(A)-A-LINGUAGEM-VETORIAL-(P1)

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GEOMETRIA ANALÍTICA ESPACIAL
(1) VETORES: CONCEITO E OPERAÇÕES
1) CONCEITO 
 Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção, de mesmo sentido e de mesmo comprimento”. A figura abaixo nos mostra representantes do mesmo vetor.
 B
 
 A 
 O vetor que o segmento AB é um dos representantes será indicado por ou por .
 Chama-se módulo de um vetor ao comprimento de qualquer um de seus representantes (em uma unidade conveniente). O módulo de um vetor será indicado por ou, simplesmente, por v. Note que R+.
	Os seguintes conceitos completam a idéia de vetor.
	Vetores paralelos são aqueles que possuem representantes em uma mesma reta ou em retas paralelas. Se e são vetores paralelos, isto é, de mesma direção, a indicação é // .
	Vetores coplanares. Dois vetores são sempre coplanares, pois podem ter representantes a partir de um mesmo ponto e, portanto, em um plano. Três ou mais vetores se dizem coplanares se têm representantes em um mesmo plano.
	Vetor nulo é o vetor cujo comprimento é zero. Indica-se o vetor nulo por . Note que =. Ao vetor nulo não se associa direção, nem sentido.
	Vetor unitário é o vetor cujo comprimento ou módulo é igual a 1, em uma unidade conveniente.
	Vetor oposto de um vetor dado, não nulo, é o vetor que possui o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido oposto ao do vetor dado. O vetor oposto de um vetor será indicado por -.
	Ângulo entre dois vetores. O ângulo entre dois vetores não nulos é o ângulo entre suas direções (idéia de abertura), levando-se em consideração os sentidos dos vetores. Assim, a partir de um ponto, representam-se dois vetores e o ângulo entre eles é tal que sua medida é 0º 180º. Quando = 0º ou = 180º os vetores são paralelos. Quando = 90º os vetores são perpendiculares ou ortogonais. 
 = 180º
 
 = 0º = 90º
 
	O conjunto de todos os vetores do espaço físico que nos cerca será indicado por V3 .
2) ADIÇÃO DE VETORES
	Dados dois vetores e de V3, a operação adição, indicada por + , faz corresponder, aos dois vetores, um vetor-soma ou vetor-resultante pertencente a V3.
	 Sejam um representante do vetor e um representante do vetor . O vetor , cujo representante é , é o vetor resultante da adição de com , isto é: = + 
 C
 
 A B
 
A operação adição, assim definida, possui as seguintes propriedades:
	P1 Comutativa: + = + 
	P2 Associativa: ( + ) + = + ( + )
	P3 Elemento neutro: + = + = 
 P4 Elemento oposto: Dado , existe - tal que: + (-) = 
Essas propriedades são válidas para quaisquer vetores , e do espaço V3.
3) SUBTRAÇÃO DE VETORES
A partir da existência do elemento oposto, pode-se definir a operação subtração entre dois vetores. Chama-se de vetor-diferença de dois vetores e , indicado por , ao vetor .
 -
 
 
 
 
4) REGRA DO PARALELOGRAMO
Sejam os paralelogramos abaixo. Das definições de adição de dois vetores e subtração de dois vetores conclui-se: a uma das diagonais associa-se o vetor-resultante e, à outra, o vetor-diferença, quando os vetores são associados aos lados dos paralelogramos.
 
 
 (
= 
 + 
= 
 - 
) 
 
 
 
 
Exemplo: Na figura ao lado, os vetores e possuem módulos 2 e 3, respectivamente. Sendo = 60º , a medida do ângulo entre e calcular os módulos de e ,
 onde e .
 (
C
) (
D
)Solução: Aplicando-se a lei dos cossenos no triângulo ABC, tem-se:
 r2 = 22 + 32 – 2 2 3 cos120º
 r = 4,36
 (
A
) (
B
)Aplicando-se a lei dos cossenos no triângulo ABD, temos:
d2 = 22 + 32 – 2 2 3 cos60º
 d = 2,65
5) MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM NÚMERO REAL
	Dados um número real, não nulo, m e um vetor, não nulo, , o produto m é um vetor paralelo ao vetor , tal que: , sendo que: se m > 0 então m e têm o mesmo sentido e se m < 0 então m e têm sentidos contrários.
Se m = 0 ou = então m = . Se m = -1 então o vetor –1 = - é o oposto de . Quando m 0 , o produto será indicado, simplesmente por .
O versor de um vetor , não nulo, é dado por .
Observe as figuras abaixo e note que: vetores de mesmo sentido possuem o mesmo versor.
 = 1
 2 3 = 3
 1,4 6 
 
 4 
 3,8 
 - 2 - 2,5 
A operação multiplicação de um vetor por um número real, assim definida, possui as seguintes propriedades:
	P1 m (+ ) = m + m 
	P2 (m + n) = m + n 
	P3 1 = 
P4 m.(n ) = (m n) = n (m )
Onde, m e n são quaisquer números reais e e quaisquer vetores do V3.
	
