FEUP - tensaotangencial

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS -2 
 Tensões Tangenciais em Flexão e Torção 
 
 
Luís Filipe Pereira Juvandes 
 
 
 
Porto 2002 
 
 
AD.8 - Publicação de LUIS JUVANDES associada à Actividade Docente 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS - 2 
Tensões Tangenciais em Flexão e Torção 
 
Texto de suporte teórico e colecção de exercícios resolvidos para apoio à disciplina de “Resistência 
de Materiais 2” do 2º ano do Curso de Licenciatura em Engenharia Civil da FEUP. 
 
Por 
Luis Filipe Pereira Juvandes 
 
 
 
 
 
Porto 2002 
 
 
AD.8 Juvandes, L. F. P., 2002, "Resistência de Materiais 2: Tensões Tangenciais em Flexão e Torção", texto de 
suporte teórico e colecção de exercícios resolvidos para apoio da disciplina de “Resistência de Materiais 2” (2º 
ano) do DEC, 50 pp., publicação electrónica nos conteúdos da disciplina disponíveis na web-page do SiFeup e 
em (http://www.fe.up.pt/~juvandes/RM2/tensaotangencial.pdf). 
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Tensões Tangenciais em Flexão e Torção 
 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes
 
 Ano lectivo 2001/2002 Folha 1/54
 
 
NOTA 
Em virtude do conteúdo muito abrangente de Resistência de Materiais 1 e 2, torna-se bastante 
difícil indicar um único livro que englobe, de forma satisfatória, todas as matérias da disciplina de 
Resistência de Materiais. 
Nestas condições, os apontamentos aqui apresentados são textos de suporte teórico e colecção de 
exercícios resolvidos para apoio à disciplina de “Resistência de Materiais 1 e 2” do 2º ano do Curso 
de Licenciatura em Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP. 
Desta forma, os apontamentos podem não incluir a totalidade da matéria apresentada nas aulas 
teóricas e práticas e conter alguns erros ou omissões. Estes, não pretendendo substituir a consulta 
da bibliografia sugerida nos conteúdos da disciplina, ajudam a fixar a direcção e a profundidade 
com que se pretende abordar cada matéria e proporcionam uma sistematização dos assuntos 
tratados. Assim, aconselha-se a utilização dos mesmos a título de primeiro estudo, devendo uma 
análise mais aprofundada ter como base a bibliografia indicada nas aulas teóricas. 
 
 
 
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expressa autorização do autor, estão sujeitos ao 
estabelecido na Lei dos Direitos de Propriedade. 
 
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Tensões Tangenciais em Flexão e Torção 
 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes
 
Ano lectivo 2001/2002 Folha 2/54
 
ÍNDICE GERAL 
 
 
 
1 – Aspectos Gerais 3
2 – Esforço Transverso (V) 3
2.1 – Secções Gerais ………………………………..….…………........……...........................................
2.2 – Verificação de Segurança …………………………………..…………...........................................
2.3 – Ligações / Ligações Aparafusadas ........ ……………………………………………..………........
 i) Tabela Comercial …………………………………………......………………............................
 ii) Tipo de Aço (EC3) …………………………………….………...................................................
iii) Disposições Regulamentares (REAE) ………………………………………………..…....……
2.4 - Secções de Paredes Finas ou Delgadas ………………..………………………….….....................
 2.4.1 - Secções Abertas ........................…………………………………...…………………….…
 2.4.2 - Centro de Corte ..................……………………………………………………….............…
 2.4.3 - Secções Fechadas ……………………………………………………………..……………
2.5 - Exemplos de Aplicação ........................................... ……………………………………………....
3 
6 
7 
7 
7 
8 
12 
12 
15 
16 
18
3 – Esforço de Torção (T) 38
3.1 – Secções de Contorno Circular – Torção Pura ………………………………..….…………….......
3.2 – Secções Não Circulares – Torção de Saint – Vennant ………………………………….................
 2.4.1 - Secções Rectangulares (h > b) ........................…………………...………………..….....…
 2.4.2 - Secções de Paredes Finas (h >> b) ………………………………………………....…….....
 2.4.2.1 - Secções Abertas …………………………………………….............……………
 2.4.2.2 - Secções Fechadas ................………………………………………………............
3.3 – Verificação de Segurança ........ ……………………………….……………..……….....................
3.3 – Exemplos de Aplicação ........ ……………………………………………..……….........................
38 
39 
39 
39 
39 
41 
43 
44
 
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 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes
 
 Ano lectivo 2001/2002 Folha 3/54
 
1 – ASPECTOS GERAIS 
 
 ESFORÇOS TENSÕES 
 
 N, Mx, My σ (normal) 
 Vx, Vy; T τ (tangencial) 
y
z
x
N
T
My
Mx
Vy Vx
 
 
2 – ESFORÇO TRANSVERSO (V) 
My
y
Vy
x
Mx
Vx
 
 
existe
M,V
 hipótese 1M,V
yx
xy
→
→
eixo simetria
.I.C.P.EY,X
Hipóteses de base:
se
se hipótese 2
: flexão simples plano yy
: flexão simples plano xx
 
 
2.1 – SECÇÕES GERAIS 
Hipótese 1 y e.s
y ⇒
 
 
Vy
Mx
y
x V
dz
dM
=
 
 
 
d
p/m
S S’
z
x
y
S S’
dz
Vy V +dy Vy
Mx
e d
M +x Mxd
 
 
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 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes
 
Ano lectivo 2001/2002 Folha 4/54
 
M
y
x
Vy
e.n.
S
N
σ
dz
N+dN
x
y
V +dVy
Mx + dMx
y
S’ σ + σ d
 
 
 
• Interpretação da secção de escorregamento: 
 
N N+dN
r = rasante
c = corte
N N+dN
m = esforço rasante/
N N+dN
zdR = r d
r/ m
=
=
dR = dNEQUILÍBRIO
SUPERFÍCIE DE
ESCORREGAMENTO
A1
A
A
2
2
⇒ 
A2
A2
 
 
 
• Distribuição de Tensões (Rasantes e Corte) - Princípio da reciprocidade das 
 tensões tangências (P.R.T.T.) 
 
b
b - comprimento
 de “ “
REAL APROXIMADO
c
máx
c
méd
c
 c c
r r
rasante corte=
r c= 
 
 
 
 
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 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes
 
 Ano lectivo 2001/2002 Folha 5/54
 
• Expressões médias 
)y(
bI
SV
)y(
x
xycorte
méd =τ
)y(
I
SV
)y(/r
x
xy
m =
AO NÍVEL DA SECÇÃO
DE ESCORREGAMENTO
“ “
b
zyτ
 
 
NOTAS: 
 
i) 
 
yV
xI
Valores constantes
para cada secção
yV
xI
const K
 
 
ii) xS - momento estático de parte de secção: 
• 0SSS 2121 Ax
A
x
AA
x =+=
+
 ⇒ 21 Ax
A
x SS −= 
• 21
A
x
A
xx SS)y(S == 
y
A1
x y
A2
b
 
• Como é indiferente escolher as partes A1 ou A2, geralmente, opta-se por calcular o 
momento estático da parte que está toda do mesmo lado do eixo dos xx ⇒ neste 
caso será 2AxS 
 
iii) 
 
máx )y(
b
S 
)y(
b
SK )y(
b
S 
I
V
 
xmáx
méd
xx
x
y
méd
⇒τ
==τ
 
 
Exemplo τ τ τ 
 
x x τmáx
b = const
x x
τmáx
b = const
x x
τmáx
 caso 1 caso 2 caso 3 
 
 
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 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes
 
Ano lectivo 2001/2002 Folha 6/54
 
iv) Hipótese 2 e.s. x ⇒ 
Vx
My 
 
 bI
SV
)x(
y
yXc
méd =τ τzx 
v) Hipótese 3 
Vx + Vy ⇒ Flexão desviada τzx τzy+ 
 
 
2.2 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA 
 
1 – DIMENSIONAMENTO → incógnitas S, Iy, b 
2 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA → verificar τSd ≤ τRd 
• Problemas base: 
3 – CAPACIDADE MÁXIMA → incógnita Vmáx 
 
SECÇÃO + DESFAVORÁVEL
ESTUDO
FIBRA + DESFAVORÁVEL
( )máxV
⇒ 
RdSd τ≤τ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
b
S oux
máx
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
b
Sy
máx
I b
VS
máx
máx
med =τ
 
 
• máxmédτSdτ = 1.5× 
 
• Rdτ = Regulamento do material
 
 
 
• Aço → Art.º 41 (R.E.A.E.) 
 
 
Aço Rdσ (MPa) Rdτ (MPa) 
Fe 360 235 135 
Fe 430 275 160 
ydRd f=σ
3
fyd
Rd =τ
 
Fe 510 355 205 
 
 
 
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 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes
 
 Ano lectivo 2001/2002 Folha 7/54
 
2.3 – LIGAÇÕES: parafusos, rebites, pregos, soldaduras,etc. 
 
