Prova 1 (tipo B) de Cálculo 1 UnB 1.2021

Prévia do material em texto

Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo I
1.a Prova 1.o/2021 28/08/2021
Nome: Mat.: / Turma:
Atenção: Cada item desta prova vale um ponto e deve ser resolvido com justificativas com-
pletas, de forma clara e organizada.
1) Determine:
a) lim
x→0
tan(2x)
sen(5x)
= 2/5;
b) lim
r→∞
r − 4
3r2
= 0;
c) um intervalo de comprimento igual a 1 que contém uma raiz de f(x) = −x5 + 2x+ 2.
Resposta: [−1, 0]
2) Suponha que ao se consumir xm3 de água por mês, o valor mensal a ser pago seja de q(x)
reais. Quando x é menor ou igual a 10, paga-se 1, 5x e, quando é maior, paga-se 2x+a, onde
a é uma constante.
a) Considerando o contexto da questão, determine a expressão da função q(x) e explique
porque ela possui comportamento estranho caso a constate a seja zero.
Resposta:
q(x) =

1, 5x, x ≤ 10
2x+ a, x > 10.
Caso a = 0, ela possui comportamento estranho pois o 11o m3 de água custa 7 reais,
muito mais caro do que qualquer outro.
b) Usando a definição de continuidade, determine o valor de a para que a função q(x) seja
cont́ınua em x = 10.
Resposta: a = −5
Cálculo I Prova 1 1.o/2021 – 1/2
3) Considere a função
f(x) =

−x2 + 3, x ≤ 1
ax+ b, x > 1.
a) Calcule o limite lim
h→0−
f(1 + h)− f(1)
h
.
Resposta: lim
h→0−
f(1 + h)− f(1)
h
= −2.
b) Determine as constantes a e b para que f seja derivável em x = 1.
Resposta: a = −2 e b = 4.
4) Resolva as seguintes questões.
a) Explique porque a função f(x) = x
3−3
x2+1
não possui asśıntotas horizontais.
Resposta: por que o limites no infinito não existem.
b) Dada g(t) = t csc(t), calcule a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto
(π/4, g(π/4)).
Resposta: y −
√
2π
4
=
√
2(1− π
4
)(x− π
4
)
c) Sendo h(t) = t+1
sen(t)
determine h′(π/2).
Resposta: h′(0) = 1
Cálculo I Prova 1 1.o/2021 – 2/2