Questão resolvida Use a definição de derivadas parciais para calcular fx e fy dafunção f definida por f(x,y)x^23xy-4y^2 - derivada parcial usando a definição - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Use a definição de derivadas parciais para calcular fx e fy da função f definida por 
.f(x, y) = x + 3xy - 4y2 2
 
Resolução:
 
O limite de funções de 2 variáveis segue a mesma lógica usada nas funções de uma 
variável, porém, a fórmula muda um pouco. A derivada parcial para x usa-se uma fórmula, a 
derivada parcial para y usá-se outra; como visto na sequência;
 
= fx =
𝜕f
𝜕x
lim
h 0→
f(x + h, y) - f(x, y)
h
 
= fy =
𝜕f
𝜕y
lim
h 0→
f(x, y + h) - f(x, y)
h
 
Assim, fazemos as derivadas;
 
f(x + h, y) = (x + h + 3(x + h y - 4y)2 ) 2
 
Substituindo na fórmula e resolvendo, fica;
 
= fx =
𝜕f
𝜕x
lim
h 0→
(x + h + 3(x + h y - 4y - (x + 3xy - 4y )
h
)2 ) 2 2 2
= lim
h 0→
x + 2xh + h + 3xy + 3hy - 4y - x - 3xy + 4y
h
2 2 2 2 2
= =lim
h 0→
x - x + 2xh + h + 3xy - 3xy + 3hy - 4y + 4y
h
2 2 2 2 2
lim
h 0→
2xh + h + 3hy
h
2
 
= = 2x + h + 3y = 2x + 0 + 3ylim
h 0→
h 2x + h + 3y
h
( )
lim
h 0→
( )
 
fx = 2x+ 3y
 
Agora, derivando em relação a y;
 
f(x, y + h) = x + 3xy - 4 y + h)2 ( 2
 
 
 
(Resposta - 1)
Substituindo na fórmula e resolvendo, fica;
 
= fy =
𝜕f
𝜕y
lim
h 0→
x + 3x y + h) - 4 y + h) - (x + 3xy - 4y )
h
2 ( ( 2 2 2
= lim
h 0→
x + 3xy + 3xh - 4 y + 2yh + h - x - 3xy + 4y
h
2 2 2 2 2
= lim
h 0→
x + 3xy + 3xh - 4y - 8yh - 4h - x - 3xy + 4y
h
2 2 2 2 2
 
= lim
h 0→
x - x + 3xy - 3xy + 3xh - 4y + 4y - 8yh - 4h
h
2 2 2 2 2
= = = 3x - 8y - 4hlim
h 0→
3xh - 8yh - 4h
h
2
lim
h 0→
h 3x - 8y - 4h
h
( )
lim
h 0→
( )
 
fy = 3x - 8y - 4 ⋅ 0 fy = 3x- 8y→
 
 
(Resposta - 2)