• Ligações aparafusadas 
 
 
secção
de corte material
material
secção
de corte
chapa adicional
 
 
F
F
secção
de corte
 
Flexão Corte Directo 
 
 
 
i) Tabela Comercial → ver pág. 11 → Ex: parafuso “M12” 
 
 
ii) Tipo de Aço (Eurocode 3) → ver pág. 11 
 
 
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
×=
××=
ybyd
ud
yb
ff
MPa100Af
MPa 10BAf
)(
)(
BClasse A.
 
 
 
 
 
cabeça
espiga
dn
parte roscada
da espiga
“b”
iii) Disposições Regulamentares (R.E.A.E) 
 
• Aspectos gerais: ⎢
⎣
⎡
−
−
projecto de sdisposiçõe25 a 21 Art
material10 7 Art
os
os , 
 
 
• Verificação de Segurança (Artos 38 a 40 e Arto 58): 
 
 
a) Condição de corte 
b) Condição de esmagamento lateral (ver pág. 11) 
c) Condição de tracção 
d) Furo próximo do bordo (Artº 58.3) 
 
 
• Espaçamento longitudinal: condições de equilíbrio → (ver folha) 
 
 
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 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes
 
Ano lectivo 2001/2002 Folha 8/54
 
1 – DISPOSIÇÕES DE PROJECTO – Aspectos gerais (Artos 12 a 25 do REAE) 
 
• Artº 12 – espessura mínima 
 
emin ≥ 4 mm 
 
• Artº 15 – tipo de ligação: rebitagem, aparafusamento, soldadura 
 
• Artº 23 – diâmetro do furo (d) 
 
cabeça
espiga
dn
parte roscada
da espiga
“b”
 
 
⎩
⎨
⎧
≥+
<+
≤
mm(mm)
mm(mm)
 24d ; 3d
 24d ; 2d
d
nn
nn 
 
 
 regra geral: 
 
 mm 1dd n += 
• Artº 25 =Artº 20 – Disposição dos parafusos 
bordo da chapa
b bc´
c
a
a
c
d
F
F
 
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤≤
≤≤
≤≤
)agressivo pouco( d10´c,cd3
)agressivo muito( d7´c,cd3
d5.2bd5.1
d3ad2
 )mm(
 d´,c,c,b,a
≤≤
 
Notas: 
i – escolher valores múltiplos de 5; 
ii – “a” deve verificar também o Artº 58.3; 
iii – “c” deve contemplar também a condição de 
equilíbrio (ponto 3). 
 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 9/54
 
2 – VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA (R. E. A. E – Art. 58º)
 
a) Condição de corte no parafuso cRd
c
Sd ≤τ τ 
 
F
d
F
 
 
osparafus ºnm ,
m
5.1FFcSd =
×=
 
F
F
 
parafuso/FcSd
nd
FcSd
nd
 
Corte Simples [1]
2
F
F/
2F/ 
parafuso/FcSd
nd 
Corte Duplo 
yd2
n
c
Sd f 7.0 
4
d
F
≤
π
 
parafuso do açoydf → 
yd2
n
c
Sd f 7.0 
4
d
2
F
≤
π
×
 [2]
 
b) Condição de esmagamento lateral eRd
e
Sd σ≤σ 
 
F x 1.5 FeSd
FeSd
e1
e2
F x 1.5
 
Corte Simples m
5.1F/F parafusoeSd
×
= 
 F = F2 = F1 + F3 (corte duplo) 
 
nd
FeSd
mine
σeSd
 
“e “1chapa
“e “2chapa
 
ou yd
minn
e
Sd f 25.2 
ed
F
≤
×
 [3]
1F
FeSdFeSd
e1
e2
3F
2F
e3x 1.5
x 1.5
x 1.5
 
Corte Duplo 
⎢
⎣
⎡
=
⎢
⎣
⎡
−+
−
=
parafuso f
chapa f
 minf
duplo corte)e;ee(
simples corte)e;e(
 mine
yd
yd
yd
231
21
min
 
c) Condição de tracção não se estuda em RM-2 (admite-se satisfeito) 
 
 
CONCLUSÃO ⇒ ( )F,FminF eSdcSdparafuso/Rd = 
 
 
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d) Furo próximo do bordo – Artº 58.3 
 
yd
Sd f
e a
F8.0
≤ 
bordo
destacamento
da chapa
a
F
 
 
FSd / parafuso 
e – espessura 
fyd – chapa (Artº 41) 
 
 
3 – CÁLCULO DO AFASTAMENTO ENTRE FIADAS DE PARAFUSOS (pregos, rebites, etc.)
 
• Planta da ligação: 
 
c c cc
fiada de parafusos
largura de influênciac - 
FRd
FRd
FRd
τSd/m
(ou pregos, rebites)
b
 
 
rSd – esforço rasante / m = τSd × b 
 
• Condição de equilíbrio /fiada: determina o afastamento “c” entre fiadas 
 
RdSd Fmcb ×≤××τ ou RdSd Fmcr ×≤× → b
F m
c
Sd
Rd
×τ
≤ 
 ↑ múltiplo de “cm” 
[ ]2ou[ ]1
5.1
I
SV
r
x
xy
Sd ×=
fiada/parafusos de.ºnm =
( )F,F minF eSdcSdparafuso/Rd =
[ ] 3 obtido da equação
dado pela equação
I
SV
y
yxou 5.1×
 
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PARAFUSO PORCA 
 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DO PARAFUSO 
 
VÁSTAGO CABEZA 
PA
R
A
FU
SO
 
 
TI
PO
 Diámetro de 
la caña 
dn 
mm 
Diámetro 
interior 
d1 
mm 
Longitud 
roscada 
b 
mm 
Longitud de 
la salida 
x 
mm 
Longitud del 
chaflán 
z 
mm 
Espesor 
 
k 
mm 
Medida entre 
caras 
s 
mm 
Medida entre 
aristas 
e 
mm 
Radio del 
acuerdo 
r 
mm 
Diámetro 
del 
agujero 
d 
mm 
4
d 
A
2
nπ
= 
 
cm2 
4
'd 
'A
2π
= 
 
cm2 
M 10 10 8,160 17,5 2,5 1,7 7 17 19,6 0,5 11 0,785 0,580 
M 12 12 9,853 19,5 2,5 2 8 19 21,9 1 13 1,131 0,843 
M 16 16 13,546 23 3 2,5 10 24 27,7 1 17 2,011 1,57 
M 20 20 16,933 25 4 3 13 30 34,6 1 21 3,142 2,45 
(M 22) 22 18,933 28 4 3,3 14 32 36,9 1 23 3,801 3,03 
 
M 24 24 20,319 29,5 4,5 4 15 36 41,6 1 25 4,524 3,53 
(M 27) 27 23,319 32,5 4,5 4 17 41 47,3 1 28 5,726 4,56 
M 30 30 25,706 35 5 5 19 46 53,1 1 31 7,069 5,61 
(M 33) 33 28,706 38 5 5 21 50 57,7 1 34 8,553 6,94 
M 36 36 31,093 40 6 6 23 55 63,5 1 37 10,179 8,17 
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS PARAFUSOS (EUROCODE 3) 
CLASSE 4.6 5.6 6.5 6.8 8.8 10.9 
fyb (MPa) 240 300 300 480 640 900 
fub (MPa) 400 500 600 600 800 1000 
fyd = fyb 
 
REAE 
Valores de cálculo das tensões resistentes em ligações 
aparafusadas correntes 
 Valores de cálculo das tensões resistentes 
ydRdydRd f 3/1 ; f =τ=σ 
CORTE TRACÇÃO ESMAGAMENTO TIPO DE AÇO fyd (MPa) 3/1 fyd (MPa)
0,7 fyd * 0,8 fyd * 2,25 fyd ** Fe 360 235 135 
Fe 430 275 160 
Fe 510 355 205 
* Valor de fyd corresponde ao aço dos parafusos que pode ser tomado igual ao valor 
característico da tensão de cedência; 
** Valor de fyd correspondente ao aço de menor resistência, no caso de serem 
utilizados aços de diferentes características nos parafusos e nos elementos 
ligados. E = 206GPa G = 80GPa ν = 0.3 
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Ano lectivo 2001/2002 Folha 12/54
 
2.4 – SECÇÕES DE PAREDES FINA OU DELGADA (b << h) (geralmente 
10
hb ≤ ) 
2.4.1 – SECÇÃO ABERTA (Isostática) 
 
• Condições de base 
→ Existe um eixo de 
→ Hipótese 1: yy .s .e ≡ 
→ análise de tensões na secção d 
→ representação da secção pelo seu eixo médio porque, geralmente, 
a espessura é constante por troços 
Exemplo 
A B
P
S S’
dz d
Secção
V
V = V
+
y 
 
a
e1
e2
e3
x
y
G
h =
1
x
y
G
2
43
s
ss
yVyV
representação pelo
eixo médio
secção com
“s” é a variàvel de cálculo
ao longo do eixo médio
yV
 
• Tensões tangênciais “τ” – cálculo por troços 
Troço genérico: 0 ≤ s < a 
)s(
b I
V
)s(
x
S xy=τ
)s(S/r (s)
I x
x
 Vy
m =
b = espessura da parede
const.
 paredes finas
b
τ constante
 caso geral
b
méd.τ τ
 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 13/54
 
