Aula_multivariavel_4

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 1
Controle de Sistemas Multivariáveis 
Realimentação de Estados 
• Seja um sistema multivariável com l entradas e n saídas expresso 
pelo seguinte modelo de estados: 
)()()(
)()()(
ttt
ttt
nxlnxm
mxlmxm
uDxCy
uBxAx
+=
+=• 
• Supondo que todos os m estados sejam acessíveis, a entrada do 
sistema pode ser tomada como uma função dos estados do sistema 
(lei de controle): 
)]([)( tft xu = 
• Em geral, a lei de controle é especificada como uma função linear 
dos estados )()( tt Kxru −= , onde K é uma matriz lxm de ganhos 
constantes, ou seja, o sinal de realimentação é a soma ponderada de 
todos os estados do sistema: 
)()()()(
)()()()(
)()()()(
2211
222212122
121211111
txKtxKtxKrtu
txKtxKtxKrtu
txKtxKtxKrtu
mlmllll
mm
mm
−−−−=
−−−−=
−−−−=
K
M
K
K
 
• Sistema em malha fechada 
 
[ ] BrxABrxBKAKxrBAxx +=+−=−+=• )()()]([)()( ttttt f 
 
onde Af=A-BK e a equação característica do sistema de malha 
fechada é dada por: 
0=+−=− BKAIAI ss f 
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 2
• Controlabilidade: 
o Um estado x de um sistema dinâmico é dito ser controlável se, 
para qualquer estado inicial x(0) =x0, existe uma entrada u(t) que 
produza um estado final x(t1)=x1 em um tempo finito t1. 
 
o O conceito de controlabilidade descreve como as entradas do 
sistema influenciam os estados de um sistema dinâmico. Uma 
variável de estado é incontrolável se for independente da entrada 
u(t), de forma que não é possível afetá-la por meio dos esforços 
de controle. Como exemplo: 
 




+




−
−=



•
•
2
1
2
1
2
1
00
11
20
01
u
u
x
x
x
x 
 
onde percebe-se que é impossível afetar x2 a partir da entrada u. 
 
o Um sistema é dito ser controlável se todos os seus estados são 
controláveis. Um sistema é controlável se e somente se a sua 
matriz de controlabilidade, definida como: 
 [ ]BABAABBBA, 12)( −= mKS 
 
tem posto (“rank”) completo. 
 
o Se o par [A,B] é completamente controlável, existe uma matriz 
K através da qual é possível estabelecer arbitrariamente a 
posição dos autovalores da matriz do sistema de malha fechada 
BKAA −=f . 
ƒ Se um ou mais estados são incontroláveis, os autovalores 
associados a estes estados também são incontroláveis e não 
podem ser alocados arbitrariamente. 
ƒ Se for possível estabilizar sistema através da realimentação 
de estados, este sistema é dito estabilizável. 
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 3
• Projeto por alocação de pólos 
 
o O procedimento de projeto por alocação de pólos resulta em 
uma matriz de ganhos K tal que os seus elementos podem ser 
calculados a partir da seguinte equação: 
 ( )( ) ( )mssss λλλ +++=+− K21BKAI 
 
onde -λ1, -λ2,... e -λm correspondem as posições das raízes da 
equação característica (autovalores do sistema) requeridas pelas 
especificações de projeto. 
 
o A realimentação de estados conduz a compensadores com banda 
passante infinita, quando se sabe que componentes reais e 
compensadores sempre apresentam uma banda passante finita. 
 
ƒ A principio, as magnitudes das partes reais dos autovalores 
podem ser feitas arbitrariamente grandes, tornando a 
resposta do sistema realimentado arbitrariamente rápida. 
Entretanto, isto implica em maiores ganhos e, 
conseqüentemente, em sinais de maiores magnitudes, o que 
pode levar o sistema real para uma região de operação não 
linear. 
 
o A lei de controle designada para o procedimento de alocação de 
pólos requer que todos os estados da planta sejam medidos e 
realimentados. Entretanto, muitas vezes não é possível (ou 
pratico) medir todos os estados da planta, uma vez que na 
realidade somente alguns estados (ou combinação destes) são 
acessíveis como saídas, o que inviabiliza a realimentação de 
estados nestes casos. 
 
 
 
 
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Reconstrução de Estados (Observadores) 
 
• Considerando que o vetor de estados não está totalmente disponível 
para medida (mas somente a saída y), e que qualquer compensador 
prático deve depender somente das entradas e saídas do sistema, a 
solução do problema para a realimentação de estados consiste em 
estimar ou reconstruir os estados a partir das informações do modelo, 
da entrada u e da saída y. 
• Considerando que as matrizes A e B do modelo de estados sejam 
conhecidas, uma estimativa xˆ dos estados x pode ser obtida, a 
principio, através da equação: 
BuxAx +=• ˆˆ 
o Sensibilidade à variação de parâmetros, distúrbios, ruído, etc. 
o Desconhecimento a priori do valor inicial do vetor de estados 
x(t) no instante to. 
Visando melhorar a qualidade da estimativa do vetor de estados, 
acelerar a convergência e reduzir a sensibilidade paramétrica, o termo 
de correção y-Cx-Du pode ser adicionado à estrutura (observador): 
( )DuxCyLBuxAx −−++=• ˆˆˆ 
onde a matriz Lnxp estabelece a dinâmica de convergência da 
estimativa do vetor de estados. 
 
