ARITMÉTICA E TEORIA DOS NUMEROS AULA I

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1Considerando relação dividendo = divisor . quociente + resto, determine o quociente em uma divisão, com os seguintes critérios: aumentando 30 unidades ao dividendo e 3 unidades ao divisor, o quociente e o resto não se alteram. Qual o quociente procurado?
A
Adicionando valores ao divisor sempre resultará em restos diferentes.
B
O quociente é o número 10.
C
Adicionando valores ao dividendo sempre resultará em quocientes diferentes.
D
O quociente é o número 17.
2Em uma gincana de matemática que Ana está participando, a única questão que a menina acertou tinha o seguinte enunciado:
"Procure todos os números naturais que ao serem divididos por 5 resultam em quociente igual o dobro do resto."
Usando o procedimento da divisão euclidiana, logo a menina chegou na seguinte conclusão n = 5 . q + r e ainda q = 2 . r. Com base nas informações, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
I- O primeiro número procurado é 5.
II- 11, ao ser dividido por 5, resulta em quociente 2 e resto 1, sendo um dos números procurados.
III- O quinto número que atende ao requisito da questão é o 44.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
F - V - V.
B
V - F - V.
C
V - F - F.
D
F - V - F.
3O módulo de um número real é definido por uma relação contendo duas regras, uma quando o valor é maior ou igual a zero e outra quando o valor é menor que zero. Outra forma de estudá-lo é interpretando-o como a distância de um número real até o zero, o que é fundamental para utilização em alguns fenômenos físicos. Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:
A
As afirmativas I, II e IV estão corretas.
B
As afirmativas II e III estão corretas.
C
As afirmativas I e IV estão corretas.
D
Somente a afirmativa I está correta.
4O Princípio da Indução Matemática é um método dedutivo de demonstração, e tem como característica sua aplicação também nos números naturais. Contudo precisamos ter cuidado entre o provavelmente verdadeiro e absolutamente verdadeiro, pois nem sempre uma afirmação que funciona para uma certa quantidade de casos particulares será válida no geral. Considerando os passos utilizados na indução matemática, analise as sentenças a seguir:
I- Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural envolvido.
II- Supomos a igualdade verdadeira para um certo k e verificamos se ela continua verdadeira para k + 1, número consecutivo.
III- Concluímos que a igualdade é verdadeira para números primos.
Assinale a alternativa CORRETA:
A
As sentenças I e III estão corretas.
B
Somente a sentença II está correta.
C
Somente a sentença III está correta.
D
As sentenças I e II estão corretas.
5Podemos garantir que o polinômio P(n)=n²+n+41, fornece apenas números primos? Observe a tabela abaixo, na qual estão listados alguns casos particulares e assinale a alternativa CORRETA:
A
A afirmação se verifica para todo n maior ou igual zero.
B
Esse polinômio não é capaz de gerar um número primo.
C
O polinômio não funciona para n = 14.
D
A afirmação é verdadeira apenas para os primeiros 39 valores de n.
6A tricotomia nos fornece uma relação muito forte no conjunto dos números inteiros. Diante deste conceito, surgem algumas propriedades para completar a relação de ordem nos números inteiros. Sobre as propriedades e as operações de ordem, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Transitiva.
II- Antissimétrica.
III- Lei do Cancelamento.
(    ) 1 + 2 < 3 + 2   então  1 < 3
(    ) -1 < 3 e 3 < 5   então  -1 < 5
(    ) Se a menor ou igual a  b e b menor ou igual a  a então  a = b
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
III - I - II.
B
III - II - I.
C
II - I - III.
D
I - II - III.
7Um problema bem curioso proposto e resolvido por Jacob Steiner (1796-1863) em 1826 é o da Pizza de Steiner. Este problema possui a seguinte formulação:
"Qual é o maior número de partes em que se pode dividir o plano com n cortes retos?"
Deste problema, podemos dizer que a solução para 4 cortes é:
A
11 pedaços.
B
10 pedaços.
C
9 pedaços.
D
12 pedaços.
8A estruturação do conjunto dos números naturais, como conhecemos hoje, levou um longo período para ser construído. Do qual, Giuseppe Peano, matemático italiano, teve papel fundamental na formulação axiomática desse conjunto, que surgiu pela necessidade de contagem. Mais tarde, tivemos a formalização dos números inteiros, que podemos considerar como uma ampliação do conjunto dos números naturais. No conjunto dos inteiros, temos duas operações definidas: adição e multiplicação. Sobre os axiomas válidos para a adição nos inteiros, assinale a alternativa CORRETA:
A
Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade Distributiva.
B
Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade Distributiva.
C
Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade do Elemento Inverso.
D
Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa; Propriedade da Existência do Elemento Neutro; Propriedade da Existência do Elemento Oposto.
9Saber realizar uma demonstração é, para um professor de matemática, algo extremamente fundamental. Além de conhecer de onde surgem as coisas, desenvolve o raciocínio e a possibilidade em suas aulas, explanando isso com seus alunos. Você estudou alguns axiomas fundamentais da aritmética, em que alguns deles são:
• A1 - Soma e multiplicação bem definidas
• A2 - Comutatividades
• A3 - Associatividade
• A4 - Elemento Neutro
• A5 - Simétrico
• A6 - Distributiva
• D1 - Diferença de dois números.
Usando estas nomenclaturas, realizaremos uma demonstração a seguir, em que provaremos que se  - a + b = 0, então b = a.
Partindo de - a + b = 0,
I) então por A1 podemos somar + a em ambos os membros, obtemos (- a + b) + a = 0 + a
II) então por A3 na esquerda e A2 na direita, - a + (b + a) = a + 0
III) então por A2 na esquerda e na direita A4, - a + (a + b) = a
IV) então por A2 na esquerda, (- a + a) + b = a
V) então por A5 na esquerda, 0 + b = a
VI) então por A2 na esquerda, b + 0 = a
VII) então por A4 na esquerda, b = a, como queríamos demonstrar.
Analisando cada item do desenvolvimento da demonstração sobre o axioma utilizado, pois o processo de demonstração está correto, podemos afirmar que:
A
Os itens I, II, III, V, VI e VII estão corretos.
B
Os itens I, II, III, IV, V e VII estão corretos.
C
Os itens I, II, V, VI e VII estão corretos.
D
Os itens I, II, IV, V, VI e VII estão corretos.
10Observe a definição da operação de potenciação de números inteiros para x um número inteiro e n um número natural na imagem a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - F.
B
V - F - V.
C
V - V - V.
D
F - V - F.