 (
u = v = 6
)EXEMPLO: Dados os vetores e , como na figura ao lado. Sendo = + e = – , calcule:
a) 
 (
45º
)o ângulo entre e ;
b) 
o valor de 
SOLUÇÃO: Como e têm o mesmo módulo, o paralelo-gramo formado será um particular losango. Como as diagonais de um losango são perpendiculares entre si, concluímos que o ângulo entre e é 90º.
 (
2 
 
- 
) (
2 
 
)Para calcular o módulo do vetor 2 – , basta aplicar a lei dos cossenos no triângulo formado pelos representantes dos vetores 2 , e 2 – . Assim, tem-se:
 = (2 u)2 + v2 – 2 2 u v cos45º 
 8,8.
6) PROBLEMASRESOLVIDOS
 (
120º
)1) Sejam os vetores e , como a figura ao lado, sendo u = 2 e v = 4 . Se = + , calcule a medida do ângulo entre e .
SOLUÇÃO: Inicialmente, calcula-se o módulo do 
 vetor , usando a lei dos cossenos.
 r2 = u2 + v2 – 2 u v cos 60º
 = 6.
 Aplicando-se a lei dos senos no triângulo ABC, vem:
 
2) 
 (
u = v = 6
)Dados os vetores e , como na figura ao lado. 
 Sendo = + e = – , calcule: 
c) 
 (
45º
)a medida do ângulo entre e ;
d) 
o valor de 
SOLUÇÃO: Como e têm o mesmo módulo, o paralelogramo formado será um particular losango. Como as diagonais de um losango são perpendiculares entre si, concluí-se que o ângulo entre e mede 90º.
 (
2 
 
- 
) (
2 
 
)Para calcular o módulo do vetor 2 – , basta aplicar a lei dos cossenos no triângulo formado pelos representantes dos vetores 2 , e 2 – .
Assim, tem-se:
 = (2 u)2 + v2 – 2 2 u v cos45º 
 8,84.
7) PROBLEMAS PROPOSTOS
P1 – Dados os vetores e , como na figura ao lado, e sendo u = v = 3 e = 45º, calcule os módulos dos vetores e , onde = + e = - .
P2 – O ângulo entre os vetores e mede 60º. Sendo u = e v = 2 , calcule:
a) 
a medida do ângulo entre e , onde = - ;
b) 
o valor de 
P3 – O ângulo entre os vetores e mede 60º. Sendo u = e v = 2 calcule:
a) 
a medida do ângulo entre e , sendo = - ; 
b) 
o valor de .
P4 – Dados os vetores e , como na figura ao lado, calcule a medida do ângulo entre e , sendo: u = 2, v = 4, = + e = - .
P5 – Dados e , como na figura ao lado. Sendo = + e = 10, ache , e , onde = - .
(2) REFERENCIAL CARTESIANO ESPACIAL
 
1) CONCEITO 
 
	 No espaço tridimensional, a posição de um ponto P pode ser determinada a partir de um Referencial Cartesiano ESPACIAL. Um sistema de Coordenadas Cartesianas Retangulares, no Espaço Tridimensional, é formado por três escalas numéricas (eixos), perpendiculares entre si, com a mesma unidade de comprimento e um ponto de origem comum. Esse referencial é também chamado de REFERENCIAL CARTESIANO TRIORTOGONAL. 
	 Os eixos são chamados, habitualmente, de x, y e z. A orientação fixada, como na figura a seguir, é chamada de positiva ou dextrógira. Os eixos x, y e z são chamados de eixos coordenados.
	Os três planos, que contém os pares de eixos, são chamados de planos coordenados. O plano xy é o que contém o eixo x e o eixo y; o plano yz é o que contém o eixo y e o eixo z e o plano xz que contém o eixo x e o eixo z.
	
	NOTAÇÃO: se a, b, e c são as coordenadas de um ponto P, então: 
 P(a, b, c) ou P = (a, b, c).
EXEMPLOS: Seja um paralelepípedo trirretangular, ou bloco retangular, cujas arestas medem 5, 2 e 4, numa mesma unidade de comprimento. As coordenadas dos vértices são:
0 = (0, 0, 0) (origem)
A = (2, 0, 0) (pertencente ao eixo x)
B = (0, 5, 0) (pertencente ao eixo y)
C = (0, 0, 4) (pertencente ao eixo z)
D = (2, 5, 0) (pertencente ao plano xy)
E = (0, 5, 4) (pertencente ao plano yz)
F = (2, 0, 4) (pertencente ao plano xz)
G = (2, 5, 4)
0 = (0, 0, 0) (origem)
A = (2, 0, 0) (pertencente ao eixo x)
B = (0, -5, 0) (pertencente ao eixo y)
C = (0, 0, -4) (pertencente ao eixo z)
D = (2, -5, 0) (pertencente ao plano xy)
E = (0, -5, -4) (pertencente ao plano yz)
F = (2, 0, -4) (pertencente ao plano xz)
G = (2, -5, -4)
Seja um ponto qualquer P = (x, y, z). Assim, tem-se: 
 P plano xy z = 0 P eixo x y = 0 e z = 0
 P plano yz x = 0 P eixo y x = 0 e z = 0
 P plano xz y = 0 P eixo z x = 0 e y = 0
 
