Aula_de_fenomemos_de_transporte_ANLISE_DIMENSIONAL_primeiraparte

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Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Química
ANÁLISE DIMENSIONAL
E
SEMELHANÇA
Prof. Giovanilton Ferreira da Silva
Giovanilton@ct.ufpb.br
mailto:Giovanilton@ct.ufpb.br
Fenômenos de transporte
Prof. Giovanilton Ferreira da Silva
Giovanilton@ct.ufpb.br
ANÁLISE DIMENSIONAL
E
SEMELHANÇA
mailto:Giovanilton@ct.ufpb.br
➢ A maioria dos problemas na mecânica dos fluidos não
podem ser resolvidos com procedimentos analíticos,
apenas utilizando procedimentos experimentais;
➢ Muitos problemas são resolvidos utilizando
abordagem experimental e analítica;
➢ Um objetivo de qualquer experimento é obter
resultados amplamente aplicáveis (medidas obtidas num
sistema em laboratório podem ser utilizadas para
descrever o comportamento de um sistema similar);
➢Para isso é necessário estabelecer a relação que existe
entre o modelo de laboratório e o “outro” sistema.
Do modelo teórico ao modelo real
1. A maioria dos modelos teóricos são restritos e/ou dependem
fundamentalmente de parâmetros desconhecidos
2. Em geral, após uma análise teórica, são realizados testes experimentais para
ajustes desta análise
3. Observar que trabalhos em laboratório usualmente requerem tempo e, de
uma forma geral, elevados investimentos.
4. Por conseqüência, um objetivo natural é obter o máximo de informação com
o mínimo de experimentos
5. A análise dimensional é uma importante ferramenta neste processo.
Automóvel em escala real em
teste no túnel de vento da
Volvo, usando linhas de
corrente de fumaça para
visualização do escoamento.
Foto cortesia da Volvo Cars
of North America, Inc
 Extrair os parâmetros do escoamento das
equações diferenciais e condições de
contorno usados para guiar estudos
computacionais;
Objetivos
Objetivos
 Estabelecer os parâmetros necessários
para guiar estudos experimentais;
Apresentar a técnica usada para aplicar
os resultados de estudos de modelos a
protótipos para uma variedade de situação
de escoamento;
 Fornecer exemplos e problemas que
ilustrem a utilização de parâmetros
adimensionais dos escoamentos, como
estudos de modelo e permitir prever
quantidades de interesse em um protótipo e
verificar o uso de equações diferenciais
normalizadas;
Objetivos
Introdução
➢ A maioria dos problemas na mecânica dos fluidos não podem ser
resolvidos com procedimentos analíticos, apenas utilizando
procedimentos experimentais;
➢ Muitos problemas são resolvidos utilizando abordagem experimental e
analítica;
➢ Um objetivo de qualquer experimento é obter resultados amplamente
aplicáveis (medidas obtidas num sistema em laboratório podem ser
utilizadas para descrever o comportamento de um sistema similar);
➢Para isso é necessário estabelecer a relação que existe entre o modelo
de laboratório e o “outro” sistema.
Introdução
Estudaremos os aspectos dimensionais do escoamento, fazendo
uso do princípio de homogeneidade dimensional, aplicado às equações e
leis de conservação.
O desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos depende de :
• análise teórica
• resultados experimentais (numéricos e/ou de laboratório)
Em certas situações são conhecidas as variáveis envolvidas no
fenômeno físico, mas não a relação funcional entre elas.
A análise dimensional permite associar variáveis em grupos
adimensionais.
Quando o teste experimental em um protótipo em tamanho real é impossível ou
caro, utiliza-se modelos reduzidos representativos.
Pelo procedimento chamado análise dimensional, o 
fenômeno pode ser formulado como uma relação entre um 
conjunto de grupos adimensionais das variáveis. 
Quando se realiza um trabalho de laboratório, desejamos :
• o maior número de informações 
• o menor número de ensaios
Análise dimensional

