7_Exercícios_extras_capítulo3

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Lista de Exercícios 
Introdução à Estatística (capítulo 3) 
DEVORE, J. L. (2006). Probabilidade e Estatística: para Engenharia e Ciências. 6ª ed., São 
Paulo: Pioneira Thompson Learning 
Seção 3.6 - Distribuição de probabilidade de Poisson 
 
75. Seja X o numero de falhas na superfície de uma cadeira de um determinado tipo 
selecionada aleatoriamente, com distribuição de Poisson de parâmetro λ=5. 
a) P(X ≤ 8) 
b) P(X = 8) 
c) P(X = 9) 
d) P(5 ≤ X ≤ 8) 
e) P(5 < X < 8) 
 
79. Um artigo no Los Angeles Times (3 de dezembro de 1993) relata que 1 em 200 pessoas 
possui o gene recessivo que causa câncer de cólon hereditário. Em uma amostra de 1000 
indivíduos, qual é a distribuição aproximada do número dos que possuem o gene? Use essa 
distribuição para calcular a probabilidade aproximada de: 
a) Entre 5 e 8 (inclusive) possuírem o gene. 
b) Ao menos 8 possuírem o gene. 
 
81. Suponha que pequenas aeronaves pousem em um aeroporto, de acordo com um processo 
de Poisson, com a taxa α=8 por hora, de forma que o número de pousos durante um período 
de tempo de t horas é uma va de Poisson com parâmetro λ=8t. 
a) Quais são as probabilidades de exatamente seis aeronaves pequenas chegarem 
durante um período de uma hora? Ao menos seis? Ao menos 10? 
b) Qual é o valor esperado e o desvio padrão do número de pequenas aeronaves que 
chegam durante um período de 90 minutos? 
c) Qual é a probabilidade de ao menos 20 aeronaves pequenas chegarem durante um 
período de 2 horas e meia? De no máximo 10 chegarem nesse período? 
 
83. O numero de solicitações de assistência recebido por um serviço de guincho é um processo 
de Poisson com taxa α=4 por hora. 
a) Calcule a probabilidade de exatamente dez solicitações chegarem em um certo período 
de 2 horas. 
b) Se os operadores do serviço de guincho tirarem 30 minutos para o almoço, qual é a 
probabilidade de não perderem nenhum chamado de assistência? 
c) Quantas ligações você espera que ocorram durante o almoço? 
 
85. O artigo “Reliability-Based Service-Life Assessment of Aging Concrete Structures” (J. 
Structural Engr., 1993, p. 1600-1621) sugere que um processo de Poisson pode ser usado para 
representar a ocorrência de cargas estruturais no tempo. Suponha que o tempo médio entre as 
ocorrências de cargas seja 0,5 ano. 
a) Quantas cargas podem ser esperadas durante um período de dois anos? 
b) Qual é a probabilidade de mais de cinco cargas ocorrerem durante um período de dois 
anos? 
c) Quanto tempo deve ter um período para que a probabilidade de não ocorrerem cargas 
seja no máximo 0,1? 
 
87. Suponha que as árvores sejam distribuídas em uma floresta de acordo com um processo 
bidimensional de Poisson com parâmetro α. O número esperado de árvores por acre é igual a 
80. 
a) Qual a probabilidade de que em um quarto de acre haja no máximo 16 árvores? 
b) Se a floresta cobrir 85.000 acres, qual será o número esperado de árvores na floresta? 
c) Suponha que você selecione um ponto na floresta e construa um círculo de raio 0,1 
milha. Seja X = número de árvores na região circular. Qual é a fmp de X? (Sugestão: 1 
milha quadrada = 640 acres.) 
 