 O sistema (0, ) é também chamado de Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais no Espaço. A base () é dita ortonormal pois seus vetores são unitários e ortogonais dois a dois.
 Considere um ponto P do espaço, P = (a, b, c). O vetor = P-0, que tem origem em 0 e extremidade em P, pode ser expresso de modo único como combinação linear de , isto é, em função de .
 Observe a figura ao lado.
 = P-0 = a + b + c = ( a , b , c) . Os números a, b e c são chamados de coordenadas 
do vetor , e o vetor é chamado de 
VETOR-POSIÇÃO do ponto P. 
1. DEFINIÇÕES
 1ª) IGUALDADE DE DOIS VETORES
 Dados os vetores = a + b + c = (a, b, c) e 
 = d + e + f = (d, e, f), define-se: 
 = 	 a = d, b = e e c =
 2ª) ADIÇÃO DE DOIS VETORES
 Dados os vetores = a + b + c = (a, b, c) e 
 = d + e + f = (d, e, f), define-se: 
 + = (a + d) + (b + e) + (c + f) = (a + d, b + e, c + f).
 3ª) SUBTRAÇÃO DE DOIS VETORES
 Dados os vetores = a + b + c = (a, b, c) e 
 = d + e + f = (d, e, f), define-se:
 - = (a - d) + (b - e) + (c - f) = (a - d, b - e, c - f).
 4ª) MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM NÚMERO REAL
 Dados o vetor = a + b + c = ( a , b , c ) e um número real m, define-se: 
 m = m (a + b + c ) = (ma)+ (mb)+ (mc) = (ma, mb, mc)
 5ª) VETOR COM ORIGEM EM A E EXTREMIDADE EM B 
	Dados os pontos A = (x1, y1, z1) e 
B = (x2, y2, z2), o vetor B-A é: 
 B-A = (x2–x1, y2–y1, z2–z1) ou
 B-A = (x2–x1)+ (y2–y1) + (z2–z1) 
	
EXEMPLOS: 
(A) Sejam os vetores: = ( 7 , 5 , 8 ) = 7 + 5 . + 8 e
 = ( 2, -2 , 3 ) = 2 - 2 + 3 . Assim, tem-se:
 * + = 9 + 3 . + 11 = ( 9 , 3 , 11 )
 * - = 5 + 7 . + 5 = ( 5 , 7 , 5 )
 * 5 . = 35 + 25 . + 40 = ( 35 , 25 , 40 )
(B) Sejam os pontos A = (2, 1, 3) e B = (3, 3, 5). 
 * o vetor B-A é obtido assim:
 B-A = (3, 3, 5) – (2, 1, 3) = (1, 2, 2) = + 2 + 2 ;
 * o ponto P, tal que P-O = B-A, onde O = ( 0 , 0, 0 ) é a origem do referencial, é obtido assim: P-O = (1, 2, 2), logo P = ( 0 , 0, 0 ) + (1, 2, 2) = ( 1 , 2 , 2 ) . 
 * o ponto D, tal que D-C = B-A, sendo C= (10, 10,10), é obtido assim:
 B-A = D-C D-C = (1, 2, 2) , logo:
D = C + (1, 2,2) D = (10,10,10) + (1, 2, 2) = ( 11, 12, 12 ), isto é:
 D = (11, 12, 12).
3) MÓDULO DE UM VETOR
Se = a + b + c = ( a , b , c ) 
então .
 OBSERVAÇÕES:
 a) O versor de um vetor não nulo é dado por ;
 b) Sejam P e Q, dois pontos quaisquer no Referencial Cartesiano Espacial;
 A distância entre os pontos P e Q é igual ao módulo do vetor = Q-P .
EXEMPLO: Dados os pontos A = (4, 4, 4) e B = (5,6, 6), ache: 
1. 
o módulo de = B-A; 
1. 
o versor do vetor = B-A;
1. a distância entre A e B.
SOLUÇÃO: a) como o vetor = B-A = (1, 2, 2) = (5,6,6) – (4,4,4) = + 2 + 2 , tem-se: || = 
 b) o versor de = B-A será dado por:
 
1. 
a distância entre A e B é igual ao módulo do vetor .
 Assim: d(A,B) = |B-A| = 3.
1. DOIS VETORES PARALELOS
Dados os vetores: = a + b + c = (a, b, c),
 = d + e + f = (d, e, f) 
 // existe um número real m tal que: = m (a, b, c) = m (d, e, f) 
 // 
EXEMPLO: Verificar, nos pares de vetores abaixo, quais são paralelos.
 a) = (2, 4, -4) e = (-3, -6, 6);
 b) = (4, 2, 0) e = (2, 1, 0);
 c) = (1, 5, 2) e = (2, 10, 1).
SOLUÇÃO: a) como são verdadeiras, concluímos que //;
 b) fazendo verificamos que a primeira igualdade é verdadeira e a segunda por ser, pois há uma indeterminação. De acordo com a convenção feita, podemos concluir que os vetores e são paralelos. Note que, essa conclusão pode ser feita também, observando-se que = 2 .
 c) fazendo , notamos que a primeira igualdade é verdadeira mas a segunda é falsa, logo os vetores e não são paralelos .
5) TRÊS vetores coplanares 
 Dados três vetores = a + b + c = (a, b, c),
 = d + e + f = (d, e, f) e
 = g + h + m = (g, h, m),
 , e são coplanares = 0 
EXEMPLO: Determine m de modo que os vetores = (1, 2, 3), = (1, 1, m) e = (4, 2, 6) sejam coplanares.
SOLUÇÃO: Para que os vetores sejam coplanares , tem-se: 
 = 0 6 m – 12 = 0 m = 2.
6) 3 PONTOS COLINEARES NO ESPAÇO 
EXEMPLO: Verificar se os pontos A = (1, 2, 1), B = (3, 1, 2) A . 
 e C = (-1, 3, 0) são colineares. B.
SOLUÇÃO: B-A = (2, -1, 1) e C-B = (-4, 2, -2); C . 
 fazendo , verifica-se C
 que as igualdades são verdadeiras, logo os vetores B-A e C-B são paralelos e, por conseqüência, os três pontos são colineares.
7) 4 PONTOS COPLANARES, NO ESPAÇO	
EXEMPLO: Ache o valor de m para que os pontos
 A = (1, 2, 3), B = (2, 2, 2), C = (4, 0, 2) e 
 D = (m, 0, 0) sejam coplanares. 
SOLUÇÃO: B-A = (1, 0, -1), C-A = (3, -2, -1) e 
 D-A = (m-1, -2, -3). 
 Se B-A, C-A e D-A são coplanares, vem:
 = 0 -2 m + 12 = 0 m = 6 .
 8) PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA
 