• Diagrama dos “τ” - critérios 
 
 
→ FORMA: função de 
ou
)s(d)s(Área)s( Sx ×=
é linear)s(S= const)s(d x
)s(S= const)s( d x é de grau 2
 
x
 Vy
y
e.n s
s
Secção transversal
τ
s
s
d (s)
 
→ SENTIDO: análise de equilíbrio / diagrama na secção d 
 
e.n
dz
M
N
N
N +
N +
de
d N
d N
d M
d M > 0
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
 
d M < 0
M + casos
e.n
d M
d N
d N
d
e.n
d M
d N
d N
d
se
se
⇒
⇒
S S’ 
Sinal de “V” ⇒ ⇒
⎩
⎨
⎧
<→<
>→>
0d M 0V
0d M 0V
= V
d z 
d M 
 
Exemplo: determinação do sentido dos ct / ττ (secção da direita) 
x
y
G
yV
r
c
d N
r
c
d N
x
y
G
yV
r
c
d N
 
0d M 0Vy >⇒> 
0d M 0Vy
>⇒>
 
 
Obs.: Analogia da
 circulação de
 um fluído
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 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes
 
Ano lectivo 2001/2002 Folha 14/54
 
 
→ CRITÉRIO PARA O TRAÇADO: convenção para o diagrama dos 
 
barra
 
 
 
• Barras inclinadas – geometria de massas 
 
S
x
Sx
e C.G.
e.m
d (s)G
x
S2
sens α
sen s α
- momentoestáctico
 
[ ]2/sen sse)s(d)s( Area)s(S Gx α−××=×=⇒ l 
 
 
I x
C.G.
e
sene α
xG xG
sen e α
C.G.
h
12
h
sen
e
I
3
GX
α=⇒
⇔
- inércia
 
 
 
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 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes
 
 Ano lectivo 2001/2002 Folha 15/54
 
2.4.2 – CENTRO DE CORTE (ou Torção) “C” 
• Hipótese: Secção com 1 eixo
 
→ ≡centrocorte
x
y
G
yV
C
e.s. 
x
G
yV
C
y e.s. 
 caso 1 
Corte
Torção
Vy +⇒
 
 
caso 2 torção/s
(só)Corte
Vy ⇒
 
• Cálculo: 
 
1) Cálculo de “τ” na secção. 
 
2) Cálculo de “Ri”, i = n.º troços. 
∫ ×=τ=
b
a ii
 Áreabsd )s( b )s( R τi
 
i= a ≤ s ≤ b 
 
3) Sistema de forças equivalente 
num ponto “P”. 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=Σ
==Σ
=Σ
pp
yy
x
MM
VRF
0F
"P"
 
 
4) Sistema de forças equivalentes 
sem momento ⇒ Centro de corte “C”. 
 
y
p
V
M
d =
 
 
• Nota: 
 
As secções de paredes finas 
constituídas por troços, cujas 
linhas médias concorrem num 
ponto, o centro de corte coincide 
com esse ponto, por as linhas de 
acção das resultantes das tensões 
tangenciais nos diversos troços aí 
se encontram. 
c 
c
 c
x
y
yV
x e.n.
2R
y
3R
1R
x
C
y
x
G
yR=V
d
P
pM
y
R
x P
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 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes
 
Ano lectivo 2001/2002 Folha 16/54
 
2.4.3 – SECÇÃO FECHADA (Hiperestática) 
 
• Condições de base: iguais às estabelecidas p/as secções abertas (ponto 2.4.1) 
 
x
y
Vy
 
⇔ 
x
y
Vy
x
x
 
Hiperestática Isostática 
 
• Metodologia de cálculo: 
 
1 – Transformar a Est. Hiperestática ⇒ Est. Isostática: ABRIR A CÉLULA 
 
τ ⊕
 
→ 
 
ou 
 
ou 
 
 
2 – Arbitrar um sentido ⊕ para os “τ”: por exemplo ⊕ τ 
 
3 – Cálculo das tensões na Est. Isóstática: "" 0τ 
Intensidade e sentido (ver ponto 2.4.1) 
⊕
 
 
4 – Cálculo da incógnita hiperestática: “X” 
∫
∫ ⊕τ−=
∫= célulada barras extendido às egralint
)s(b
ds
ds)s(
X
0
sendo 
 
5 – Determinação das tensões finais na estrutura – Princípio da Sobreposição dos Efeitos 
 
)s( b
X)s()s( 0 +τ=τ
⊕ = sentido arbitradose
= sentido contrário ao arbitradose 
 
 
 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 17/54
 
 
• Situações particulares 
 
→ Est. Hiperestática: barras hiperestáticas são as que constituem a célula ou o núcleo fechado 
 
Exemplo 
τ
x
y
Vybarras Isostáticas
( = ponto 2.4.1) τ
célula = barras hiperestáticas
( = ponto 2.4.3)
 
 
 
→ Exemplo de secção com 3 células (ou mais) 
 
1 2 3
 
1 célula = 1× hip. 
2 células = 2× hip. 
3 células = 3× hip. 
 M M 
n células = n× hip. 
 
 
→ Quando o eixo de solicitação =
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
2
II
2
VV
x
1
y
1
x
y
Vy
A
B
= x
y
A
B
V
2
y
+
1
x
y
A
B
V
2
y
2
Basta estudar
½ estrutura (isostática)
porque
)0S(
0
x
BA
=
=τ=τ
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
2
II
2
VV
x
1
y
1
bI
SV
1
x1
1 ×
×
=τ
bI
S
x
x
×
×
=
2
Vy
2
Ix
Vy=
b
Sx
 
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Ano lectivo 2001/2002 Folha 18/54
 
 
2.5 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 
1. Considere uma viga cuja secção transversal é a 
representada na Figura 1. Para o esforço 
transverso Vy = 180 kN, determine o valor 
máximo da tensão tangencial instalada na secção. 
(m) 0.20 0.20 0.20 
0.50 
0.10 
V y 
 
Figura 1 
1. Considere a viga representada na Figura 2 e com a secção transversal representada na Figura 3, solicitada 
por três cargas verticais de 190 kN, cujas linhas de acção passam pelo centro de gravidade da secção. 
a) Verifique a segurança da viga no que respeita a tensões tangenciais, supondo que a ligação dos perfis 
está correctamente dimensionada. 
b) Considerando parafusos M12 e atendendo à resistência ao corte dos parafusos e à resistência ao 
esmagamento do aço das abas dos perfis I, dimensione, de acordo com o REAE, o espaçamento 
longitudinal a dar aos parafusos nos troços A e B (suponha o espaçamento constante em cada troço). 
Materias: Perfis I - Aço Fe 510; Parafusos - Classe 8.8 
(m) 
1.0 
190 kN 
Troço B 
1.0 1.0 1.0 
Troço A Troço A
190 kN 190 kN 
(mm)
20
20
20
20
95 
160 
160 
95 10 
Parafusos M12 
 
Figura 2 Figura 3 
 
3. A Figura 4 representa a ligação de um conjunto de 
chapas de aço Fe 360 sujeitas a um esforço de 
tracção N. A ligação é realizada através de 4 
parafusos de aço da classe 5.6. 
Considerando para N o valor de 152 kN, 
dimensione os parafusos e defina os valores do 
diâmetro d dos furos e dos comprimentos a, b, c 
 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 19/54
 
e c´, de acordo com o REAE. Figura 4 
4. Considere a secção transversal de uma viga formada por chapas de aço Fe 360 de espessuras 
e1 = 0.02 m e e2 = 0.01 m, dispostas como se indica na Figura 1. 
a) Trace o diagrama das tensões tangenciais devidas a um esforço transverso vertical de 100kN. 
b) Determine a posição do centro de corte da secção. 
 Nota: A peça está cotada em relação ao eixo médio das chapas de aço. 
0.2 0.2 (m) 
0.2 
0.2 
C 
E D e 1
e 2
A e 1B 
e 2
 
Figura 1 
5. A Figura 2 representa o eixo da secção recta de um perfil de pequena espessura constante. Considerando 
a secção submetida a um esforço transverso Vy, indique: 
a) O sentido de tensões tangenciais ao longo do eixo médio e os pontos em que os mesmos se 
anulam. 
b) Os pontos em que as tensões tangenciais τzx e τzy, atingem o valor máximo. 
a a a a a a 
a 
a 
A B 
E D 
C 
F 
G 
H I H´ B´ A´ 
G´ C´ 
E´ F´ D´ 
x 
y 
 
Figura 2 
6. Considere a secção transversal de uma viga formada por chapas de aço Fe 360 de espessuras e1 e e2, 
dispostas como se indica na Figura 3. 
a) Trace o diagrama de tensões tangenciais devidas a esforço transverso vertical de 100 kN. 
Dados: e1 = 2 cm; e2 = 1 cm 
 
0.15 
0.20 
e 2
(m) 
e 1
e 1
e 1
 
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Figura 3 
 
EXERCÍCIO 1 
 
Dados: 
 
 • Vy = 180 kN 
 
 
0.1 
0.5 
y V 
m
CG 
y 
x
YG 
0.2 0.2 0.2 
 
 
Cálculo do centro de gravidade da secção transversal da viga: 
 
Como o perfil admite um eixo de simetria y vem que XG = 0. 
 
