6 09 COC VIGAS E PÓRTICOS

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Henrique Furia e Mauro Noriaki Takeda 
com consultoria de Renato de Brito Sanchez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 VIGAS E PÓRTICOS 
Neste bloco serão estudadas as vigas e as estruturas de pórticos, que são as células 
básicas para a construção de estruturas, em que serão determinadas as reações de 
apoio necessárias para garantir o seu equilíbrio estático, assim como calculados os 
esforços internos atuantes nas barras. Existem alguns programas que auxiliam o 
engenheiro nestas tarefas e, uma vez validados os esforços, a partir de resultados 
elementares da teoria, podem ser utilizados sem restrições. 
 
6.1 Cargas e Reações. Esforços Internos. 
No Desenho 6.1 é representada uma viga de comprimento ℓ simplesmente apoiada 
sob um apoio fixo na seção 𝐴 e um apoio móvel na seção 𝐵. 
 
Desenho 6.1 – Viga duplamente apoiada com carregamento uniformemente 
distribuído 
 
Fonte: O autor. 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Como esta estrutura possui um ponto fixo (𝐴), é conveniente escolher um eixo de 
referência 𝑥 passando por este ponto, com a origem do sistema de coordenadas sobre 
este ponto. Assim: 
𝑥% = 0 𝑥( = ℓ 
 
O carregamento de intensidade 𝑝 +,-/, distribuído ao longo da viga, tem resultante 
estática 𝑝 ∙ ℓ (𝑘𝑁), e migra igualmente para cada uma das extremidades {𝐴; 𝐵}, que 
reagem com forças concentradas, de sentidos opostos à essa resultante, e com 
intensidades: 
 
Internamente, a viga sofre esforços internos de corte ou cisalhamento. No desenho 
acima foram selecionadas duas seções para a análise dos esforços internos. A seção 𝐴< 
foi locada imedia- tamente à direita da extremidade na qual foi construída o apoio fixo. 
Portanto, à esquerda desta seção atua a força concentrada reativa 𝑅% que tende a girar 
a estrutura no sentido horário. Portanto, a força cortante na seção 𝐴< vale: 
 
A seção 𝐵; foi locada imediatamente à esquerda da extremidade na qual foi 
construída o apoio móvel. Portanto, à direita desta seção atua a força concentrada 
reativa 𝑅( que tende a girar a estrutura no sentido anti-horário. Portanto, a força 
cortante na seção 𝐵; vale: 
 
 
 (0) = 
𝑝 ∙ ℓ
 
2 
 (ℓ) = − 
𝑝 ∙ ℓ
 
2 
 
 
 
 
4 
 
 
A seção 𝐶 foi locada exatamente no centro da viga, isto é: 
ℓ 
𝑥? = 
2
 
 
Observando à esquerda da seção, ou seja, na seção 𝐶;, existe a força 𝑅% que tende a 
girar a estrutura no sentido horário. O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 
possui, neste trecho da viga, resultante de @∙ℓ/ , tendendo a girar a estrutura no 
sentido anti-horário. Portanto: 
 
Observando à direita da seção, isto é, na seção 𝐶<, existe a força 𝑅( que tende a girar a 
estrutura no sentido anti-horário. O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui, 
neste trecho da viga, resultante de @∙ℓ/A tendendo a girar a estrutura no sentido 
horário. Portanto: 
 
Uma vez que os valores laterais da função são iguais, estabelece-se a continuidade da 
função naquele ponto, e escreve-se: 
 
Observando-se na seção 𝐶;, imediatamente à esquerda da seção 𝐶, a força 
concentrada reativa 𝑅% tende a tracionar a mesa inferior da viga, com um momento 
de: 
 
 
 
 
5 
 
 
A 
A 
 
O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui, neste trecho da viga, resultante 
de @∙ℓ, tendendo a tracionar a mesa superior da viga, com um momento de: 
 
Considerando-se positivos os momentos que tracionam a mesa inferior da viga e 
negativos os momentos que tracionam a mesa superior da viga, obtém-se, para esta 
seção, o momento fletor de: 
 
Observando-se na seção 𝐶<, imediatamente à direita da seção 𝐶, a força concentrada 
reativa 𝑅( tende a tracionar a mesa inferior da viga, com um momento de: 
 
O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui, neste outro trecho da viga, 
resultante de @∙ℓ, tendendo a tracionar a mesa superior da viga, com um momento de: 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
Para a seção 𝐶<, o momento fletor obtido é: 
 