EXEMPLO: Determine as coordenadas do ponto C que divide o segmento AB na razão 2 para 3, sendo A = (2, 1, -8) e B = (7, -4, 2).
SOLUÇÃO: Se o ponto C divide o segmento AB na razão 
 2 para 3 , então:
 C-A = (B-A) 
 C-A = (5, -5, 10) 
 C-A = (2, -2, 4) C = A + (2, -2, 4) C = (4, -1, -4).
1. PROBLEMAS RESOLVIDOS
R1) Seja um paralelepípedo trirretangular (bloco retangular) como na figura ao lado, de arestas medindo 3, 5 e 6.
1. escrever as coordenadas dos vértices 0, A, B, C, D, E, F, G;
1. escrever as coordenadas dos vetores G-O, B-E, A-F, D-C.
SOLUÇÃO: a) O = (0, 0, 0), A = (3, 0, 0), B = (0, 5, 0), 
 C = (0, 0, -6), D = (3, 5, 0), E = (3, 0, -6), F = (0, 5, -6), G = (3, 5, -6).
 b) G-O = (3, 5, -6) – (0, 0, 0) = (3, 5, -6) = 3 + 5 - 6 ;
 B-E =(0, 5, 0) – (3, 0, -6) = (-3, 5, 6) = -3 + 5 + 6 ;
 A-F = (3, 0, 0) – (0, 5, -6) = (3, -5, 6) = 3 - 5 + 6 ; e
 D-C = (3, 5, 0) – (0, 0, -6) = (3, 5, 6) = 3 + 5 + 6 .
R2) Dados os vetores = (2,-1, 8) = 2 - + 8 e
 = (2, -2, 4) = 2 - 2 + 4 , ache:
1. 
 a resultante de e ;
1. o versor da resultante;
1. um vetor paralelo à resultante, cujo módulo seja 26; e
1. o conjunto dos vetores paralelos à resultante.
SOLUÇÃO: a) + = = (2, -1, 8) + (2,-2, 4) = (4, -3, 12) = 4 - 3 + 12 ;
 b) = = 13 = 
 
1. 
Seja o vetor procurado, Assim, = 26 = 2 , isto é,
 = (8, -6, 24) ou = (-8, 6, -24);
d) Todo vetor paralelo a será um múltiplo de , isto é, será igual a multiplicado por um número real qualquer m. Assim, tem-se:
 {m (4, -3, 12) / m R}.
10) PROBLEMAS PROPOSTOS
P1) Considere o cubo de aresta 2, como na figura ao lado. Ache as coordenadas dos vértices e as coordenadas dos vetores: G-B, F-E, G-F e E-B.
P2) Sejam os pontos A = (1, 2, 3) e D = (7, -1, 6), ache os pontos B e C, sabendo que B e C dividem o segmento AD em três partes iguais.
P3) Considere o paralelepípedo de arestas 6, 10 e 8, como na figura ao lado.
Ache os vetores e os respectivos módulos:
1. G-E
1. D-C
1. G-A
1. F-D
P4) Dados os vetores: = (3, -1, 4), = (2, 3, 5) e = (-2, -6, 3), ache:
1. 
o vetor = + + ;
1. 
o módulo de vetor ; e
1. 
o versor do vetor .
P5) Dados os pontos A = (3, 2, 5) e B = (1, -4, 3), ache as coordenadas do ponto M, ponto médio de AB.
P6) Dados os pontos A = (0, -1, 2), B = (1, 1, 0) e C = (3, 1, 4).
1. A, B e C são colineares?
1. Ache um vetor paralelo a B-A, cujo módulo seja igual a 4.
P7) Verifique se são paralelos ou não, as seguintes duplas de vetores:
1. (2, 1, 0) e (4, 2, 0);
1. (0, 1, 0) e (0, 2, 1);
1. (-3, 4, 1) e (1, 0, -2).
P8) Verifique se são coplanares, as seguintes trincas de vetores:
1. (1, 1, 1), (1, 2, 3) e (2, 3, 4);
1. (2, 1, 1), (4, 2, 2) e (5, -1, 0).
(3) MULTIPLICAÇÃO DE VETORES: PRODUTO ESCALAR
1) CONCEITO
 Sejam os vetores = a + b + c = ( a , b , c ) e
 = d + e + f = ( d , e , f ) . 
 DEFINIÇÃO: PRODUTO ESCALAR dos vetores e é o número real dado por:
 x = a . d + b . e + c . f
EXEMPLOS: a) ( 1 , 2 , 3 ) X ( 4 , 1 , 2 ) = 1 . 4 + 2 . 1 + 3 . 2 = 12
 b) ( + + ) X ( - - 5) = 1 – 1 – 5 = -5
 c) (2, 1 , -1 ) X (3 , 3, 9 ) = 6 + 3 – 9 = 0
OBSERVAÇAÕ: Indica-se, também, a multiplicação escalar de dois vetores assim: 
 . 
2) PROPRIEDADES 
 Sejam os vetores , e V3 e m um número real; a multiplicação 
 ESCALAR possui as seguintes propriedades:
 
