EP13-C2-2020-2-Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice-Presidência de Educação Superior a Distância 
 
 
 
Cálculo II – EP13 (2020/2) Gabarito 
Estudo da equação diferencial linear ( ) ( )y p x y q x′ + = 
 
Solução do Exercício 1 
 
(a) 
2 2xy e y x y′ + = não é linear, pois não podemos colocar a equação dada na forma padrão da equação 
diferencial linear de primeira ordem ( ) ( )y p x y q x′ + = onde ( )p x e ( )q x são funções contínuas 
num intervalo I . 
 
(b) (1 ) 0
dy
x y x
dx
+ + = , 0x > 
(1 )
(1 ) 0 0
dy dy x
x x y y
dx dx x
+
 + + =  + = , 0x > . 
Esta última equação onde 
1
( )
x
p x
x
+
= e ( ) 0q x = são funções contínuas em (0, )I = +∞ está na 
forma padrão da equação diferencial linear de primeira ordem. 
 
(c) 3 3
3 3
1 sen
sen , 0 sen
x
y x x y x x y y x y y
x x
′ ′ ′+ = >  − =  − = , 0x > . 
 
 
Esta última equação onde 
3
1
( )p x
x
= − e 
3
sen
( )
x
q x
x
= são funções contínuas em (0, )I = +∞ está na 
forma padrão da equação linear de primeira ordem. 
 
(d) 2 2
ln
ln 0, 0 ln
x
x y x x y x x y x y x y x y
x
′ ′ ′+ − = >  − = −  − = − para 0x > . 
Esta última equação onde ( )p x x= − e 
ln
( )
x
q x
x
= − são funções contínuas em (0, )I = +∞ está na 
forma padrão da equação diferencial linear de primeira ordem. 
 
 
Solução do Exercício 2 
 
(a) A equação diferencial , 0x > é linear, pois 
(1 )
0
x
y y
x
+
′ + = está na forma padrão 
da equação diferencial linear de primeira ordem, onde 
1
( )
x
p x
x
+
= e ( ) 0q x = são funções 
contínuas em (0, )I = +∞ ]. Nós podemos utilizar a fórmula para achar a solução geral ou nós podemos 
trabalhar por etapas, onde não é necessário decorar a fórmula. Observe uma primitiva de: 
1 1
( ) ln | | ln ,
x
p x dx dx dx dx x x x x x I
x x
+
= = + = + = + ∈    
(1 ) 0x y x y′ + + =
Solução do Exercício 1 
Solução do Exercício 2 
Cálculo II EP13– Estudo da equação diferencial linear ( ) ( )y p x y q x′ + = – Gabarito 2020/2 
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P
á
g
in
a
2
 
 Assim, o fator integrante é 
( ) ln ln , .( ) x x
p x dx x x x e x e x Ix e e eµ + = = ∈= =
 
Logo multiplicando a 
equação diferencial pelo fator ( )xµ resulta: 
( )
(1 ) 0
x
x x
d
xe y
dx
xe y x e y′ + + =
���������
( ) 0
x
x xd C
y x y C y
dx x
e
xe e
−
 =  =  = 
Isto é 
x
C
y
x
e−
= onde x I∈ é a solução geral da equação diferencial linear dada. 
(b) A equação diferencial é linear, pois 5y y x′ − = está na forma padrão da equação 
diferencial linear de primeira ordem, onde ( ) 5p x = − e ( )q x x= são funções contínuas em R . 
Nós podemos utilizar a fórmula para a solução geral ou nós podemos trabalhar por etapas, onde não é 
necessário decorar a fórmula. 
Observe que ( ) 5 5 5p x dx dx dx x= − = − = −   
Assim, o fator integrante é 
( ) 5( )
p x dx xx e eµ −= =
.
 Logo multiplicando a equação diferencial 
pelo fator resulta 
( )5
5 5 55
x
x x x
d
e y
dx
e y e y x e
−
− − −′ − =
�������
 