Uma vez que os valores laterais da função são iguais, estabelece-se a continuidade da 
função naquele ponto, e escreve-se: 
 
Este é o momento fletor máximo atuante na viga, na seção central, sendo utilizado 
para dimensionar a estrutura para que suporte este carregamento. 
Nestas condições, os esforços internos, o carregamento e as reações de apoio são 
compatíveis com o equilíbrio da estrutura do desenho 6.1. 
No desenho 6.2 é representada uma viga de comprimento ℓ engastada na seção 𝐴 e 
livre na extremidade da seção 𝐵. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
. 
Desenho 6.2 – Viga engastada com carregamento uniformemente distribuído 
 
 
O carregamento de intensidade 𝑝 +,-/, distribuído ao longo da viga, tem resultante 
estática 𝑝 ∙ ℓ (𝑘𝑁), e os esforços dele decorrentes migram totalmente para a 
extremidades engastada {𝐴}, que reage com força concentrada, de sentido oposto à 
essa resultante, e com um momento concentrado com intensidades: 
 
Internamente, a viga sofre esforços internos de corte ou cisalhamento. No desenho 
acima foram selecionadas duas seções para a análise dos esforços internos. À esquerda 
da seção 𝐴< atua a força concentrada reativa 𝑅% que tende a girar a estrutura no 
sentido horário. Portanto, a força cor- tante na seção 𝐴< vale: 
 
 
 
 (0) = 𝑝 ∙ ℓ 
 
 
 
 
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Atua também o momento reativo 𝑀%, que tende a tracionar a mesa superior da viga. 
Nesta seção, o momento fletor vale: 
 
À direita da seção 𝐵;, não há forças cortantes e nem momentos fletores. 
Consequentemente: 
 (ℓ) = 0 𝑀(ℓ) = 0 
 
6.2 Construção de diagramas de esforços solicitantes 
Para construir os diagramas de esforços solicitantes, é necessário determinar, para 
cada seção da barra, as funções que representam os esforços internos de forças 
normais, forças cortantes, momentos fletores e momentos torsor (torque). 
Primeiramente, escolhe-se um eixo de coordenadas e coloca-se a origem 
preferencialmente em um ponto fixo da estrutura, como mostrado no desenho 6.3. 
 
Desenho 6.3 – Viga duplamente apoiada com carregamento uniformemente 
distribuído 
 
 
 
 
 
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A 
Em seguida, deve-se escolher uma seção 𝑆 de coordenada 𝑥 para escrever cada 
função em função da respectiva coordenada. Olhando-se à esquerda de 𝑆, percebe-se 
que a força concentrada reativa 𝑅% tende a girar a estrutura no sentido horário. 
O carregamento distribuído de intensidade 𝑝 possui, neste trecho da viga, resultante 
𝑝 ∙ 𝑥, tendendo a girar a estrutura no sentido anti-horário. Portanto: 
 
O mesmo resultado é obtido se for efetuado a análise dos esforços à direita de 𝑆, pois a 
força concentrada reativa 𝑅( tende a girar a estrutura no sentido anti-horário e a 
resultante 𝑝 ∙ (ℓ − 𝑥) do carregamento distribuído neste trecho tende a girar a 
estrutura no sentido horário. Portanto: 
 
Conclui-se que em uma viga simplesmente apoiada com carregamento vertical 
uniforme, a força cortante é uma função decrescente de primeiro grau definida para o 
intervalo 𝑥 ∈ [0; ℓ] e que assume o valor máximo em 𝑥 = 0 e o valor mínimo em 𝑥 = ℓ, 
sendo nula na seção central 𝑥 = ℓ: 
 
Portanto, o gráfico da função (𝑥) é um segmento de reta. 
 
