Cálculo Integral - AOL 2

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Pergunta 1 -- /1
Os conhecimentos acerca do significado geométrico das operações de derivada e integral são muito úteis 
para resolvermos uma série de problemas difíceis de aplicações práticas em Engenharia. Mensurar áreas e 
encontrar a inclinação da reta tangente são funções de derivadas e integrais. Saber distingui-las é essencial.
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica dos conceitos estudados em Cálculo 
Diferencial e integral, associe os itens a seguir com seus respectivos significados:
1. Integral definida.
2. Limites fundamentais.
3. Derivada da função no ponto.
4. Diferencial.
( ) São expressões algébricas para as quais temos um resultado notavelmente conhecido.
( ) Área abaixo da curva em uma região delimitada.
( ) É uma parte infinitesimal de uma variável.
( ) Coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1, 2, 3, 4.
1, 4, 2, 3.
1, 2, 4, 3.
2, 1, 3, 4.
9/10
Nota final
Enviado: 28/12/21 22:53 (BRT)
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3, 4, 2, 1.
Pergunta 2 -- /1
O estudo do Cálculo fornece ferramentas matemáticas importantes para inúmeras áreas do conhecimento, 
principalmente a Física. Ele auxilia no estudo das leis horárias que descrevem movimentos de partículas e 
corpos, possibilitado a integração e derivação de algumas funções, de modo a propiciar o descobrimento de 
uma nova informação.
Considere que a derivada da equação horária do movimento S’(t) é igual à equação horária da velocidade v(t), 
e a derivada segunda da equação horária do movimento S’’(t) é a equação horária da aceleração a(t). De 
acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre derivação, analise as afirmativas a seguir:
I. A derivada de f(x)*g(x) é igual a 2sen(2x) − cos(x).
II. A derivada de h(x) é h’(x) = sen(2x).
III. f’(x) = −cos(x), pois a derivada de cos(x) é −sen(x).
IV. A derivada de i(x) é i’(x) = 3x² + 2sen(2x) + 9sen(3x).
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II, III.
III e IV.
I, II, III.
I, III e IV.
II e IV.
Pergunta 3 -- /1
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Intuitivamente, ao imaginar uma divisão por um número muito pequeno, podemos constatar que, quanto 
menor o denominador, maior o resultado dessa divisão, pois menor seria o número de parcelas dessa 
divisão. No Ensino Superior, nas disciplinas de Cálculo, estudamos isso através dos limites, onde 
aproximamos nossas funções para um ponto em que x tende a algum valor (nesse caso, a zero). No entanto, 
algumas funções apresentam indeterminações ao realizar o cálculo do limite, e para fugir dessas 
indeterminações adotamos a regra de L’Hospital, que utiliza a derivada das funções para o cálculo do limite 
desconhecido.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre derivadas e a regra de L’Hospital, analise as 
afirmativas a seguir:
I. O limite de x/e^x, com x tendendo a zero, é igual a 1.
II. O limite de (x+sen(x))/(x²-sen(x)), com x tendendo a zero, é igual a −2.
III. O limite e^(x)/x², quando x tende a mais infinito, é igual a mais infinito.
IV. A regra de L’Hospital é aplicável somente nos casos em que existe uma indeterminação, não podendo ser 
aplicada a qualquer caso, pois poderia gerar respostas incorretas.
Está correto apenas o que se afirma em:
II, e IV.
II, III e IV.
I, II, III e IV.
I, II, III.
III e IV.
Pergunta 4 -- /1
Quando derivamos diversas vezes uma função circular como seno e cosseno, vimos que as derivadas 
alternam entre senos e cossenos, seguindo um padrão interminável. Um exemplo disso é derivar uma função 
cosseno duas vezes, onde na primeira vez ela se torna uma função seno e, na segunda, novamente uma 
função cosseno. Entender esse padrão permite o cálculo das derivadas de maneira mais rápida e simples.
Considerando as funções f(x) = sen(x), g(x) = cos(2x), h(x) = sen(3x), e com base nos seus conhecimentos 
acerca da regra da cadeia e da interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e 
integral, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A derivada de h(x) é h’(x) = cos(3x)/3.
II. ( ) A tangente do ângulo de inclinação da reta tangente a f(x,) no ponto onde x = 0, é igual a 0.
III. ( ) f(g(h(x))) tem derivada igual a −6sen(2sen(3x))cos(3x)* cos(cos(2sen(3x))).
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IV. ( ) f’’(x) = -f(x).
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
F, F, V, V.
V, V, F, F.
V, F, V, V.
V, V, F, V.
F, F, V, F.
Pergunta 5 -- /1
Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. Ou seja, tendo uma 
função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta constatação damos o nome de Teorema 
Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um coeficiente 
angular de uma reta tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral representa a área 
sob a curva do gráfico da função em um intervalo definido.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e as 
propriedades de derivação e integração, analise as afirmativas a seguir.
I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x² + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − sen(x).
II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x³ + 2 e, após isso, derivarmos a expressão obtida por 9 vezes, 
obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem.