Parâmetros adimensionais
(apresentação resumida em gráficos)
Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem :
• parâmetros geométricos
• parâmetros do escoamento
Exemplo : Força de arraste F sobre uma esfera lisa, de diâmetro D, estacionária, imersa
em um escoamento uniforme de velocidade V.
Que experiências serão necessárias para determinar a força de arraste F sobre a
esfera ?
Sabemos que F = f(D, V, ρ, μ) desconsiderando a rugosidade superficial.
[mas, esta hipótese é razoável?]
Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em laboratório.
Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios.
Faremos 10 ensaios para cada variável:
Curva F vs. V com parâmetros D, ρ, μ → 10 ensaios
Curva F vs. D com parâmetros V, ρ, μ → 10 ensaios
Curva F vs. r com parâmetros D, V, m → 10 ensaios
Curva F vs. m com parâmetros D, V, r → 10 ensaios
TOTAL : 104 ensaios
Se cada ensaio leva 0,5 hora → 8 horas/dia → 2,5 anos para completar o trabalho ! !
Existirá uma enorme dificuldade na apresentação dos resultados.
Exemplo : Considere o escoamento em regime permanente, incompressível de um
fluido Newtoniano num tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa.
Que experiências serão necessárias para determinar a diferença de pressão por unidade
de comprimento do tubo Δp1?
Sabemos que Δp1 = f(D, V, ρ, μ) desconsiderando a rugosidade superficial.
Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em laboratório.
Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios.
Faremos 10 ensaios para cada variável:
Curva Δp1 vs. V com parâmetros D, ρ, μ → 5 ensaios
Curva Δp1 vs. D com parâmetros V, ρ, μ → 5 ensaios
Curva Δp1 vs. r com parâmetros D, V, m → 5 ensaios
Curva Δp1 vs. m com parâmetros D, V, r → 5 ensaios
TOTAL : 104 ensaios
.
v
Δp1
μ
Δp1
ρ
Δp1
D
Δp1






=

m
r

r
VD
V
pD
2
1
Podemos agrupar as variáveis em duas combinações adimensionais 
(denominados grupos adimensionais) de modo que:
Assim nós podemos trabalhar com dois grupos adimensionais em vez de 
trabalhar com 5 variáveis.
2
1
V
pD
r

m
rVD
Homogeneidade dimensional: Condição
em que todos os termos de uma equação
têm as mesmas dimensões.
Introdução





2
2
2
2
m
1
sm/kg
sm/kg
1
s/m
s/m
2
1 z
p
g2
V
z
p
g2
V
22
2
2
22
+

+=+

+

Introdução
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
1
z
z
z
p
gz2
V
1
z
p
gz2
V
+