• Estrutura do observador de estados: 
 
 
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 5
• Observabilidade: 
 
o Um estado x é dito ser observável se, para qualquer tempo finito 
t1 > 0, um estado inicial x(0) = x0 pode determinado a partir do 
histórico de u(t) e y(t) no intervalo [0, t1] . Um sistema é dito ser 
observável se todos seus estados são observáveis. 
 
o O conceito de observabilidade descreve como os estados de um 
sistema dinâmico são detectados pela saída do sistema. Uma 
variável de estado é dita se não observável se a saída y(t) do 
sistema não é influenciada de algum modo por esta variável, de 
forma que não é possível estimá-la a partir das informações 
obtidas na entrada u(t) e na saída y(t) do sistema. 
 
o Um sistema é dito ser observável se todos os seus estados são 
observáveis. O sistema é observável se e somente se a matriz de 
observabilidade, definida como: 
 










=
−1
2),(
mCA
CA
CA
C
CA
M
O
 
tem posto (“rank”) completo. 
 
o Se uma representação em espaço de estados é simultaneamente 
controlável e observável, ela é dita ser a realização mínima do 
sistema, não existindo outra representação com um vetor de 
estados de dimensão menor de que realiza a mesma relação 
entrada e saída. 
 
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 6
• Erro de estimação 
o Uma vez que o propósito do observador é obter um vetor de 
estados estimado o mais próximo possível ao vetor de estados 
verdadeiro, pode-se definir o erro estimado como: 
xxe ˆ−= 
o Assim, a dinâmica do erro de estimação será dada por: 
eA
LC)e(A)xLC(x)xA(x
)xCL(yBuxABuAxxxe
obs=
=−=−−−=
=−−−−+=−=
ˆˆ
ˆˆ&ˆ&&
 
ƒ Considerando que a equação característica do erro é dada 
por: 
0=+−=− LCAIAI ss obs 
o erro de estimação do observador irá convergir para zero 
em um tempo finito se a matriz Aobs=A-LC for estável 
(autovalores com parte real negativa). 
 
• Projeto por alocação de pólos 
o O projeto da matriz de ganhos L do observador pode ser 
realizado de forma similar ao procedimento de alocação de 
pólos, visando garantir a convergência dos estados observados e 
minimizar a sensibilidade às variações paramétricas. 
o Em geral, a matriz L é projetada de forma que a dinâmica do 
observador seja mais rápida que a do sistema realimentado (2 ou 
4 vezes mais rápida). 
 
Características do sistema em malha fechada 
• Uma vez que geralmente nem todos os estados se encontram 
disponíveis, torna-se necessário empregar um observador de estados 
para realizar a realimentação de estados. Neste contexto, o projeto é 
dividido em dois passos: 
o Projeto da matriz de ganho de realimentação K através da 
alocação de pólos para estabelecer a dinâmica do sistema em 
malha fechada; 
o Projeto do observador para estimar as variáveis de estado. 
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 • Uma vez que o observador é inserido na malha fechada, é necessário 
considerar os efeitos de sua inclusão. 
o Uma vez que a planta e o observador possuem ordem m, o 
sistema resultante em malha fechada será de ordem 2m. 
o Sistema controlador-observador: 
( ) [ ] LBKLCAIKG
xKu
LyxBKLCAx 1)(
ˆ
ˆˆ −++−=⇒


−=
+−−=
ssec&
 
o Modelo de estados do sistema em malha fechada: 
ƒ Variáveis de estado: 
• Vetor de estado do sistema original x; 
• Vetor erro de estimação e. ( ) BKeBK)x(AexBKAxxBKAxBuAxx +−=−−=−=+= ˆ& 





−
−=


e
x
LCA0
BKBKA
e
x
&
&
 
 
ƒ Equação característica do sistema em malha fechada: 
0=+−+− LCAIBKAI ss 
o A adição do observador não desloca os autovalores 
estabelecidos no projeto do controlador. 
o O sistema resultante possui 2m raízes: 
ƒ m raízes alocadas no projeto do controlador; 
ƒ m raízes estabelecidas no projeto do observador. 
o Uma vez que a dinâmica do observador é 
normalmente projetada para ser mais rápida, os pólos 
determinados pelo controlador tendem a ser 
dominantes no sistema de malha fechada. 
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Observador de ordem reduzida 
• Considerando que usualmente as saídas medidas do sistema 
consistem nas próprias variáveis de estado, não é lógico estimar tais 
estados uma vez que a expectativa é que a medida direta sempre seja 
mais precisa que qualquer estimativa, excerto quando a medida é 
muito ruidosa (neste caso, o observador pode funcionar como um 
filtro para o ruído). 
• Para obter um observador de ordem reduzida, o sistema é 
particionado de forma a separar os estados medidos y dos estados a 
serem estimados x, obtendo-se: 
u
B
B
x
y
AA
AA
x
y


+



=


2
1
2221
1211
&
&
 
[ ]uByAxAx 22122 ++=& (estados estimados) 
xAuByAy 12111 =−−& (estados medidos) 
• Por analogia, se admitir a equação dos estados estimados como o 
novo modelo de estados e que a equação dos estados medidos como a 
nova saída, o observador de ordem reduzida será dado por: 
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] yLLBBuyLAAxLAA
xAuByAyLuByAxAx
&
&&
+−+−+−=
−−−+++=
1211211222
1211122122
ˆ
ˆˆˆ
 
• A eliminação da derivada do vetor y na equação do observador de 
ordem reduzida é muito interessante, uma vez que a derivada atua 
como um amplificador de ruídos de alta freqüência presentes na 
medição. Esta eliminação pode ser executada através de uma 
mudança de variável: 
yLxxLyxx &&& +=⇒+= ee ˆˆˆˆ 
resultando no observador de ordem reduzida: 
[ ] [ ] [ ]
Lyxx
uLBByLAALLALAxLAAx
e +=
−+−+−+−=
ˆˆ
ˆˆ 12112112221222 ee& 
 
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 9
Sistemas de controle ótimo baseados na realimentação de estados 
• Propriedades da realimentação 
 ( ) ( ) ( ) ( ) SdηrTdGKIηrGKIGKy 11 +−=++−+= −− 
( ) ( ) ( ) ( ) TηdrSηGKIGKdrGKIyrε 11 +−=++−+=−= −−
( )[ ] olcl HKGIH 1 ∆∆++=∆ − (sensibilidade às incertezas) 
 
• Controle ótimo: projeto de um compensador K de forma a satisfazer 
os seguintes requisitos básicos: 
o Estabilidade: O sistema nominal realimentado deve ser estável 
na presença de distúrbios; 
o Desempenho: Ajuste da referencia, insensibilidade a variações 
paramétricas, rejeição de ruídos e distúrbios; 
o Robustez: Os critérios de estabilidade e desempenho devem ser 
assegurados na presença de incertezas ∆ no modelo. 
 