 
 
 
 
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A 
Quanto aos momentos fletores, observando-se à esquerda da seção 𝑆, a força 
concentrada reativa 𝑅% tende a tracionar a mesa inferior da viga, com um momento 
de: 
 
Considerando-se positivos os momentos que tracionam a mesa inferior da viga e 
negativos os momentos que tracionam a mesa superior da viga, obtém-se, para esta 
seção, o momento fletor de: 
 
 
O mesmo resultado é obtido considerando-se os esforços à direita de 𝑆, pois a força 
reativa 𝑅( tende a tracionar a mesa inferior da viga, enquanto que a resultante do 
carregamento distribuído, de 𝑝 ∙ (ℓ − 𝑥) neste trecho tende a tracionar a mesa 
superior da viga. Assim: 
 
Conclui-se que em uma viga simplesmente apoiada com carregamento vertical 
uniforme, o momento fletoré uma função de segundo grau definida para o intervalo 𝑥 ∈ 
[0; ℓ], com concavidade para cima e que assume o valor máximo em 𝑥 = ℓ e valores 
mínimos em 𝑥 = ℓ: 
 
 
 
 
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6.3 Softwares gratuitos para cálculo estrutural 
As treliças são estruturas formadas por barras construtivamente articuladas nos nós, 
concebidas para trabalharem apenas a esforços axiais. Na figura 6.1 é mostrada uma 
treliça de madeira com conexões por peças metálicas. 
 
Figura 6.1 – Treliça plana de madeira 
 
 
As diretrizes para dimensionamento e detalhamento destas ligações são estudadas na 
disciplina de estruturas de madeira e metal, respeitando as diretrizes estabelecidas 
pelas normas brasileiras correspondentes. 
Na Figura 6.2 é mais fácil enxergar as conexões articuladas entre as barras de aço. É 
uma treliça espacial construída para suportar uma cobertura. 
 
 
 
 
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Figura 6.2 – Treliça de aço galvanizado 
 
 
 
Com relação à treliça plana da Figura 6.1 (por exemplo), um modelo matemático é 
construído utilizando-se barras articuladas nas extremidades, permitindo rotação 
relativa entre barras sucessivas. 
Um apoio fixo que restringe todas as translações deve ser colocado, por exemplo, à 
esquerda, e um apoio móvel, que restringe apenas deslocamentos horizontais, à 
direita. Desta maneira, constrói-se um modelo de uma estrutura isostática com um 
ponto fixo. É conveniente estabelecer a origem do sistema de coordenadas neste 
ponto fixo (Desenho 6.4). 
A versão 3.01 (21/12/2016) do software gratuito Ftool1 foi utilizada para construir 
modelos matemáticos para a treliça da Figura 6.1. 
 
1 Disponível em: <https://www.ftool.com.br/Ftool/>. Acesso em: 22 set. 2020. 
 
 
 
 
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Desenho 6.4 – Carregamento, forças normais e reações de apio em treliça plana 
simétrica 
 
Neste exemplo, foram colocadas cargas concentradas verticais de 6 𝑘𝑁 simulando a 
ação de uma cobertura apoiada nestes nós. Obviamente, as reações de apoio, de 3 𝑘𝑁 
cada, equilibram a estrutura. Uma vez que não há forças horizontais, nenhuma 
componente nesta direção aparece na reação de apoio da esquerda. 
Em vermelho, no centro de cada barra, aparecem os valores, em 𝑘𝑁, das forças 
normais a que as barras estão submetidas. Neste caso, como trata-se de uma estrutura 
simétrica com carregamento simétrico, as barras simétricas possuem solicitações 
iguais. Para as barras horizontais: 
𝑁 = 3 𝑘𝑁 
Esta força normal algebricamente positiva confirma que a barra está tracionada. A 
barra vertical está tracionada com 𝑁 = 2 𝑘𝑁. Portanto, para efeito de verificação da 
segurança estrutural, toma-se a força interna de maior valor absoluto para estudo da 
tração. 
 
 
 
 
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As outras barras estão comprimidas, com forças normais algebricamente negativas. 
Toma-se a de maior valor absoluto para efetuar a verificação da segurança estrutural: 
𝑁 = − 4,2 𝑘𝑁 
Em barras comprimidas, além de se verificar a segurança quanto à resistência do 
material, torna-se necessário verificar a estabilidade à flambagem. 
Fica mais fácil perceber quais barras estão tracionadas e quais barras estão 
comprimidas observando-se os deslocamentos que ocorrem na estrutura devidos às 
solicitações aplicadas. 
 
Desenho 6.5 – Deslocamentos em treliça sobre um apoio fixo à esquerda e um apoio 
móvel à direita 
 
 
O desenho 6.5 foi construído com auxílio da versão 3.01 (21/12/2016) do software 
gratuito Ftool, que funciona em computadores com Windows. Em escala amplificada, 
 
 
 
 
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mostram-se os deslocamentos que as barras sofrem em decorrência do carregamento 
aplicado. O apoio da direita permite deslocamentos horizontais deste nó da estrutura. 
Observa-se também que as todas as barras se mantêm retas na configuração 
deformada. Isto ocorre porque, neste tipo de estrutura, não há cargas aplicadas no 
corpo da barra, mas somente nos seus respectivos nós; além disto, todos os vínculos 
permitem rotações, o que elimina a possibilidade de haver flexão nas barras deste 
modelo. 
 