P1 x = 0 se e somente se = ;
P2 Comutativa: x= x 
P3 Distributiva: x ( + ) = x + x 
P4 m ( x ) = (m) x = x (m)
P5 x = 
P6 (a) Se = ou = então x = 0
 (b) Se e então x = cos 
sendo a medida do ângulo entre e .
EXEMPLO: Calcule a medida do ângulo entre os vetores:
 a) = (1, 2, 2) e = (1, -4, 8);
 b) = (4, -1, 3) e = (1, 1, -1).
SOLUÇÃO: a) x = cos 
 ( 1 , 2 , 2 ) X ( 1 , -4 , 8 ) = 3 . 9 cos
 1 – 8 + 16 = 9 = 27 . cos , donde: = arc cos 71º
 b) cos = = 0 cos = 0 
 = 90º, isto é, e são ortogonais.
 3) CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES 
 Sejam e 
 x = 0 = 90º (isto é, os vetores são ortogonais).
PROVA: x = cos = 0 cos = 0 = 90º
EXEMPLO: Qual o valor de m para que os vetores = ( m , 2 , 3 ) e = ( 2 , -1 , 2 ) sejam ortogonais?
SOLUÇÃO: X = (m, 2, 3) X (2, -1, 2) = 2m –2 + 6 = 0 m = -2.
4) ÂNGULO DIRETORES
 
 Os ângulos que um vetor forma com os eixos 
coordenados são chamados de ÂNGULOS DIRETORES. 
 
EXEMPLO: Ache a medida dos ângulos diretores
 de = - 2 + 2 = ( 1 , -2 , 2 ).
SOLUÇÃO: cos = = arc cos 71º
 cos = = arc cos 132º
 cos = = arc cos 48º.
5) VETORES-COMPONENTES
Um problema de muita aplicação na Física Geral é o de se achar o vetor-compenente ou vetor-projeção de um vetor, em uma direção dada, ou ainda, a decomposição de um vetor em dois vetores-componentes. Veja a figura a seguir:
 O vetor é chamado de vetor-componente ou de vetor-projeção de na direção de , 
 *) // (têm a mesma direção)
 **) Como + = então: = - 
***) 
 Prova-se que: = 
EXEMPLO: Decompor o vetor = (6, -3, 9) em dois vetores, e , sendo paralelo 
 a e ortogonal a , onde = ( 1 , 2 , 2 ). Os vetores e são chamados de VETORES-COMPONENTES ORTOGONAIS DE .
SOLUÇÃO: 
Veja a figura ao lado.
 = . (1,2,2) 
 = (2, 4, 4) = 2 . + 4 + 4.
 = - = (6, -3, 9) – (2, 4, 4) = (4, -7, 5) = 4 . - 7 + 5 .
6) PROBLEMAS RESOLVIDOS
R1) Achar os vetores = (x, y, z) tais que:
 , (1, 1, 1) e (1, 2, 3) são coplanares; (2, 1, -1) e || = .
SOLUÇÃO: Como , (1, 1, 1) e (1, 2, 3) são coplanares = 0
 x – 2y + z = 0 (I)
 Como v (2, 1, -1) (x, y, z) x (2, 1, -1) = 0 
 2x + y – z = 0 (II) 
 Resolvendo o sistema: 
 x – 2y + z = 0
 2x + y – z = 0 tem-se que: y = 3 x e z = 5 x .
 Mas, || = 
 35 x2 = 35 x = 1 ou x = -1. Assim, os vetores serão:
 1 = (1, 3, 5) = + 3 + 5 ou
 2 = (-1, -3, -5) = - - 3 - 5
R2) Ache o conjunto dos vetores ortogonais a = (2, -2, 1) e a = (2, 0, -1),
 ao mesmo tempo. 
SOLUÇÃO: Um vetor pertence a esse conjunto se, e somente se, 
 x = 0 e x = 0. Seja = (x, y, z) , então:
 (x, y, z) x (2, -2, 1) = 0 2x – 2y + z = 0, e 
 (x, y, z) x (2, 0, -1) = 0 2x – z = 0
 Resolvendo o sistema,
 2x – 2y + z = 0
 2x – z = 0 tem-se: y = 2x e z = 2x . Assim, o conjunto é: 
 S = { ( m , 2m , 2m) , m R }
R3) Dados os pontos A = (1, 0, -1), B = (2, 0, 1) 
 e C = (3, 1, 0 ). 
 Calcule a medida do ângulo Â.
SOLUÇÃO: 
Observando-se a figura, nota-se que basta achar = B – A e = C- A e calcular a medida do ângulo entre esses dois vetores. Assim, tem-se: = ( 1 , 0 , 2 ) 
e = ( 2 , 1 , 1 ) e, portanto: X = 1 . 2 + 0 . 1 + 2 . 1 = 4 .
Como X = || . || . cos  , vem:
4 = . . cos  cos  0,73  43o
7) PROBLEMAS PROPOSTOS
P1) Calcule o produto escalar dos vetores:
 a) = (1, 2, 3) e = (5, 0, -1);
 b) = + + e = - 2 + 3 ;
 c) = e = + .
 