• Essência do projeto de realimentação: 
o Minimizar S na banda de freqüências onde os distúrbios e/ou a 
referencia forem elevados (estabilidade e desempenho); 
o Minimizar T na banda de freqüências onde as incertezas são 
elevadas (robustez). 
• Problema da sensibilidade mista: Uma vez que S+T=I, o projeto 
consiste basicamente de um “jogo de interesse”, onde, em cada faixa 
de freqüências, uma função de transferência é privilegiada em 
detrimento da outra de acordo com a importância distúrbio/comando 
ou incertezas. 
• Evidentemente, o problema da sensibilidade mista pode ser 
formulado como um problema de otimização envolvendo as normas 
H2 e H∞. 
 
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 10
• Regulador Linear Quadrático (LQR) 
 
o Definição do problema LQR: 
ƒ Considerando que a realização da planta G(s) seja: 
uDwDxCy
uDwDxCz
uBwBAxx
21
12111
21
222 ++=
++=
++=&
 
onde x = vetor de estados; u = sinal de controle; w = vetor 
de ruídos; y = saídas medidas; z consiste em uma 
combinação linear entre x, y e u que define os objetivos de 
controle. 
 
Admitindo que uma matriz seja pequena se o traço for 
pequeno e que a lei de controle seja dada por: 
Kxu −= 
encontrar para a planta G(s) uma matriz de realimentação 
de estados K(s) que minimize a função custo: 
 
[ ] [ ]( ) [ ]( )∫∫ ∞∞ =+= 00 ωω dTrdTrTrJ HHH SWTTTSSWW 
 
onde W é uma função de pesos. 
 
ƒ No domínio do tempo, este problema de otimização pode 
ser convertido para encontrar uma matriz K(s) que 
minimize a função custo: 
 
( ) 

 += ∫∞→ T dtTEJ TTT 01lim RuuQzz 
 
onde Q e R são as matrizes de peso, normalmente 
escolhidas como semidefinidas positivas: 
0e0 ≥=≥= TT RRQQ 
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 11
o Solução do problema LQR (pelo 2o método de Lyapunov) 
• Considerando: 
FFRKxu T=−= e 
e admitindo que D11 e D12 são nulas, o índice J será dado 
por 
( ) ( )∫∫ ∞∞ +=+= 00 1111 dtdtJ TTTTTTTTT xFKFKQCCxFKxFKxxQCCx 
utilizando o 2º método de Lyapunov: 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]xBKAPPBKAxxPxxFKFKQCCx −+−−=−=+ ccTTcTTTTT dtd11
 
 isto implica que 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) 0111
11
11
=+−
−

 −

 −++=
=−+−++
−
−−
QCCPBFFBP
PBFFKPBFFKAPPA
BKAPPBKAFKFKQCC
T
c
TT
c
c
TT
T
c
TT
cc
T
cc
TTTT
 
 
e a minimização de J com relação a K requer que: 
( ) ( ) ( )
c
T
c
T
c
TT
T
c
TT
PBRK
PBFFKPBFFKPBFFK
2
1
2
1
2
1
2
1
00
−
−−−
=
=′−⇒=

 −

 −
 
 
onde Pc=PcT≥0 deve ser a única solução positiva 
semidefinida que satisfaz a equação matricial (conhecida 
como equação de Riccati): 
 
0112
1
2 =+−+ − QCCPBRBPAPPA TcTcccT 
 
ƒ Embora a solução da equação de Riccati não seja trivial, 
ela pode ser obtida através de diversos algoritmos. 
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o Introdução de termos cruzados no projeto LQR 
ƒ Eventualmente, o problema do regulador LQR pode 
ser estendido para o caso onde termos com produtos 
cruzados são introduzidos na medida de desempenho 
quadrática, de forma que a função custo torna-se: 
 
















= ∫∞→ T dtEJ TTT 0lim uxRN NQux 
 
o que equivale a admitir os objetivos de controle são 
dados por: 
 
uDxCz 121 += 
 
ƒ Neste caso, a matriz de realimentação K que minimiza 
esta nova função custo é dada por: 
 ( )TcT NPBRK += − 21 
 
onde Pc=PcT≥0 deve ser a única solução positiva 
semidefinida que satisfaz a seguinte equação de 
Riccati: 
 
( ) ( ) 011212 =+++−+ − QCCNBPRNBPAPPA TTccccT 
 
ƒ Este problema pode surgir quando: 
• É necessário ponderar a potencia em um sistema; 
• Plantas não lineares; 
• Índices não são quadráticos. 
 
 
 
 
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o Aproximação LQR de Custo Garantido 
 
ƒ Para um sistema perturbado: 
 
)u∆(B)x∆(Ax BA +++= 2& 
 
o projeto do controlador LQR pode assegurar um nível 
de desempenho linear quadrático considerando todos 
os distúrbios admissíveis na planta, garantindo uma 
estabilidade robusta para o sistema de malha fechada 
(aproximação de custo garantido). 
 
• Idéia básica: encontrar um sinal de controle tal 
que o limite superior de um distúrbio 
independente seja minimizado na medida de 
desempenho dada por: 
 
( )



 += ∫∞0 dtEJ TT RuuQzz 
 
• Solução: 
xPBRKxu c
T
2
1−−=−= 
 
onde Pc satisfaz a equação de otimização de custo 
garantido: 
 
0)(112
1
2 =++−+ − cPUQCCPBRBPAPPA TcTcccT 
 
ƒ A equação de otimização de custo garantido se adapta 
a diferentes situações, dependendo em particular da 
seleção da função U(Pc), que por sua vez, depende da 
natureza do distúrbio ∆A. 
ƒ Na prática, a tarefa de encontrar a função U(Pc) é 
muito complicada. 
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 14
 
 
 
 
 [ ]xKBAx 2−=& 
 
o Propriedades do regulador LQR 
 
ƒ O regulador LQR sempre é assintoticamente estável, uma 
vez que os autovalores da matriz [A-B2K] sempre estão 
alocados no semiplano aberto esquerdo. 
 
