problemas-aplicados-projetos-interpolacao-numerica-parte2

Prévia do material em texto

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 366
11.7 Problemas Aplicados e Projetos
11.1 - Um corpo negro (radiador perfeito) emite energia em uma taxa proporcional à quarta potência
de sua temperatura absoluta, de acordo com a equação de Stefan-Boltzmann,
E = 36.9 10−12 T−4 ,
onde E = potência de emissão, W/cm2 e T = temperatura, Ko.
O que se deseja é determinar uma fração dessa energia contida no espectro viśıvel, que é tomado aqui
como sendo 4.10−5 a 7.10−5 cm. Podemos obter a parte viśıvel integrando a equação de Planck entre
esses limites:
Eviśıvel =
∫
7.10−5
4.10−5
2.39 10−11
x5(e1.432/Tx − 1)
dx ,
onde x = comprimento de onda, cm; E e T como definido acima.
A eficiência luminosa é definida como a relação da energia no espectro viśıvel para a energia total.
Se multiplicarmos por 100 para obter a eficiência percentual e combinarmos as constantes, o problema
torna-se o de calcular:
EFF =
(
64.77
∫
7.10−5
4.10−5
dx
x5(e1.432/Tx − 1)
)
/ T 4 .
Obter a eficiência luminosa, com erro relativo < 10−5, nas seguintes condições:
i) Ti = 2000
oK
Tf = 3000
oK
com incremento da temperatura igual a 250.
ii) Ti = 2000
oK
Tf = 3000
oK
com incremento da temperatura igual a 200.
onde Ti e Tf são as temperaturas iniciais e finais, respectivamente.
11.2 - De um veloćımetro de um automóvel foram obtidos as seguintes leituras de velocidade ins-
tantânea:
t(min.) 0 5 10 15 20 25 30 35 40
v(km/h) 23 25 30 35 40 45 47 52 60
Calcule a distância em quilômetros, percorrida pelo automóvel usando a regra de Simpson.
11.3 - A determinação da área da seção reta de rios e lagos é importante em projetos de prevenção de
enchentes ( para o cálculo de vazão da água) e nos projetos de reservatórios ( para o cálculo do volume
total de água). A menos que dispositivos tipo sonar sejam usados na obtenção do perfil do fundo de
rios/lagos, o engenheiro civil deve trabalhar com valores da profundidade, obtidos em pontos discretos da
superf́ıcie. Um exemplo t́ıpico de seção reta de um rio está mostrado na figura a seguir:
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 367
superf ície da água
6
4
2
0
Profundidade(m)
I
1.8 2 4 4 2.83.43.646b b
b b
b
b b b b
b b
? ?
? ?
?
? ?
?
?
?
distância da margem esquerda(m)
200 10
-
Use uma fórmula de quadratura sobre pontos igualmente espaçados de h, para calcular a área da seção
reta da figura dada acima.
11.4 - A equação de Clapeyron encontrada no estudo das relações de propriedade termodinâmica pode
ser expressa como:
d lnP
dT
=
∆Hr
RT 2
, (11.27)
onde P : pressão do vapor, T : temperatura absoluta, ∆Hr: entalpia da vaporização, R: constante de gás.
Esta temperatura, que é válida para um intervalo limitado de pressão e temperatura, pode ser usada
para determinar a pressão de vapor em qualquer temperatura, reecrevendo-se (11.27) e integrando a partir
de alguma pressão e temperatura conhecidas P0, T0. Mostre que fazendo isso obtemos:
ln
P
P0
=
∫ T
T0
∆Hr
RT 2
dT . (11.28)
A solução de (11.28) requer o cálculo da integral indicada. Entretanto em muitos casos ∆Hr, não pode
ser dada por uma expressão anaĺıtica conveniente e a integral deve então ser calculada por um método
numérico.
Considere uma substância para a qual os seguintes dados são conhecidos:
T 185 190 195 200 205 210
∆Hr 81.307 80.472 79.568 78.714 77.859 77.002
215 220 225 230 235
76.141 75.272 74.395 73.508 72.610
R = 0.01614 K cal / Kg, P0 = 0.028 atm em T0 = 185
oK .
Determine a pressão do vapor a uma temperatura de 235 oK, usando 3, 5, 7, 9 e 11 pontos. Com 11
pontos é posśıvel dizer quantas casas decimais estão corretas? Se a resposta for afirmativa diga qual é a
precisão obtida.
Observe que nesse problema você não deve entrar com o valor de ǫ, mas sim comparar os resultados
obtidos.
11.5 - Seja a viga em balanço e o carregamento dado na figura a seguir:
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 368
B
A
h
b = 0.20m
0.60m
l = 3m
0.20m