P2) Calcule a medida do ângulo entre os vetores:
 a) = + + 4 e = 2 + 4 + 4 
 b) = ( 1 , 2 , 3 ) e = ( -2 , 3 , 1 ) 
 c) = ( 1 , -2 , 1 ) e = + - 2 
P3) Calcula a medida dos ângulos que o vetor = 3 + 4 + 12 
 forma com os três eixos coordenados. (ângulos diretores).
P4) Calcule a medida dos ângulos internos do triângulo ABC, onde A = ( 4, 0 , 0 ), B = ( 0 , 6 , 0 ) e C = ( 0 , 0 , 8 ). ESBOCE UM GRÁFICO CARTESIANO.
P5) Ache as componentes ortogonais do vetor = ( 4 , 4 , 3 ), tendo uma delas a direção do vetor = (2, 1, 2). 
P6) Decompor o vetor = 6 - 3 + 9 em dois vetores e , tais que // e , onde = + + .
P7) Dados os vetores = (1, 1, 1), = (2, 4, 2) e = (3, 4, 3) pode-se afirmar que:
 (RESPONDA SIM OU NÃO E JUSTIFIQUE A SUA RESPOSTA!)
(a) e são paralelos? (c) e são ortogonais? 
(b) e são ortogonais? (d) , e são coplanares?
(4) MULTIPLICAÇÃO DE VETORES: PRODUTO VETORIAL
1) DEFINIÇÃO
Sejam os vetores = a + b + c = ( a , b , c ) e 
 = d + e + f = ( d , e , f ) .
PRODUTO VETORIAL dos vetores e é o vetor dado pelo determinante:
 = = = - + 
EXEMPLOS:
0. 
(1, 3, 5) (1, 1, 1) = = -2 + 4 - 2 
0. 
(1, 1, 1) (1, 3, 5) = = 2 - 4 + 2 
0. 
(0, 0, 0) (2, 1, 7) = = 0 + 0 + 0 = 
0. 
(2, 4, 6) (3, 6, 9) = = 0 + 0 + 0 = 
2) PROPRIEDADES
P1 Seja um vetor qualquer de V3, então = .
P2 Anti-comutativa: = - , quaisquer que sejam , V3.
P3 Distributiva: ( + ) = + , quaisquer que sejam , , V3.
P4 Associativa, com um número real: m ( ) = (m) = (m), 
 quaisquer que sejam , V3 e m R.
P5 (a) Se = ou = = ;
 (b) Se ou então: = // .
P6 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
 Se e não são nulos e nem paralelos (ditos, linearmente independentes).então = e, vice-versa. Nessas condições:
 = _|_ e _|_ 
EXEMPLO: Dados = (2, 4, 1) e = (1, 2, 3), achar o vetor = e verificar que é ortogonal a e a .
SOLUÇÃO: = = = (10, -5, 0).
 Como X = (10, -5, 0) x (2, 4, 1) = 0 , então _|_ e 
 como X = (10, -5, 0) x (1, 2, 3) = 0 , então _|_ . 
3) ÁREA DO PARALELOGRAMO
A área S do paralelogramo ABCD, sendo
 = e = é dada por: 
 SABCD = | | 
EXEMPLO: Calcular a área do paralelogramo, cujos vértices são A = (4, 1, 5), B = (6, 0, 5), C = (4, 2, 4) e D = (6, 1, 4). 
SOLUÇÃO: Sejam = B-A = (2, -1, 0) = e = C-A = (0, 1, -1) = . Assim, 
 S = | | = = |(1, 2, 2)|
 S = 3 unidades quadradas.
4) ÁREA DO TRIÂNGULO
A diagonal de um paralelogramo divide-o em dois triângulos congruentes ou iguais (simétricos em relação a essa diagonal). Assim, a área de um triângulo é sempre igual à metade da área de um paralelogramo de modo que um dos lados do triângulo seja diagonal do paralelogramo e os outros dois lados coincidam com lados do paralelogramo.
Seja o triângulo ABC da figura. A área S do triângulo é igual à metade do paralelogramo ABCD. Logo, ela será dada por:
 S = | (B-A) (C-A) |. 
EXEMPLO: Calcular a área do triângulo ABC, onde A = (2, 0, 3), B = (8, 8, -3) e C = (2, 2, 2). 
SOLUÇÃO: Sejam os vetores cujos representantes são os lados do triângulo ABC: 
 = B – A = (6, 8, -6) e = C – A = (2, 2, 2).
A área S do triângulo será:
 S = |(B-A) (C-A)| = = | ( 4 , 6 , 12 ) | = 14 
 S = 7 unidades quadradas. 
5) PROBLEMAS RESOLVIDOS
R1) Ache o conjunto dos vetores ortogonais a = (2, -4, 3) e = (2, -1, 0) ao mesmo tempo. Quais desses vetores possuem módulo 15?
SOLUÇÃO: Um vetor ortogonal, ao mesmo tempo, a e a é dado por . Logo, todos os vetores que são ortogonais a esses dois vetores, simultaneamente, serão paralelos ao vetor .
 Como, = = (3, 6, 6), o conjunto procurado será:
 S = { m (-3, 6, 6), m R }. 