ƒ Variações de fase de até 60o podem ser toleradas 
simultaneamente em cada entrada (margem de fase de pelo 
menos 60o). 
 
ƒ O ganho pode ser aumentado indefinidamente semperda 
de estabilidade (margem de ganho infinita). 
 
 
ƒ O regulador LQR apresenta robustez contra qualquer 
incerteza multiplicativa não estruturada ∆ tal que: 
( )( )
2
1≤∆ ωσ j 
 
 
 
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 15
• Filtro de Kalman 
o Considerando que nem todos estados da planta G(s) estejam 
disponíveis, o sinal de medição seja corrompido por ruídos e 
que A e C2 formam um par completamente observável, a 
estrutura de um observador de estados é dada por: 
uDxCy
y)yL(uBAxx
2
2
22ˆ
ˆˆ
+=
−++=&
 
 
onde o erro de estimação é dado por: 
[ ] x)x(Ax)x(LCA
x)x(LCxxAy)yL(xxAxx
2
2
−=−−=
=−+−=−+−=−
ˆˆ
ˆ)ˆ(ˆ)ˆ()ˆ(
obs
dt
d
 
o Se Aobs é uma matriz estável, o erro de estimação tende 
assintoticamente a zero, mesmo que )0()0(ˆ xx ≠ . O projeto do 
observador pode ser feito visando obter uma estimativa ótima 
dos estados no sentido que { }x)x(x)x( −− ˆˆ TE seja minimizada. 
Neste caso, a solução é dada por 
1
2
−= VCPL Tf 
sendo que Pf = PfT≥0 é a única solução semidefinida positiva que 
satisfaz a seguinte equação de Riccati: 
0112
1
2 =+−+ − TfTffTf WBBPCVCPAPAP 
onde V e W são matrizes de peso, geralmente escolhidas como 
as matrizes de covariância do ruído de medição e do ruído de 
estados, respectivamente. 
o Este observador ótimo é denominado filtro de Kalman, e a sua 
solução é dual a solução do LQR (basta trocar na equação de 
Riccati A→AT, B2→C2T, R→V e C1TQ C1 → B1WB1T). Desta 
forma, o mesmo algoritmo para obtenção do compensador K 
pode ser utilizado para a obtenção do ganho do observador L. 
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 16
• Regulador Linear Gaussiano (LQG) 
o O Regulador Linear Gaussiano (LQG) consiste na combinação 
do regulador LQR com o filtro de Kalman. Neste contexto, o 
resultado ótimo é obtido utilizando a estimativa ótima xˆ do 
filtro de Kalman como a medida exata dos estados x para o 
regulador ótimo LQR, reduzindo o problema LQG em dois 
problemas distintos: 
ƒ Subproblema do regulador (LQR) 
ƒ Subproblema da estimativa de estados (filtro de Kalman). 
o Os autovalores da planta compensada consistem na união dos 
autovalores alocados pelo regulador LQR e dos autovalores do 
filtro de Kalman, resultando em um esquema total internamente 
estável sob todas as condições declaradas. 
o Estrutura do compensador LQG 
 
o Embora tanto o regulador LQR quanto o filtro de Kalman 
apresentem boas propriedades de robustez e desempenho, o 
compensador LQG resultante pode exibir uma margem de 
estabilidade relativamente pobre, uma vez que seria desejável 
que a razão de retorno do LQR não fosse alterada com a 
inclusão do filtro de Kalman: 
ƒ Razão de retorno ideal (ponto 2): [ ] 21 BΦKGK −= 
onde [ ] 1−−= AsIΦ 
ƒ Razão de retorno real (ponto 1): 
[ ] 2BΦ2C1LΨ2CILΨK1GK −+−=  
onde [ ] 1−+−= KBAsIΨ 2 
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 17
• Recuperação das propriedades de malha (LTR) 
o Felizmente, é possível forçar a razão de retorno no ponto 1 a ser 
aproximadamente igual a razão de retorno no ponto 2 através do 
projeto do filtro de Kalman. Fazendo B1=B2, Σ=I e 
W=Wo+qΣ, é possível provar que : 
 [ ] [ ]2GKGK =∞→ 1limq 
 
o Procedimento LTR 
1. Escolher as matrizes de peso Q e R e encontrar o ganho K 
do LQR; 
2. Especificar a matriz de peso W do filtro de Kalman como 
uma estimativa da covariância do ruído; 
3. Selecionar um parâmetro q pequeno e calcular W; 
4. Sintetizar o ganho do filtro de Kalman L; 
5. Verificar, através dos valores singulares, se houve a 
recuperação da função de transferência do LQR; 
6. Se a recuperação não foi verificada, aumentar o parâmetro 
q e repetir todo procedimento a partir do passo 4. 
 
o Se o parâmetro q for maior que o necessário, existe a tendência 
que os ganhos altas freqüências caiam a somente 20 dB/dec. 
 
o O procedimento LTR simplifica o projeto do compensador 
LQG, uma vez que reduz o número de matrizes a ser 
especificado de forma independente: 
ƒ Os requisitos de desempenho podem ser concentrados na 
manipulação de Q e R do LQR e a recuperação das 
propriedades de malha é obtida através da sintonia do filtro 
de Kalman. 
ƒ Também é possível projetar o filtro de Kalman 
manipulando as matrizes de covariância W e V para obter 
os requisitos de desempenho, sintonizando o regulador 
LQR para a recuperação das propriedades de malha. 
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 18
• Introdução de integradores no projeto LQG 
o Um dos requisitos mais comuns em um sistema de controle é 
que o erro estacionário em regime permanente seja nulo para 
entradas em degrau, o que é garantido sempre com a introdução 
de uma ação integral ao controlador. A ação de controle integral 
é garantida sempre que houver um pólo na origem para cada 
elemento da matriz G(s)K(s). 
o Quando isso não ocorrer, tal efeito é obtido introduzindo 
integradores no sistema aumentando o modelo original da 
planta. 
ƒ Considerando o sistema: 
Cxy
BuAxx
=
+=& 
onde y é o vetor das variáveis que se deseja controlar 
ƒ Novos estados ε, definidos como: ( ) ( )∫ −=∫ −= dtdt rCxryε 
podem ser introduzidos na planta da seguinte forma: 





