4 produtos notaveis

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Matemática 100% Prof. Wilder
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PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação. 
Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis. 
A. Quadrado da Soma de Dois Termos 
B. Quadrado da Diferença de Dois Termos 
C. Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos 
D. Cubo da Soma de Dois Termos 
E. Cubo da Diferença de Dois Termos 
Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra expressão que 
a) seja equivalente à expressão dada; 
b) esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto notável. 
Há diversas técnicas de fatoração que estudaremos em seguida, supondo a, b, x e y expressões não fatoráveis. 
A. Fator Comum 
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal ou misto; em seguida colocamos em evidência esse fator comum, simplificamos a expressão deixando em parênteses a soma algébrica. 
Observe os exemplos abaixo. 
B. Agrupamento 
Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos entre os quais haja um fator comum, em seguida, colocar o fator comum em evidência.
Observe: 
C. Diferença de Quadrados 
Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de quadrados sempre que dispusermos da diferença entre dois monômios cujas literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de tais expressões é obtida com os seguintes passos: 
1º) Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio; 
2º) Dividimos por dois os expoentes das literais;
3º) Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios assim obtidos. 
Por exemplo, a expressão a² – b² seria fatorada da seguinte forma 
D. Trinômio Quadrado Perfeito 
Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio quadrado perfeito sempre que resultar do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios.
Por exemplo, o trinômio x4 + 4x2 + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x² + 2)² .
São, portanto, trinômios quadrados perfeitos todas as expressões da forma a2 ± 2ab + b2, fatoráveis nas formas seguintes: 
E. Trinômio Quadrado da Forma ax² + bx + c 
Supondo sejam x1 e x2 as raízes reais do trinômio, , dizemos que:
Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau podem ser calculadas através da fórmula de Bhaskara:
F. Soma de diferença de cubos
Se efetuarmos o produto do binômio a + b pelo trinômio a² – ab + b², obtemos o seguinte desenvolvimento:
O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis que nos permitem concluir que, para fatorarmos uma soma ou diferença de cubos, basta-nos inverter o processo anteriormente demonstrado.
Assim, dizemos que:
Exercícios 
1) Resolvendo o quadrado da soma (x+2)²-(x+4)²+4x+12 e depois reduzindo o termo semelhante temos:
a)0
b)1
c)2
d)3
 2) Resolvendo o quadrado da diferença (3x-1)²-6x²+6x e depois reduzindo o termo semelhante temos:
a) x²+1
b) 2x²+1
c) 3x²+1
d) 4x²+1
 3) Resolvendo o quadrado da soma pela diferença (x+1/2)(x-1/2)+3/4 e depois reduzindo o termo semelhante temos:
a)x+1/2
b)x²+1/2
c)x³+1/2
d)1/2
 4) Efetuando o cubo da soma (5x+3y)³ tem-se a raíz quadrada do coeficiente angular de x²y é:
a)0
b)5
c)15
d)25
5) ao fatorar o polinomio encontramos o fator comum:
a)xy
b)3y
c)3x
d)3xy
6) Fatorando o trinomio quadrado perfeito 16x²-72xy+81y², encontramos:
a) (4x-9y)²
b) (4x-9y)
c) (4x+9y)²
d) (9x-4y)²
7) Resolvendo as fatorações de 3x²-75 de modo que não seja mais possível, encontramos:
a)3(x+5)(x-5)
b)3(x²-25)
c)(x+5)(x-5)
d) n.d.a
8) (OBM) se x+y = 8 e xy = 15, qual é o valor de x²+6xy+y²?
a) 64
b) 109
c) 120
d) 124
e) 154
9) (CEFET) Se (x+y) = 1 e x²+y² = 2, então x³+y³ é igual a:
a) 3,5
b) 3
c) 2,5
d) 2
10) (OBM) Se x e y são números reais tais que x³+y³=5(x+y), x²+y²=4 e x+y0, determine o valor de xy.
a) 4
b) 3
c) 1
d) 0
e) -1
Gabarito: 
1- A
2- C
3- B
4- C
5- D
6- A
7- A
8- D
9- C
10- E
2
2
2
2
15
9
6
xy
y
x
y
x
+
-
¹