Os vetores de módulo 15 desse conjunto podem ser encontrados, facilmente, multiplicando-se o versor de um dos vetores não nulos desse conjunto, por 15. 
 Assim, tem-se 15 = (-5, 10, 10). 
Ou seja, -5 + 10 + 10 e 5 - 10 - 10 . 
R2) Calcular a área do paralelogramo ABCD, cujas diagonais são representantes dos vetores: C-A = (1, 3, -3) e B-D = (3, 3, -1), conforme a figura ao lado. 
 (
(+)
)SOLUÇÃO: Sejam = B-A e = D-A . Assim, C-A = + e B-D = - , portanto: + = (1, 3, -3)
 - = (3, 3, -1)
 2 = (4, 6, -4) = (2, 3, -2). Como + = C-A, vem:
= (C-A) - = (-1, 0, -1). Dessa forma, a área S do paralelogramo ABCD será:
S = |(2, 3, -2) (-1, 0, -1)| S = unidades quadradas.
R3) Ache o conjunto dos vetores = (x, y, z) tais que: (x, y, z) (1, -2, 1) = (2, 1, 0).
1. quais desses vetores possuem módulo 3 ?
1. 
quais desses vetores são ortogonais ao vetor = (1, 3, 6) ?
1. 
quais desses vetores são paralelos ao vetor = (4, -8, 2)?
SOLUÇÃO: = (2, 1, 0) (y + 2z, z – x, -2x-y) = (2, 1, 0) 
 y + 2z = 2 (I) Resolvendo o SISTEMA LINEAR, tem-se:
 z – x = 1 (II) de (II), z = 1 + x e de (III) y = -2x, que substituindo-se em 
 -2x – y = 0 (III) (I), obtém-se a identidade 0 = 0. Logo, o sistema é indeterminado, tendo infinitas soluções, que são dadas por : y = -2x e z = 1 + x. 
Assim, o conjunto será: S = { (m, -2m, 1 + m), m R}.
a) (m, -2, 1+m) = 3 3 m2 + m – 4 = 0 
 m = 1 ou m = . Portanto, os vetores serão: (1, -2, 2) ou .
b) (m, -2, 1+m) X (1, 3, 6) = 0 m + 6 = 0 m = -6 (-6, 12, 5).
c) m = -2 (-2, 4, -1).
R4) Seja o triângulo ABC. Achar a altura, relativa ao vértice C, sendo: A = ( 2 , 0 , 0 ), B = ( 2 , 4 , 0 ) e C = ( 2 , 3 , 3 ).
 ESBOÇAR UM GRÁFICO CARTESIANO.
SOLUÇÃO: A área S do triângulo ABC é dada por:
 SABC = |(B-A) (C-A) | 
 SABC = |(0, 4, 0) (0, 3, 3)| 
 SABC = 6. Mas S = b h, onde a base b = |B-A| = | (0, 4, 0)| = 4.
 Logo, 6 = 4 h 
 h = 3 unidades lineares .
6) PROBLEMAS PROPOSTOS
P1) Dados = (2, -3, -1) e = (1, 4, -2) calcular:
 a) ;
 b) ;
 c) ( + ) ( - ).
P2) Calcular:
 a) ; f) ;
 b) g) ;
 c) ; h) ;
 d) ; i) .
 e) ;
P3) Dados = (1, 1, 1), = (1, 0, 2) e = (0, 1, 1), calcule ( ) e ( ).
 O QUE VOCÊ OBSERVA?
P4) Ache as componentes-ortogonais de = (6, -3, 9), tendo uma delas a direção do vetor 
 , sendo = (4, -3, 1) e = (2, -1, 0).
P5) Um paralelogramo tem um vértice na origem e lados OA e OB, onde A = ( 1 , 2 , 3 ), B = ( 0 , 4 , 0 ). Calcule a área e a altura, relativa à base OB, desse paralelogramo. Quais as coordenadas do quarto vértice?
P6) Calcule a área do triângulo OMP, sendo O a origem do referencial cartesiano, M = (0, 4, 0) e P = (0, 2, 3). Qual a altura desse triângulo, relativa ao vértice P? ESBOCE UM GRÁFICO CARTESIANO.
P7) Calcule a área do triângulo ABC, sendo A = ( 4 , 0 , 0 ), B = ( 0 , -3 , 0 ) e C = ( 0 , 0 , 5 ). Qual a altura desse triângulo relativa ao vértice C? ESBOCE UM GRÁFICO CARTESIANO.
(5) PRODUTO MISTO
1) D E F I N I Ç Ã O
 Sejam os vetores = a + b + c = (a, b, c) 
 = d + e + f = (d, e, f) 
 = g + h + m = (g, h, m) 
 PRODUTO MISTO dos vetores , e é o número real dado por ( ) x 
OBSERVAÇÃO: Note que é uma expressão, envolvendo as multiplicações escalar e vetorial !
.
Calculando-se a expressão acima, tem-se:
 	 = 
 x = x (g, h, m) 
 x = 	.
E, permutando-se as linhas deste último determinante chega-se ao seguinte resultado:
 x = 
[EXEMPLO: Calcular o produto misto dos vetores:
a) = (2, 3, 5), = (-1, 3, 3) e = (4, -3, 2) x = = 27
b) = (1, 2, 3), = (2, 6, 4) e = (2, 5, 5) x = = 0 (zero)
c) = (2, 1, 0), = (1, 0, 2) e = (0, 2, 1) x = = - 9
2) PROPRIEDADES
P1 Três vetores, , e , são coplanares se, e somente se, x = 0.
