Atividade SEMANA 5

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Nome: Helena Teixeira Tomaz 
Matrícula: 19206788
Atividade Semana 5 – Geometria Euclidiana – 03/12/2021
Questão 1: Mostre que a extensão P² de um plano afim A² é um plano projetivo
Para mostrar que P² é um plano projetivo, devemos verificar que valem os Axiomas I1, I2*, I3 e E.
Comecemos por I1: Sejam A e B pontos em A², por I1 sabemos que existe uma única reta que incide neles, dado que I1 é válido em A². Sabemos que estes pontos não incidem em rinfinito por construção. Sabendo que A é um ponto em A² e B = [r] é um ponto no infinito, teremos dois possíveis casos: 
· A incide em r e por isso a reta AB é igual a reta r;
· ou A incide com uma única reta s paralela a r, e com isso B incide em s, e portanto a reta AB é igual a reta s. 
Por fim, se A e B são pontos no infinito, a reta AB é igual a reta rinfinito. 
Axioma I2*: Sabemos que reta r de A² incide em pelo menos dois pontos distintos, dado que I2 é válido em A², e inserimos o ponto [r] que verifica [r] incide em r. Para verificar I2* para rinfinito, temos que pela Proposição 3.6 há três retas distintas não-concorrentes r, s e t em A². Dado elas se intersectam duas a duas, não são paralelas, e com isso temos que [r], [s] e [t] são três pontos distintos sobre rinfinito.
Axioma I3: Dado que é válido em A², também vale em P². 
E: Se existem duas retas de A² que não se intersectam em A², então estas retas são paralelas em A² e pertencem à mesma classe de equivalência. Deste modo, elas se intersectam no ponto no infinito que é determinado pela classe em que pertencem. Além disso, uma reta ordinária s sempre intersecta rinfinito em [s].