Nem sempre o método de secções transversais gera rotações simples de avaliar. Nesses casos, o método das cascas cilíndricas serve como alternativa....

Para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y, com y = x², y = 6x – 2x², podemos utilizar o método das cascas cilíndricas. O primeiro passo é encontrar o intervalo de integração, que é dado pela interseção das duas curvas. y = x² e y = 6x – 2x² x² = 6x – 2x² 3x² – 6x = 0 3x(x – 2) = 0 x = 0 ou x = 2 Assim, o intervalo de integração é [0, 2]. O raio das cascas cilíndricas é dado pela distância entre a curva mais externa (y = 6x – 2x²) e o eixo y. r = 6x – 2x² O volume de cada casca cilíndrica é dado por: dV = 2πrh dx Substituindo r: dV = 2π(6x – 2x²)x² dx Integrando de 0 a 2: V = ∫₀² 2π(6x – 2x²)x² dx V = 2π ∫₀² (6x³ – 2x⁴) dx V = 2π [3x⁴/2 – 2x⁵/5] de 0 a 2 V = 2π [(3(2)⁴/2 – 2(2)⁵/5) – (3(0)⁴/2 – 2(0)⁵/5)] V = 2π [(24 – 25.6/5)] V = 2π [(24 – 5.12)] V = 2π [18.88] V = 37.76π Portanto, a alternativa correta é a letra E) 9π.