Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário Cálculo Integral

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1. 
1. 
2. Pergunta 1
/1
O método de integração por substituições trigonométricas é um dos mais trabalhosos e complexos métodos. Busca-se, com ele, a realização de uma substituição a partir de funções trigonométricas específicas para a eliminação de uma estrutura determinada do integrando.
Com base no seu conhecimento acerca desse método de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O método trabalha com a eliminação de radicais específicos do integrando.
II. ( ) x= asen( ) é uma das substituições possíveis.
III. ( ) O conhecimento acerca das relações trigonométricas é dispensável para resolução desse método.
IV. ( ) Há ligação entre o círculo trigonométrico e esse método de integração.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
F, F, V, V.
2. 
V, V, F, F.
3. 
V, V, V, F.
4. 
V, V, F, V.
Resposta correta
5. 
V, F, F, F.
3. Pergunta 2
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O método da integração por partes possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em separar a função em duas partes, de preferência de forma que uma das expressões seja mais fácil de se derivar, e a outra, mais fácil de se integrar. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por partes, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral indefinida da função f(x) = (e^x)cos(x) é igual a (e^x)[sen(x)+cos(x)]/2 + C.
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por partes e tomando inicialmente u = e^x e dv = cos(x)dx, de forma que du = (e^x)dx e v = sen(x), ao integrar a função dada por partes, obtém-se outra expressão com uma integral parecida, e novamente é realizada a técnica de integração por partes. Após isso, se isola a integral cujo cálculo é desejado para encontrar a primitiva F(x) da função f(x). 
Agora, assinale a alternativa correta:
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1. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
2. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
3. 
As asserções I e II são proposições falsas.
4. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
5. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta correta
4. Pergunta 3
/1
A escolha de um método de integração para a resolução de uma determinada integral pauta-se na identificação dos integrandos presentes nas integrais, ou seja, identificar se eles se tornam mais fáceis de serem resolvidos por um método ou outro. Os métodos mais comuns para esse uso são os de substituições trigonométricas, frações parciais, integrais por partes e afins.
Utilizando seus conhecimentos sobre os métodos de integração, analise as afirmativas a seguir:
I.  pode ser resolvida pelo método de frações parciais.
II.  pode ser resolvida pelo método de substituição u du.
III.  é solúvel pelo método das substituições trigonométricas.
IV.  pode ser resolvida pelo método de substituição trigonométrica
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II, III e IV.
2. 
III e IV.
3. 
I, II e III.
4. 
II e IV.
5. 
I, II e IV.
Resposta correta
5. Pergunta 4
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Algumas funções algébricas requerem substituições especiais para a resolução analítica de sua integral. Utiliza-se o recurso de substituição para conseguir evidenciar algum termo que possua integração mais simples, e isso ocorre, por exemplo, em integrais de funções com raízes, nas quais nos valemos, muitas das vezes, de identidades trigonométricas.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = √(x²-4) e g(x) = 1/√(x²+4) e também seus conhecimentos sobre o método da integração por substituições trigonométricas desses tipos de funções, é correto afirmar que:
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1. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [0, pi/2[ ou [pi, 3pi/2].
2. 
ambas as funções possuem o argumento de sua expressão trigonométrica correspondente restrito no intervalo [-pi/2, pi/2].
3. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = asen(w).
4. 
f(x) requer substituição x = asec(w) e g(x) requer substituição x = atg(w).
Resposta correta
5. 
ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais
6. Pergunta 5
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A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos vão gerando outros, e assim sucessivamente.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas funções é relevante para a integração por partes porque:
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1. 
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral por partes.
2. 
deve-se derivar as funções antes de integrá-las
3. 
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
4. 
ambas são axiomas da matemática.
5. 
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do método de integração por partes.
Resposta correta
7. Pergunta 6
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O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz respeito à integração de funções mais complexas do que as habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método consiste em substituir um dos termos por uma função trigonométrica, para que se encontre alguma identidade que simplifica a expressão, possibilitando a sua integração. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por substituições trigonométricas, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada pelo método da substituição trigonométrica, por meio da substituição x = 2sec(w).
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x = 2sec(w), temos que √(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e como sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na fórmula inicial e integrando, encontramos a expressão dada.
Agora, assinale a alternativa correta:
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1. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
4. 
As asserções I e II são proposições falsas.
Resposta correta
5. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
8. Pergunta 7
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As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x).
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir com os processos de substituição descritos:
1) x²/√(4 – x²).
2) 1/√(16 + x²).
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16).
4) (x² – 16).
( ) Substituição x = 2sen(w).
( ) Substituição x = 4sec(w).
( ) Substituição x = 4tg(w).
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
2, 3, 1, 4.
2. 
1, 3, 2, 4.
3. 
2, 1, 3, 4.
4. 
1, 4, 2, 3.
Resposta correta
5. 
1, 4, 3, 2.
9. Pergunta 8
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As funções racionais possuem diversas aplicações em diversos estudos de fenômenos modelados matematicamente, de forma que o conhecimento da regra de integração de funções racionais por frações parciais éessencial para o bom aproveitamento dos conceitos estudados. 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre regras de integração de funções racionais por frações parciais, é correto afirmar que:
I. f(x) = cos(x)/sen(x) é uma função integrável pelo fato de ser possível aplicar o método das frações parciais ou fazer alguma outra substituição para sua resolução.
II. Funções racionais podem ser expressas como a soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, as quais são mais fáceis de se integrar.
III. Sendo f a função racional tal que f(x) = P(x)/Q(x), então f pode ser expressa como uma soma de frações parciais desde que o grau de Q seja menor que o grau de P.
IV. g(x) = (x+5)/(x² + x - 2) pode ser reescrita como g(x) = 2/(x-1) – 1/(x+2).
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e III.
2. 
III e IV.
3. 
I e III.
4. 
II e IV.
5. 
I, II e IV.
Resposta correta
10. Pergunta 9
/1
Os métodos de integração auxiliam na resolução de integrais não triviais, ou seja, auxiliam na resolução daqueles que não podem ser facilmente determinada pelo conhecimento de algumas derivadas e antiderivadas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como integral por partes.
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração:
( ) Orientar-se pelo LIATE.
( ) Determinação de du e v.
( ) Identificar os tipos de funções.
( ) Substituição do u e dv.
( ) Substituição na fórmula de integração por partes e resolução da integral.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
2, 4, 1, 3, 5.
Resposta correta
2. 
3, 4, 2, 1, 5.
3. 
2, 4, 1, 5, 3.
4. 
2, 1, 3, 4, 5.
5. 
5, 2, 3, 4, 1.
11. Pergunta 10
/1
Os métodos de integração buscam auxiliar na resolução das integrais, em geral reescrevendo as integrais complexas em integrais mais simples e facilmente solucionáveis.
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca dos métodos de integração, associe os itens a seguir com os significados descritos:
1) Integração por partes.
2) Integração por substituição trigonométrica.
3) Integração por frações parciais.
4) Integração por substituição u du.
( ) Método de substituição mais simples, que pode ser utilizado em inúmeros casos de integrais.
( ) Útil para integração de certos tipos de produtos de funções.
( ) Útil para a eliminação de tipos específicos de radicais nos integrandos.
( ) Utilizado para integração de funções racionais.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
3, 4, 2, 1.
2. 
2, 1, 3, 4.
3. 
1, 2, 3, 4.
4. 
1, 2, 4, 3.
5. 
4, 1, 2, 3.