2 ano - ESFERA

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Geometria
2ª Série
Esfera
Esfera
Considere um ponto O e uma medida R, com R > 0. 
Chama-se esfera de centro O e raio R o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R.
R
Considerando a definição acima, temos:
• o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são menores que R é chamado de interior da esfera;
• o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são iguais a R é chamado de superfície esférica;
• o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto O são maiores que R é chamado de exterior da esfera.
Elementos da esfera
POLO – P1
PARALELO
EQUADOR
MERIDIANO
POLO – P2
E = Eixo 
Distância Polar
A
P1
P2
d
R
R - d
d1² = 2R . (R – d) 
d1
d2
d2² = 2R . (R + d) 
o
Posições relativas entre uma reta e uma esfera
Uma reta s é tangente a uma esfera E se, e somente se, ambas têm em comum um único ponto.
E ∩ s = {T} 
(s) é tangente a E.
E
Reta TANGENTE 
O raio da esfera é perpendicular à reta tangente no ponto de contato.
s
Posições relativas entre uma reta e uma esfera
Uma reta s é secante a uma esfera E se, e somente se, ambas têm em comum infinitos pontos. Esses infinitos pontos comuns formam um segmento de reta chamado de corda da esfera.
E ∩ s = {AB} 
(s) é secante a E.
E
Reta secante a uma esfera
s
Posições relativas entre uma reta e uma esfera
Uma reta s é exterior a uma esfera E se, e somente se, não existe ponto comum a ambas.
E ∩ s = Ø
(s) é externa a E.
E
Reta exterior a uma esfera
s
Uma reta secante a uma esfera de centro O e raio R dista 6 cm de O e determina uma corda AB de comprimento 16 cm nessa esfera. Calcular a medida R.
Posições relativas entre um plano e uma esfera
Um plano α é secante a uma esfera E se, e somente se, ambos têm em comum infinitos pontos. Esses infinitos pontos comuns formam um círculo C chamado de secção plana da esfera.
Plano secante a uma esfera
E
α
Plano secante
Secção plana
Posições relativas entre um plano e uma esfera
Distância entre secção plana 
e o centro da esfera
E
α
d
r
R
R² = d² + r²
Posições relativas entre um plano e uma esfera
Uma secção plana que passa pelo centro de uma esfera tem o mesmo centro e o mesmo raio dessa esfera e é chamada de círculo máximo da esfera. 
A circunferência que limita esse círculo é chamada de circunferência máxima da esfera.
O círculo máximo de uma esfera separa-a em dois sólidos chamados de hemisférios (ou semiesferas). 
O círculo máximo é chamado de base do hemisfério cujo raio é o próprio raio da esfera.
Posições relativas entre um plano e uma esfera
Um plano α é tangente a uma esfera E se, e somente se, ambos têm em comum um único ponto.
Plano TANGENTE a uma esfera
E
α
Plano TANGENTE
T
Posições relativas entre um plano e uma esfera
Um plano α é tangente a uma esfera E se, e somente se, ambos têm em comum um único ponto.
Plano TANGENTE a uma esfera
E
α
Plano TANGENTE
T
Posições relativas entre um plano e uma esfera
Um plano α é exterior a uma esfera E se, e somente se, não existe ponto comum a ambos.
Plano exterior a uma esfera
E
α 
Plano EXTERNO
Um plano a secciona uma esfera de raio 10 cm à distância de 6 cm de seu centro. Calcular a medida r do raio da secção plana determinada por a nessa esfera.
Volume de uma esfera
Área da superfície esférica
A
Calcule a área da superfície de uma esfera de raio 6 dm.
Fuso esférico e cunha esférica
α
s
o
R
A parte da esfera contida nesse diedro é chamada de cunha esférica de raio R e ângulo diedro de medida a.
A parte da superfície esférica contida nesse diedro é chamada de fuso esférico de raio R e ângulo diedro de medida a.
Calcular o volume de uma cunha esférica de raio 3 cm cujo ângulo diedro mede 40º.
Calcular a área de um fuso esférico de raio 10 m cujo
ângulo diedro mede π/5 rad. 
Bons estudos!
@profpedrovalentim
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