Sistemas Lineares (1)

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Sistemas Lineares
Equação linear
Equação linear é toda equação da forma:
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que 
recebem o nome de coeficientes das incógnitas
x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado 
termo independente ( quando b=0, a equação 
recebe o nome de linear homogênea).
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• Veja alguns exemplos de equações lineares:
• 3x - 2y + 4z = 7
• -2x + 4z = 3t - y + 4
• (homogênea)
• As equações a seguir não são lineares:
• xy - 3z + t = 8
• x2- 4y = 3t - 4
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• Um conjunto de equações lineares da forma:
• é um sistema linear de m equações e n
incógnitas.
• A solução de um sistema linear é a n-upla de 
números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, 
simultaneamente, solução de todas as equações 
do sistema.
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• Matrizes associadas a um sistema linear
• A um sistema linear podemos associar as 
seguintes matrizes:
• matriz incompleta: a matriz A formada pelos 
coeficientes das incógnitas do sistema.
• Em relação ao sistema:
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• a matriz incompleta é:
• matriz completa: matriz B que se obtém 
acrescentando à matriz incompleta uma 
última coluna formada pelos termos 
independentes das equações do sitema.
• Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz 
completa é:
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• Sistemas homogêneos
• Um sistema é homogêneo quando todos 
os termos independentes da equações são 
nulos:
• Veja um exemplo:
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• A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um 
sistema homogêneo com n incógnitas e 
recebe o nome de solução trivial. Quando 
existem, as demais soluções são chamadas 
não-triviais.
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• Classificação de um sistema quanto ao 
número de soluções
• Resolvendo o sistema , encontramos uma 
única solução: o par ordenado (3,5). Assim, 
dizemos que o sistema é possível (tem 
solução) e determinado (solução única).
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• No caso do sistema , verificamos que os pares 
ordenados (0,8), 
(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de 
suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o 
sistema é possível (tem solução) e 
indeterminado (infinitas soluções).
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• Para , verificamos que nenhum par ordenado 
satisfaz simultaneamente as equações. 
Portanto, o sistema é impossível (não tem 
solução).
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Resumindo, um sistema linear pode ser:
a) possível e determinado (solução única);
b) possível e indeterminado (infinitas soluções);
c) impossível (não tem solução).
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• Discussão de um sistema linear
• Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode 
ser:
• a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a 
solução é única.
• Exemplo:
• m=n=3
• Então, o sistema é possível e determinado, 
tendo solução única.
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• b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = 
... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será 
válida se não houver equações com coeficientes das 
incógnitas respectivamente proporcionais e termos 
independentes não-proporcionais.
• Um sistema possível e indeterminado apresenta 
infinitas soluções.
• Exemplo:
• D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
• Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo 
infinitas soluções.
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• c) impossível, se D=0 e Dxi 0, caso em que o 
sistema não tem solução.
• Exemplo:
• Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não 
apresenta solução.



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• Sistemas Equivalentes
• Dois sistemas são equivalentes quando possuem o 
mesmo conjunto solução.
• Por exemplo, dados os sistemas:
• verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz 
ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ 
S2.
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• Propriedades
• a) Trocando de posição as equações de um sistema, 
obtemos outro sistema equivalente.
• Por exemplo:
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• b) Multiplicando uma ou mais equações de um 
sistema por um número K (K IR*), obtemos um 
sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:
• S1 ~S2
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• Adicionando a uma das equações de um sistema o 
produto de outra equação desse mesmo sistema por 
• um número k ( K IR*), obtemos um sistema 
equivalente ao anterior.
• Por exemplo:
• Dado , substituindo a equação (II) pela 
soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:
• S1~S2, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os 
sistemas.
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• Sistemas escalonados
• É o sistema que satisfaz as duas condições abaixo:
• 1º) Em cada equação, há pelo menos um coeficiente 
não-nulo;
2º) O número de coeficientes iniciais nulos aumenta 
de uma equação para outra.
•
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• Procedimentos para escalonar (resolver) o sistema
1º) Coloca-se como 1ª equação do sistema uma 
equação em que o coeficiente da 1ª incógnita seja 
um;
2º) A partir da 2ª equação, elimina-se a 1ª incógnita 
de todas as equações operando entre as linhas;
3º) A partir da 2ª equação repetem-se os “passos” 
para as equações restantes, até a última linha do 
sistema.
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• Exemplo: Resolva o sistema:
2 7
2 7 21
3 5 2 8
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
− − + = −
2 1 22E E E= − +
2 7
0 3 7
3 5 2 8
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
− − + = −
2 7
0 3 7
0 5 13
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ + =
2 7
0 3 7
0 0 16 32
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ − = −
3 1 33E E E= +
3 3 23E E E= − +
16 32
32
16
2
z
z
z
− = −
−
=
−
=
3 7
3 2 7
3 9
3
y z
y
y
y
− =
− =
=
=
2 7
2.3 2 7
7 2 6
1
x y z
x
x
x
+ + =
+ + =
= − −
= −
{ 1,3,2}S = −
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• Classifique os sistemas abaixo como SPD, SPI ou SI e 
de o conjunto solução quando o sistema for possível
4 2 4
2 15
x y
x y
+ =
+ =
3 2 12
5 6 8
x y
x y
− = −
+ =
5 10 15
2 4 6
x y
x y
− =
− =
6
8
x y
x y
+ =
− =
2 4
2 3
x y
x y
+ =
− =
2 3 6
4 6 7
x y
x y
+ =
+ =
2 3 6
4 6 13
x y
x y
+ =
+ =
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• Classifique em SPD, SPI ou SI
2 4 0
5 2 1
3 2
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
− + + =
2 1
2 3 4 2
3 3 3
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
− + =
4 0
2 2 3
3 2 2
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
− + + =
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RESOLVA OS SISTEMAS
2 3 11
6
5 2 3 18
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
2 2
2 3 9
3 2 3
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+ − =
2 2 3 5
2 3
3 4 2 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
2 4 2 8
5 2 4 0
2 2 4
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
− + + = −
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• Resolva o sistema pela regra de cramer
5 2 7 8
2 3 2 7
3 5 3 10
x y z
x y z
x y z
− + =
− − = −
− + + =