P = 1 t/m
????????
onde E = 200t/cm2 (módulo de elasticidade do concreto).
O deslocamento vertical no ponto B pode ser obtido através da expressão:
δV B =
∫ B
A
M0M1
EJ
dx ,
com
M0 =
1
2
(ℓ− x)2, M1 = ℓ− x, J =
bh3
12
,
onde M0 é o momento da viga, M1 é o momento da viga correspondente a uma carga unitária na direção
e sentido do deslocamento e J é o momento de inércia de uma secção retangular de altura h.
Determine o deslocamento vertical δV B com erro relativo inferior a 10
−4.
11.6 - Na determinação da radiação luminosa emitida por um radiador perfeito é necessário calcular-se
o valor da integral:
Q =
∫ λ2
λ1
2πhc2
λ5(e
hc
kλT − 1)
dλ,
onde:
Q = radiação emitida por unidade de tempo por unidade de área entre os comprimentos de onda λ1
e λ2, em erg/cm
2.s,
λ1 e λ2 = limites inferior e superior, respectivamente, do comprimento de onda, em cm,
h = constante de Planck = 6.6256× 10−27 erg.s,
c = velocidade da luz = 2.99793× 1010 cm/s,
k = constante de Boltzmann = 1.38054× 10−16 erg/k,
T = temperatura absoluta da superf́ıcie, oK,
λ = variável de integração = comprimento de onda, cm.
Obter Q, com erro relativo < 10−5, nas seguintes condições:
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 369
i) λ1 = 3.933666× 10
−5 cm ,
λ2 = 5.895923× 10
−5 cm ,
T = 2000 oK .
ii) λ1 = 3.933666× 10
−5 cm ,
λ2 = 5.895923× 10
−5 cm ,
T = 6000 oK .
11.7 - A função de Debye é encontrada em termodinâmica estat́ıstica no cálculo do calor espećıfico da
água a volume constante de certas substâncias. A função é expressa por:
D(x) =
3
x3
∫ x
0
y3
ey − 1
dx .
Obter D(x), com erro relativo < 10−5, nos seguintes casos:
i) x = 0.5
ii) x = 10
iii) x = 50
11.8 - Uma aproximação para a velocidade em função do tempo de um paraquedista em queda livre na
atmosfera é dada pela equação:
v(t) =
gm
c
(
1− e−
c
m
t
)
,
onde g é a aceleração da gravidade (9.8m/s2), m é a massa do paraquedista (68kg), c é o coeficiente de
arrasto (12.5kg/s) e t é o tempo (em s) a partir do ı́nicio da queda. Suponha que o paraquedista salte de
uma altura de 3000m. Sabendo que o espaço percorrido pelo paraquedista entre os instantes de tempo a
e b é dado por:
∆s =
∫ b
a
v(t) dt ,
calcule a altura em que se encontra o paraquedista nos instante t = 2s e t = 10s. Em ambos os casos,
utilize a regra 13 de Simpson, com um número adequado de subintervalos para que o erro seja menor que
1m.
11.9 - O etileno ocupa a quinta posição entre os produtos qúımicos mais fabricados nos Estados Unidos
e o primeiro lugar entre os produtos qúımicos orgânicos, ao longo de um ano. Mais de 28 milhões de
libras foram produzidas em 1985 e vendidas a U $ 22/libra. De todo etileno produzido, 65% é usado na
fabricação de plásticos, 20% para óxido de etileno e etileno glicol, 5% para fibras e 5% para solventes.
Deseja-se determinar o tamanho (volume) de um reator necessário para produzir 300 milhões de
libras de etileno por ano do craqueamento de etano puro. A reação é irreverśıvel e elementar. Além
disso, deseja-se alcançar 80% de conversão para o etano operando o reator isotermicamente a 1100K e
à pressão de 6atm. A equação para o reator é dada por:
V = FA0
∫ x
0
dx
−ΓA
,
onde: V é o volume do reator (ft3); FA0 é a taxa de alimentação do reagente (lb moles/s); −γA é a
taxa de reação (ft3/lb mol), e x é a conversão. A taxa de desaparecimento do etano (−ΓA) é dada
por: −ΓA = kC , onde k é a constante de reação e C, a reconcentração do reagente (etano) é dada
por: C = C0(1− x)/(1 + ǫ), com C0 sendo a concentração inicial do reagente e ǫ o fator de mudança de
volume. Usando uma regra de quadratura sobre pontos igualmente espaçados de h, determine o volume
de um reator, dado que: FA0 = 0.425lb moles/s, k = 3.07s
−1, x = 0.8, C0 = 0.00415lb moles/ft
3 e ǫ = 1.
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 370
11.10 - A figura a seguir mostra um circuito t́ıpico contendo um amplificador.
saídac
c
c
-
c
&%
'$
Muitos tipos de amplificadores são usados em instrumentos como transmissores de rádio e televisão,