( )5 5 5 5 0x x x xd y x y x dx C
dx
e e e e− − − − =  = + 
5 5 5
0
x x x
y x dx Ce e e− = + (*) 
(Por outro lado observe que se aplicarmos diretamente a fórmula da solução geral: 
( ) ( )
( )
p x dx p x dx
y e e q x dx C
   
   −
   
   
 
  = +
 
  
 na equação dada, chegaríamos também à expressão (*) ) 
Vamos integrar por partes a última integral que aparece em (*). Faça u x du dx=  = e 
5 51
5
x xdv e dx v e− −=  = − . Assim resulta que 
5 5 5 5 5 5 5
1
1 1 1 1 1 1
( 5)
5 5 5 25 5 25
x x x x x x x
x e dx xe e dx xe e dx xe e C
− − − − − − −= − + = − − − = − − +   E 
substituindo esta última expressão na integral (*) resulta 
5 5 5 51 1( )
5 25
x x x xy xe e Ce e− −= − − + 5
1 1
5 25
xx C e= − − + . 
Donde finalmente temos que 
5 1 1
5 25
xy C xe= − − , x∈R é a solução geral da equação diferencial 
linear dada, onde C é uma constante arbitrária. 
 
5y x y′ = +
( )xµ
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P
á
g
in
a
3
 
(c) A equação diferencial , 0x > é linear, pois 
1 x
y y
x x
′ + = está na forma padrão da 
equação diferencial linear de primeira ordem, onde 
1
( )p x
x
= e ( )
x
q x
x
= são funções contínuas 
em (0, )I = +∞ . Nós podemos utilizar a fórmula para a solução geral ou nós podemos trabalhar por 
etapas, onde não é necessário decorar a fórmula. 
Observe que 
1
( ) ln | | ln ,p x dx dx x x x I
x
= = = ∈  
 Assim, o fator integrante é 
( ) ln ,( )
p x dx x x x Ix e eµ = ∈= =
.
 Logo multiplicando a equação 
diferencial pelo fator resulta 
( )
d
x y
dx
xy y x′ + =
���
 
( )
3 2
1/ 2 2 2
3 3
d x C C
x y x x y x dx C y y x
dx x x x
 =  = +  = +  = + , x I∈ é a 
solução geral da equação diferencial linear dada, onde é uma constante arbitraria. 
 
(d) A equação diferencial tg seny y x x′ − = , ( , )
2 2
x
π π
∈ − é linear e está na forma padrão da 
equação diferencial linear de primeira ordem, onde ( ) tg p x x= − e ( ) senq x x= são funções 
contínuas em ( , )
2 2
I
π π
= − . Nós podemos utilizar a fórmula para a solução geral ou nós podemos 
trabalhar por etapas, onde não é necessário decorar a fórmula. Observe que 
�
Lembre que cos 0
para ( , )
2 2
sen
( ) tg ln | cos | ln cos , ( , )
cos 2 2x
x I
x
p x dx x dx dx x x x I
x
π π
π π
>
∈ = −
= − = − = = ∈ = −   
 Assim, o fator integrante é 
( ) ln cos cos ,( )
p x dx x x x Ix e eµ = ∈= =
.
 
Logo multiplicando a equação diferencial pelo fator resulta: 
 
 
( )cos
cos sen sen cos
d
y x
dx
x y y x x x′ − =
���������
 
( )
�
cos cos sen cos sen cos
u du
d
y x x x y x x x dx C
dx
 =  = + �����
2 2sen sen
cos sec ( )
2 2
x x
y x C y x C = +  = + , 
Ou também 
21 sec (sen )
2
y x x C= + , é a solução geral da equação diferencial linear dada, 
onde é uma constante arbitrária. 
x y y x′ + =
( )xµ
C
( )xµ
x I∈
x I∈
C
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P
á
g
in
a
4
 
