Sistemas de Controle de 1ª e 2ª ordens

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CONTROLE CONTÍNUO 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Samuel Polato Ribas 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta parte da disciplina, serão estudados os sistemas de 1ª e 2ª ordens. 
Todo sistema pode ter seu funcionamento dividido em duas partes: a primeira 
parte, referente ao regime transitório, é a variação entre o início do 
funcionamento do circuito e o valor final que ele atinge. A segunda parte, 
referente ao estado estacionário, estuda o comportamento do sistema após ele 
atingir o valor final. 
Além disso, será estudada a relação entre o sinal atingido em regime 
permanente e o valor que deveria ser atingido, ou seja, como é realizada a 
análise do erro do sistema. 
Por fim, serão estudados métodos para analisar a estabilidade do 
sistema, ou seja, se o sistema vai ser funcional ou não. Vale ressaltar que o 
fato de ser funcional não significa que o resultado atingido será satisfatório. 
TEMA 1 – ANÁLISE TRANSITÓRIA E DE REGIME PERMANENTE DE 
SISTEMAS DE 1ª ORDEM 
Nesta seção, será realizado um estudo da resposta transitória e da 
resposta em regime permanente de sistemas de controle, plantas ou processos. 
Na análise da reposta transitória, estuda-se o comportamento de sistemas 
de 1ª e 2ª ordens. Os sistemas de ordem superior são considerados como sendo 
a composição das respostas de sistemas de 1ª e 2ª ordens. Para a análise do 
comportamento desses tipos de sistema, normalmente utilizam-se os sinais de 
entrada mostrados na Tabela 1. 
Tabela 1 – Sinais utilizados para análise da resposta transitória 
Entrada 
Função de 
transferência 
Gráfico no tempo 
Degrau unitário  
s
sF
1
 
 
 
 
3 
Rampa  
2
1
s
sF  
 
Impulso   1sF 
 
Para compreender a análise transitória de um sistema de 1ª ordem, deve-
se conhecer o formato da sua função de transferência. Esse tipo de sistema pode 
ser representado por uma função de transferência na forma 
 
 
  As
B
sX
sY
sG

 (1) 
ou 
 
1

s
K
sG

 (2) 
Considerando uma entrada do tipo degrau unitário a partir de t = 0, tem-
se a resposta mostrada na Figura 1. 
Figura 1 – Resposta de um sistema de 1ª ordem a uma entrada do tipo degrau 
unitário 
 
Matematicamente, a saída do sistema da Figura 1 no domínio da 
frequência Y(s) é dada por 
 
 
4 
 
As
B
s
sY


1
 (3) 
Aplicando a transformada inversa de Laplace à equação (3), tem-se que 
   Ate
A
B
ty  1 (4) 
Graficamente, a saída y(t) é apresentada na Figura 2. 
Na Figura 2, a relação B/A da equação (4) é igual a 1. Note que essa 
relação define o valor final do sinal. Perceba ainda que o eixo horizontal, do 
tempo, é definido em função do polo da função de transferência, representado 
por A. 
Note ainda que são destacados os valores de amplitude referentes a 1/A, 
2/A e 3/A. Essas relações são chamadas de constante de tempo da função de 
transferência, em que 1/A é o tempo da primeira constante de tempo, 2/A é o 
tempo da segunda constante de tempo, e 3/A é o valor da terceira constante de 
tempo. 
Figura 2 – Resposta detalhada no domínio do tempo de um sistema de 1ª ordem 
a uma entrada do tipo degrau unitário 
 
Isso significa que 63% do valor final de saída é atingido na primeira 
constante de tempo, 86%, na segunda constante de tempo, e 95% do valor final, 
na terceira constante de tempo. 
 