LARSON, R.; FARBER, B. (2004). Estatística Aplicada. São Paulo: Pearson Prentice Hall 
Capítulo 4 Seção 4.1 – Distribuições de probabilidade 
1. O que é uma variável aleatória? Dê um exemplo de variável aleatória discreta e de uma 
contínua. Justifique sua resposta. 
Verdadeiro ou falso 
Nos exercícios 3 e 5, determine se a proposição é verdadeira ou falsa. Se for falsa, reescreva-a 
em sua forma verdadeira. 
3. Na maior parte das aplicações, as variáveis aleatórias contínuas representam dados de 
contagem, enquanto as discretas representam dados de medida. 
5. A média de uma variável aleatória representa a “média teórica” de um experimento 
probabilístico e algumas vezes não é um resultado possível. 
Diferenciando variáveis aleatórias discretas e contínuas 
Nos exercícios 9-12, determine se a variável aleatória x é discreta ou contínua. Explique seu 
raciocínio. 
9. x representa o número anual de mortes nas rodovias do Texas 
10. x representa o volume de sangue retirado para um exame 
11. x representa o número de livros vendidos por trimestre em uma livraria. 
12. x representa a quantidade de neve (em polegadas) caída no Alasca no último inverno. 
Capítulo 4 Seção 4.3 – Mais distribuições discretas de probabilidade 
Determinando uma distribuição 
Nos exercícios 1-3, determine qual é a distribuição de probabilidade – binomial ou de Poisson 
– que se aplica à questão. Justifique sua escolha. Não é preciso responder à pergunta. 
2. O número médio de petroleiros em um porto é oito por dia. O porto tem infraestrutura para 
dar conta de até 12 em um dia. Qual é a probabilidade de que mais petroleiros do que é 
possível cheguem em um determinado dia? 
3. Dentre os estudantes com idade entre 16 e 18 anos e notas A ou B que planejam ingressar 
na faculdade, 80% colaram nas provas para conseguir notas maiores. Foram escolhidos ao 
acaso estudantes com conceitos médios A ou B que planejavam ir para a faculdade. A eles foi 
perguntado o seguinte: “Você colou para obter notas maiores?”. Qual é a probabilidade de 
que exatamente dois estudantes respondam “não”? 
Aplicando a distribuição de Poisson para obter probabilidades 
Nos exercícios 6 e 7, obtenha a probabilidade indicada usando a distribuição de Poisson. Se for 
conveniente, use uma tabela de probabilidade de Poisson ou alguma ferramenta tecnológica 
para obter a probabilidade. 
6. Recentemente nos Estados Unidos, o número médio de falências por hora era oito. Obtenha 
a probabilidade de que ocorram: 
a) Exatamente quatro falências em uma determinada hora; 
b) Pelo menos quatro falências em uma determinada hora; 
c) Mais do que quatro falências em uma determinada hora. 
7. Um grande furacão é aquele no qual a velocidade dos ventos é de 111 milhas por hora ou 
mais. De 1900 a 1999, o número médio de grandes furacões que atingiram anualmente a 
porção continental dos Estados Unidos foi de cerca de 0,6. Obtenha a probabilidade de que em 
um determinado ano: 
a) Exatamente um grande furacão chegue à porção continental dos Estados Unidos; 
b) No máximo um grande furacão atinja a porção continental dos Estados Unidos; 
c) Mais de um grande furacão cause devastação na porção continental dos Estados 
Unidos. 
Montgomery, D. C.; Runger, G. C. (2003). Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. 2ª ed, Rio de Janeiro: LTC 
Seção 4.2. Distribuições de probabilidades e funções de probabilidade 
4.11. O espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, d, e, f} e cada resultado é 
igualmente provável. Uma variável aleatória é definida como segue: 
Resultado a b c d e f 
X 0 0 1,5 1,5 2 3 
Determine a função de probabilidade de X. 
Verifique as funções de probabilidade e determine as probabilidades requeridas: 
4.13. 
a) P(X≤2) 
b) P(X> -2) 
x -2 -1 0 1 2 
p(x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8 
c) P(-1≤X≤1) 
d) P(X≤ -1 ou X=2) 
4.15. p(x) =	������ , x= 0, 1, 2, 3, 4 
a) P(X=4) 
b) P(X≤1) 
c) P(2≤X<4) 
d) P(X>-10) 
4.17. O setor de comercialização estima que um novo instrumento para analise de amostras de 
solo terá grande sucesso, moderado sucesso não terá sucesso, com probabilidades de 0,3; 0,6 
e 0,1 respectivamente. A receita anual associada com um produto de grande sucesso, 
moderado sucesso ou nenhum sucesso é de R$10 milhões, R$5 milhões e R$1 milhão, 
respectivamente. Faça a variável aleatória X denotar a renda anual do produto. Determine a 
função de probabilidade de X. 
4.19. Em um processo de fabricação de semicondutores, três pastilhas de um lote são 