P2 Os símbolos e x são permutáveis, isto é, x = x .
3) VOLUME DO PARALELEPÍPEDO
 VP = | x |.
EXEMPLO: Calcular o volume do paralelepípedo cujas 
 arestas são representantesdos vetores
 = (2, -3, 4) , = (1, 2, -1) e = (3, -2, -2).
SOLUÇÃO: Aplicando-se a fórmula, tem-se:
 VP = | x | = = 13 unidades cúbicas.
4) VOLUME DO TETRAEDRO
 O volume de uma pirâmide é dado pela fórmula: 
 V = S H, 
 onde S é a área da base e H a altura da pirâmide.
Um tetraedro é uma particular pirâmide, onde a base é, também, um triângulo. Logo:
VT = St H = Sp H VT = Vp, 
 onde St = área do triângulo ABC e Sp = área do paralelogramo ABCE. Assim, tem-se, o volume do tetraedro é: VT = |(B-A) (C-A) x (D-A)| 
EXEMPLO: Calcular o volume do tetraedro OABC, onde O é a origem do referencial cartesiano, A = (3, 0, 0), B = (0, 6, 0) e C = (0, 0, 9).
SOLUÇÃO: Achando os vetores A-O = (3, 0, 0), B-O = (0, 6, 0) e C-O = (0, 0, 9), vem:
VT = = 27 unidades cúbicas.
1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R1) Considere o paralelepípedo ABCDEFGH, onde A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), D = (2, 4, 3) e E = (5, 4, 1). Ache os demais vértices e o volume desse paralelepípedo.
SOLUÇÃO: As arestas de um paralelepípedo são, 4 a 4, paralelas e de mesmo comprimento, logo:
C-D = B-A C = D + (B-A) C = (2, 4, 3) + (0, 1, 2) C = (2, 5, 5).
F-E = B-A F = E + (B-A) F = (5, 4, 1) + (0, 1, 2) F = (5, 5, 3).
G-F = D-A G = F + (D-A) G = (5, 5, 3) + (1, 3, 2) G = (6, 8, 5).
H-D = E-A H = D + (E-A) H = (2, 4, 3) + (4, 3, 0) H = (6, 7, 3).
Para o cálculo do volume, aplica-se a fórmula:
 Vp = |(B-A) (D-A) x (E-A)| = |(0, 1, 2) (1, 3, 2) x (4, 3, 0)| 
 Vp = |-10| Vp = 10 unidades cúbicas
R2) Seja o tetraedro OABC, onde O é a origem de referencial cartesiano. Achar as coordenadas do ponto C, sabendo que o ponto C pertence ao eixo z, B = ( 0 , 4 , 0 ) , A = (9, 0, 0) e que o volume desse tetraedro é igual a 36 unidades cúbicas.
SOLUÇÃO: O volume do tetraedro é dado por: 
VT = |(A-O) (B-O) x (C-O)| 
36 = |(9, 0, 0) (0, 4, 0) x (0, 0, m)| , pois C pertence ao eixo z.
Assim, tem-se: |36 m| = 216 m = 6 ou m = -6. 
Portanto, o ponto C é: C1 = (0, 0, 6) ou C2 = (0, 0, -6).
1. PROBLEMAS PROPOSTOS
P1) Seja o paralelepípedo cujas arestas são representantes dos vetores:
 = (1, 2, 1), = (2, 3, 4) e = (3, 1, 7). Ache:
1. o volume de paralelepípedo;
1. 
a área da base determinada por e ;
1. 
a altura do paralelepípedo, relativa à base e .
P2) Calcular o volume, a área total e as alturas do paralelepípedo, cujas arestas são representantes dos vetores = (1, 1, 1), = (2, 1, 0) e = (0, 2, 7) .
P3) Considere o paralelepípedo ABCDEFGH, con- forme a figura ao lado. Sendo:B-A = (2, 1, 0), C-A = (3, 4, 1) e D-A = (1, 0, 5), calcule o volume desse paralelepípedo e os ângulos entre a diagonal AH e as arestas AB, AC e AD.
P4) Calcule o volume de uma pirâmide de altura 12 e cuja base é uma paralelogramo onde os lados são representantes dos vetores = (4, -1, -1) e = (2, 0, -1).
P5) Dados os pontos A = (2, 0, 0), B = (0, 3, 0) e C = (0, 0, 6), calcule:
1. a área do triângulo ABC;
1. o volume o tetraedro OABC, onde O é a origem do referencial cartesiano. ESBOCE UM GRÁFICO CARTESIANO, representando o tetraedro.
1. a altura H do tetraedro, relativa ao vértice O.
P6) Sejam os pontos A = (6, 0, 0), B = (0, 6, 0), C = (0, 0, 6) e 0 = (0,0,0) . 
 Calcule o volume , a área total e as alturas do tetraedro OABC. 
w
r
w
r
Û
3
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k
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