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Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região do primeiro quadrante limitada pela curva 2cos(y) = x e pelos eixos coordenados em torno do eixo y, podemos usar o método do disco ou o método do cilindro. Usando o método do disco, podemos integrar a área de cada disco infinitesimal ao longo do eixo y e somar todas as áreas para obter o volume total. A fórmula para o volume usando o método do disco é: V = ∫[a,b] πr²dy Onde a e b são os limites de integração ao longo do eixo y e r é o raio do disco em cada ponto y. No caso da curva 2cos(y) = x, podemos isolar x para obter x = 2cos(y). O raio do disco em cada ponto y será igual a x, então r = 2cos(y). Agora, precisamos determinar os limites de integração a e b. A curva 2cos(y) = x intercepta o eixo y quando x = 0, então podemos encontrar o valor de y quando x = 0: 2cos(y) = 0 cos(y) = 0 y = π/2 Portanto, os limites de integração serão de 0 a π/2. Agora, podemos calcular o volume: V = ∫[0,π/2] π(2cos(y))²dy V = ∫[0,π/2] 4πcos²(y)dy A integral de cos²(y) pode ser resolvida usando a identidade trigonométrica cos²(y) = (1 + cos(2y))/2: V = ∫[0,π/2] 4π(1 + cos(2y))/2 dy V = 2π∫[0,π/2] (1 + cos(2y)) dy V = 2π[y + (1/2)sin(2y)]|[0,π/2] V = 2π[(π/2) + (1/2)sin(π)] - 2π[0 + (1/2)sin(0)] V = 2π[(π/2) + (1/2)sin(π)] V = 2π[(π/2) + (1/2) * 0] V = 2π(π/2) V = π² Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação da região do primeiro quadrante limitada pela curva 2cos(y) = x e pelos eixos coordenados em torno do eixo y é π².