testadas. Cada pastilha é classificada como passa ou falha. Suponha que a probabilidade de 
uma pastilha passar no teste seja de 0,8 e que as pastilhas sejam independentes. 
a) Qual é a probabilidade deque todas as três pastilhas passem no teste? 
b) Determine a função de probabilidade do número de componentes no arranjo que 
encontram as especificações. 
4.21. Um arranjo consiste em três componentes mecânicos. Suponha que as probabilidades do 
primeiro, do segundo e do terceiro componentes encontrarem as especificações sejam iguais a 
0,95; 0,98 e 0,99. Considere que os componentes sejam independentes. 
a) Qual a probabilidade de que todos os componentes em um arranjo encontrem as 
especificações? 
b) Determine a função de probabilidade do número de componentes no arranjo que 
encontram as especificações? 
TRIOLA, M. F. (2013). Introdução à Estatística: Atualização da Tecnologia. 11ª ed., Rio de 
Janeiro: LTC 
Seção 5.2 – Variáveis Aleatórias 
25. No jogo Pick 3 da loteria de Illinois, você paga 50 centavos para selecionar uma sequência 
de três dígitos, como 233. Se você seleciona a mesma sequência de três dígitos que é extraída, 
você ganha e recebe US$ 250. 
a) Quantas seleções são possíveis? 
b) Qual é a probabilidade de ganhar? 
c) Se você ganha, qual seu lucro líquido? 
d) Ache o valor esperado. 
e) Se você aposta 50 centavos no jogo Pick 4 de Illinois, o valor esperado é de -25 
centavos. Qual é melhor: uma aposta de 50 centavos no jogo Pick 3 de Illinois ou uma 
aposta de 50 centavos no jogo Pick 4 de Illinois? Explique. 
29. Há uma probabilidade de 0,9986 de que um homem de 30 anos de idade, selecionado 
aleatoriamente, sobreviva este ano. A companhia Fidelity de seguros cobra US$ 161 para 
segurar que o homem sobreviva este ano. Se o homem não sobrevive ao ano, a apólice paga 
US$ 100.000 como benefício por morte. 
a) Da perspectiva de um homem de 30 anos, quais são os valores correspondentes aos 
dois eventos de sobreviver e não sobreviver ao ano? 
b) Se um homem de 30 anos compra a apólice, qual é o seu valor esperado? 
c) A companhia pode esperar lucrar com muitas dessas apólices? Por quê? 
Seção 5.3 – Distribuição de Probabilidade Binomial 
39. Em uma pesquisa com 320 graduados em faculdades, 36% relataram que permaneceram 
em seu primeiro emprego de tempo integral menos de um ano. 
a) Se 15 sujeitos pesquisados são selecionados aleatoriamente sem reposição para uma 
pesquisa de acompanhamento, ache a probabilidade de que 5 deles tenham 
permanecido em seu primeiro emprego menos de um ano. 
b) Se parte de a) é alterada, de modo que 20 sujeitos de pesquisa selecionados, explique 
por que a fórmula da probabilidade binomial não pode ser usada. 
Exercícios de Revisão 
10. Na análise dos locais atingidos por bombas V1 na Segunda Guerra Mundial, Londres foi 
subdivida em 576 regiões, cada uma com 0,25 km². Um total de 535 bombas atingiu a área 
combinada de 576 regiões. 
a) Qual número médio de bombas por região? 
b) Se uma região é selecionada aleatoriamente, ache a probabilidade de que ela não 
tenha sido atingida. 
c) Com base na probabilidade da parte b), quantas das 576 regiões se espera que não 
tenham sido atingidas? 
d) Na verdade, houve 229 regiões que não foram atingidas. Como esse resultado real se 
compara com o resultado da parte c)? 
Walpole, R. E.; Myers, R. H.; Myers, S. L.; Ye, K. (2009) Probabilidade & Estatística para 
Engenharia e Ciências. 8ª ed., São Paulo: Prentice Hall Brasil 
Seções 3.1 – Conceito de Variável Aleatória, 3.2 – Distribuições de probabilidades discretas 
3.3 Considere W a variável aleatória definida como o número de caras menos o número de 
coroas em três jogadas de uma moeda. Lista os elementos do espaço amostral para três 
lançamentos da moeda e, para cada ponto amostral, atribua um w valor de W. 
3.5 Determine o valor c de modo que cada uma das seguintes funções possa servir como 
distribuição de probabilidade da variável aleatória discreta X. 
a) ��	
 = ��	� + 4
, para x=0, 1, 2, 3; 
b) ��	
 = � �2	�	� 33 − 	�, para x= 0, 1, 2. 
3.13 A distribuição de probabilidade de X, o número de imperfeições a cada dez metros de um 
tecido sintético produzido em rolos contínuos de largura uniforme, é dada por: 
x 0 1 2 3 4 ��	
 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01 
Construa a função de distribuição acumulada de X. 
Respostas 
DEVORE, J. L. (2006). Probabilidade e Estatística: para Engenharia e Ciências. 6ª ed., São 
Paulo: Pioneira Thompson Learning 
75. a) 0,932 b) 0,065 c) 0,068 d) 0,492 e) 0,251 
 