Desenho 6.6 – Carregamento, forças normais e reações de apio em treliça plana 
assimétrica 
 
Na treliça do desenho 6.6 foi acrescentado carregamento lateral, simulação de vento. 
Na análise do equilíbrio global da estrutura, o equilíbrio de momentos, estabelecido 
em relação a cada um dos dois apoios, resolve a determinação das reações de apoio. 
Observar que somente o apoio da esquerda possui vínculo horizontal e, naturalmente, 
absorverá todos os esforços nesta direção. 
 
 
 
 
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O equilíbrio dos nós e das seções efetuadas na direção de cada uma das barras permite 
determinar as forças normais em cada barra, estabelecendo as barras comprimidas e 
as barras tracionadas. O maior nível de compressão estabelecido é: 
𝑁 = − 6,4 𝑘𝑁 
Este valor é absolutamente superior ao encontrado na treliça do desenho 6.4. Por 
outro lado, o maior nível de tração na treliça acima é: 
𝑁 = 2,0 𝑘𝑁 
 
Este valor é inferior ao da outra estrutura. Observa-se que os tipos de vínculos e os 
carregamentos aplicados na estrutura eliminam as propriedades de simetria 
inicialmente concebidas no modelo do desenho 6.4. 
 
Desenho 6.7 – Deslocamentos em treliça com carregamento lateral 
 
 
 
 
 
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No desenho 6.7 é apresentada a configuração deformada (em escala exagerada), na 
qual observa-se que, mesmo tendo à direita um apoio móvel, não há deslocamento na 
direção deste grau de liberdade. Isto ocorre porque os carregamentos laterais vão em 
direção ao apoio fixo. 
 
Desenho 6.8 – Carregamento, forças normais e reações de apio em treliça plana 
assimétrica 
 
No entanto, quando o sentido do carregamento lateral é invertido, o comportamento 
muda significativamente. As reações verticais permanecem iguais no desenho 6.8 
comparado com o Desenho 6.6, mas a mudança de sentido na reação horizontal do 
apoio fixo gera alterações nas forças normais das barras: 
𝑁,-. = −6,4 𝑘𝑁 𝑁,/0 = 7,5 𝑘𝑁 
 
 
 
 
 
 
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Desenho 6.9 – Deslocamentos em treliça com carregamento lateral 
 
Além disto, aparecem deslocamentos no apoio móvel e que não ocorriam no modelo 
anterior. 
As treliças são estruturas isostáticas construídas com barras articuladas nas 
extremidades e concebidas para receberem apenas carregamentos nos nós. Com isto, 
o modelo matemático permite obter como resultado a ausência de flexão e de 
cortante nas barras, que estão sujeitas apenas a esforços axiais. 
Isto simplifica a análise do problema, uma vez que, na ausência de solicitações 
transversais, as deformações axiais das barras dependem apenas das forças normais 
atuantes nas barras. 
 
Conclusão 
Neste bloco estudamos as vigas e as estruturas de pórticos, que são as células básicas 
para a construção de estruturas, nais quais serão determinadas as reações de apoio 
necessárias para garantir o seu equilíbrio estático, assim como calculados os esforços 
internos atuantes nas barras. 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
ALVARES, B. A.; LUZ, A. M. R. Física – ensino médio. São Paulo: Scipione, 2008. 
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Paulo: Scipione,1995. 
BEER, F. P.; JOHNSTON, R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 
1995. 
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1993. 
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais. São Paulo: Edgard Blucher, 2008. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. 
______. Resistência dos materiais. Tradução de Arlete Símile Marques. 7. ed. São 
Paulo: Pearson Education, 2011. 
SERWAY, R. A. Física 1. [S.l.: s.n.], 1996. 
SERWAY R. A.; JEWETT JR., J. W. Princípios de física. São Paulo: Pioneira Thomson, 
2008. v. 1. 
TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1993. v. 1-2. 
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janeiro:LTC, 2000. v. 1. 
YOUNG H. D.; FREEDMAN R. A. Física IV. 12. ed. São Paulo: Pearson Education, 2008.