 
5 
Para fins de estudo, considera-se que o sinal de saída atinge o valor de 
final a partir da terceira constante de tempo. Este tempo é chamado de tempo 
de acomodação, Ta, e é dado por 
PoloA
Ta
33
 (5) 
Nesse instante, a resposta atinge 95% do valor final, sendo que esse valor 
já pode ser considerado o valor final. 
Assim, com base nas Equações 4 e 5, e sabendo que a forma da função 
de transferência de 1ª ordem é como mostrada na Equação 1, é possível realizar 
a análise do comportamento transitório da reposta de um sistema de 1ª ordem. 
Para a determinação do valor da saída em regime permanente, ou seja, 
após o término do regime transitório, basta fazer o uso do teorema do valor final. 
Esse teorema fornece o valor final da saída de um sistema a partir da sua função 
de transferência e do tipo de entrada a que ele é submetido. Tal teorema é dado 
por 
    







 As
B
sXsimlty
s 0
 (6) 
Note que o teorema do valor final resulta em um valor no domínio do 
tempo, quando o tempo tende ao infinito (y(t→∞), y quando t tende ao infinito), 
ou seja, garante que todo o regime transitório já terminou. 
Também é possível obter a função de transferência de um sistema de 1ª 
ordem conhecendo informações a respeito de seu comportamento transitório, a 
partir de uma entrada do tipo degrau unitário, e de seu valor em regime 
permanente, obtido a partir do teorema do valor final. 
Como exemplo, considere que um sistema de 1ª ordem foi submetido a 
uma entrada do tipo degrau unitário e obteve como resposta um valor em regime 
permanente igual a 0,72, e a primeira constante de tempo teve uma duração de 
0,13s. Assim, sabe-se que 
69,7
1
13,0  A
A
 (7) 
Do teorema do valor final, dado pela Equação 6, tem-se que 
 
 
6 
 
53,572,0
69,7
69,7
1
0










B
B
s
B
s
simlty
s
 (8) 
Assim, conhecendo os coeficientes B e A da função de transferência da 
Equação 1, tem-se que 
 
69,7
53,5


s
sG (9) 
TEMA 2 – ANÁLISE TRANSITÓRIA E DE REGIME PERMANENTE DE 
SISTEMAS DE 2ª ORDEM 
Os sistemas de 2ª ordem são mais complexos que os sistemas de 1ª 
ordem pelo fato de apresentarem um polo a mais que um sistema de 1ª ordem. 
Um sistema de 2ª ordem na forma-padrão é descrito pela função de 
transferência dada por 
 
  22
2
2 nn
n
sssX
sY



 (10) 
sendo ωn a frequência natural de oscilação, em rad/s, e ζ o coeficiente de 
amortecimento. 
Lembre que os polos de uma função de transferência são os valores de s 
que fazem com que o valor da função de transferência tenda ao infinito, ou seja, 
são os valores de s que zeram o polinômio do denominador. 
Pelo fato de o denominador de um sistema de 2ª ordem possuir duas 
raízes, há quatro possibilidades para os seus valores: podem ser reais puros 
com valores diferentes, reais puros com valores iguais, imaginários puros ou 
complexos conjugados. 
A posição dos polos, representados no plano complexo (com eixos real e 
imaginário), vai definir o comportamento da saída do sistema frente a uma 
entrada do tipo degrau unitário. Nesse quesito, os sistemas de 2ª ordem podem 
ser classificados como superamortecido, criticamente amortecido, 
subamortecido e oscilatório. 
 
 
7 
A Tabela 2 apresenta exemplos de função de transferência, a posição dos 
polos no plano complexo e o comportamento da saída frente a uma resposta do 
tipo degrau unitário para cada tipo de sistema de 2ª ordem. 
Note que na Tabela 2 são apresentados exemplos de sistemas de 2ª ordem 
superamortecido, criticamente amortecido, subamortecido e criticamente 
amortecido. 
Tabela 2 – Exemplos de sistemas de 2ª ordem 
Sistema Localização dos polos Resposta ao degrau 
Superamorteci
do 
 
 
99
9
2 

ss
sG 
 
 
Criticamente 
Amortecido 
 
 
96
9
2 

ss
sG 
 
Subamortecido 
 
 
92
9
2 

ss
sG 
 
 
Oscilatório 
 
 
9
9
2 

s
sG 
 
No sistema superamortecido, os polos são reais e com valores diferentes, 
e a resposta do sistema frente a uma entrada do tipo degrau não apresenta 
 