−+




∆=


r
u
I0
0B
ε
x
C
0A
ε
x
&
&
, onde a matriz ∆→0. 
ƒ Em regime permanente, ε=εs e x=xs. Então: 
( )suu0Bsεε s
xx
∆C
0A
ε
x
su0
B
sε
sx
∆C
0A
r
I
0 −

+


−
−


=

⇒

+




=


&
&
 
ƒ Admitindo a lei de controle como: 
sε2Kε2Ksx1Kx1Ksεε
sxx
2K1Ksuu +−+−=−
−−=− 





 
ƒ Os termos em regime permanente serão cancelados 
mutuamente (us=-K1us-K2εs), e uma ação integral é 
inserida no controlador: 
( )∫ −−−= dtry2Kx1Ku 
o Para obter o controlador LQG, a matriz ∆ não pode ser nula 
(ideal), uma vez que neste caso os novos estados não seriam 
controláveis. Um artifício utilizado para obter a ação integral, é 
adotar uma matriz ∆ tão pequena quanto possível. 
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 19
• Uso de pesos variáveis 
o O uso de pesos fixos restringe o projeto LQG somente a 
obtenção das propriedades de desempenho e robustez. O 
emprego de pesos variáveis aumenta a flexibilidade do projeto, 
habilitando-o para a realização de estruturas mais apropriadas às 
especificações de desempenho e estabilidade. 
o O uso de pesos variáveis implica na inclusão de variáveis 
fictícias de estado ao modelo nominal com o propósito de 
adicionar dinâmicas extras no sistema original (similar à 
inclusão de integradores). Como exemplo, considere o projeto 
de um regulador LQG para o seguinte sistema: 
[ ] ( ) 1e1
4,01
0
20
11
00
2
2
1
2
1
2
1
=+=

=


+




−=


R
s
Q
x
x
z
u
x
x
x
x
&
&
 
definindo uma variável de estado auxiliar x3 como: 
31313 21
2 xxxx
s
x −=⇒+= & 
o problema é convertido para a forma padrão da seguinte 
maneira: 
 
[ ] 11~,100~
0
0
20
102
011
000
3
2
1
3
2
1
3
2
1
==








=








+
















−
−=








ReQ
x
x
x
z
u
x
x
x
x
x
x
&
&
&
 
o Uma vez que a ordem do modelo aumenta com a inclusão de 
dinâmicas extras, o uso de pesos variáveis implica no aumento da 
complexidade do controlador. Considerando que os novos estados 
são fictícios, evidentemente não estarão disponíveis para medição 
direta, sendo necessário o uso do filtro de Kalman. 
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 20
• Formalização dos requisitos de controle 
o Uma grande parte dos esforços no projeto da matriz K tem como 
objetivo configurar o ganho de malha GK para para satisfazer os 
requisitos de estabilidade, desempenho e robustez, fazendo que as 
funções sensibilidade S=(I+GK)-1, sensibilidade complementar 
T=GK(I+GK)-1 e Gwu=-KS (que representa a função de 
transferência entre as entradas exógenas w e u) sejam pequenas. 
o Uma vez que é impossível minimizar simultaneamente todas as 
referidas funções, o “jogo de interesses” no qual uma função de 
transferência é privilegiada em detrimento das outras para uma 
determinada faixa pode ser formalizado pelaextensão do modelo 
nominal G: 
 
o Este sistema aumentado depende somente do modelo nominal G e 
das três matrizes de peso WS, WT e Wu, e apresenta dois tipos de 
saídas: 
ƒ Sinais de medição disponíveis: y=Gu+w 
ƒ Requisitos de controle: 








+
=








=
)(3
2
1
wGuW
GuW
uW
z
S
T
u
z
z
z
 
 
o Se o sinal de u corresponde à realimentação de y (u=-Ky) então a 
função de transferência de w para z será: 
w
SW
TW
GW
z








−
−
=
S
T
wuu
 
 
 
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 21
o Controlador ótimo H2 
o O modelo nominal G aumentado com os requisitos de controle 
pode ser escrito como: 























++=
++=
++=
⇔=
u2Dw1DxCy
u12Dw11Dx1Cz
u2Bw1BAxx
u
w
22G21G
12G11G
y
z
ee
ee
222
&
 
 
o O problema declarado pela teoria de controle ótimo H2 é encontrar 
um controlador K(s) próprio e real racional que estabilize 
internamente o sistema G(s), minimizando o critério: 
∫∞ ++= 







0
2
2)()(
2
2)()(
2
2)()(2
1 ωωωωωωωπ djwujujjTjjSJ GWTWSW 
que corresponde a minimizar a norma H2 da matriz de 
transferência de w para z do modelo estendido Ge, dada por: 
21G
1
K22GIK12G11GzwG eeee
−−+=  
o Assumindo que G e WS são funções estritamente próprias (no 
modelo de estados, D=0), a solução do problema H2 é dada por: 



−=
−++=
=
xP2Bu
x2Cy2CPBuxAxK
ˆ
)ˆ(ˆˆ
)(
c
T
T
fs
&
 
onde Pf e Pc correspondem a solução das seguintes equações de 
Riccati: 
01122 =+−+ TfTffTf BBPCCPAPAP 
01122 =+−+ CCPBBPAPPA TcTcccT 
o O problema do controlador LQG pode ser colocado na forma 
padrão do problema do controle ótimo H2, consistindo em um caso 
especial muito importante do controlador ótimo H2. 
 