+=+

+
Dividindo por z1





2
2
2
2
m
1
sm/kg
sm/kg
1
s/m
s/m
2
1 z
p
g2
V
z
p
g2
V
22
2
2
22
+

+=+

+

DIMENSÃO
Sistema de dimensões
• SISTEMA DE DIMENSÃO: Dimensões Primárias
[M] ➔massa
[L] ➔ comprimento
[T] ➔ tempo
[] ➔ temperatura
• DIMENSÃO DE UMA GRANDEZA
[g] = [Ma Lb Tc d]
18
DIMENSÃO
Grandeza adimensional
• GRANDEZA ADIMENSIONAL
[g] = [M0 L0 T0 0]
• EXEMPLOS:
19
Grandeza Símbolo Dimensão Unidade
velocidade V [MoL1T-1o] m/s
aceleração a [MoL1T-2o] m/s2
força F [M1L1T-2o] N
potência P [M1L2T-3o] W
coef. trans cal. h [M1L0T-3-1] W/(m2K)
coef. arrasto CD [M
oL0Too] ---
LEI DA HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL
TODA EQUAÇÃO QUE EXPRIME UMA LEI FÍSICA DEVE SER 
DIMENSIONALMENTE HOMOGÊNEA
20
EXEMPLO
Z = ZO - VO t - 0.5gt
2
LE = Z 
LD = ZO - VO t - 0.5gt
2 
1tLD = Zo 2tLD = Vot 3tLD = 0.5 gt
2
[z] = [ZO + VO t + 0.5gt
2]
[z] =[zo] = [Vot] = [0.5gt
2]
EQUAÇÃO FUNCIONAL
EXEMPLO (Continuação)
Z = ZO - VO t - 0.5gt
2
A equação governa um fenômeno simplificado o que permite 
que ela seja escrita explicitamente.
Em situações mais complexas pode ser impossível de se escrever 
a equação que governa o fenômeno na forma explicita. Nesta 
condições a EQUAÇÃO FUNCIONAL que relaciona as variáveis 
envolvidas pode ainda ser de grande utilidade; no exemplo se 
escreve
z = f(zo, Vo, g, t)
21
GRANDEZAS REPRESENTATIVAS
22
EXEMPLO (Continuação)
Z = ZO - VO t - 0.5gt
2
ZO ➔ representa o comprimento característico ou 
representativo.
Vo ➔ representa a velocidade característica ou 
representativa
To ➔ representa o tempo característico ou 
representativo. Qual é o seu valor?
OBS: Para adimensionalizar use sempre as 
grandezas representativas.
ADIMENSIONALIZAÇÃO
Etapas 
• EQUAÇÃO DIMENSIONALZ = ZO - VO t - 0.5gt
2
• ETAPA 1: Identificação das grandezas representativas
{ zo, Vo , To } onde To = Vo/ zo
• ETAPA 2: Definição das grandezas adimensionais
z* = z/zo t* = t/To
• ETAPA 3: Substituição e manipulação algébrica
23
2*
2
** t
)Fr(
1
2
1
t1Z −−=
o
o
gx
V
Fr =
EQUAÇÃO ADIMENSIONALIZADA
•FORMA EXPLÍCITA
•FORMA IMPLÍCITA
Como na forma dimensional, a equação na forma 
implícita pode ser de grande utilidade, especialmente 
nos trabalhos experimentais.
24
2*
2
** t
)Fr(
1
2
1
t1Z −−=
*)t,Fr(Z* =
EQUAÇÃO ADIMENSIONALIZADA
•OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
•Na forma adimensionalizada verifica-se que Z*
depende apenas do valor de Fr e de t*
•Não importa os valores assumidos por qualquer das 
variáveis Zo, Vo e g, se a combinação delas produz o 
mesmo valor de Fr então a equação 
adimensionalizada produz o mesmo resultado Z*
para um dado valor de t*.
•Esta observação será de grande importância na 
utilização da Análise Dimensional
25
EQUAÇÃO
ADIMENSIONALIZADA
• Um corpo em queda livre (i.é. no vácuo) foi o fenômeno 
analisado no exemplo. Um fenômeno simplificado pela 
utilização da hipótese de que se pode desprezar a ação do ar 
que se opõe ao movimento.
• Como se escreveria a equação que governa a queda de um corpo no 
ar?
• Talvez fosse mais fácil escrever a equação na forma implícita. Como 
ela ficaria?
26
Instrumentos da Análise Dimensional
Para prever as relações entre grandezas em um dado fenômeno, temos:
➢ o teorema de Bridgman
➢ o teorema de Buckingham
Teorema de Bridgman
O teorema de Bridgman estabelece que toda grandeza secundária ou dependente
pode ser expressa por um produto de grandezas primárias.
Exemplo: E = f(m, V)
 E = C m V2, onde C = cte.
Teorema de Buckingham
O teorema dos p de Buckingham fornece as relações entre os parâmetros
dimensionais, para obter os parâmetros adimensionais.
Teorema dos p de Buckingham
Dado um problema físico onde a variável dependente é função de n-1 variáveis
independentes, para o qual sabemos que existe uma relação do tipo :
q1 = f(q2, q3, ... qn)
ou também: g (q1, q2, q3, ... qn) = 0.
O teorema p estabelece que :
variáveis
independentes
variável 
dependente
relação 
funcional
(desconhecida)
Dada uma relação entre n variáveis da forma
g (q1, q2, q3, ... qn) = 0
estas n variáveis podem ser agrupadas em n-m razões adimensionais
independentes, ou parâmetros p, expressados sob a forma funcional :
G (p1, p2, ..., pn-m) = 0
ou p1 = H(p2, ..., pn-m)
O número m é usualmente igual ao menor número de grandezas
independentes (M, L, t, etc.) necessárias para especificar as
dimensões das variáveis q1, q2, q3, ... qn.
NOTA : O teorema não prevê a forma funcional de G ou H. Ela
pode ser determinada experimentalmente.
6.2 – TEOREMA DOS  DE BUCKINGHAM
Dado um problema físico com n parâmetros, sendo n-1 deles independentes e
um deles dependente de algum ou de todos os outros n-1, podemos expressar a
relação entre eles da forma:
onde q1 é o parâmetro dependente e q2, q3, ..., qn são os n-1 parâmetros
independentes
( )nqqqfq ,,, 321 =
Matematicamente falando, podemos expressar uma relação funcional na forma:
onde g é uma função não especificada diferente de f.
( ) 0,,, 21 =nqqqg 