(e) A equação diferencial 
2cos 1y x y′ + = onde ( , )
2 2
x
π π
∈ − é linear, pois 
2 2
1 1
,
cos cos
y y
x x
′ + = 
ou melhor, 2 2sec secy y x x′ + = está na forma padrão da equação diferencial linear de 
primeira ordem, onde 2( ) sec=p x x e 2( ) sec=q x x são funções contínuas em ( , )
2 2
I
π π
= − . 
Nós podemos utilizar a fórmula para achar a solução geral ou nós podemos trabalhar por 
etapas, onde não é necessário decorar a fórmula. Observe que 
2( ) sec tg= = p x dx dx x . 
Portanto, o fator integrante é 
( ) tg( )
p x dx xx e eµ = = . Logo multiplicando a equação diferencial 
pelo fator 
 
( )tg
tg tg tg 22 secsec′ + =
���������
x
x x x
d
e y
dx
e xe y ye x 
( ) �tg tg 2 tg tg 2sec sec
u
x x x x
e du
d
e y e x e y e x dx C
dx
 =  = + ����� , logo 
tg tg= +x xe y e C tg1 − = + xy C e ( , )
2 2
x
π π
∈ − é a solução geral da equação diferencial dada, 
onde é uma constante arbitraria. 
 
 
Solução do Exercício 3 
 
(a) A equação diferencial xy y x e′ + = + está na forma padrão da equação diferencial linear de 
primeira ordem, onde ( ) 1p x = e ( ) xq x x e= + são funções contínuas em .R� Nós podemos 
utilizar a fórmula para achar solução geral ou nós podemos trabalhar por etapas, onde não é 
necessário decorar a fórmula. 
Observe que ( )p x dx dx x= =  
 Assim, o fator integrante é 
( )
.( )
p x dx xx e eµ = = Logo multiplicando a equação diferencial pelo 
fator resulta 
 
( )
2
x
xx x x
d
e y
dx
e y e y x e e′ + = +
�����
 
( ) 2 2 20 0( )x x x x x x x xd e y x e e e y x e e dx C xe dx e dx C
dx
 = +  = + + = + +   
2
0
1
2
x x x
e y x e dx e C = + + (**) 
Integraremos por partes a última integral que aparece em (**). Faça u x du dx=  = e 
x x
dv e dx v e=  = . Assim resulta que 
( )xµ
C
( )xµ
Solução do Exercício 3 
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P
á
g
in
a
5
 
1
x x x x x
x e dx xe e dx x e e C= − = − +  
E substituindo esta última expressão na integral (**) resulta 
 
21 1( ) 1 ,
2 2
x x x x x xe y x e e e C y x x e C e x−= − + +  = − + + ∈R é a solução geral da equação 
diferencial linear dada, onde é uma constante arbitraria. Porém da condição inicial sabemos que 
0 01 1 10 (0) 0 1
2 2 2
y e C e C C−= = − + + = − +  = . Assim a solução particular do problema de 
valor inicial dado é 
1 1
( ) 1 1 cosh
2 2
x xy x x e e x x−= − + + = − + . 
 
(b) A equação diferencial 32 , 0
dy
t y t t
dt
+ = >
 
é linear, pois 
22 , 0
dy
y t t
dt t
+ = > está na forma 
padrão da equação diferencial linear de primeira ordem, onde 
2
( )p t
t
= e 2( )q t t= são 
funções contínuas em (0, )I = +∞ . Nós podemos utilizar a fórmula para a solução geral ou nós 
podemos trabalhar por etapas, onde não é necessário decorar a fórmula. 
Observe que 
2
( ) 2ln ,p t dt dt t t I
t
= = ∈  
 Assim, o fator integrante é 
2 2( ) 2ln ln .( )
p t dt t t tt e e eµ = == = Logo multiplicando a equação 
diferencial pelo fator ( )tµ resulta: 
 
