Aritmética e Teoria dos Números (MAD108) - AV II

Prévia do material em texto

Aritmética e Teoria dos Números (MAD108) - AV II
1A equação diofantina linear de segunda ordem 3x+6y=18 admite solução, pois o mdc entre os coeficientes é um divisor do termo independente da equação. Logo, sabemos que essa solução não é única, sendo assim uma das soluções existente é o par:
A
(2, 1).
B
(4, 2).
C
(4, 1).
D
(3, 2).
2O conceito de MDC é muito útil na resolução de problemas e, portanto, se destaca como uma ferramenta no conjunto dos números inteiros. Com base nas definições estudadas, calcule o MDC (n, n + 2), sendo n um inteiro par, e assinale a alternativa CORRETA:
A
mdc = 1
B
mdc = 2²
C
mdc = 3
D
mdc = 2
3É possível determinar as soluções de uma equação diofantina a partir de uma solução particular x', y', Sendo escrita da seguinte maneira a solução geral: x = x' + tb e y = y' - ta, com t pertencendo aos inteiros. Calcule a solução geral da seguinte equação diofantina 56x + 72y = 40. De acordo com a resolução da questão, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O MDC (56,  72) = 8. Como 8 divide 40,  sabemos que a equação possui solução.
(    ) Uma solução particular é x' = 20 e y' = -15
(    ) A solução geral é dada por x = 20 - 8t e y = -15 + 7t.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A
V - F - F.
B
F - V - V.
C
V - F - V.
D
V - V - F.
4O número oito elevado a uma potência n é multiplicado por 10³. Do resultado desse produto, obtemos um número que possui 76 divisores naturais. Determine o valor de n, levando em conta a decomposição do número como produto de primos e a fórmula para contagem de divisores, e assinale a alternativa CORRETA:
A
n = 6.
B
n = 8.
C
n = 7.
D
n = 5.
5Quando estamos utilizando o conceito de MDC, uma proposição bastante útil nos diz que, multiplicando os números a e b por um valor k, seu MDC também fica multiplicado por k. Sendo assim, determine todos os possíveis números naturais cujo produto é 2400 e MDC é 10.
A
20 e 24 ou 30 e 80.
B
10 e 240 ou 30 e 80.
C
10 e 240 ou 20 e 24.
D
20 e 24 ou 40 e 60.
6Em um estacionamento, o valor pago pela diária de um automóvel é de R$ 18,00, já para a diária de uma moto, o valor cai para R$ 12,00. Se ao final do dia o proprietário contabilizou R$ 2652,00, qual foi a quantidade de veículos, entre carros e motos, que passou pelo estacionamento (considere que teve mais carros do que motos)?
A
O menor valor de t que satisfaz o problema é 𝑡 = -176, substituindo, encontramos 90 carros e 86 motos.
B
Passaram pelo estacionamento 176 veículos, o que corresponde a 86 carros e 90 motos.
C
A equação não admite solução geral, pois 18 e 12 não são primos entre si.
D
O menor valor de t que satisfaz o problema é 𝑡 = -175, substituindo, encontramos 92 carros e 86 motos.
7Uma aplicação importante dos números primos e compostos, abordando a sua decomposição, é a determinação da quantidade de divisores positivos de um número natural n. Pela definição, analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A
Somente a sentença II está correta.
B
As sentenças I e III estão corretas.
C
Somente a sentença I está correta.
D
As sentenças I e II estão corretas.
8A noção de cálculo do MDC está inteiramente ligada ao conhecimento de todos os divisores dos números envolvidos. No entanto, esse se torna um método cansativo e demasiadamente longo quando se trata de números com mais de cinco dígitos. O algoritmo de Euclides permite o cálculo do MDC de dois ou mais números sem que haja a necessidade de conhecerem-se todos os divisores de tais números (SILVA, 2016). Qual propriedade está relacionada com o Algoritmo de Euclides para o cálculo de MDC?
FONTE: SILVA, Terezinha de Medeiros. A Criatividade no Ensino do MDC. Caicó: UFRN, 2016
A
MDC(a, b) = MDC (-a, b) = MDC (a, -b) = MDC (-a, -b).
B
Se a e b são números naturais, com a < b, então MDC(a, b) = MDC(a, b - a).
C
Se a e b são números naturais, com a < b, então MDC(a, b) = d = MDC(a, - a).
D
MDC (a, b) = MDC (-a, b) = MDC (-a, -b) = MDC (a, b).
9Considere a propriedade geral do MDC, conhecida por Teorema de Bézout: dados os inteiros a e b, existem inteiros x e y tais que MDC (a, b) = ax + by = m. Encontre pelo menos uma forma de escrever o MDC (325, 105) como combinação linear de outros dois números inteiros e assinale a alternativa CORRETA:
A
A combinação linear procurada é: MDC (325, 105) = -10 . 325 - 31 . 105 = 5
B
A combinação linear procurada é: MDC (325, 105) = 31 . 105 + 10 . 325 = 5.
C
A combinação linear procurada é: MDC (325, 105) = 31 . 105 - 10 . 325 = 5.
D
A combinação linear procurada é: MDC (325, 105) = 10 . 325 - 31 . 105 = 5.
10O mínimo múltiplo comum de dois números é o menor número inteiro positivo, que é múltiplo ao mesmo tempo de ambos os números. Quando dois números não possuem fatores primos em comum, dizemos que são primos entre si, e seu mínimo múltiplo comum será dado pelo produto dos dois números. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta dois números primos entre si e seu respectivo MMC:
A
144 e 261, MMC = 4176.
B
6030 e 9612, MMC = 3015018.
C
3006 e 9027, MMC = 4176.
D
59 e 140, MMC = 8260.