• yG calcula-se por: 
 
( ) m 2375.0
2.05.061.0
25.01.02.05.005.061.0
A
yAy
i
ii
G =×+×
+××+××
=
∑
∑ ⋅= 
 
Momento de inércia: 
 
( ) ( )
43
2
3
2
3
2
ix
m 1050833.5
2375.035.05.02.0
12
5.02.005.02375.01.06.0
12
1.06.0
dAII
Gi
−×≈
≈−⋅×+
×
+−⋅×+
×
=
=∑ ⋅+=
 
 
Máxima tensão tangencial: 
 
O máximo da tensão tangencial ocorre no eixo neutro, que passa pelo CG, pois o material segue a lei de Hooke 
e não existem esforços axiais a actuar na secção transversal. Para essa fibra o momento estático é calculado 
para a área da secção transversal abaixo do eixo neutro Smáx: 
 
 
( ) 32maxx m 1031406.12
2375.06.02375.06.02.0d AS −×≈⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅−⋅=⋅= 
 
Substituindo na fórmula da tensão tangencial: 
 
kPa 101047.2
2.0I
S180
bI
SV 3
x
max
x
x
max
xy
max ×≈==τ
 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 21/54
 
 
 
Distribuição parabólica das tensões tangenciais: 
 
 
en 
y 
max 
 MPa 
= 2.15 MPa 
 
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Ano lectivo 2001/2002 Folha 22/54
 
EXERCÍCIO 2 
 
a) O máximo esforço tangencial ocorre juntos aos apoios e o máximo momento flector ocorre a meio vão: 
 
mkN 38011902
2
1903M kN 285
2
1903V maxmax ⋅=×−⋅
×
==
×
=95 
285 
-285 
-95 
M
V 
380
285 285
190 kN190 kN 190 kN
1 1 1 1 
R = 285 kN 
m 
R = 285 kN 
Troço B Troço A Troço A 
kN 
kNm 
 
A verificação da segurança a nível das tensões tangenciais e normais implica: 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
τ≤τ
σ≤σ
Rd
max
sd
Rd
max
sd
 
 
A fibra mais desfavorável da secção onde o esforço tranverso é máximo implica, no caso de tensões tangenciais, maximizar: 
max
x
b
S
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 23/54
 
A fibra do e.n. (2) acarreta um momento estático maior, mas para a fibra (1) a tensão tangencial é dividida por 
uma espessura menor. 
 
Parafusos M12 
20 
20 
160
mm
fibra (1) 
fibra (2) 
 
 
Momento de inércia: 
 
4446
233
2
ix
m 102896.3mm 1096.328
2
1602016095
12
160952
3
2002002
dAII
Gi
−×=×=
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +⋅⋅+
⋅
⋅−
⋅
⋅=
=∑ ⋅+=
 
 
Momentos estáticos e análise da fibra mais desfavorável: 
 
 
( ) ( )( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
×=×+×=⋅⋅⋅+=
×=⋅⋅⋅+⋅⋅=
−−−−
−−
3666912
3691
m 10960104010920101020020
m 10920101001016019020020
xx
x
SS
S
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
×
=
τ⇒=
×
=
−
−
2
6
2
2
x
1
max
2
6
1
1
x
m 0048.0
2.0
10960
b
S
 m 092.0
01.0
10920
b
S
 
 
Tensão tangencial máxima: 
 
MPa 559.119
01.0I
S2855.15.1
bI
SV
x
1
x
1x
1
xymax
sd
1
sd ≈⋅
⋅⋅
=⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=τ≡τ
 
Tensão normal máxima: 
 
MPa 546.3465.1
I
2.03805.1
I
yM
xx
maxmax
sd ≈⋅
⋅
=⋅
⋅
=σ 
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Do Art. 41 do REAE, obtemos os valores das tensões resistentes para o aço Fe 510: 
 
tipo de aço σRD τRD 
Fe 510 355 MPa 205 MPa 
 
 
 
Rdsd
Rdsd ⇒
⎩
⎨
⎧
τ<τ
σ<σ ∴a segurança está satisfeita 
 
 
b) Dados: 
 
Parafusos: 
 • Tipo M12 ⇒ dn = 12 mm (diâmetro do liso da espiga) 
 • Classe 8.8 ⇒ fyd = 8 × 8 × 10 = 640 MPa 
 
Perfil I em aço Fe 510 ⇒ fyd = 355 MPa (Art. 41 do REAE) 
 
 
Nos troços em que o esforço tranverso é constante (troços A e B), também o espaçamento o será em virtude 
deste ser função linear de V. 
 
Fsd
r
Fsd
c c c
PLANTA 
sd 
c influência 
largura de 
12 mm
 
 
Face às solicitações criam-se tensões de corte entre os dois perfis I (fibra 2), portanto: 
 
1) Condição de corte simples (Art. 58 do REAE): 
 
{
paraf.
yd2
n
c
sd f7.0
4
d
F
⋅≤
⋅π
 
 
kN 668.50012.0106407.0
4
1
4
df7.0
FF 23
2
nydc
sd
c
Rd ≈⋅π⋅×⋅⋅=
⋅π⋅⋅
== 
 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 25/54
 
Omitindo a presença da fricção entre os elementos conectores e considerando o esmagamento constante: 
 
2) Condição de esmagamento lateral (Art. 58 do REAE) 
 
{
banzo do altura mm 20e
f25.2
ed
F
min
chapa
yd
minn
e
sd
→=
⋅≤
⋅ 
 
kN 7.19102.0012.01035525.2edf25.2FF 3minnyd
e
sd
e
Rd =⋅⋅×⋅=⋅⋅⋅== 
 
A tensão resistente por parafuso resulta do maior condicionamento para FRd: 
 
( ) ( ) kN 668.507.191;50.668 minF;F minF esdcsdRd === 
 
Afastamento entre fiadas de parafusos: 
Pelo Princípio da reciprocidade das tensões tangenciais 
rc ττ = . 
 
Da condição de equilíbrio na largura de influência de cada fiada resulta: 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤⇒
⋅
≤⇒⋅≤⋅
≈⋅
×
×⋅
=⋅
⋅
=
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤⇒
⋅
≤⇒⋅≤⋅
≈⋅
×
×⋅
=⋅
⋅
=
−
−
−
−
m 2437.0C 
r
F2C F2Cr
kN/m 856.4155.1
102896.3
10960955.1
I
SV
r
 B Troço
m 0812.0C 
r
F2C F2Cr
kN/m 568.124765.1
102896.3
109602855.1
I
SV
r
 A Troço
B
sd
Rd
B
paraf. 2
RdBsd
4
6
x
xy
sd
A
sd
Rd
A
paraf. 2
RdAsd
4
6
x
xy
sd
321
321
 
 
Por simplicidade, escolhem-se espaçamentos múltiplos de 5: 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
mm 240C
mm 80C
B
A
 
 190 kN 190 kN 190 kN 
Troço B Troço A Troço A 
24080 mmmm 
 
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EXERCÍCIO 3 
 
A ligação entre chapas representa um exemplo de corte directo. A real distribuição das tensões de corte é-nos 
dada pela TME, sendo costume em RM assumi-las uniformemente distribuídas. 
 
 
 
 
 
 N/2 
N/2 
N 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: 
 
Parafusos: 
 • Classe 5.6 ⇒ fyd = 5 × 6 × 10 = 300 MPa 
 • A fiada é de dois parafusos 
 
Chapas em aço Fe 360 ⇒ fyd = 235 MPa (Art. 41 do REAE) 
 
 N = 152 kN (esforço normal) 
 
 
 
i) Tensão de corte por parafuso: 
 
 
 
kN 57
4
5.1152
paraf. de nº
5.1NFcsd =
×
=
⋅
= 
 
 
As espigas dos parafusos compreendidas no interior da chapa do meio, com espessura de 12 mm, encontram-se numa situação mais 
desfavorável, visto que os 57 kN são absorvidos por essa única chapa. 
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ii) Pré-dimensionamento: 
 
Verificação de segurança: 
 
 • Condição de corte duplo (Art. 58): 
 
{
m 1015.13d 
103007.0
752d 
 
f7.0
F2d f7.0
4
d2
F
3
n3n
yd
c
sd
n
paraf.
yd2
n
c
sd
−×≥⇒
××⋅π
×
≥⇔
⇔
⋅π
⋅
≥⇔≤
⋅π
⋅
 
 
 • Condição de esmagamento (Art. 58): 
 
{
m 10983.8d 
1023525.21012
57d 
 
f25.2e
Fd f25.2
ed
F
mm 12e
3
n33n
ydmin
e
sd
n
chapa
yd
minn
e
sd
min
−
−
×≥⇒
××××
≥⇔
⇔
⋅⋅
≥⇔⋅≤
⋅
=
 
 
O maior dos diâmetros decorrentes das duas condições é o escolhido: 
 
( )
16 M m 1015.13d 
d ; dd 
3
n
e
n
c
nn
⇒×≥∴
≥
−
 
 
Um parafuso com diâmetro de 16 mm é solução do problema. 
 
 
iii) Disposições regulamentares: 
 
