Cálculo Diferencial e Integral II - Teleaula 03 - Aula Atividade Aluno

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Matemática AULA ATIVIDADE ALUNO 
 
AULA 
ATIVIDADE 
ALUNO 
 
Curso: 
MATEMÁTICA 
 
 
Matemática AULA ATIVIDADE ALUNO 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Teleaula: 03 
Essa aula atividade é dividida em três partes. A primeira parte é uma retomada de 
conteúdos que serão essenciais para o desenvolvimento das atividades propostas na 
segunda parte. Essa parte aborda os conteúdos vistos em teleaula. E por fim, a terceira 
parte são sugeridos alguns exercícios de livros para serem realizados em casa, a fim de 
revisar os conteúdos vistos na teleaula. 
Parte 1: Relembrando conceitos 
Questão 1 
Encontre a derivada das funções de uma variável real que seguem. 
a) 𝑦 = 3 
b) 𝑦 = 𝑥5 
c) 𝑔(𝑡) =
3𝑡2
4
 
d) 𝑠(𝑡) = 𝑡3 − 2𝑡 − 4 
e) ℎ(𝑥) =
𝑥2+6𝑥+5
2𝑥−1
 
f) 𝑦 =
4𝑥2−3𝑥
8√𝑥
 
g) 𝑦 =
5(3𝑥2+5𝑥)
8𝑥
 
h) 𝑦 =
1
3𝑥+1
 
i) ℎ(𝑥) = (2𝑥3 – 5𝑥2 + 2𝑥 + 5)
5
2 em 𝑥 = 1. 
j) 𝑓(𝑥) = (4𝑥2 + 3)3 – 𝑥 em 𝑥 =
1
2
 
Parte 2: Resolução de problemas 
Nessa parte da atividade você irá responder questões referentes aos conteúdos 
abordados em teleaula. 
Questão 1 
 
 
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Ao estudar funções de duas variáveis reais, temos que nos atentar para a determinação 
do domínio da função, pois ao se ter conhecimento desse elemento podemos já realizar 
algumas inferências a respeito do seu comportamento. Com base nisso, determine o 
domínio das seguintes funções: 
𝑎) 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥+𝑦−3
. 
𝑏) 𝑔(𝑥) = ln(𝑥 + 𝑦) 
𝑐) ℎ(𝑥) = 
√𝑥 + 𝑦 − 3
3
𝑥 + 𝑦2 − 4
 
Questão 2 
As superfícies quádricas são as correspondentes tridimensionais das cônicas no plano. 
Estas superfícies podem ser identificadas, dentre outros aspectos, por meio de cortes a 
partir de diferentes inclinações. 
Associe as superfícies (indicadas por A) com os cortes correspondentes (destacados em) 
A. Elipsóide 
B. Parabolóide hiperbólico 
C. Hiperbolóide de uma folha 
D. Cone 
I. Cortes horizontais são elipses e 
os cortes verticais podem ser 
hipérboles ou par de retas. 
II. Todos os cortes são elipses. 
III. Cortes horizontais são hipérboles 
e cortes verticais são parábolas. 
IV. Cortes horizontais são elipses e 
cortes verticais são hipérboles. 
Assinale a alternativa que apresenta todas as associações corretas: 
a) A – II; B – III; C – IV; D – I. 
b) A – II; B – III; C – I; D – IV. 
c) A – III; B – II; C – IV; D – I. 
d) A – I; B – II; C – IV; D – III. 
e) A – II; B – I; C – III; D – IV. 
Questão 3 
 
 
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Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação de segundo grau nas três variáveis 
𝑥, 𝑦 e 𝑧. Com base em informações sobre essas superfícies, analise as equações e 
identifique a quádrica correspondente. 
𝑧2
9
=
𝑥2
4
+
𝑦2
9
 
 
𝑥2
4
+
𝑦2
4
+
𝑧2
4
= 1 
 
−
𝑥2
25
−
𝑦2
9
−
𝑧2
16
= 1 
 
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑧2 = 1 
𝑥2
4
+
𝑦2
16
+
𝑧2
9
= 1 
 
𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 
𝑧
9
=
𝑥2
16
+
𝑦2
16
 
 
 
