Integrais triplas

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Integrais triplas
1ª questão
Calcular a integral tripla
∭(y+x2)zdV
sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo
1≤x≤2,0≤y≤1,−3≤z≤5.
2ª questão
Calcular a integral
∭(x2+y2)dV,
em que T é a região de integração interior ao cilindro x2+y2=1 e à esfera x2+y2+z2=4 (fazer a transformação para o sistema de coordenadas que mais simplifica a resolução).
Resposta: 
Cilindro (Região interior): x²+y² = 4 
Esfera: x²+y²+z²=9 
Logo: z² = 9 – x² - y² 
Então logo temos: 
Logo: 
3ª questão
Calcular o volume do tetraedro mostrado na figura abaixo.
Resposta:
V   dV
V   dx.dy.dz
Retas: 
z= ay + b
0= a(1) + b
a= -b
3= a (0) -a 
a= -3
z = -3y + 3 
y= ax + b 
1 = a(0) + b 
b= 1 
0 = a (2) + b 
2ª + 1 = 0 
a= - 1 sobre 2 
y = - 1 sobre 2 x+1
Limites de integração: 
Plano z= ax + by + c 
(2,0,0)
2ª + 0 + C = 0
c= -2ª 
(0,1,0)
(0)a+b +c =0 
b= -C
(0,0,3)
(0) a + (0) b +c = 3 
c=3
z = -3 sobre2 X-3y+3
V = 1

  
2 2
 
| 
   


2 0 1 
y  x 
 
z
.
dx
. 
dy
.
dz 

   


2 0 1 
yz  xz 
 
dx
. 
dy
.
dz 

4 1 


x² 

4
 
1
  
z z 

  
 
xyz 
2 0 
z 


2 

1 
dy.dz 
 
(yz  ) ( yz  ) 
 
dy.dz 
2 0 
 

4 1 4 1 4 
  
2yz.dy.dz 2 
  
yz.dy.dz 2 
 
z 
y² 
1 
dz 
2 
0 
4 
 
z(1²  0²)dz 
2 0 
4 
z² 
4
 
2 0 
1 
2 2 
16 
 
4
 
 
z.dz 

2
 
1 
 
9 
 
x² 
 
y²
  
z 

9 
 
x² 
 
y²
 
0 
 
r 
 
z
 
0 
  
2

 
( x² 
 
y²)dV 
 
 
r²(r.dr.d

.dz)
 
2 2 9
 
r ² 2 2 
  
r³dr.d

.dz 

  
r³( 9 
 
r² 

(

9 
 
r²))dr.d

0 0 

2 2 
9
 
r ² 0 0
 
2 
 
r ³ 9
 
r ².dr.d

0 0 
r² 
 
9 
 
u
 
2r.dr 
 
du
 
r 
 
0 
 
u 
 
9
 
r 
 
2 
 
u 
 
5