dispositivos de medidas, etc. Alguns tipos de amplificadores produzem correntes em pequeno pulso. Essa
corrente é periódica no tempo, com T representando o peŕıodo.
Para analisar o circuito, é usualmente necessário expressar a corrente em termos de uma função
anaĺıtica. Usando a série de Fourrier truncada em m termos para Ip temos:
Ip(t) = I0 + I1 cos (
2πt
T
) + I2 cos (
4πt
T
)
+ . . .+ Im cos (
2mπt
T
) =
m
∑
k=0
Ik cos (
2kπt
T
) ,
onde cada Ik é dado por:
Ik =
2
T
∫ T
0
Ip(t) cos (
2kπt
T
) dt , k = 0, 1, . . . ,m.
Suponha que em certo experimento você mediu a corrente Ip em vários instantes de tempo e obteve a
tabela a seguir:
t(seg.) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ip(t) 100 94 80 60 31 0 −30 −58 −81 −95 −101
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
−96 −82 −60 −30 0 32 59 80 95 99
a) Considerando T = 20, calcule: I0, I1, . . . , I20.
b) Desprezando os erros de arredondamento o que você pode concluir sobre a verdadeira ex-
pressão da função para Ip(t)?
11.11 - O serviço de proteção ao consumidor (SPC) tem recebido muitas reclamações quanto ao peso
real do pacote de 5kg do açúcar vendido nos supermecados. Para verificar a validade das reclamações,
o SPC contratou uma firma espacializada em estat́ıstica para fazer uma estimativa da quantidade de
pacotes que realmente continham menos de 5kg. Como é inviável a repezagem de todos os pacotes, a
firma responsável pesou apenas uma amostra de 100 pacotes. A partir destes dados e utilizando métodos
estat́ısticos eles puderam ter uma boa idéia do peso de todos os pacotes existentes no mercado.
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 371
Chamando de xi o peso do pacote i, tem-se que a média da amostra x̄ é dada por:
x̄ =
1
n
n
∑
i=1
xi ,
onde n é o número de pacotes da amostra. Serão omitidos os pesos, face ao elevado número de pacotes
examinados.
Calculando-se a média:
x̄ =
1
100
× 499.1 = 4.991kg .
O desvio padrão que é uma medida estat́ıstica que dá uma noção da dispersão dos pesos em relação à
média é dado por:
S = +
√
√
√
√
1
n− 1
n
∑
i=1
(x̄− xi)2 .
Para os dados deste problema tem-se que S = 0.005kg.
Supondo-se verdadeira a hipótese de que a variação do peso dos pacotes não é tendenciosa, isto é,
que o peso de um pacote é função de uma composição de efeitos de outras variáveis independentes, entre
a quais podemos citar: regulagem da máquina de ensacar, variação da densidade do açúcar, leitura do
peso, etc.; pode-se afirmar que a variável do peso tem uma distribuição normal. O gráfico da distribuição
normal é apresentado a seguir:
x̄ + sx̄x̄− s
A forma anaĺıtica desta função é:
f(x) =
1
S
√
2π
e
1
2
(
x− x̄
S
)
2
.
O valor de f(x) é a frequência de ocorrência do valor x. A integral de f(x) fornece a frequência
acumulada, isto é:
F (x0) =
∫ x0
−∞
f(x) dx ,
é a probabilidade de que x assuma um valor menor ou igual a x0. Graficamente, F (x0) é a área hachurada
na figura a seguir:
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 372
@@R
F (x0)
x̄ + sx̄x̄− s
No problema em questão, o que se deseja é determinar :
F (5) =
∫
5
−∞
1
0.005
√
2π
e
1
2
(
x− 4.991
0.005
)
2
dx .
Observações:
1)
∫
∞
−∞
f(x) dx = 1.
2) A curva é simétrica em relação a média (x̄), logo:
∫ x̄
−∞
f(x) dx =
∫
∞
x̄
f(x) dx = 0.5.
11.12 -A definição da integral imprópria é:
I =
∫
∞
a
f(x) dx = lim
b→∞
∫ b
a
f(x) dx .
Se essa integral for convergente podemos avaliá-la aproximadamente por método numérico. Por exem-
plo, a integral exponencial Ei(x) pode ser avaliada tomando o limite superior U suficientemente grande
em:
Ei(x) =
∫
∞
x
e−v
v
dv ≃
∫ U
x
e−v
v
dv .
Sabemos que U é “suficientemente grande” quando as contribuições adicionais ao fazer U maior são
despreźıveis. Estimar EI(0.5) .
Note que pode-se usar subintervalos maiores a medida que v cresce. Compare o valor obtido com o
valor tabular: 0.5598.
11.13 - A seção reta de um veleiro está mostrada na figura a seguir:
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 373
-