 
 
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 22
• Controladores H∞ 
o Embora o projeto H2 apresente boas propriedades de robustez, 
essa condição pode ser melhorada com o projeto H∞. 
 
 
o Admitindo a presença de incertezas aditivas ∆ não estruturadas 
no sistema cuja única informação disponível é o limite superior 
de ganho r(s), dado por: ( )[ ] )(max ωωσ jrj <∆ para cada ω, 
ƒ O teorema dos pequenos ganhos assegura que a 
estabilidade do sistema é mantida na presença de todos 
distúrbios possíveis da planta se: 
( ) 11 <+= ∞−∞ GKI∆GK∆T 
ƒ Neste contexto, um objetivo plausível para o projeto de 
controle é encontrar um compensador K(s) que estabilize 
internamente o sistema e minimize ||GK(I-GK)-1||∞. 
 
 
 
o Problema proposto pela teoria de controle ótimo H∞: encontrar 
um compensador K(s) que estabilize internamente a planta G(s) 
e minimize ||Tzw||∞ do modelo expandido, onde Tzw representa a 
função de transferência entre z e w. 
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 23
o Caracterização do controlador H∞ 
ƒ Uma vez que a caracterização do controlador ótimo H∞ é 
mais difícil do que para o problema sub-ótimo, 
normalmente procura-se encontrar todos Ksub(s) 
admissíveis tais que ||Tzw||∞<γ. 
ƒ Considerando o sistema expandido dado por: 



++=
++=
++=
⇔



=


u2Dw1DxCy
u12Dw11Dx1Cz
u2Bw1BAxx
u
w
22G21G
12G11G
y
z
ee
ee
222
&
 
 
onde é admitido que D11=0 e D22=0 para simplificação das 
fórmulas, o controlador sub-ótimo H∞ é dado por: ( )


−=
−++==
∞
∞∞∞
xFu
xCyLZuBxAx
K 2
ˆ
ˆˆˆ
)( 2
&
ssub 
onde: 
( ) 12
2
2
−
∞∞
−
∞
∞∞∞∞
∞
−
∞
−=
==
+=
XYIZ
CYLXBF
XBBAA
2
11
γ
γ
TT
T
 
e as matrizes X∞ e Y∞ são as soluções das seguintes 
equações de Riccati: 
0BBYCCYAYYA
0CCXBBXAXXA
T
11
TT
1
T
1
TT
=+++
=+++
∞∞∞∞∞∞
∞∞∞∞∞∞ 
onde: 
TTT
TTT
CCCCCC
BBBBBB
2211
2
2211
2
−=
−=
−
∞∞
−
∞∞
γ
γ
 
 
 
 
 
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 24
o Condições para existência da solução para o problema sub-
ótimo H∞: 
ƒ X∞≥0, 
ƒ Y∞≥0, 
ƒ ρmax( X∞Y∞)<γ2. 
 
o Solução do problema do controlador ótimo H∞: 
ƒ Procedimento iterativo para encontrar o menor valor de γ 
que permita satisfazer de forma consistente as condições de 
existência da solução. 
 
o A aproximação para o problema H∞ tem paralelo com a teoria 
H2. Embora o controlador H∞ apresente certas similaridades com 
o controlador H2, existem algumas diferenças que refletem o 
fato do critério H∞ corresponder ao projeto para os piores sinais 
exógenos: 
ƒ O controlador H∞ é mais conservativo que o controlador 
H2. 
ƒ Uma diferença fundamental é que o controlador H∞ 
depende do distúrbio através de B1 enquanto que no 
análogo H2 o problema de estimação do sinal ótimo de 
controle é equivalente à estimativa dos estados. 
• O controlador H∞ pode ser escrito como: ( )
xFu
yxCLZuBwBxAx 221
ˆ
ˆˆˆˆ
∞
∞∞
−=
−+++= pior& 
onde: 
xXBw ˆˆ 1
2
∞
−= Tpior γ 
é a estimativa do pior caso de distúrbio no sentido de 
maximizar 22
22
2 wz γ− e Z∞L∞ corresponde à matriz 
de ganho ótimo para a estimação do sinal ótimo de 
controle na presença do distúrbio wpior. 
• A solução H∞ se aproxima da H2 quando γ→∞, ou 
seja, o distúrbio wpior=0 para no análogo H2. 
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 25
o Outras propriedades dos controladores H∞: 
ƒ Representando o sistema G na forma fatorada: 
INNMM
NMG
=−+−
= −
)()()()(
)()()( 1
ssss
sss
TT
 