 
8 
sobressinal. Entenda-se por sobressinal o valor da saída que ultrapassa o valor 
final da saída. 
No sistema criticamente amortecido, os polos são reais e de mesmo valor. 
Além disso, perceba que a resposta do sistema a uma entrada do tipo degrau é 
semelhante à do sistema criticamente amortecido, porém atinge o valor final mais 
rapidamente. 
No sistema subamortecido, os polos são complexos conjugados, e é 
possível perceber a presença de um sobressinal na resposta dosistema. Note 
ainda que existe uma ondulação em torno do valor final antes de convergir para 
o valor final. 
Já no sistema oscilatório, os polos encontram-se exatamente sobre o eixo 
imaginário do plano complexo, ou seja, são imaginários puros. Note ainda que a 
resposta do sistema não converge para um valor, comportando-se de forma 
oscilatória durante todo o tempo de funcionamento do sistema. 
Os sistemas apresentados na Tabela 2 também podem ser identificados 
pelo valor do seu coeficiente de amortecimento, ζ. A Tabela 3 apresenta o valor 
característico de ζ para cada tipo de sistema. 
Tabela 3 – Coeficiente de amortecimento para sistemas de 2ª ordem 
Tipo do sistema Coeficiente de amortecimento 
Oscilatório ζ = 0 
Subamortecido 0 < ζ < 1 
Criticamente amortecido ζ = 1 
Superamortecido ζ > 1 
Nas respostas da entrada do tipo degrau unitário mostradas na Tabela 2, 
nota-se que a resposta referente ao sistema subamortecido é a que apresenta 
maior variação de comportamento entre o valor inicial e o valor final. Por esse 
motivo, é viável caracterizarmos a resposta desse tipo de sistema para uma 
melhor compreensão do seu comportamento transitório. 
Considerando a função de transferência característica de um sistema de 
2ª ordem mostrado na equação (10), os polos do sistema são dados por 
   
2
222
22
nnn
Polos
 
 (11) 
Considerando um sistema com resposta subamortecida, tem-se 
 
 
9 
d
nn
js
js



 21
 (12) 
sendo 
;n 
21   nd (13) 
Portanto, a representação dos polos no plano complexo pode ser feita 
como mostrado na Figura 3. 
Figura 3 – Posição dos polos de um sistema de 2ª ordem subamortecido no plano 
complexo 
 
Analisando em mais detalhes a resposta do sistema a uma entrada do tipo 
degrau unitário, como a mostrada na Tabela 2, é possível destacar alguns pontos 
de maior relevância, como mostrado na Figura 4. 
Figura 4 – Resposta de um sistema de 2ª ordem a uma entrada do tipo degrau 
 
 
10 
 
Na Figura 4, o sobressinal indica o valor que a saída atingiu acima do seu 
valor de regime permanente. Este valor pode ser expresso em termos 
percentuais. O tempo de rampa é o tempo que a saída leva para atingir o valor 
final pela primeira vez, mesmo que após atingi-lo ultrapasse o valor. O tempo de 
pico é o tempo que a resposta leva para atingir o valor de pico. Por fim, o tempo 
de acomodação é o tempo que o sistema leva para atingir o valor de regime 
permanente. Considera-se que este tempo é atingido quando, a partir dele, a 
resposta não sofrer variação percentual acima de 5% do valor final. 
O cálculo do sobressinal é realizado fazendo 











21 

eMP 
(14) 
O tempo de pico é dado por 
dn
TP







21
 (15) 
Já o tempo de acomodação é dado pela equação 
n
TA

3
 (16) 
Vale ressaltar que as Equações 14, 15 e 16 são válidas apenas para 
sistemas de 2ª ordem subamortecidos. 
Para a análise do regime permanente de sistemas de 2ª ordem, 
independente do tipo de sistema, basta utilizar o teorema do valor final, mostrado 
 
 
11 
na Equação 6. Portanto, o teorema do valor final é uma ferramenta para análise 
de regime permanente para sistemas de 1ª e 2ª ordens. 
TEMA 3 – ERRO EM REGIME PERMANENTE E SENSIBILIDADE 
Neste tema, será realizada a análise do erro em regime permanente, 
também chamado de erro estacionário. 
Considere o diagrama de blocos mostrado na Figura 5, em que C(s) 
representa a função de transferência do controlador e G(a), a função de 
transferência da planta. 
Figura 5 – Exemplo de diagrama de blocos em malha fechada 
 
