CALCULOINTEGRAL AOL 4

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1. Pergunta 1
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Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, auxiliam na resolução daqueles que não podem ser facilmente determinada pelo conhecimento de algumas derivadas e antiderivadas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como integral por partes.
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração:
( ) Orientar-se pelo LIATE.
( ) Determinação de du e v.
( ) Identificar os tipos de funções.
( ) Substituição do u e dv.
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
2, 4, 1, 5, 3.
2. 
2, 1, 3, 4, 5.
3. 
3, 4, 2, 1, 5.
4. 
5, 2, 3, 4, 1.
5. 
2, 4, 1, 3, 5.
Resposta correta
2. Pergunta 2
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O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em reescrever a função como a soma de frações cujos denominadores são fatores do denominador original e, apenas após isso, realizar a integração de fato.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por frações parciais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser calculada pelo método da integração de frações parciais.
Porque:
II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas divisões polinomiais, obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), para então integrar utilizando a regra da integral da soma de vários termos.
Agora, assinale a alternativa correta:
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1. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
2. 
As asserções I e II são proposições falsas.
3. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
Resposta correta
5. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
3. Pergunta 3
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A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral pauta-se na identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos por um método ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, frações parciais, integrais por partes e afins.
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a seguir:
I.  pode ser resolvida pelo método de frações parciais.
II.  pode ser resolvida pelo método de substituição u du.
III.  é solúvel pelo método das substituições trigonométricas.
IV.  pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
III e IV.
2. 
I, II e III.
3. 
I, II e IV.
Resposta correta
4. 
II e IV.
5. Incorreta: 
II, III e IV.
4. Pergunta 4
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Para a resolução de integrais, deve-se saber identificar qual método utilizar pela forma de seus integrandos, ou seja, pela forma das funções que estão dentro das integrais. Certos tipos de métodos só são aplicáveis a integrandos específicos, como é o caso do método de integração por substituições trigonométricas.
De acordo com seus conhecimentos sobre o método de integração por substituições trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( )  é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica.
II. ( )  é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica.
III. ( )  é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica.
IV. ( )  é um integrando que pode ser resolvido por substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, F.
2. 
F, F, V, F.
3. 
V, F, F, V.
4. 
V, V, V, F.
Resposta correta
5. 
F, V, F, V.
5. Pergunta 5
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As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x).
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos:
1) x²/√(4 – x²).
2) 1/√(16 + x²).
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16).
4) (x² – 16).
( ) Substituição x = 2sen(w).
( ) Substituição x = 4sec(w).
( ) Substituição x = 4tg(w).
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
2, 1, 3, 4.
2. Incorreta: 
1, 4, 3, 2.
3. 
1, 4, 2, 3.
Resposta correta
4. 
1, 3, 2, 4.
5. 
2, 3, 1, 4.
6. Pergunta 6Crédito total dado
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As técnicas de integração servem para possibilitar a resolução do cálculo de uma integral indefinida, onde muitas vezes não há um passo direto para encontrarmos a primitiva F(x) de uma certa função f(x). Dessa forma, dependendo do arranjo algébrico dos termos de f(x), decidimos por diferentes técnicas de integração, como o método da substituição, o da integração por partes, o das frações parciais, e etc.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida pelo método de integração por partes e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral da função f(x) = (x+1)³(x-1) só pode ser calculada pela regra da integração por partes, por se tratar do produto de duas funções.
II. ( ) A técnica de integração por partes é dada pela seguinte fórmula: 
III. ( ) A primitiva de g(x) = ln(x) é G(x) = xln(x) - x + C.
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = xsen(x) é aproximadamente igual a 6,28.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
V, V, F, F.
2. 
F, V, F, V.
3. 
V, F, F, V.
4. 
F, V, V, V.
Resposta correta
5. 
F, F, V, F.
7. Pergunta 7
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O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a integração por substituições trigonométricas possui diversas aplicações no escopo do cálculo e da física, já que, muitas vezes, essas substituições são as únicas saídas para resolver uma integral definida cujo valor numérico equivale, por exemplo, à área sob uma curva, a um volume de rotação ou translação, ao comprimento de um arco, etc.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir:
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições trigonométricas em integrais, pois isolando y encontramos a raiz de a² – x².
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a substituição x = asen(w), devido ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w.
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição para integração em casos específicos, nos quais pode-se recorrer a certas substituições, baseando-se nas identidades trigonométricas, para chegar a expressões integráveis.
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições trigonométricas, nem sempre é preciso retornar à variável x original.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II e III.
2. 
I e III.
3. 
II e IV.
4. 
I, II e IV.
5. 
I, II e III.
Resposta correta
8. Pergunta 8
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A matemáticapauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas funções é relevante para a integração por partes porque:
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1. Incorreta: 
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
2. 
deve-se derivar as funções antes de integrá-las
3. 
ambas são axiomas da matemática.
4. 
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral por partes.
5. 
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do método de integração por partes.
Resposta correta
9. Pergunta 9
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O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em separar a função em duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C.
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv = cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
As asserções I e II são proposições falsas.
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
3. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta correta
5. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
10. Pergunta 10
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As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de funções racionais por frações parciais é essencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que:
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o método das frações parciais ou fazer alguma outra substituição para sua resolução.
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, as quais são mais fáceis de se integrar.
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como uma soma de frações parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P.
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2).
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
III e IV.
2. 
II e III.
3. 
I, II e IV.
Resposta correta
4. 
I e III.
5. 
II e IV.