um controlador H∞ estabilizará todos os sistemas descritos 
como: 
( ) ( )NM ∆N∆MG ++= −1 
desde que: 
[ ] γ
1<∞MN ∆∆ 
o que significa que 1/γ pode ser utilizado como uma medida 
da robustez do projeto (quanto menor γ, maior a robustez 
do sistema realimentado). 
ƒ A função de custo do controle ótimo H∞ permite passar 
todas as freqüências (filtro passa-tudo), isto é σmax(Tzw)=1 
para todo ω∈ℜ; 
ƒ A ordem de um controlador sub-ótimo H∞ é igual à ordem 
da planta (n estados). Um controlador H∞ ótimo pode ser 
calculado tendo pelo menos (n-1) estados; 
ƒ Em qualquer problema formulado como sensibilidade 
mista, o controlador H∞ cancela pólos estáveis da planta 
com seus zeros de transmissão e desloca qualquer pólo 
instável para a posição de sua imagem no eixo jω. 
ƒ O projeto de controle H∞ pode facilmente combinar várias 
especificações, tais como: 
• Atenuação de distúrbios; 
• Rastreamento; 
• Limitação da banda passante; 
• Estabilidade robusta; 
• Compromisso entre desempenho e esforços de 
controle, 
• Capacidade de estabilização frente a distúrbios não 
estruturados. 
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 26
• Seleção das Funções de Peso 
o O projeto de um controlador consiste basicamente na escolha do 
modelo nominal da planta e na seleção funções de peso 
(consideradas os parâmetros livres do projeto). 
o Considerando que, em diversas circunstâncias, as restrições 
podem ser formuladas naturalmente como problemas de 
minimização da norma H2 ou H∞, a manipulação de forma 
inteligente dos objetivos através das funções de peso é de suma 
importância para a obtenção de um projeto satisfatório para o 
controlador. 
o No caso do projeto de um controlador ótimo, a seleção dos 
pesos tem como objetivos estabelecer uma adequada limitação 
das faixas de freqüências do sistema, bem como proporcionar o 
escalamento das entradas e saídas do sistema. 
o A seleção das funções de peso do controlador deve refletir o que 
é razoável, evitando requisitos impossíveis e/ou contraditórios. 
o Devido à natureza específica do problema, a seleção das 
matrizes de peso é uma tarefa relativamente complexa, uma vez 
que não existem regras gerais para construí-las ou modificá-las. 
Embora não existam regras gerais para a seleção das funções de 
peso, algumas recomendações podem ser adotadas: 
ƒ Restringir a escolha dos pesos às funções racionais estáveis 
e de fase mínima; 
ƒ Uma vez que a ordem do controlador resultante é igual à 
ordem da planta nominal aumentada com os pesos, é 
desejável adotar funções de ordem pequena; 
ƒ Visando assegurar bom ajuste e boa rejeição de distúrbios, 
uma função passa-baixa deve ser utilizada para ponderar a 
função sensibilidade S(s); 
ƒ Uma função passa-alta deve ser usada para ponderar a 
função sensibilidade complementar T(s) visando limitar a 
largura de faixa da malha fechada;ƒ Utilizar peso nas entradas de todos atuadores do sistema a 
fim de evitar a saturação dos mesmos. 
 
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 27
• “Loop Shaping” 
 
o Abordagem de projeto “Loop Shaping”: Uma vez que o 
comportamento de malha fechada pode ser determinado 
manipulando os ganhos de malha aberta, os objetivos de malha 
fechada do sistema compensado podem ser especificados de 
acordo com os requerimentos dos valores singulares de malha 
aberta. 
o A princípio, a execução de um projeto “Loop Shaping” pode ser 
complicada devido à necessidade de assegurar também a 
estabilidade do sistema de malha fechada resultante. Entretanto, as 
metodologias H2/LQG ou H∞ oferecem uma possibilidade de 
simplificar este processo, uma vez que asseguram 
automaticamente os requerimentos de estabilidade e robustez do 
sistema em malha fechada. Assim, os esforços podem ser 
concentrados apenas na manipulação das funções de peso para se 
obter a adequada configuração dos valores singulares. 
ƒ A teoria H∞ fornece um procedimento confiável e direto para 
sintetizar um controlador que satisfaz de maneira ótima as 
especificações de “Loop Shaping” dos valores singulares. 
ƒ A síntese H2/LQG lida de forma menos direta, utilizando um 
procedimento iterativo. 
o Uma das dificuldades com o projeto “Loop Shaping” é que a 
seleção apropriada dos objetivos de malha fechada e pesos não é 
direta, e tende a ser específica para cada caso particular. Por outro 
lado, é possível especificar as funções de malha fechada sem 
considerar as propriedades da planta nominal, o que pode ser 
freqüentemente indesejável por resultar em controladores cujos 
zeros cancelam pólos estáveis da planta, o que é inaceitável 
quando existem modos levemente amortecidos. 
 
 
 
 
 
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 28
• Procedimento de projeto Loop Shaping: 
o Normalizar as entradas e saídas da planta com o propósito de 
melhorar o condicionamento numérico do projeto e simplificar a 
seleção de pesos. Procurar tornar G o mais diagonal possível; 
 
o Selecionar um pré-compensador W1 e/ou um pós-compensador 
W2 com o propósito de obter as propriedades desejadas de 
malha aberta especificadas no projeto: 
ƒ O pré-compensador W1 é selecionado para obter a forma 
básica do ganho de malha GW1 (confinamento dos valores 
singulares, inserção de integradores, inclinação na 
freqüência crítica de –20dB/dec, maiores inclinações para 
altas freqüências, etc). 
ƒ O pós-compensador W2 é selecionado visando ajustar a 
faixa de passagem e obter um melhor desacoplamento entre 
canais (diagonal dominância). 
o A planta nominal G e as funções de peso W1 e W2 são 
combinadas conforme a figura, formando a planta P= W2GW1. 
Assume-se que W1 e W2 são selecionados de maneira que P não 
contenha modos escondidos; 
 
o Sintetizar o controlador estabilizante Kc para a planta P. Se γ>4, 
a robustez do projeto não é tão expressiva, de forma que o pré-
compensador W1 deve ser modificado. 
 
o O controlador final é construído combinando o controlador Kc 
com as funções de peso W1 e W2, tal que K= W1KcW2. 
 