Para o exemplo da esfera, poderíamos genericamente escrever:
( ) 0,,,, =mrVDFg
O Teorema de Buckingham declara que: dada uma relação entre n parâmetros
da forma
então os n parâmetros podem ser agrupados em n-m razões independentes
adimensionais (parâmetros ), que podem ser expressos em forma funcional
por:
ou
onde o número m é usualmente (nem sempre), igual ao número mínimo de
dimensões independentes necessárias para especificar as dimensões de todos
os parâmetros (q1 a qn)
( ) 0,,, 21 =nqqqg 
( ) 0,,, 21 = −mnG 
( )mnG −= ,,, 3211 
Observar que o teorema não define a relação funcional (G ou G1) que relaciona
os parâmetros .
Existem diversos métodos para determinar os parâmetros adimensionais e
suas relações funcionais. No item seguinte, será apresentado um procedimento
detalhado para a determinação destes.
Teorema p de Buckingham
)x,...,x,x,x(fx n4321 =
)h,d,,,V(fp mr=
Dependente
Independentes
n- número de variáveis
É o teorema que nos permite determinar os números adimensionais a partir da 
função característica.
Teorema p de Buckingham
)mn(K −=
),...,,(f mn3211 −ppp=p
K - Grupos adimensionais;
n – numero de variáveis(grandeza / quantidade);
m - número dimensões básicas;
Partindo-se da função 
característica, f (F, V, ρ, µ, 
d) = 0, a aplicação do 
teorema dos π respeita a 
seguinte seqüência:
1º PASSO: 
Determinar o número de variáveis 
que influenciam o fenômeno - n 
n = 5
2º PASSO: 
Escrevemos a equação 
dimensional de cada uma das 
variáveis. 
[F] = F 
[V] = L x T-1
[ρ] = F x L-4 x T2
[µ] = F x L-2 x T 
[D] = L 
Teorema p de Buckingham
3º PASSO: 
Determinamos o número de 
dimensões envolvidas no 
fenômeno - m.
m = 3 
4º PASSO: Determinamos o 
número de adimensionais que 
caracterizam o fenômeno -
K 
K = n - m ∴ K = 2 
5º PASSO: 
Estabelecemos a base dos 
números adimensionais. 
Definição de base - É um 
conjunto de variáveis 
independentes comuns aos 
adimensionais a serem 
determinados, com exceção dos 
seus expoentes. 
Variáveis independentes- São 
aquelas que apresentam as suas 
equações dimensionais diferentes 
entre si de pelo menos uma 
grandeza fundamental. 
Para o exemplo, temos: 
F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como 
variáveis independentes. 
ρ e µ como variáveis dependentes. 
Teorema p de Buckingham
Bases possíveis para o 
exemplo: 
ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ 
V D. 
Para obtermos os 
adimensionais já 
estabelecidos para os 
estudos de Mecânica dos 
Fluidos, geralmente 
adotamos a base ρ V D, ou a 
que mais se assemelha a 
esta. Para o exemplo, 
adotamos a base ρ V D.
6º PASSO : Escrevemos os 
números adimensionais, 
multiplicando a base adotada 
por cada uma das variáveis que 
restaram na função 
característica após a sua 
retirada. 
π1 = ρ
α1 . Vα2 . Dα3 . F 
π2 = ρ
γ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ
Teorema p de Buckingham
Para obtermos os expoentes da base, 
substituímos cada uma das variáveis por sua 
respectiva equação dimensional, inclusive o 
número adimensional.
Para p1 tem-se:
Teorema p de Buckingham
Para p2 tem-se:
Teorema p de Buckingham
6.3 – PROCEDIMENTO DETALHADO P/ USO DO TEOREMA DE BUCKINGHAM
Para a seleção de parâmetros, sugere-se que sejam incluídos todos os parâmetros
que julgar que podem interferir no processo. Parâmetros que não forem úteis serão
identificados nos resultados de experimentos.
Assim, para a determinação dos parâmetros  e possíveis relações funcionais, os
passos seguintes são recomendados:
1. Liste os n parâmetros envolvidos. Peque por excesso, nunca por falta
2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais, por exemplo, usando o
MLtT ou FLtT (ver Fox Cap.1)
3. Associe a todos os parâmetros as suas dimensões primárias, encontrando as r
dimensões primárias que associam o problema
4. Selecione da lista de parâmetros uma quantidade de r parâmetros que, em
conjunto, incluam todas as dimensões primárias
5. Estabeleça as n-m (usualmente m = r) equações dimensionais combinando os
parâmetros selecionados no item 4 com cada um dos parâmetros
remanescentes.
6. Verifique se cada um dos r grupos é adimensional
EXEMPLO:
Considere a força de arrasto F sobre uma esfera de diâmetro D, imersa numa
corrente de fluido com velocidade V, massa específica ρ e viscosidade μ. Obtenha
um conjunto de grupos adimensionais que possam ser usados para correlacionar
dados experimentais.
Buscamos F = f(V,D, ρ,μ). Seguindo o roteiro proposto:
1 – Temos n = 5 parâmetros
F V D ρ μ
2 – Selecionamos as dimensões primárias M (massa), L (comprimento) e t (tempo)
3 – Associamos parâmetros a dimensões primárias
2t
ML
F →
t
L
V → LD→ 3L
M
→r
Lt
M
→m
4 – Selecione os r parâmetros repetentes. Usamos ρ, V e D. Assim, r=m=3 e
haverá (n-m)=2 equações dimensionais à serem tratadas5 – Estabelecendo as 2 equações relacionais:
i) Combinação dos parâmetros repetentes (ρ, V , D) com parâmetro F
1 = ρ
a Vb Dc F e ( ) 000
23
tLM
t
ML
L
t
L
L
M c
ba
=

















