lista2 - bases de um subespaço vetorial

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
DEP. DE ENGENHARIA METALÚRGICA E DE MATERIAIS
TJP7022 - MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ENGENHARIA E
CIÊNCIA DE MATERIAIS
Lista 2
1. Mostre que o subconjunto de vetores {(0, 2, 2), (0, 4, 1)} é uma base do seguinte su-
bespaço vetorial do R3: U = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0}.
2. Considere o espaço vetorial R2 e as bases β = {(1, 0), (0, 1)} e γ = (1, 1), (0, 1) para R2.
Determine as coordenadas do elemento v = (2,−3)inR2 com relação as bases β e γ.
3. Determine as coordenadas do polinômio p(x) = 2 +x+ 3x2 ∈ P2(R) com relação a base
β = {1, 1 + x, 1 + x2}.
4. Determine as coordenadas do vetor u = (2, 1, 4) do R3 em relação às bases:
a) Canônica.
b) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0,−1)}.
5. Encontre a dimensão do subespaço de R3 gerado
a) pelos vetores {(2, 1,−1), (3, 2, 1), (1, 0,−3)}.
b) pelos vetores {(1,−1, 2), (0, 2, 1), (−1, 0, 1)}.
6. Seja C[−2π, 2π] o espaço vetorial de todas as funções cont́ınuas de valor real definidas
no intervalo [−2π, 2π]. Considere o subespaço W = {sen2(x), cos2(x)} gerado pelas
funções sen2(x) e cos2(x).
a) Prove que o conjunto B = {sen2(x), cos2(x)} é uma base para W .
b) Prove que o conjunto {sen2(x)− cos2(x), 1} é uma base para W .
7. Encontre dois outros segmentos orientados que tenham mesmo comprimento e sentido
que ~AB quando
a) A = (1, 1) e B = (3, 1).
b) A = (0, 2) e B = (−3,−1).
8. Encontre o vetor em R2 que represente o vetor geométrico ~v(AB) quando
a) A = (−1, 1) e B = (2, 1).
b) A = (6,−3) e B = (−7,−9).