 
O Art. 23 do REAE, condiciona o diâmetro do furo face ao diâmetro do liso da espiga do parafuso escolhido. O 
diâmetro nominal do parafuso, desde que menor que 24 mm, é inferior ao diâmetro do furo até 2 mm: 
 
mm 2dd nfuro +≤ e considerando 1 mm de folga: 
 
mm 17mm 1dd nfuro =+=∴ 
 
 
O Art. 20 do REAE, condiciona a disposição dos parafusos: 
 
 
( ) ⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≤′≤
≤≤
≤≤
⇔
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≤′≤
≤≤
≤≤
 170 cc, 51
42.5 b 5.25
51 a 34
 
agressivo ntemoderadame ambiente d 10 cc, d 3
d 2.5 b d 5.1
d 3 a d 2
 
 
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Por condições de simetria que facilitam o trabalho, posso escolher: 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=′=
=×=′⇒=
=
 mm 70cc
mm 70352-140c mm 35b
mm 35a 
 
 
 
 
N N 
a c 
d 
a 
b 
c 140 
b 
 
 
 
O dimensionamento de a está dependente da verificação de segurança no bordo da chapa, prevista no Art. 
58.3, que previne a tendência para romper pela secção insuficiente para a transmissão de esforços: 
 
{
verificada está segurança a 
MPa 235 MPa 108.6 
 10235
10121035
570.8 f
ea
F0.8
mm 35a kN 57F mm 12e
3
33
chapa
yd
min
sd
sdmin
∴
≤⇔
⇔×≤
×××
×
⇔≤
⋅
⋅
===
−−
 
 
 
 
 
N 
a 
 
 
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EXERCÍCIO 4 
 
a) Como a secção apresenta 1eixo de simetria, a distribuição das tensões tangenciais é simétrica. Para o 
cálculo de “τ” a um determinado nível é preciso obter o momento estático da área da secção acima desse nível, 
ou, em alternativa abaixo. Os seus momentos estáticos são iguais a menos do sinal. Como a determinação do 
sentido das tensões tangenciais é feita por inspecção e análise do P.R.T.T. não nos preocupamos com o sinal de S. 
Basta assim estudar metade da peça. 
 
Dados: 
 
 • Vy = 100 kN b1 = 0.02 m b2 = 0.01 m 
 
 
 
 
0.2 0.2 
0.2 
0.2 
b1 
A
B 
C 
D E
en x
b
b1 
b 2 
α=45ºMomento de inércia, em relação ao eixo médio da secção: 
 
2
2cosαsenα ; 2b
2
2b
senα
bb´ ===== 
 
 
44
3
b
2
3
x m 109569.312
4.0201.02.002.02.0
12
02.02.02I −
′
×≈
×⋅
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
××+
×
⋅=
48476
 
 
Tensão tangencial em AB, troço paralelo ao e.n.: 
 
 
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≈τ⇒=
=τ⇒=
⇒
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=τ
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
×=
=
⇒×⋅=⋅⋅=
<≤
−Ω
MPa 1089.10 2.0s
MPa 0 0s
 
02.0I
)s(S100
bI
SV
)s(
m 108.0S
m 0S
 2.002.0sdbssS
2.0s0
B
A
x
1
AB
x
1x
AB
xy
1AB
33B
x
3A
x
1x111
AB
x
1
321
 
 
Neste troço a tensão varia linearmente com a coordenada s1 e tem o seu máximo no ponto B. 
 
 
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Ano lectivo 2001/2002 Folha 30/54
 
 
 
Tensão tangencial em BC: 
 
( ) ( )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≈τ⇒⋅=
≈τ⇒=
⇒
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=τ
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
×≈
×=
⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅−⋅⋅+×=⋅⋅+=
⋅<≤
−
−
−
Ω
MPa 3658.27 22.0s
MPa 2178.20 0s
 
01.0I
)s(S100
bI
SV
)s(
m 100828.1S
m 108.0S
 
2
45sens2.001.0s108.0dbsSsS
22.0s0
C
B
x
2
BC
x
2x
BC
xy
2BC
33C
x
33B
x
2
2
3
x22
AB
x2
BC
x
2
321
 
 
A distribuição neste troço é parabólica e atinge o máximo no ponto C. 
 
Determinação dos sentidos dos “τ”. Admitindo: 
 
 • 0Md 0Vy >⇒> 
 • destacamento numa extremidade de um elemento infinitesimal ⇒ análise do equilíbrio 
 
en 
A 
D E 
B 
C 
s 12s 
dz 
MPa 10.109 
20.218 
27.366 
N+dN 
N 
c r
 
 
b) Para a peça não estar sujeita à torção, é necessário que a linha de acção do esforço transverso coincida 
com a resultante das tensões tangenciais. Esta resultante é uma força vertical de igual intensidade a Vy. A sua 
linha de acção atravessa o eixo de simetria no centro de corte cc. Portanto a linha da carga carga tem que 
conter esse ponto particular para que não haja torção. 
 
A força horizontal R1 em qualquer dos troços AB ou DE é: 
 
 
kN 2178.2002.0101089.102.0
2
1bAR
B
3
111 ≈⋅×××=⋅=
τ
44 344 21 
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A força tangencial resultante R2 nos troços BC e CD é: 
 
 
( ) kN 663.7001.0102178.203658.2722.0
3
2102178.2022.0bAR 33222
BCB
≈⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅−×⋅×+××⋅=⋅=
τ−ττ
4444 34444 2143421
 
 
Equilíbrio entre a resultante das tensões tangenciais e o esforço tranverso: 
 
 
( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=≈=⋅⋅=∑
=−=∑
kN 100V9326.9945cosR2F
0RRF
y2y
11x
 
 
A discrepância de 0.067 kN decorre do facto de se ter considerado o cálculo da inércia relativamente ao eixo 
médio. O erro introduz-se em cada ponto anguloso da secção (maior espessura ⇒ maior erro). 
 
Equivalência de momentos em torno de C (sobre o eixo de simetria): 
 
m 08087.0d 
m 08087.0
100
4.02178.20
V
4.0Rd dV4.0R
cc
y
1
ccccy
binário
1
≈∴
≈
×
=
⋅
=⇒⋅=⋅
43421
 
 
 
 
 
e en 
en 
d cc 
V 
M 
V 
R 1 
R 1 
R 2 
R 2 
cc = 
= = 
 
 
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EXERCÍCIO 5 
 
a) Admitindo Vy > 0 e como V
dx
dM
= então dM > 0. É com base nesta hipótese que se irão determinar os sentidos 
dos “τ”. 
 
d 
e
y 
z 
x 
A 
E 
I 
B 
C 
H 
G 
F D 
V 
A’ 
H’ 
G’ 
B’ 
C’
D’ E’ F’ 
y 
a 
a a 
a 
a 
 
 
S anula-se nas extremidades livres e nos pontos em que se anulam as contribuições das áreas com sinais opostos 
(dos dois lados do e.n.). 
 
 
A 
E 
I 
E’ 
A’ 
S = 0 
= 0 
 
 
Quando S se anula, “τ” inverte o sentido. Considerando o equilíbrio de uma parcela elementar da peça em A 
determina-se o sentido das tensões tangenciais: 
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B 
C 
D F 
G 
H 
en 
N+dN 
N 
dz 
A 
E 
I 
V 0 
dM 0 
N+dN N y 
y V 
 
 
b) Distribuição das tensões tangenciais: 
 
Nas barras paralelas ao e.n. “τ” varia linearmente com a distância à extremidade livre. Nas barras com a 
direcção de V a distribuição é parabólica. 
 
Máxima tensão tangencial: 
 
O máximo da tensão tangencial τ zy ocorre nas fibras do eixo neutro C, G, G’ e C’. 
 
τ zx é máximo nos pontos B, D, F, H, B’, D’, F’, H’. 
 
 
 
 
max zx 
zy max 
B 
C 
D 
F 
G 
H 
I 
E 
A 
 
 
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EXERCÍCIO 6 
 
Como a secção é fechada e não é simétrica relativamente ao eixo de acção do esforço transverso, o problema é 
hiperestático. A resolução passa por abrir a secção tubular, para que o problema seja estaticamente determinado, e 
calcular a força rasante necessária (incógnita hiperestática x) que impeça o deslocamento relativo na ligação 
suprimida. A supressão da ligação é arbitrária, pois x é constante mesmo que a espessura das paredes da secção 
varie, mas por simplicidade escolhi a ligação longitudinal da parede num ponto que coincida com o eixo de simetria. 
 
