Cálculo de volumes utilizando cascas esféricas e cascas cilíndricas

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Volumes por Cascas Cilíndricas 
Alguns problemas de volume são muito difíceis de lidar pelos métodos 
da seção anterior. Por exemplo, vamos considerar o problema de encontrar o 
volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região 
delimitada por𝑦 = 𝑥2 − 𝑥3 𝑒 𝑦 = 0. (Como na Figura 1.) Se a fatiarmos 
perpendicularmente ao eixo y, obteremos uma arruela. No entanto, para 
calcularmos os raios interno e externo da arruela, teríamos de resolver a 
equação cúbica 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥3 para x em termos de y, o que não é fácil. 
 
Felizmente, existe um método chamado método das cascas cilíndricas, 
que é mais fácil de usar em casos como esse. A Figura 2 mostra uma casca 
cilíndrica com raio interno r1, raio externo r2, e altura h. Seu volume V é 
calculado subtraindo-se o volume V1 do cilindro interno do volume V2 do 
cilindro externo: 
 
Se fizermos ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 (a espessura da casca) e 𝑟 =
1
2
(𝑟2 + 𝑟1) (o 
raio médio da casca), então a fórmula para o volume de uma casca cilíndrica 
se torna: 
Agora, considere S o sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da 
região limitada por 𝑦 = 𝑓(𝑥)[onde 𝑓(𝑥) ≥ 0 ], 𝑦 = 0, 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, onde𝑏 > 𝑎 ≥
0 (Figura 3.) 
 
Dividimos o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑛 subintervalos [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] de mesma 
largura Δx e consideramos �̅�𝑖 o ponto médio do i-ésimo subintervalo. Se o 
retângulo com base [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] e altura 𝑓(�̅�𝑖) é girado ao redor do eixo y, então o 
resultado é uma casca cilíndrica com raio médio �̅�𝑖 , altura 𝑓(�̅�𝑖) e espessura 
Δx (Figura 4), assim, pela fórmula seu volume é: 
 
Portanto, uma aproximação para o volume V de S é dada pela soma dos 
volumes dessas cascas: 
 
Essa aproximação parece tornar-se melhor quando . Mas, pela definição 
de uma integral, sabemos que: 
 
Então, a seguinte definição parece plausível: 
O volume do sólido na Figura 3, obtido pela rotação em torno do eixo y 
da região sob a curva de a até b, é: 
 
O uso do argumento das cascas cilíndricas faz a fórmula 
 parecer razoável, porém mais tarde seremos capazes de 
demonstrá-la. 
A melhor maneira para se lembrar da Fórmula 2 é pensar em uma casca 
típica, cortada e achatada como na Figura 5, com raio x, circunferência 2𝜋𝑥, 
altura e espessura Δx ou dx: 
 
 
Esse tipo de argumento será útil em outras situações, tais como quando 
giramos em torno de outras retas além do eixo y. 
Exemplo 1: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y 
da região delimitada por 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥3 e y= 0. 
Solução: No esboço da figura 6 é possível observar que uma casca típica tem 
raio x, circunferência 2𝜋𝑟 e altura 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑥3 . Então, pelo método das 
cascas, o volume é: 
 
Pode-se verificar que o método das cascas fornece a mesma resposta 
que o método das fatias. 
 
Exemplo 2: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y 
da região entre 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥2. 
Solução: A região e uma casca típica são mostradas na figura 8. Vemos que a 
casca tem raio x, circunferência 2𝜋𝑟 e altura 𝑥 − 𝑥2 . Assim, o volume é 
 
Exemplo 3: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região 
delimitada por em torno da reta x=2. 
Solução: A Figura 10 mostra a região e a casca cilíndrica formada pela rotação 
em torno da reta x= 2. Esta tem raio 2-x, circunferência 2𝜋(2 − 𝑥) e altura 𝑥 −
𝑥2. 
 
 
 
O volume do sólido dado é: 
 
Referências bibliográficas 
[1] Stewart, James. Cálculo, volume I / James Stewart ; [tradução EZ2 
Translate]. -- São Paulo : Cengage Learning, 2013. 
[2] Aplicações de Integração. Disponível em: 
https://www.ime.usp.br/~brolezzi/disciplinas/20202/mat1352/Stewart0603casca
s.pdf. Acesso em 17/08/2021