O sinal de erro é definido como sendo a diferença entre o sinal de entrada 
e o sinal de saída, dado por 
     sYsXsE  (17) 
Para que haja a atuação do sistema de controle, é necessário que exista 
o sinal de erro. Entretanto, é desejável que seu valor em regime permanente seja 
o menor possível. 
Para determinar o erro em regime permanente, é possível lançar mão do 
teorema do valor final. Adaptando-o para o cálculo do erro, tem-se 
         sYsXssEste
ss

 00
limlim (18) 
Aplicando a fórmula da função de transferência em malha fechada ao 
sistema da Figura 5, tem-se 
   
   
   sGsC
sGsC
sXsY


1
 (19) 
Agora, substituindo a Equação 19 na Equação 17, tem-se 
     
   
   sGsC
sGsC
sXsXsE


1
 (20) 
 
 
12 
Trabalhando matematicamente a Equação 17, chega-se em 
   
   sGsC
sXsE


1
1
 (21) 
Se substituirmos a Equação 21 na Equação 17, chega-se em 
   
   






 sGsC
sXste
s 1
1
lim
0
 (22) 
Note que o produto C(s)G(s) na Equação 22 é equivalente à função de 
transferência direta (FTD) do sistema. Portanto, é válido escrever que 
    







 FTD
sXste
s 1
1
lim
0
 (23) 
Entretanto, perceba que o diagrama de blocos da Figura 5 não apresenta 
nenhum tipo de distúrbio ou variação. Porém, é perfeitamente aceitável 
considerar que na prática existem variações na planta devido a interferência 
externa ou variação de parâmetros da planta. Assim, é possível redesenhar o 
diagrama de blocos da Figura 5 com a inclusão de um sinal D(s), referente a um 
distúrbio externo à planta, o que resulta no diagrama de blocos da Figura 6. 
Figura 6 – Exemplo de diagrama de blocos em malha fechada sob ação de um 
distúrbio 
 
Do diagrama de blocos da Figura 6, obtém-se a equação 
           sGsDsGsCsEsY  (24) 
Note que a Equação 17 também é válida para a Figura 6. Portanto ela 
pode ser reescrita na forma 
     sEsXsY  (25) 
Agora substituindo a Equação 25 na Equação 24, tem-se 
 
 
13 
             sGsDsGsCsEsEsX  (26) 
Trabalhando matematicamente a Equação 26, chega-se em 
 
       
   sGsD
sGsC
sX
sGsC
sE




1
1
)(
1
1
 (27) 
Aplicando o teorema do valor final à Equação 27 para a determinação do 
erro, tem-se que 
   
       
   sGsD
sGsC
s
sX
sGsC
s
ssEte
sss 



 1
lim)(
1
limlim
000
 (28) 
Note que na Equação 28, o erro em regime permanente é função do 
distúrbio a que o sistema fica sujeito. Na prática, todo sistema pode ficar sujeito 
a perturbações e a variações dos parâmetros da planta. 
Ao se obter o modelo matemático de um sistema físico, independente da 
sua natureza (elétrico, mecânico, térmico, por exemplo), considera-se que os 
parâmetros são conhecidos invariantes no tempo. Entretanto, tais parâmetros 
podem sofrer alterações de valores devido a vários fatores. Como exemplo, 
vamos citar um resistor. Sabe-se que o resistor é um elemento cuja resistência 
varia com a temperatura. Em um indutor, por exemplo, a sua indutância varia em 
função da corrente que passa por ele, e um capacitor altera a sua capacitância 
em função da frequência do sinal a que ele fica sujeito. 
Essas alterações podem levar o sistema a apresentar valores que não 
condizem com os valores considerados nos cálculos, justamente devido à 
variação paramétrica a que estão sujeitos. 
Existem sistemas que são mais susceptíveis a estas variações e outros 
que são menos. A esse índice dá-se o nome de sensibilidade paramétrica, a qual 
fornece uma medida do efeito que uma variação de parâmetros causa no valor 
de saída de um sistema. 
A sensibilidade paramétrica pode ser definida como a alteração que um 
sinal sofre em relação à variação de um parâmetros. Em um sistema em malha 
fechada, como mostrado na Figura 5, a sensibilidade do sistema como um todo 
em função de variações paramétricas da planta é dado por 
 
 
   sGsC
S
sG
sG
f


1
1
 (29) 
 