Dados: 
 
 • Vy = 100 kN b1 = 0.02 m b2 = 0.01 m 
 
 
0.18
b 1 2 b 
0.135 
x 
y 
x 
y 
estrutura isostática 
C 
D 
B 
A 
 
 
 
Momento de inércia, considerando a área da parede da secção concentrada ao longo da sua linha média: 
 
452
333
x m 1085.509.002.0135.012
02.0135.0
3
09.002.0
3
09.001.02I −×=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
××+
×
+
×
+
×
⋅=
 
 
1) Distribuição das tensões tangenciais “τ 0“ na estrutura isostática (basta analisar metade da peça): 
 
 
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≈τ⇒=
=τ⇒=
⇒
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=τ
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
×=
=
⇒⋅⋅=⋅⋅=
<≤
−Ω
MPa 9231.6 09.0s
MPa 0 0s
 
01.0I
)s(S100
bI
SV
)s(
m 1005.4S
m 0S
 
2
s01.0sdbs)s(S
09.0s0
 AB Troço
B
0
A
0
x
AB
x
2x
AB
xyAB
0
35B
x
3A
x
2 grau
x2
AB
x
43421
321
 
 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 35/54
 
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≈τ⇒=
≈τ⇒=
⇒
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=τ
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
×=
×=
⇒×⋅+×=⋅⋅+=
<≤
−
−
−
Ω
MPa 2308.24 135.0s
MPa 4615.3 0s
 
02.0I
)s(S100
bI
SV
)s(
m 10835.2S
m 1005.4S
 
2
18.002.0s1005.4dbsS)s(S
135.0s0
 BC Troço
C
0
B
0
x
BC
x
1x
BC
xyBC
0
34C
x
35B
x
linear
5
x1
AB
x
BC
x
44444 344444 21
321
 
 
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≈τ⇒=
≈τ⇒=
⇒
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=τ
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
×=
×=
⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⋅⋅+×=⋅⋅+=
<≤
−
−
−
Ω
MPa 1538.31 09.0s
MPa 2308.24 0s
 
02.0I
)s(S100
bI
SV
)s(
m 10645.3S
m 10835.2S
 
2
s
2
18.002.0s10835.2dbsS)s(S
09.0s0
 CD Troço
D
0
C
0
x
CD
x
1x
CD
xyBC
0
34D
x
34C
x
2 grau
4
x1
ABC
x
BC
x
4444444 34444444 21
321
 
 
d 
0
MPa 
N+dN 
N 
dz
A
B C
D
6.923 
3.461
24.231 
31.154 
x 
Vy > 0 ⇒ 
dM > 0 
N+dN > N 
sentido arbitrado para “τ” positivos 
 
 
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2) Determinação do esforço (incógnita hiperestática) x que anula o deslocamento relativo: 
 
( ) ( )
kN/m 8.230
02.0
09.0
02.0
135.0
01.0
09.0
231.24154.3109.0
3
209.0231.24461.3231.24135.0
2
1135.0461.3923.609.0
3
1
b
L
b
L
b
L2
2
b(s)
ds
(s)x
CD
CD
BC
BC
AB
AB
D 
C 
C 
B 
B 
A 0
000
−≈
≈
++
−××+×+−××+×+××
−≈
≈
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Ω+Ω+Ω⋅
−=
∫
∫ τ−=
τττ
 
e 
d 
x
y
z 
b 
dz 
X X 
V 
 
 
 
3) A tensão resultante real é obtida pelo P.S.E., adicionando as tensões das duas situações [ 1) + 2) ]: 
 
 
i
0i )s(b
x)s()s( ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+τ=τ 
 
 
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
×
−≈τ
−=
×
−≈τ
−
−
MPa 1569.16
01.0
108.2309231.6
MPa 08.23
01.0
108.2300
 AB Troço
3
B
3
A
 
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎡
=
×
−≈τ
−=
×
−≈τ
−
−
MPa 6908.12
02.0
108.2302308.24
MPa 0785.8
02.0
108.2304615.3
 BC Troço
3
C
3
B
 
 
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
×
−≈τ
=
×
−≈τ
−
−
MPa 6138.19
02.0
108.2301538.31
MPa 6908.12
02.0
108.2302308.24
 CD Troço
3
D
3
C
 
 
Construção dos sentidos finais para os “τ” de acordo com o sentido arbitrado para positivo. 
 
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MPa 
-23.08 
-8.078 
-16.157 12.691 
19.614 A 
B 
C 
D 
 a = 0,052m τ = 0 
a 
τ = 0 
 
 
 
 
 
Observação 
 
 O autor agradece a colaboração dos alunos Nuno Daniel Mota Pinheiro, José Miguel Amaral e 
Pedro Luís Machado, traduzida na resolução electrónica dos “exemplos de aplicação” publicados neste 
documento (Resistência de Materiais 2 do ano 1999-2000). 
 
m052,0a
a
078,8
135,0
691,12078,8
=
↓
=
+
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Ano lectivo 2001/2002 Folha 38/54
 
3 – ESFORÇO DE TORÇÃO (T) 
 
e
T
d e d
T⊕
 
 
3.1 – SECÇÕES DE CONTORNO CIRCULAR – Torção pura 
 
→ CENTRO GRAVIDADE
“G”
CENTRO CORTE
“C”
(ou torção)=
→ ESTADO DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
(consultar a da página 42)Tabela 1 
ABϕ
T
G
G
T
A
B
ABl
AB 
 
T
D
G
τ
 
Secção cheia 
 
D
τ
d
T
G
 
Secção vazada 
 
 
Cálculo: 
 
• 2
Dr0 ≤≤ ou 
2
Dr
2
d
≤≤ 
• ( ) r
I
Tr
J
Tr
pt
==τ 
• sentido ⇒ sentido do “T” 
• 
tGJ
T
=θ [ ]mrad 
• Barra :AB ABAB l×θ=ϕ [ ]rad 
• pt IJ = [ ]4m 
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3.2 – SECÇÕES NÃO CIRCULARES – Torção de “Saint Venant” 
 
3.2.1 – SECÇÕES RECTÂNGULARES (h > b) 
 
T
τ
T
T
T
h
b
máx
τ’máx
T
τmáx
 
 Cálculo: 
[ ]
( )
[ ]
; ver )Tabela 2
 
;
 
;
b
h
 
dependem de(
 
Tabela 1 da pág. 42
 
consultarW,J
 
 
m/rad 
GJ
Tm 
maior lado 
W
T 
 
1
tt
ABAB
t
t
máx
βα−
×θ=ϕ
=θ
=τ
l
 
 
 
 
 
3.2.2 – SECÇÕES DE PAREDE FINA (h >> b) 
3.2.2.1 – SECÇÕES ABERTAS (Isostáticas) 
 
Exemplo 1 : Um rectângulo 
 
⇒L=h G
b=e
T
τ máx 0' τmáx
real
constτmáx
aproximado
(no cálculo)
τmáxτ
τ
τ
 
Cálculo: 
 
⇒ 0.3=β=αh >> b
 
m 
 
= Equações
 [1]
AB
máx
ϕ
θ
τ
0.3
J , W
consultar (pág.42)Tabela 1
 
t t
 
: tensões “ ”τ
: variação das tensões
 no contorno da secção
(lado menor)
máxτ<máx'τ
(lado maior)
[ ]mrad
[ ]rad
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Exemplo 2: Uma associação de rectângulos 
 
 
 
etc. 
 
 
 
 
 
→ 
Cálculo: 
Comprimento “Li” → eixo médio 
→ Para cada barra i 
 
 
i
t
i
máx eJ
T
=τ
3
iit eL3
1J ∑=
1
máx
2
máx12 ee se τ>τ⇒>
 
 
 
 
 
i
t
i
máx eJ
T
=τ
3
iit eL3
1J ∑=
1
máx
2
máx12 ee se τ>τ⇒>
 
 
L2
L
L
C
T
1
1
e
máx
máx
e
2
2
1
1
L2
T
τmáx1
τmáx2
EIXO
MÉDIO
 → Para toda a secção 
e
máx
const 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ 
 
→ 
 
 
GJ
Tm 
ABAB
t
×θ=ϕ
=θ
l
( ) máx
t
i
máxmáx eJ
T máx =τ=τ
 
 
Sentido do “τ” = sentido do “T” 
 
Analogia da circulação de um fluído no 
interior da secção transversal 
 
 
[ ]mrad
[ ]rad
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3.2.2.2 – SECÇÕES FECHADAS (Hiperestáticas) 
Exemplo 
 
T
 
TT
 
T
 
etc. 
 
→ Comprimento “Li” → eixo médio 
→ Tensões e deformação 
 
 
Leis de Bredt
 
→ 
Para cada barra i 
L2
ee
e
e
32
4
1
T
L1 τ3
τ1
τ
τ
4
2
EIXO
MÉDIO
L2
T
L1
τ1
τ4
τ3
τ2
 
 
 
→ 
i
i e 2
Tconst
Ω
==τ
 
 
Para toda a secção 
min
máxmini e 2
Tee se
Ω
=τ⇒=
min
máxmini e 2
Tee se
Ω
=τ⇒=
tJ G
Tm/ =θ
∫
Ω
=
e
ds
 4J
2
t
 
máx
const
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ 
linha do
eixo médio
= áreaΩ
 
 
Sentido do “τ” = fluído a circular no 
sentido do “T” 
 
[ ]mrad
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τ =
⋅T r
I p
 τmax =
T
Wt
 θ
ϕ
= =
⋅l
T
G Jt
 
 Jt - Inércia de torção Wt - Módulo de torção G Jt⋅ - Rigidez à torção 
Tabela 1 
Secção Jt Wt Secção Jt Wt 
D
R
 
I p 
π ⋅ R4
2
 
π ⋅ D4
32
 
 
π ⋅ R3
2
 
π ⋅ D3
16
 a
a a
 
 
 
3
80
4⋅a
 
 
 
a3
20
 
Dd
e 
 
I p 
( )π ⋅ −D d4 4
32
 
 
 
( )π ⋅ −
⋅
D d
D
4 4
16
 
R R 
 
R4
3 38.
 