79. Poisson(5) a) 0,492 b) 0,133 
 
81. a) 0,313; 0,809; 0,283 b) 12; 3,464 c) 0,530; 0,011 
 
83. a) 0,099 b) 0,135 c) 2 
 
85. a) 4 b) 0,215 c) Pelo menos –ln(0,1)/2≈1,1513 anos 
 
87. a) 0,221 b) 6.800,000 c) p(x; 20,106) 
 
LARSON, R.; FARBER, B. (2004). Estatística Aplicada. São Paulo: Pearson Prentice Hall 
Capítulo 4 Seção 4.1 – Distribuições de probabilidade 
1. Uma variável aleatória representa um valor numérico atribuído a um resultado de um 
experimento probabilístico. 
3. Falso. Na maioria das aplicações, variáveis aleatórias discretas representam dados que 
podem ser contados, enquanto as variáveis aleatórias contínuas representam dados que 
podem ser medidos. 
5. Verdadeiro 
9. Discreta, pois a variável aleatória é contável. 
10. Contínua, pois a variável aleatória não pode ser contada. 
11. Discreta, pois a variável aleatória é contável. 
12. Contínua, pois a variável aleatória não pode ser contada. 
Capítulo 4 Seção 4.3 – Mais distribuições discretas de probabilidade 
2. Poisson. Estamos interessados em contar o número de ocorrências dentro de uma dada 
unidade de espaço. 
3. Binomial. Estamos interessados em contar o número de sucessos em n tentativas. 
6. µ = 8 
a) P(4) = 84e-8/4! ≈ 0,057 
b) P(x ≥ 4) = 1 – (P(0) + P(1) + P(2) + P(3)) 
≈ 1 – (0,0003 + 0,0027 + 0,0107 + 0,0286) 
= 0,9577 
c) P(x > 4) = 1 – (P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)) 
≈ 1 – (0,0003 + 0,0027 + 0,0107 + 0,0286 + 0,0573) 
= 0,9004 
7. (a) 0,3293 (b) 0,8781 (c) 0,1219 
Montgomery, D. C.; Runger, G. C. (2003). Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. 2ª ed, Rio de Janeiro: LTC 
Seção 4.2. Distribuições de probabilidades e funções de probabilidade 
4.11. f(0) = 1/3, f(1,5) = 1/3, f(2) = 1/6, f(3) = 1/6 
4.13. Todas as probabilidades são maiores que 0 e menores do que 1 e totalizam um. 
a.1 b. 0 c. 3/4 d. ½ 
4.15. Todas as probabilidades são maiores que 0 e menores do que 1 e totalizam um. 
a. 9/25 b. 4/25 c. 12/25 d. 1 
4.17. P(X = 10 milhões) = 0,3. 
 P(X = 5 milhões) = 0,6. 
 P(X = 1 milhão) = 0,1 
4.19. a) 0,512 
 b) P(X = 0) = 0,008. 
 P(X = 1) = 0,096. 
 P(X = 2) = 0,384. 
 P(X = 3) = 0,512. 
4.21. a) 0,92169 
 b) P(X = 0) = 0,00001. 
 P(X = 1) = 0,00167, 
 P(X = 2) = 0,07663. 
 P(X = 3) = 0,92169 
TRIOLA, M. F. (2013). Introdução à Estatística: Atualização da Tecnologia. 11ª ed., Rio de 
Janeiro: LTC 
Capítulo 5 – Seção 5.2 
25. a) 1000 b) 0,001 c) 249,50 dólares d) -25 centavos 
e) Como ambos os jogos têm o mesmo valor esperado, nenhuma aposta é melhor que a outra. 
29. a) -161 dólares e 99.839 dólares b) -21 dólares 
c) Sim, pois o valor esperado para a companhia de seguros é 21 dólares, que indica que a 
companhia pode esperar obter uma média de 21 dólares por cada uma das apólices. 
Seção 5.3 
39. a) 0,209 
b) Diferentemente de a), os 20 sujeitos selecionados são mais do que 5% dos 320 sujeitos 
disponíveis, de modo que a independência não pode ser admitida pela diretriz dos 5%. O 
requisito de independência para a probabilidade binomial não é satisfeito. 
Exercícios de Revisão 
10. a) 0,929 b) 0,395 c) 227,5 regiões d) O resultado real de 229 está 
muito próximo do resultado calculado. 
Walpole, R. E.; Myers, R. H.; Myers, S. L.; Ye, K. (2009) Probabilidade & Estatística para 
Engenharia e Ciências. 8ª ed., São Paulo: Prentice Hall Brasil 
3.3 
 
 
 
 
 
3.5 (a) 1/30; (b) 1/10. 
Espaço Amostralw 
HHH 
HHT 
HTH 
THH 
HTT 
THT 
TTH 
TTT 
3 
1 
1 
1 
-1 
-1 
-1 
-3 
3.13 ��	
 =
��
�
��
0, 	 < 00,41, 0 ≤ 	 < 10,78, 1 ≤ 	 < 20,94, 2 ≤ 	 < 30,99, 3 ≤ 	 < 41, 	 ≥ 4