Questão 4 
Uma interpretação possibilitada às derivadas parciais é a taxa de variação. Nesse caso, 
dado um ponto (x0, y0), a derivada parcial da função neste ponto em relação à variável 
y refere-se à taxa de variação da função ao longo de uma reta que passa pelo ponto e 
tem direção do eixo y. Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥5𝑦 + 3𝑥3𝑦2 + 5𝑥. 
Assinale a alternativa que apresenta a derivada parcial da função em relação a variável 
x. 
a) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 4𝑥
4 + 9𝑥2 + 5. 
b) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 5𝑥
4𝑦 + 9𝑥2𝑦2 + 5. 
c) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 5𝑥
5𝑦 + 18𝑥2𝑦 + 5. 
d) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 5𝑥
4 + 18𝑥2𝑦. 
e) 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 5𝑥
4 + 18𝑥2𝑦 + 5. 
Questão 5 
Considere a função 
 
 
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𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧2 + 𝑥𝑧3 
e o vetor 
�⃗� = (−
2
3
,−
1
3
,
2
3
) 
Qual a derivada direcional de 𝑓 em 𝑃(2,0,3) na direção de �⃗� ? 
a) 5/3. 
b) 10/3. 
c) 12. 
d) 24/3. 
e) 43/3. 
 
Questão 6 
As derivadas direcionais de funções de duas ou mais variáveis nos permitem determinar 
a taxa de variação da função em qualquer direção. 
Sabemos que se f é uma função diferenciável de x, y e z, então f tem derivada direcional 
na direção de qualquer vetor u⃗ = (a, b, c) e 
D𝐮f(x, y, z) = fx(x, y, z)a + fy(x, y, z)b + fz(x, y, z)c 
Podemos reescrever a derivada direcional da função f da seguinte forma: 
D𝐮f(x, y, z) = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)) ⋅ (a, b, c) = v⃗ ⋅ u⃗ 
Ou seja, a derivada direcional de f pode ser representada por meio do produto escalar 
entre os vetores v⃗ e u⃗ . O vetor 
v⃗ = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)) 
é chamado de gradiente da função f e pode ser denotado por v⃗ = ∇f. 
Após analisar estas características das derivadas direcionais, analise a seguinte situação: 
Considere que, em certa região do espaço, a temperatura do ar seja dada por 
T(x, y, z) = xy2z3 + x2y z3 + x2y3z 
 
 
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Suponha que um avião está, nesta região, localizado no ponto (−1,2,1). Sabendo que o 
piloto deseja resfriar o motor deste avião o mais rapidamente possível, em que direção 
deve voar? 
Questão 7 
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2𝑦2 + 𝑥3𝑦 + 3𝑦 + 𝑥 + 2 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥4𝑦3 − 𝑥𝑦2 + 3𝑦 + 1 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥3 − 𝑦2)5 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥2𝑧𝑦 + 𝑥𝑧𝑦2 
g) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣) = 𝑙𝑛𝑦 + 4𝑒𝑦𝑧 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 𝑤𝑥 + 𝑣 
Questão 8 
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo. 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥4𝑦 − 2𝑥3𝑦2 
b) 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝑠2 − 𝑡2) 
 
Parte 3: Estudo teórico complementar 
Agora você irá fazer um estudo dos temas dessa unidade. Para isso além de estudar o 
material do livro didático da disciplina, você deve acessar os links indicados e estudá-
los. Como sugestão para favorecer a aprendizagem dos tópicos a seguir, faça esquemas 
destacando as principais informações. Os esquemas são uma boa estratégia de estudo, 
pois o ajudam a sintetizar as ideias principais e a relacioná-las entre si. 
Para acessar ao link encaminhado você deve estar na página (deve realizar o login) 
biblioteca virtual e deve abrir uma nova guia copiando nela o link que disponibilizarei. 
Livro: Cálculo – volume 2 – 8ª edição. 
Autor: James Stewart 
Link (acessar a biblioteca digital): 
https://bit.ly/316zev9 
Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 808): 
Exercício Solução 
https://bit.ly/316zev9
 
 
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17 e 19 As respostas encontram-se ao final livro seção 14.1: 
https://bit.ly/2VePhqM 
 
Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 829): 
Exercício Solução 
15-27 somente os 
ímpares 
As respostas encontram-se ao final livro seção 14.3: 
https://bit.ly/2UYVAd5 
 
Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 856-857): 
Exercício Solução 
1-10 somente os 
ímpares 
As respostas encontram-se ao final livro seção 14.6: 
https://bit.ly/2IXzs1g 
31 
 
Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 865): 
Exercício Solução 
5 e 7 As respostas encontram-se ao final livro seção 14.7: 
https://bit.ly/2IXzs1g 
 
 
Bons Estudos!