 
R4
2 87.
 
a
a 
 
 
a4
7 114.
 
 
 
a3
4 804.
 
A 0
R
 
 
 
R4
114.
 
 
 
0 
 
h
b h b>
 
 
h b⋅ 3
β
 
(ver tabela 2) 
 
h b⋅ 2
α
 
(ver tabela 2) 
L
e = c o n s t a n t e 
 
L e⋅ 3
3
 
 
L e⋅ 2
3
 
 
 
h
b h b>>
 
 
 
h b⋅ 3
3
 
( )β = 3 
 
 
h b⋅ 2
3
 
( )α = 3 
L
L
L
e
1
e
2e4
e3
2
3
L4
1
 
 
 
1
3
3⋅ ⋅∑ L ei i
 
 
 
J
e
t
max
 
a
b
a
b
 
 
π ⋅ ⋅
+
a b
a b
3 3
2 2 
 
π ⋅ ⋅a b2
2
 
e
sd
 
 
4 2⋅
∫
Ω
ds
e
 
 
2 ⋅ ⋅Ω emin 
Tabela 2 (n=h/b) 
n 1,00 1,10 1,20 1,25 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 2,00 2,25 2,50 3,00 4,00 5,00 6,00 8,00 10,00 20,00 ∝ 
α 4,804 4,67 4,57 4,52 4,48 4,40 4,33 4,27 4,21 4,16 4,07 3,97 3,88 3,74 3,55 3,43 3,35 3,26 3,20 3,10 3,00
β 7,114 6,49 6,02 5,82 5,65 5,35 5,11 4,91 4,74 4,60 4,37 4,16 4,01 3,80 3,56 3,43 3,35 3,26 3,20 3,10 3,00
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 43/54
 
 
3.3 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA 
 
 
1 – DIMENSIONAMENTO → incógnitas “geometria” 
2 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA → verificar τSd ≤ τRd 
• Problemas base: 
3 – CAPACIDADE MÁXIMA → incógnita Tmáx 
 
SECÇÃO + DESFAVORÁVEL
ESTUDO
FIBRA + DESFAVORÁVEL
RdSd τ≤τ
máxT (se secção constante)
Secção Circular
Secção Rectangular
Secção Parede delgada
perímetro exterior
meio do lado maior
máx(r )
(aberta)
(fechada)
máxe
mine
máxτ( )
 
• máxτSdτ = 1.5× tW
5.1T ×
= 
 
• Rdτ = Regulamento do material
 
 
 
 
• Aço → Art.º 41 (R.E.A.E.) 
 
 
Aço Rdσ (MPa) Rdτ (MPa) 
Fe 360 235 135 
Fe 430 275 160 
ydRd f=σ
3
fyd
Rd =τ
 
Fe 510 355 205 
 
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Ano lectivo 2001/2002 Folha 44/54
 
3.4 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 
7. Considere a barra em aço Fe 360 representada na Figura 1 com secção circular de diâmetro d1=50 mm 
no troço AC e diâmetro d2=30 mm no troço CD e com dois momentos torsores aplicados TB = 0.9 kN.m 
e TD = 0.3kN.m. O aço apresenta G = 80 GPa. 
a) Trace o diagrama de momentos torsores instalados na barra. 
b) Determine o valor da tensão tangencial máxima instalada na barra. 
c) Determine os valores dos ângulos de rotação ϕ das secções B, C e D. 
0.50 0.50 1.00 [m]
A Bd1 C
D
0.90 kN.m 0.30 kN.m
d2
 
Figura 1 
8. A barra em aço Fe 510 representada na Figura 2 é encastrada nas extremidades e está solicitada por um 
momento torsor concentrado aplicado em C. As secções transversais da barra são as representadas na 
Figura 3 e estão cotadas em relação às suas faces exteriores. O aço apresenta G = 80 GPa. 
Secção entre A e B 
0.15
0.15 0.012
0.008
0.012
0.008
 
Secção entre B e D 
a) Verifique a segurança da viga. 
b) Determine o valor do ângulo de rotação da secção C. 
 
 
 
A B C D
30 kN.m
0.50 0.25 0.75 [m] 
0.10
0.0100.10
0.010
0.010
0.010
 
Figura 2 Figura 3 
9. Para a barra encastrada representada na Figura 4 e com secção transversal representada na Figura 5, 
determine o diagramadas tensões tangenciais τ na secção de encastramento: 
a) ao longo do contorno exterior. 
b) ao longo do contorno interior. 
20 kN
100 m
 
100
150
30
20 kN
20 20
[mm]
10
 
Figura 4 Figura 5 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 45/54
 
EXERCÍCIO 7 
 
a) Dados: 
 
 • Material: Aço Fe 360 G = 80 Gpa Dimensões: d1 = 50 mm d2 = 30 mm 
 
Diagrama dos momentos torsores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Face à presença dos momentos torsores desenvolvem-se na secção tranversal da peça tensões tangenciais, 
cujo momento em relação ao centro de corte equilibra o momento torsor T actuante. 
 
 
max
TT
TT
45omin
max
=
=
 
 
 
 
 
 
A B C 
D 
0.9 0.3 1.2 
T 
kN.m 
-1.2 
-0.3 
d1 
 
d2 
extr⋅=
t
t
J
M
maxτ
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Ano lectivo 2001/2002 Folha 46/54
 
Inércia de torção, coincidente com o momento polar de inércia da secção em relação ao seu centro: 
 
( )
( ) 48-4342
47-
434
1
m 109522.7
32
1030
32
m 106.1359
32
1050
32
×≈
×⋅
=
⋅
=
×≈
×⋅
=
⋅
=
−
−
ππ
ππ
dJ
d
J
CD
t
AC
t
 
 
A tensão tangencial τ varia linearmente com a distância radial ao centro atingindo o máximo no contorno da 
superfície exterior. 
 
extmax r⋅=
t
t
J
M
τ 
 
MPa 8924.4810252.1r
MPa 2231.12102530.0r
MPa 5884.56101530.0r
2
3
extmax
2
3
extmax
2
3
extmax
1
1
2
≈××=⋅=
≈××=⋅=
≈××=⋅=
−
−
−
43421
43421
43421
d
AC
t
AC
t
AB
d
AC
t
AC
t
BC
d
CD
t
CD
t
CD
JJ
T
JJ
T
JJ
T
τ
τ
τ
MPa 5884.56 maxmax ==∴
CDττ 
 
A B C D
0.9 0.3
MPa
12.223
56.588
48.892
1.2
 
 
c) Porque em A existe um encastramento, toda a rotação relativa em relação a A transforma-se em rotação 
absoluta. 
 
∑∑ ⋅
⋅
==
i ti
ii
i
i JG
LTφφ 
 
rad 102223.1
1080
50.02.1 2
6
−×≈
⋅×
×
=
⋅
⋅
== AC
t
AC
t
AB
ABB JJG
LTφφ 
 
rad 105279.1
1080
50.03.0102223.1 26
2 −− ×≈
⋅×
×
+×=
⋅
⋅
+=+= AC
t
AC
t
BCBC
BBCBC JJG
LTφφφφ 
 
rad 102436.6
1080
00.13.0105279.1 26
2 −− ×≈
⋅×
×
+×=
⋅
⋅
+=+= CD
t
CD
t
CDCD
CCDCD JJG
LTφφφφ 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 47/54
 
EXERCÍCIO 8 
 
a) Dados: 
 
 • Material: Aço Fe 510 G = 80 Gpa 
 • Dimensões: 
 2
2
m 016884.0126.0134.0Ω
m 0081.009.009.0Ω
=×=
=×=
BD
AB 
 
0.
13
4 
0.126 
0.
09
 
0.09 
A - B 
B - D (m) 
0.01 0.012
0.008
 
 
O momento torsor actuante produz reacções TA e TD nas secções encastradas da estrutura. 
 
 
A 
B
C D
0.5 0.25 0.75 
(m)
30 kN.m
 
 
Equação de equilíbrio: 
 
 
mkN 30 ⋅=+ DA TT 
 
Porque há duas incógnitas para uma só equação de equilíbrio, a barra é 1 vez hiperestática. 
 