( )2
2 42
d
t y
dt
dy
t t y t
dt
+ =
�����
 
( )
5
2 4 2 4
5
d t
t y t t y t dt C C
dt
 =  = + = + 3 2
1
( )
5
C
y t t
t
 = + , t I∈ é a solução geral da 
equação diferencial linear dada, onde é uma constante arbitraria. Porém da condição inicial 
sabemos que 
1 1
0 (1)
5 5
y C C= = +  = − . Assim a solução particular do problema de valor 
inicial dado é 
3
2
1 1
( )
5 5
y t t
t
= −
 
 
(c) A equação 
222 3 t
dv
t v
dt
t e− = está na forma padrão da equação diferencial linear de primeira 
ordem, onde ( ) 2p t t= − e 
22( ) 3 tq t t e= são funções contínuas em R . Nós podemos utilizar a 
fórmula para a solução geral ou nós podemos trabalhar por etapas, onde não é necessário decorar a 
fórmula. 
Observe que 
2( ) 2p t dt tdt t= − = −  
C
C
Cálculo II EP13– Estudo da equação diferencial linear ( ) ( )y p x y q x′ + = – Gabarito 2020/2 
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P
á
g
in
a
6
 
 Assim, o fator integrante é 
2( )
( )
p t dt tt e eµ −= =
.
 Logo multiplicando a equação diferencial 
pelo fator ( )tµ resulta: 
 
2 2 2 2
2
222 3 3
t
t t t t
d
e v
dt
dv
e t e v e t
dt
t e
−
− − −
 
 
 
− = =
���������
 
2 2
2 2 33 3t t
d
e v t e v t dt C t C
dt
− − =  = + = + 
  
23( ) ( ) tv t t C e = + é a solução geral da 
equação diferencial linear dada, onde é uma constante arbitrária. Porém da condição inicial 
sabemos que 5 (0) 0.1 .1 5v C C= = +  = . Assim a solução particular do problema de valor 
inicial dado é 
23( ) ( 5) tv t t e= +
 
 
(d) A equação diferencial 1
( 1)
y
y
x x
′ − =
+
, 0x > é linear, pois está na forma padrão da equação 
diferencial linear de primeira ordem, onde 
1
( )
( 1)
p x
x x
= −
+
 e ( ) 1q x = são funções contínuas 
em (0, )I = +∞ . Nós podemos utilizar a fórmula para a solução geral ou nós podemos trabalhar por 
etapas, onde não é necessário decorar a fórmula. 
Observe que 
1
( )
( 1)
p x dx dx
x x
= −
+  
Observe que o integrando é uma função racional, logo nós podemos utilizar o método das frações 
parciais: 
11
1 ( 1) 1 ( ) 1
0( 1) 1
AA B
A x Bx A B x A B
A Bx x x x
= −
− = +  − = + +  − = + +   =
+ =+ + 
 
1 1 1 1
ln ln( 1) ln , 0
( 1) ( 1)
x
dx dx dx x x x
x x x x x
+ 
− = − + = − + + = > 
+ +     
 Assim, o fator integrante é 
1
ln
( ) 1
. 0( )
x
xp x dx x x
x
x e eµ
+ 
 
  + = > 
 
= =
 
Logo multiplicando 
a equação diferencial pelo fator resulta: 
 
2
1
1 1 1
d x
y
dx x
x x
y y
x xx
  
  
  
+
 + +   
′ − =    
    
���������
 
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ln
d x x x x
y y dx C dx dx C x x C
dx x x x x x
+ + + + 
 =  = + = + + = + + 
     
C
( )xµ
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P
á
g
in
a
7
 
1
ln ( ) ( ln )
1
x x
y x x C y x x x C
x x
+
 = + +  = + +
+
, 0x > é a solução geral da equação 
diferencial linear dada, onde é uma constante arbitraria. Porém da condição inicial sabemos que 
1
0 (1) (1 ) 1
2
y C C= = +  = − . Assim a solução particular do problema de valor inicial dado é 
 ( ) ( ln 1)
1
x
y x x x
x
= + −
+
, 0x > 
(e) A equação diferencial 2tg sen , 0 ,
2
dr
r
d
π
θ θ θ
θ
+ = < <
 
