1) Suponha que, para todo x, xarctg)x,x3(f 3 = . a) Calcule )1,3(f x admitindo que 3)1,3(f y = . b) Determine a equação do plano tangente ao gr...

a) Para calcular )1,3(f x, podemos utilizar a fórmula da derivada implícita. Derivando a equação xarctg(x) + x^3y = 3 em relação a x, temos: 1 + (1/x^2)y + 3x^2y' = 0 Isolando y', temos: y' = -1/(3x^2) - (1/(3x^4))y Substituindo x = 1 e y = 3, temos: y'(1,3) = -1/3 - 1/9 = -4/9 Portanto, )1,3(f x = -4/9. b) Para determinar a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (3, 1, f(3, 1)), precisamos calcular o vetor gradiente de f no ponto (3, 1): grad f(3, 1) = (fx(3, 1), fy(3, 1), -1) Já calculamos fx(3, 1) em a), e podemos calcular fy(3, 1) derivando a equação xarctg(x) + x^3y = 3 em relação a y: x^3 + arctg(x)dy/dx = 0 dy/dx = -x^3/arctg(x) Substituindo x = 3, temos: dy/dx(3) = -27/arctg(3) Portanto, fy(3, 1) = -27/arctg(3). Assim, o vetor gradiente de f no ponto (3, 1) é: grad f(3, 1) = (-4/9, -27/arctg(3), -1) A equação do plano tangente é dada por: -4/9(x - 3) - 27/arctg(3)(y - 1) - (z - f(3, 1)) = 0 Simplificando, temos: -4/9x - 27/arctg(3)y + z = 4/3 + 27/arctg(3)