Equação de compatibilidade de deformação: libertando a estrutura do apoio em D, obtemos uma estrutura 
isostática estável. Considero a reacção em D como a incógnita hiperestática x. O valor de x, que anula a 
rotação da secção em D, é igual à reacção do encastramento TD na mesma secção. 
 
 
rad 0=Dφ
 
 
 
x
T A 30 
D 
T A T D 
30 kN.m = 
 
T 
kN.m 
-X 
T = 30 - X A
 
 
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Ano lectivo 2001/2002 Folha 48/54
 
À rotação relativa entre A e D da estrutura isostática corresponde uma rotação absoluta pois em A existe um 
encastramento: 
 
rad 0=++== CDBCABADD φφφφφ 
 
 
Inércia de torção: 
 
Secção entre A e B: 
 
( ) 4522 m 106407.2
012.0
142.02
008.0
138.02
142.0138.04
d
Ω4 −×≈
×+×
×⋅
=
⋅
=
∫ e
s
J ABt 
 
Secção entre B e D: 
 
( ) 4622 m 1029.7
010.0
09.04
09.009.04
d
Ω4 −×=
×
×⋅
=
⋅
=
∫ e
sJ
BD
t
 
 
 
Solução das equações: 
 
( ) ( ) 075.0-25.0305.030 
0
30
kPa 1080
AB
6
=
⋅⋅−
+
⋅−
⇔
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=+
×=
BD
t
BD
t
AB
t
BD
t
CDCD
BD
t
BCAC
AC
t
ABAC
A
J
x
J
x
J
x
JG
LT
JG
LT
JG
LT
xT
G
CDBC
434214342143421
φφφ
 
 
 
mkN 229.10x ⋅≈= DT 
mkN 771.19 ⋅≈AT 
 
 
 
 
19.77
-10.229 
T 
kN.m 
Distribuição das tensões
tangenciais na 
espessura das paredes 
 
 
 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 49/54
 
 
A análise da secção mais desfavorável do troço AC, troço da viga onde ocorre o máximo momento torsor, 
implica minimizar o seu módulo de torção: 
 
34
min m 10135.3008.0142.0138.02Ω2
−×≈×××=⋅⋅= eW AB
AB
t 
max
34
min m 1062.1010.009.009.02Ω2 τ⇒×=×××=⋅⋅=
−eW BC
BC
t 
 
 
Tensão tangencial máxima: 
 
MPa 065.183
1062.1
5.1771.195.1
4max
BC
sd ≈×
×
==⋅=
−BC
t
BC
sd
W
T
ττ 
 
 
Como não se desenvolvem tensões normais na barra a sua verificação não é necessária. 
 
 
 
Do Art. 41 do REAE, obtemos os valores das tensões resistentes para o aço Fe 510: 
 
 
tipo de aço σRD τRD 
Fe 510 355 MPa 205 MPa 
 
 
 
⇒<⇔< MPa 205MPa 183.065 Rdsd ττ a segurança está satisfeita 
 
 
 
b) Rotação em C: 
 
rad 103155.1
1029.71080
75.0 2
66
−
−
×≈
×××
×
=
⋅
⋅
== DBD
t
CDD
DCC
T
JG
LTφφ 
 
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Ano lectivo 2001/2002 Folha 50/54
 
EXERCÍCIO 9 
 
Neste problema a torção é acompanhada de flexão simples (esforço transverso ≠ 0). A peça tem torção porque a 
carga P não contém o centro de corte da secção. 
 
O centro de corte está algures sobre o eixo de simetria. A carga P de 20 kN que não passa pelo centro de corte 
produz, para além da flexão e esforço cortante correspondentes, um momento torsor: 
 
mkN 0.8104020 3 ⋅=××=⋅= −dPT 
 
Todos os esforços provocados pela carga P são convertidos num sistema estaticamente equivalente nos EPCI. Na 
secção de encastramento os esforços resultantes são: 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅−=×−=
⋅=
=
mkN 20120
mkN 0.8
kN 20
x
y
M
T
V
 
 
 P 
CG
T 
Vy 
Mx 
e.n.x
y 
y G
=8
8.
26
9 
30
 
150
100 
(mm)
10 
20 A
B 
CC' D 
B'
A'
s 
s 
 
 
 
1.00 m
TV 
M
 
 
 
 
1) Tensões tangenciais devidas ao esforço transverso: 
 
Como se trata de uma secção simétrica sujeita à flexão recta, a distribuição das tensões tangenciais é simétrica. 
Basta por isso estudar metade da peça. 
 
Centro de gravidade: 
 
( ) m 1026923.883080135202
1353080
2
135135202
Ω
yΩ
y 3
i
ii
G
−×≈
×+×⋅
××+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
××⋅
=
⋅
=
∑
∑
 
 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 51/54
 
Momento de inércia, considerando a área da parede da secção concentrada ao longo da sua linha média: 
 
( )
45
2
323
2
m 1059516.1
26923.881353080
12
3080226923.88
2
13513520
12
13520
Ω
−×≈
≈−⋅×+
×
+⋅
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅×+
×
=
=⋅+= ∑ dII ix Gi
 
 
 
( )
( )
( )
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≈⇒=
≈⇒=
=⇒=
⇒
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
×≈
×≈
=
⇒⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅⋅=
<≤
−
−
MPa 5154.3 135s
MPa 8844.4 y
MPa 0 0
 
m 02.0
)(kN 20)()(
m 1060769.5
m 1079146.7
m 0
 
2
y20
mm 1350
 AC Troço
G
35
35
3
2 grau
G
C
B
A
x
AC
x
x
AC
xy
AC
C
x
B
x
A
x
AC
x
s
s
I
sS
bI
sSV
s
S
S
S
sssS
s
τ
τ
τ
τ
44 344 21
 
 
A distribuição neste troço é parabólica e atinge o máximo no ponto B ≡ e.n.. 
 
 
No troço CC’ paralelo ao e.n. a tensão tangencial devido ao esforço transverso varia linearmente e é nula no 
eixo de simetria da secção. 
 
 
Por análise de equilíbiro a tensão em C, do troço CC’, pode ser calculado pela relação entre as espessuras dos 
troços AB e CC’: 
 
MPa 3436.2
30
203.5154 2030 =×≈⇔⋅=⋅ ′′ CCC
AC
C
CC
C τττ 
 
 
A distribuiçãoneste troço fica assim completamente caracterizada. 
 
 
 
N+d
N
d
S = 0 
Vy 
x 
y 
2.344
3.515
4.884
4.884 
3.515 
2.344
C
B
A 
C 
B 
A 
MPa
V 
 Vy > 0 
 DM > 0 
 N + dN > N 
dz 
 
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Ano lectivo 2001/2002 Folha 52/54
 
2) Tensões tangenciais devidas ao momento torsor: 
 
 
Inércia de torção, soma das inércias de torção de cada troço de espessura constante isoladamente: 
 
( )[ ] 4646333 m 1044.1mm 1044.13080220135 
3
1
3
1 −×=×=×+⋅×⋅=⋅⋅= ∑ iit eLJ 
 
 
Módulo de torção: 
35
46
35
46
m 108.4
m 03.0
m 1044.1
m 102.7
m 02.0
m 1044.1
−
−
′
−
−
′′
×=
×
==
×=
×
===
e
JW
e
JWW
tCC
t
tCA
t
AC
t
 
 
 
A tensão tangencial máxima por troço da secção devida à torção é máxima no contorno da secção e toma o valor: 
 
MPa 6666.16
m 108.4
mkN 8.0
MPa 1111.11
m 102.7
mkN 8.0
35max
35maxmax
=
×
⋅
==
=
×
⋅
===
−′
′
−
′′
CC
t
CC
AC
t
CAAC
W
T
W
T
τ
ττ
 
 
 
 
11.111
16.666 
11.111 
y
x T 
A
CC
A
MPa 
T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Ano lectivo 2001/2002 Folha 53/54
 
3) Cálculo das tensões finalτ : 
 
As tensões tangenciais resultantes, devidas ao corte e à torção, são obtidas por hipótese do P.S.E. somando as 
tensões devidas aos dois casos, tendo em atenção os seus sentidos. 
 
Vy T+ = +
τV τT
(barra a barra)
=
τfinal
 
 
ext
finalτ no contorno exterior da secção 
⊕arbitrando τ 
 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=τ=τ
=+=τ
=+=τ
=+=τ
=+=τ
=+−=τ
=+−=τ
=+−=τ
=+=τ
MPa 111.11
MPa 995.15111.11884.4
MPa 626.14111.11515.3
MPa 01.19666.16344.2
MPa 666.16666.160
MPa 322.14666.16344.2
MPa 596.7111.11515.3
MPa 227.6111.11884.4
MPa 111.11111.110
.E.S.P
´AA
B
AB
C
C´C
C
D
C´C
´C
´B´A
´C
´B
´A
 
 
⊕
⊕
⊕⊕
⊕
⊕⊕
⊕
y
x
A´ A
C´ C
B´ B
D
O
 
⇔
⊕
⊕⊕
y
x
11.111
7.596
6.227
11.111
15.995
14.626
19.01
14.322
 
 
 TV τ+τ ⇔ finalτext (MPa) 
 
 
 
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Tensões Tangenciais em Flexão e Torção 
 RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes
 
Ano lectivo 2001/2002 Folha 54/54
 
 
 
int
finalτ no contorno interior da secção 
⊕arbitrando τ 
 
 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
τ=τ
τ=τ
τ=τ
)exterior( 
)exterior( 
)exterior( 
C´C
B´B
A´A
 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
τ=τ
τ=τ
τ=τ
τ=τ
)exterior( 
)exterior( 
)exterior( 
)exterior( 
´AA
´BB
´CC
DD
 
 
 
 
y
x
11.111
7.596
6.227
19.01
14.322
11.111
15.995
14.626
A´ A
C´ C
B´ B
D
O
 
 
 
finalτint (MPa) 
 
 
 
 
 
 
Observação 
O autor agradece a colaboração dos alunos Nuno Daniel Mota Pinheiro, José Miguel Amaral e 
Pedro Luís Machado, traduzida na resolução electrónica dos “exemplos de aplicação” publicados neste 
documento (Resistência de Materiais 2 do ano 1999-2000).