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 29
• Considerações Finais 
o Tanto a metodologia H2/LQG como a H∞ tem comprovado a sua 
utilidade em diversas aplicações devido ao fato que uma soma 
ponderada de termos é minimizada. As filosofias de projeto 
H2/LQG e H∞ constituem excelentes alternativas para o projeto 
de controladores para sistemas onde são importantes requisitos 
referentes à rejeição de distúrbios e à supressão de ruídos. 
Através de uma apropriada estratégia de projeto, estas 
metodologias de projeto também oferecem um bom grau de 
robustez para variações paramétricas e dinâmicas não 
modeladas inerentes ao sistema. 
o Dependendo da complexidade da planta ou da lei de controle, os 
projetos H2/LQG e H∞ podem resultar em controladores de 
ordem consideravelmente maior do que a necessária. Isto se 
deve a geração de variáveis de estados fictícias não observáveis 
ou não controláveis pelos algoritmos empregados para encontrar 
o controlador H2/LQG ou H∞. Entretanto, à luz das 
especificações nominais de projeto, é possível a simplificação 
do sistema de controle final com pouca alteração no 
desempenho do sistema através da aplicação de algoritmos 
confiáveis para a redução de modelos visando eliminar estados 
supérfluos, reduzindo significantemente a complexidade do 
controlador. 
o Em muitos casos práticos, utilizando a norma H∞ como 
referência, o controlador H2 pode apresentar um desempenho 
semelhante (ou melhor) ao de um controlador H∞, considerando 
funções peso fixas. Neste contexto, surgiu o projeto H2/H∞ 
misto, algumas vezes referido como projeto H∞/LQG 
combinado, baseado no fato que a solução da equação de Riccati 
pode ser usada para garantir um limite da norma H∞ e um limite 
da norma H2 simultaneamente. O primeiro limite pode ser usado 
para assegurar a estabilidade robusta a distúrbios não 
estruturados, e o segundo limite pode ser usado para minimizar 
o custo garantido para um problema LQG nominal. 
 
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 30
• Redução de modelos 
o Controladores projetados utilizando a abordagem H2 e/ou H∞ 
terão uma dimensão igual ou maior que a ordem da planta 
devido à geração de variáveis de estados fictícias para acomodar 
funções de peso variáveis com a freqüência. 
o Neste contexto, uma questão importante visando simplificar 
tanto a análise como a implementação de sistemas de controle é 
a possibilidade de eliminar estados supérfluos, reduzindo a 
ordem do sistema com pouca alteração no desempenho final. 
o Um sistema na forma de modelo de estados pode ser 
representado por outro de menor ordem quando existem modos 
(combinação de variáveis de estado) que são incontroláveis e/ou 
não observáveis, os quais podem ser eliminados sem influenciar 
a relação entrada-saída. Desta forma, um bom ponto de partida 
para a redução de modelos consiste em encontrar modos que são 
quase incontroláveis ou quase não observáveis. 
 
o Representações em modelo de estados de um sistema 
ƒ Considerando que um sistema controlável e observável na 
forma de espaço de estados 
DuCxy
BuAxx
+=
+=&
 
pode ser representado em muitas bases diferentes a partir da 
mudança de variáveis. Definindo um novo vetor de estados 
como 
Txξ = 
e o mesmo sistema será representado por: 
DuξCTy
TBuξTATξ
+=
+=
−
−
1
1&
 
ƒ A transformação de um sistema a partir da matriz T 
permite obter uma representação mais conveniente, na qual 
determinadas características podem ser mais bem 
ressaltadas. 
 
Mariana
Highlight
pólos dominantes - null
Mariana
Highlight
Mariana
Highlight
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 31
ƒ Gramiano de controlabilidade: Matriz que descreve a 
influência das entradas sobre cada estado do vetor x. 
∫=
∞
0
dtee tTtx
TAA BBS 
• Expressando o gramiano de controlabilidade em 
termos da variável ξ: 
T
xTTSS =ξ 
• Se T é escolhida de tal forma que Sξ seja diagonal, os 
elementos da diagonal representam uma medida da 
controlabilidade relativa de cada variável de estado ξk, 
ou seja, o quanto ξk é influenciada pela entrada. 
ƒ Gramiano de observabilidade: Matriz que descreve a 
influência de estado do vetor x sobre a saída: 
∫=
∞
0
dtee tTt
T
x
AA CCO 
• Expressando em termos da variável ξ: 
1−−= TOTO xTξ 
• Se T é escolhida de tal forma que Oξ seja diagonal, os 
elementos da diagonal representam uma medida da 
observabilidade relativa da variável de estado ξk, ou 
seja, o quanto ξk influencia a saída. 
ƒ Representação balanceada dos estados do sistema 
• Selecionando uma matriz de transformação T tal que 








===
nσ
σ
σ
ξξ
000
00
00
2
1
MOMM
L
L
ΣOS 
obtêm-se uma representação dita balanceada que 
permite visualizar a importância das variáveis de 
estado na relação entrada-saída. Quanto menor o valor 
de σk, menor será a influência da correspondente 
variável ξk na relação entrada-saída do sistema. 
Mariana
Highlight
Mariana
Highlight
Mariana
Highlight
Mariana
Highlight
Mariana
HighlightMariana
Highlight
Mariana
Highlight
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 32
ƒ Eliminação de Estados 
o Um valor pequeno de σk significa que a dinâmica da 
correspondente variável de estado ξk não é tão 
importante para as propriedades entrada-saída do 
sistema. 
o Tais estados podem ser removidos sem afetar 
apreciavelmente a dinâmica original, reduzindo a 
ordem do sistema. Neste contexto, é interessante 
utilizar a representação balanceada de estados para a 
redução da ordem do sistema. A partição da 
equação de estado resulta em: 
[ ] Du
ξ
ξ
CCy
u
B
B
ξ
ξ
AA
AA
ξ
ξ
2
1
21
2
1
2
1
2221
1211
2
1
+

=


+



=


&
&
 
ƒ Considerando que o vetor ξ2 seja os estados a 
serem eliminados, a dinâmica de ξ2 deve ser 
substituída por sua correspondente relação 
estática para assegurar as propriedades 
estacionárias originais: 
( )uBξAAξξ 212112222 +−=⇒= −0& 
ƒ O modelo de ordem reduzida é obtido 
substituindo a relação estática de ξ2 na equação 
dinâmica de ξ1 ( ) ( )
( ) ( )uBACDξAACCy
uBAABξAAAAξ
2
1
222121
1
2221
2
1
22121121
1
2212111
−−
−−
−+−=
−+−=&
 
o qual consiste em uma boa aproximação para 
o sistema original 
ƒ Validação: Comparações entre o modelo 
original e o modelo de ordem reduzida 
utilizando resposta ao degrau e/ou diagramas 
de Bode. 
Mariana
Highlight
Mariana
Highlight
E2 nao esta variandanullsua derivada é igual a zero