T
3 m
z = 10 m
z = 0
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
cabos de
suporte
mastro
vento
 
@@
j@@R
j
-�
A força que o vento exerce sobre o mastro (devido às velas), varia conforme a altura z ( em metros)
a partir do convés. Medidas experimentais constataram que a força resultante exercida sobre o mastro
(em N) é dada pela equação:
F =
∫
10
0
f(z) dz , f(z) =
z
4 + z
e
−2z
10 .
Deseja-se saber a linha de ação de F , isto é, o ponto onde pode-se aplicar uma força de mesmo módulo,
direção e sentido de F , tal que o efeito sobre o mastro seja o mesmo de F . Esse ponto, localizado a uma
altura d do convés do barco, pode ser determinado a partir da seguinte equação:
d =
∫
10
0
z f(z) dz
∫
10
0
f(z) dz
.
Pede-se então calcular o valor de d, usando fórmula de quadratura sobre pontos igualmente espaçados
de h.
11.14 - Suponha que a água em uma represa exerce uma pressão sobre a face esquerda da mesma, como
mostrada na figura:
z
60
40
20
0
 
 
 
 
 
 
 
-
-
-
-
-
-
�
�
�
�
�
�
-
-
-
-
-
6
- � -122
130
135
160
175
190
200
(b)(a)
Essa pressão pode ser caracterizada pela expressão:
p(z) = ρg(D − z) ,
CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 374
onde p(z) é a pressão (em N/m2) na altura z (em m) a partir do fundo do represa. A densidade da
água ρ é suposta constante e vale 103 kg/m3, a aceleração da gravidade vale 9.8m/s2, e D é a altura
(em m) da superf́ıcie da água a partir do fundo do represa. Sabe-se que a pressão aumenta linearmente
com a profundidade, como mostrado em (a). A força total ft sobre a face esquerda da represa pode ser
calculada multiplicando-se a pressão pela área da face da represa. A largura da represa para diferentes
profundidades, está mostrada em (b). Assuma que a largura da represa varia linearmente desde 200m (
na superf́ıcie) até 122m ( a 60 m de profundidade).
Assim a força resultante sobre a face da represa pode ser obtida através de:
ft =
∫ D
0
ρ g ω(z) (D − z) dz ,
onde ω(z) é a largura da represa na altura z a partir do fundo. Determine a altura d da linha de ação
da força resultante, que pode ser obtida através do cálculo de:
d =
∫D
0
z ρ g ω(z) (D − z)
ft
dz .