dos problemas de valores inicias são sempre formadas por funções não lineares somadas com funções contínuas.
d.
Os problemas de valores iniciais não apresentam interpretações físicas e gráficas são apenas artifícios matemáticos.
e.
Problemas de valores iniciais geram soluções na forma de série de potência.
Questão 17
Incorreto
Vale 1,00 ponto(s).
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Texto da questão
A solução de uma equação ordinária pelo método de Série de Potencias se diferencia pela classificação do ponto como ordinário ou singular. Assim, considerando a Equação Dfiderencial e Ordinária (EDO):
Para x=0, pode-se afirmar que ela tem um ponto:
a.
singular, pois  
b.
singular, pois 
c.
ordinário, pois 
d.
ordinário, pois 
e.
ordinário, pois 
Questão 18
Incorreto
Vale 1,00 ponto(s).
Marcar questão
Texto da questão
Imagine que um sistema envolvendo física de partículas possa ser descrito como oscilações mecânicas. Em outras palavras isso quer dizer que a equação de movimento para esse modelo pode ser, por exemplo, modelada com a seguinte equação:
Sendo f a função utilizada para determinar a posição do sistema em um instante t. Nessas condições, marque a alternativa correta sobre a solução da equação diferencial dada.
a.
b.
c.
d.
e.