 
14 
TEMA 4 – ANÁLISE DE ESTABILIDADE PELA POSIÇÃO DOS POLOS 
Nesta seção, vamos estudar um dos critérios de estabilidade de sistemas 
de controle, que é o critério baseado na posição dos polos da função de 
transferência. Vale ressaltar que essecritério é válido para plantas e processos 
em malha aberta e malha fechada. 
Quando um sistema diz-se estável, significa que a sua saída tende a um 
valor finito, respeitando as limitações físicas da planta. 
Um sistema instável é aquele em que a saída tende ao infinito ou quando 
não é suportado fisicamente pela planta. 
O critério de estabilidade pela posição dos polos estabelece que uma 
planta, um processo ou um sistema é estável se todos os seus polos estiverem 
localizados à esquerda do plano complexo. O fato de haver apenas um polo do 
lado direito do plano complexo resulta em instabilidade ao sistema. 
Para ilustrar a análise de estabilidade por esse critério, considere o 
diagrama de blocos mostrado na Figura 7. 
Figura 7 – Exemplo de sistema em malha fechada para análise de estabilidade 
 
Aplicando a equação para a obtenção da função de transferência em 
malha fechada, obtém-se 
 
  52
1
2 

sssX
sY
 (30) 
Aplicando a fórmula de Bhaskara ao polinômio da Equação 30, tem-se 
21 js  (31) 
No plano complexo, os polos ficam como mostrados na Figura 8 
 
 
 
15 
Figura 8 – Posição dos polos no plano complexo da função de transferência da 
equação (30) 
 
Perceba que a parte real dos polos é negativa, portanto posicionada à 
esquerda do plano complexo, caracterizando a estabilidade do sistema. 
No exemplo ilustrativo, foi representado um sistema de 2ª ordem 
subamortecido. Entretanto, o critério de estabilidade de acordo com a posição 
dos polos vale para os outros sistemas de 2ª ordem, apresentados na Tabela 2, 
e também para sistemas de 1ª ordem. Resumindo, independente da ordem do 
sistema, todos os polos devem estar posicionados do lado esquerdo do plano 
complexo. 
Vale ressaltar que uma planta pode possuir um ou mais polos no lado 
direito do plano complexo em malha aberta, e, após o fechamento da malha, 
esses polos podem migrar para o lado esquerdo do plano complexo, tornando o 
sistema estável. 
Em outras situações, a planta pode ser instável em malha aberta e em 
malha fechada, necessitando assim da inclusão de compensadores que 
eliminem o efeito dos polos localizados no lado direito do plano complexo. 
É válido ressaltar também que a presença de zeros da função de 
transferência no lado direito do plano complexo não afeta a estabilidade do 
sistema. 
Note ainda que a estabilidade ou instabilidade de um sistema linear é 
propriedade do próprio sistema e não depende da função de entrada. 
 
 
16 
TEMA 5 – ANÁLISE DE ESTABILIDADE PELO CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ 
O critério de Routh-Hurwitz para a estabilidade informa se existem ou não 
polos instáveis em um polinômio, sem que haja a necessidade de resolvê-lo. A 
seguir, o método é descrito. 
O polinômio deve ser escrito na forma 
01
1
10  

nn
nn asasasa  (32) 
em que os coeficientes são grandezas reais. 
Se algum dos coeficientes for zero ou negativo na presença de pelo 
menos um coeficiente positivo, então existirá uma ou mais raízes imaginárias 
com parte real positiva, portanto o polinômio é instável. 
Se todos os coeficientes forem positivos, organize os coeficientes em 
linhas e colunas, de acordo com o seguinte padrão: 
1
0
1
1
21
2
4321
4
4321
3
4321
2
7531
1
6420
gs
fs
ees
dddds
ccccs
bbbbs
aaaas
aaaas
n
n
n
n
n










 (33) 
em que o processo de formação das linhas continua até se esgotarem todos os 
elementos. 
Os coeficientes b1, b2, b3, etc. são calculados da seguinte forma: 
;;;
1
7061
1
1
5041
2
1
3021
1
a
aaaa
b
a
aaaa
b
a
aaaa
b





 (34) 
O cálculo dos coeficientes de “b” continua até que os elementos restantes 
sejam iguais a zero. O mesmo procedimento de multiplicação cruzada é utilizado 
para determinar os demais elementos, ou seja, 
;;;
1
4171
1
1
3151
2
1
2131
1
b
baab
c
b
baab
c
b
baab
c





 (35) 
Este procedimento continua até a n-ésima linha ser completada. 
 