III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x).
IV. A integral da função f(x) = x² + 2x + 1 é igual a x³ + 2x² + x.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
I, II e III.
I e III.
I e II.
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II e III.
Pergunta 6 -- /1
O cálculo está muito associado com a ideia de zero e do infinito e, para lidar com esses conceitos, muitas 
vezes faz-se uso de instrumentos e temas sofisticados. O próprio limite é um desses conceitos referenciados, 
pois consegue explorar com perfeição a ideia de proximidade e, com isso, proporciona inúmeros ganhos ao 
conhecimento humano, assim como o conceito e instrumento matemático chamado de diferencial.
Considerando essas informações e os estudos sobre o conceito de diferencial, pode-se afirmar que ele é 
relevante porque:
torna dispensável o uso do limite.
está relacionado com a ideia de infinitésimo.
é útil na aplicação da regra de L’Hospital.
é pouco útil para a fundamentação do cálculo.
relaciona uma função trigonométrica com sua função inversa.
Pergunta 7 -- /1
De acordo com Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que a integral e a derivada são operações 
contrárias. As integrais indefinidas são extremamente importantes para a determinação da função primitiva 
F(x), que é obtida realizando a integração da função de interesse f(x), sendo que, da mesma forma, 
derivando-se a primitiva F(x), obtemos novamente a f(x).
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca de integrais definidas, analise as afirmativas 
a seguir.
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I. A propriedade 
integral x to the power of n d x space equals space fraction numerator x to the power of n plus 1 end 
exponent over denominator n plus 1 end fraction space plus space c
 define uma regra para integração de polinômios.
II. As integrais indefinidas podem delimitar várias famílias de respostas para o problema de função primitiva.
III. Uma integral indefinida é delimitada a partir de uma função primitiva.
IV.  integral space x to the power of 4 minus x cubed space d x é um exemplo de integral definida.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e III.
II, III e IV.
II e III.
I e IV.
I, III e IV.
Pergunta 8 -- /1
A regra de L’Hospital é uma ferramenta matemática muito importante para a resolução de inúmeros limites. 
Ela permite a eliminação de certos tipos de indeterminações, apenas derivando o numerador e o 
denominador de uma função que é escrita em forma de razão.
Considerando as funções f(x) = sen(5x), g(x) = tg(x), h(x) = x, i(x) = 2x², e com base nos seus conhecimentos 
acerca da regra do limite fundamental trigonométrico e da regra de L’Hospital, analise as afirmativas a seguir 
e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O limite de f(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 5.
II. ( ) O limite de i(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 2.
III. ( ) O limite de g(x)/h(x), quando x tende a 0, é igual a 1.
IV. ( ) O limite de h(x)/i(x), quando x tende a mais infinito, é igual a 0.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, F, F, V.
V, F, V, F.
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F, V, F, F.
V, F, V, V.
F, F, V, V.
Pergunta 9 -- /1
O estudo do cálculo é importante em diversas áreas do conhecimento. Por exemplo, em física, é utilizado 
para descrever as equações horárias de movimento, que são funções polinomiais. Essas funções polinomiais 
podem ser integradas e derivadas conforme o estudo de cálculo integral para, a partir daí, obter outros 
conhecimentos.
Considere que a integral da equação horária da aceleração a(t) é igual à equação horária da velocidade v(t), e 
a integral desta é igual à equação horária do movimento S(t). Considerando essas informações e o conteúdo 
estudado sobre derivação, analise as afirmativas a seguir.
I. Em movimentos em que a(t) é uma função constante e não nula, S(t) é uma função do primeiro grau.
II. Para a função horária S(t) = cos(x), a aceleração a(t) também é a(t) = cos(x).
III. Se a velocidade de um corpo é de 4 m/s e constante, pode-se afirmar que S(t) é uma função do primeiro 
grau.
IV. Dada a equação horária da posição S(t) = x² + 2x − 3, tem-se que v(2) = 6m/s e que a aceleração é 
constante e vale 2m/s².
Está correto apenas o que se afirma em:
III e IV.
II e IV.
I, II e IV.
II, III.
I, II, III.
Pergunta 10 -- /1
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O estudo do cálculo diferencial e integral é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de 
funções. A inclinação da reta tangente à curva é definida pela derivada da função, e a integral da função 
mensura a área abaixo da curva que a descreve.
Considerando as funções f(x) = 2x + 2, g(x) = x²−2x+1, h(x) = sen(x), e com base nos seus conhecimentos 
acerca de funções e interpretação geométrica dos conceitos estudados em cálculo diferencial e integral, 
analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em qualquer ponto é igual a 2.
II. ( ) A integral de g(x) no intervalo de 0 a 2 equivale à área definida pelo eixo Ox, pelas retas y = 0, y = 2 e pelo 
gráfico de g(x).
III. ( ) h(x) é uma função.
IV. ( ) Adotando z(x) = g(x) + h(x), z(x), ainda seria integrável.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, F, V, F.
V, V, V, F.
V, F, V, V.
V, V, F, F.
F, F, V, V