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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-2 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; Polo e Data; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa. ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 e 2 a` seguir.) Em uma cidade, sa˜o vendidas duas marcas de sabonetes, A e B. Sabe-se que 12% da populac¸a˜o compra ambas as marcas; que o percentual da populac¸a˜o que compra a marca A e´ o triplo do percentual que compra a marca B; e que apenas 16% da populac¸a˜o na˜o compra A e nem B. Questa˜o 1 (1.5 pt) Determine o percentual da populac¸a˜o que compra apenas a marca A. Soluc¸a˜o: Vamos chamar de U o conjunto de todos os habitantes da cidade, de A o conjunto dos compradores da marca A e de B o conjunto dos compradores da marca B. Representando em uma diagrama de Venn, temos o seguinte: Vamos chamar de t o nu´mero de habitantes da cidade, isto e´, faremos n(U) = t. A informac¸a˜o de que “12% da populac¸a˜o compra ambas as marcas”, nos da´ enta˜o que n(A ∩ B) = 12 100 · t. Ale´m disso, como “apenas 16% da populac¸a˜o na˜o A e nem B”, temos n(U − (A ∪ B)) = 16 100 · t. Temos enta˜o o seguinte diagrama: Se chamarmos de x o percentual de pessoas que compram exclusivamente a marca B, como no Me´todos Determin´ısticos I AP1 2 diagrama abaixo, teremos n(B) = x+n(A∩B) = x+ 12 100 · t. Como o nu´mero de compradores da marca A e´ o triplo de compradores de B, temos n(A) = 3n(B) = 3 ( x+ 12 100 · t ) = 3x+ 36 100 · t. Ale´m disso, o nu´mero de compradores exclusivos da marca A sera´ dado por n(A)− n(A ∩B) = ( 3x+ 36 100 · t ) − 12 100 · t = 3x+ 24 100 · t. Reunindo todas as informac¸o˜es no diagrama, temos: Com isso, podemos ver que ( 3x+ 24 100 · t ) + 12 100 ·t+ x+ 16 100 · t = t, logo 4x = t− 52 100 · t ∴ 4x = 48 100 · t ∴ x = 12 100 · t. O percentual de compradores exclusivos de A sera´ enta˜o n(A)− n(A ∩B) = 3 · 12 100 · t+ 24 100 · t = 60 100 · t. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 3 Com isso, 60% da populac¸a˜o compra apenas a marca A. Observac¸a˜o: Uma forma mais simples (embora mais descuidada) de resolver seria supor que a cidade possui 100 habitantes e resolver de forma similar a` feita acima, pore´m sem o t. Resolver desta forma, pore´m, poderia levar (na˜o e´ o caso neste problema, mas poderia ocorrer) a` conjuntos com cardinalidade na˜o inteira, que deveriam ser interpretados como percentuais da forma 12,41%, por exemplo, que faz sentido para populac¸o˜es grandes. Questa˜o 2 (1.0 pt) Se a marca B lanc¸ar uma ofensiva publicita´ria e conseguir fazer com que um quinto das pessoas que compram apenas a marca A passem a comprar a marca B, qual Sera´ o aumento percentual de clientela da marca B? Soluc¸a˜o: No item anterior, encontramos os seguintes percentuais: Com isso, a marca B tem, hoje, 12 100 · t+ 12 100 · t = 24 100 · t compradores. Se a campanha publicita´ria da marca B conseguir captar um quinto dos 60 100 · t compradores exclusivos da marca A, ela representara´ um aumento de 1 5 · 60 100 · t = 12 100 · t novos clientes. O aumento percentual sera´ o nu´mero de novos clientes dividido pelo nu´mero de clientes antigos, isto e´, 12 100 · t 24 100 · t = 1 2 = 50 100 = 50%. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 3, 4 e 5 a` seguir.) Diga se cada propriedade abaixo e´ va´lida para todos os nu´meros reais a e b, justificando. Questa˜o 3 (0.5 pt) Se a < b enta˜o a2 < b2. Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA! Ela na˜o vale, por exemplo, para a = −1 e b = 0. Temos, neste caso, a < b, pore´m a2 > b2, pois a2 = (−1)2 = 1 e b2 = 0. Questa˜o 4 (0.5 pt) Se a2 < b2 enta˜o a < b. Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA! Ela na˜o vale, por exemplo, para a = 0 e b = −1. Temos, neste caso, a2 < b2, mas a > b. Questa˜o 5 (0.5 pt) a2 > a. Soluc¸a˜o: A afirmac¸a˜o e´ FALSA! Tome, por exemplo, a = 1 2 . Teremos a2 = ( 1 2 )2 = 1 2 22 = 1 4 < 1 2 = a. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 4 Questa˜o 6 (2.0 pt) Racionalize a e b e ordene, do menor para o maior, os treˆs nu´meros reais a = 4 1−√5 , b = 4 1 + √ 5 e c = 1. Soluc¸a˜o: Racionalizando a, temos a = 4 1−√5 = 4 1−√5 · 1 + √ 5 1 + √ 5 = 4(1 + √ 5) 1− 5 = 4(1 + √ 5) −4 = −(1 + √ 5) = − √ 5− 1. Racionalizando b, temos b = 4 1 + √ 5 = 4 1 + √ 5 · 1− √ 5 1−√5 = 4(1−√5) 1− 5 = 4(1−√5) −4 = −(1− √ 5) = √ 5− 1. Observe que a < 0, logo a < c. Por outro lado, como √ 5 > √ 4 = 2, temos b = √ 5− 1 > 2− 1 = 1 ∴ b > c. Com isso, temos a < c < b. Questa˜o 7 (1.5 pts) : Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo. 2(x− 1)2 − (x− 2) ( 2x− 1 2 ) > (2x− 1)(2x+ 1) Soluc¸a˜o: 2(x− 1)2−(x− 2) ( 2x− 1 2 ) > (2x− 1)(2x+ 1) ⇔ 2(x2 − 2x+ 1)− ( 2x2 − x 2 − 4x+ 1 ) > (2x)2 − 1 ⇔ 2x2 − 4x+ 2−2x2+x 2 +4x−1 > 4x2 − 1 ⇔ 2x2 − 4x+ 2−2x2+x 2 +4x−1− 4x2 + 1 > 0 ⇔ −4x2 + x 2 + 2 > 0 ⇔ −8x2 + x+ 4 > 0 Por um erro de sinal no enunciado, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o na forma de intervalo ou unia˜o finita de intervalos na˜o e´ poss´ıvel com os conteu´dos selecionados para a AP1. O crite´rio de correc¸a˜o a ser adotado levara´ em conta este fato. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 8, 9 a` seguir.) Considere o conjunto P de todas as palavras da l´ıngua portuguesa e o conjunto N dos nu´meros naturais. Denote por C o conjunto definido por C = {(n, p) ∈ N× P | n e´ menor ou igual ao nu´mero de letras ’a’ na palavra p}. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 5 Como exemplos, os pares (1, bala) e (2, bala) pertencem a C, mas (3, aurora) na˜o pertence a C. Suponha ainda que a folclo´rica palavra inconstitucionalissimamente, com 27 letras, seja a maior da l´ıngua portuguesa. Questa˜o 8 (2.0 pts) Classifique em verdadeira ou falsa, cada uma das proposic¸o˜es abaixo: p: “∀(n, p) ∈ C, n < 28” q: “∀(n, p) ∈ C, n < 100” r: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 28”. s: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 3”. Soluc¸a˜o: p: “∀(n, p) ∈ C, n < 28” A afirmativa e´ VERDADEIRA! Seja (n, p) ∈ C. Como p pode ter, no ma´ximo, 27 letras, tera´ no ma´ximo 27 letras ’a’. Assim, se a e´ o nu´mero de letras ’a’ de p, teremos a 6 27. Mas, como (n, p) ∈ C, temos n 6 a 6 27 < 28. q: “∀(n, p) ∈ C, n < 100” A afirmativa e´ VERDADEIRA! Seja (n, p) ∈ C. Pelo item anterior, n < 28, logo n < 100. r: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 28”. A afirmativa e´ FALSA! Como p e´ verdadeira, se (n, p) ∈ C, temos n < 28. Logo, na˜o existe (n, p) ∈ C com n = 28. s: “∃(n, p) ∈ C tal que n = 3”. A afirmativa e´ VERDADEIRA! Veja que (3, arara) ∈ C, pois 3 e´ menor ou igual ao nu´mero de letras ’a’ de ’arara’. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 6 Questa˜o 9 (0.5 pts) Se A = {(32, p) | p ∈ P}, determine A ∩ C. Soluc¸a˜o: Seja A = {(32, p) | p ∈ P}. Se (n, p) ∈ A, temos n = 32. Se, por outro lado, (n, p) ∈ C, temos n < 28 (afirmac¸a˜o p acima). Como estas duas condic¸o˜es na˜o podem acontecer simultaneamente (na˜o se pode ter n = 32∧n < 28), nenhum par (n, p) pode pertencer a A e C simultaneamente. Assim, A ∩ C = ∅. Fundac¸a˜oCECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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