 
17 
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz afirma que o número de raízes 
do polinômio com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinal 
dos coeficientes da primeira coluna da matriz. 
Com exemplo, considere o polinômio de 3ª ordem dado por 
032
2
1
3
0  asasasa (36) 
onde todos os coeficientes são positivos. A matriz de coeficientes é 
3
0
1
30211
31
2
20
3
as
a
aaaa
s
aas
aas
 (37) 
A condição para que todas as raízes tenham parte real negativa é 
033021  aeaaaa (38) 
Como exemplo numérico, considere o polinômio de 4ª ordem dado por 
05432 234  ssss (39) 
Vamos seguir o procedimento e montar a matriz de coeficientes. Se algum 
coeficiente não existir, a sua posição é preenchida com zero. 
5
6
51
042
531
0
1
2
3
4
s
s
s
s
s

 (40) 
Note que houve duas mudanças de sinal na primeira coluna (de 1 para –
6 e de –6 para 5). Isso significa que existem duas raízes com parte real positiva. 
Entretanto, ao completar a matriz de polinômios, é possível se deparar 
com situações que não são contempladas pelo caso convencional. 
Como exemplo de um caso especial, considere o polinômio dado por 
022 23  sss (41) 
A matriz de coeficientes fica 
 
 
18 
2
0
22
11
0
1
2
3
s
s
s
s

 (42) 
Se o sinal do coeficiente acima de zero (ε) é o mesmo do coeficiente 
abaixo, isso indica que existe um par de raízes imaginárias, ou seja, complexas 
conjugadas. 
Entretanto, se o sinal do coeficiente acima de zero (ε) for oposto, então 
existe uma mudança de sinal, e, consequentemente, existe um polo instável. 
Por exemplo, no polinômio dado por 
0233  ss (43) 
a matriz de coeficientes é 
2
2
3
20
31
0
1
2
3
s
s
s
s





 (44) 
Note que houve duas mudanças de sinal na primeira coluna. A primeira 
entre a primeira e a terceira linhas, e entre a terceira e a quarta linhas, portanto 
existem duas raízes no semiplano direito do plano complexo. 
A próxima situação supõe que todos os coeficientes em uma linha 
calculada são nulos. Isso indica a existência de duas raízes iguais em valor, com 
sinais opostos e/ou raízes complexas conjugadas. Nesse caso, o cálculo 
continua formando um polinômio auxiliar com os coeficientes da última linha 
anterior à linha com coeficientes nulos e utiliza os coeficientes da derivada desse 
polinômio. 
Por exemplo, considere o polinômio 
0502548242 2345  sssss (45) 
A matriz de coeficientes fica 
00
50482
25241
3
4
5
s
s
s


 (46) 
 
 
19 
O polinômio auxiliar, chamado de P(s), é formado pelos coeficientes da 
linha acima da linha com coeficientes iguais a zero. No caso em questão, ele 
será 
  50482 24  sssP (47) 
e sua derivada será dada por 
 
ss
ds
sdP
968 3  (48) 
Assim, a nova matriz de coeficientes fica 
50
07,112
5024
968
50482
25241
0
1
2
3
4
5




s
s
s
s
s
s
 (49) 
Perceba que os coeficientes de dP(s)/ds substituem os coeficientes da 
linha onde são nulos. Note que ocorre uma mudança de sinal na primeira coluna 
da nova matriz, o que nos leva à conclusão de que o polinômio original tem um 
polo com parte real positiva. 
FINALIZANDO 
Esta aula demonstrou alguns aspectos para análise de sistemas de 
controle. Mais do que conhecer conceitos e obter modelos matemáticos de 
sistemas físicos, é de extrema importância saber como analisar tais sistemas e 
como interpretar os resultados dessa análise. 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2009. 
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson, 
2010.