é linear, pois 
21 sen
, ou
tg tg
dr
r
d
θ
θ θ θ
+ =
 
cotg sen cos , 0 ,
2
dr
r
d
π
θ θ θ θ
θ
+ = < <
 
está na forma padrão da equação diferencial linear 
de primeira ordem, onde ( ) cotgp θ θ= e ( ) sen cosq θ θ θ= são funções contínuas em 
(0, )
2
I
π
= . Nós podemos utilizar a fórmula para a solução geral ou nós podemos trabalhar por 
etapas, onde não é necessário decorar a fórmula. 
Observe que 
cosθ
( ) cotg ln sen ln sen ,
sen
p d d d Iθ θ θ θ θ θ θ θ
θ
= = = = ∈   
 Assim, o fator integrante é 
( ) lnsen sen .( )
p d
e e
θ θ θ θµ θ == = Iθ ∈ . Logo multiplicando a 
equação diferencial padrão pelo fator ( )µ θ resulta: 
 
( )
2
sen
sen cos sen cos
d
r
d
dr
r
d
θ
θ
θ θ θ θ
θ
+ =
���������
 
( )
2
3
2 2 sensen sen cos sen sen cos
3
duu
d
r r d C C
d
θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ
 =  = + = + ��������
21 sen
3 sen
C
r θ
θ
 = + , Iθ ∈ é a solução geral da equação diferencial linear dada, onde é 
uma constante arbitraria. Porém da condição inicial sabemos que 
213 1( ) sen
6 4 3 4
sen
4
C
r
π π
π
= = + 
 
 
2
13 1 2 2 1 1 2 2 1 12
2 2 2
6 3 2 3 2 6 62 2 2
C C
C C C
   
= + = + = +  =  =       
. 
Assim a solução particular do problema de valor inicial dado é 
21 2( ) sen .
3 sen
r θ θ
θ
 = +
 
 
Solução do Exercício 4 
 
 
A lei de resfriamento (de Newton) afirma que em cada instante de tempo t, a taxa de variação da temperatura 
T de um corpo devida à troca de calor através da superfície é proporcional à diferença entre T e a temperatura 
do meio circundante chamada temperatura ambiente que denotaremos por Ta. 
C
C
Solução do Exercício 4 
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P
á
g
in
a
8
 
Foi mostrado no exercício 15.3 da Semana 15 do Caderno da Coordenação que a temperatura T(t) de um 
corpo em cada instante t>t0 é dada aproximadamente pela solução do PVI 
 
 (*) 
0 0
[ ( ) ]
( )
a
dT
k T t T
dt
T t T

= − −

 =
, onde aT é a temperatura ambiente. 
 
E mostramos também no citado exemplo que a solução do problema (*) é 
 
0( )
0( ) ( )
k t t
a aT t T T T e
− −= + − , 
Sendo ( )T t a temperatura do corpo em cada instante t
 
 
São dados neste caso que 
65 (0) 185aT C e T C
° °= = 
Portanto, 
( 0)( ) 65 (185 65) 65 120k t ktT t e e− − −= + − = + 
Para determinar a constante de proporcionalidade k, utilizamos o fato de que (2) 155T C°= 
2 2 155 65 90 3(2) 65 120 155
120 120 4
k kT e e− −
−
= + =  = = =
3 1 3
2 ln ln 0,144
4 2 4
k k
   
 − =  = − ≈   
   
 
Logo a função que dá a temperatura do líquido no instante t é 
0,144( ) 65 120 tT t e−= + 
Queremos agora encontrar o valor de t para o qual ( ) 105T t C= ° 
 
0,144 0,144 0,144 40 1105 65 120 120 105 65 40
120 3
t t te e e− − −= +  = − =  = = 
1 ln 3
0,144 ln ln3 7,63
3 0,144
t t
 
 − = = −  = ≈ 
 
min. 
Como já se passaram 2 minutos então se devem esperar outros 5,63 minutos.