Desenvolvendo a expressão para igualar os expoentes:
0002131 tLMtLM bcbaa =−−+++−+
Pela igualdade dos expoentes, obtemos o sistema de equações
02
013
01
=−−
=+++−
=+
b
cba
a
De onde obtemos: a = -1; b = c = -2;
Portanto
221 DV
F
r
=
ii) Combinação dos parâmetros repetentes (ρ, V , D) com parâmetro μ
2 = ρ
a Vb Dc μ e
( ) 000
3
tLM
Lt
M
L
t
L
L
M f
ed
=

















Desenvolvendo a expressão para igualar os expoentes:
0001131 tLMtLM efedd =−−−++−+
Pela igualdade dos expoentes, obtemos o sistema de equações
01
013
01
=−−
=−++−
=+
e
fed
d
De onde obtemos: d = e = f = -1;
Portanto
VDr
m
=2
   
1
1
22
23
2221
===
DVF
LL
t
M
L
t
ML
DV
F
r
r
6 – Verificando se são adimensionais
   
1
13
2 ===
DV
LL
t
M
L
Lt
M
VD
rm
r
m
Semelhança
Estudo da previsão das 
condições do protótipo 
a partir de observações 
de modelos
A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da
análise dimensional
Modelo em escala de edifícios
grandes de uma cidade. O
escoamento de ar ao redor dos
edifícios é estudada. Os
elementos ásperos no chão geram
a turbulência desejada nas
paredes.
Exemplos