Solução - Listas de Exercícios e de Aplicação (Módulo 1)

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Aplicações – Semana 01 – Soluções
Temas abordados : Funções
Seções do livro: 1.1 a 1.3; 1.5; 1.6
1) A figura abaixo ilustra um recipiente formado por dois cilindros circulares retos justapos-
tos de altura 10m e raios respectivamente 12m e 6m. Suponha que, a partir do instante
t = 0, o recipiente comece a ser abastecido a uma vazão constante de modo que o ńıvel
da água s(t) no recipiente é dada por
s(t) =
{
2t, para 0 ≤ t ≤ 5
8t− 30, para 5 < t ≤ 6
onde a altura é dada em metros e o tempo é dado em segundos.
(a) Esboce o gráfico da função s(t).
(b) Determine, caso existam, os instantes
τ ∈ [0, 6] nos quais s(τ) = 15.
(c) Determine a imagem da função s.
12
6
10
10
Soluções:
(a) Para 0 ≤ t ≤ 5, o gráfico é um segmento de reta de inclinação 2 que passa pela
origem; para 5 < t ≤ 6, o gráfico é um segmento de reta de inclinação 8 que se
conecta ao segmento de reta de inclinação 2. Usando essas informações, o gráfico é
como ilustrado abaixo.
(b) Do gráfico de s(t) vemos que s(t) é crescente, com s(0) = 0, s(5) = 10 e s(6) = 18.
Um vez que 15 está entre 10 e 18, um instante τ em que s(τ) = 15 deve estar,
portanto, no intervalo (5, 6), no qual temos que s(t) = 8t− 30. Resolvendo para τ
a equação
8τ − 30 = 15,
obtemos que τ = 45/8 é o único instante para o qual s(τ) = 15.
(c) A análise do gráfico mostra que a imagem da função s é o intervalo fechado [0, 18].
Lista de Aplicações da Semana 01 - Página 1 de 6
2) Considere a função f : (0,∞) → R dada por f(x) = 1/
√
x. Pode-se mostrar que a
inclinação da reta La, que é tangente ao gráfico de f(x) no ponto Pa = (a, f(a)), é dada
por
−1
2a
√
a
. A figura abaixo ilustra o gráfico da função, a reta La e os pontos Qa e Ra
em que a reta intercepta os eixos coordenados. Julgue a veracidade dos itens a seguir,
justificando suas respostas.
(a) A reta La tem equação y =
−x
2a
√
a
+
3
2
√
a
.
(b) Tem-se que Ra = (2a, 0).
(c) A área do triângulo ∆OPaRa é igual a
1
2
2af(a).
(d) A área do triângulo ∆O PaQa é igual a
1
2
3
2
√
a
a.
(e) Para todo a > 0, a área do triângulo ∆OPaQa é o
dobro da área do triângulo ∆O PaRa.
Pa
Qa
O Ra
Soluções: Lembre que a equação da reta r que tem inclinação m e passa pelo ponto
(x0, y0) é dada por r(x) = ym +m(x− x0).
(a) Correto. A reta La tem inclinação −1/(2a
√
a) e passa pelo ponto (a, f(a). Desse
modo, se denotarmos por La(x) a sua equação, temos que
La(x) = −
1
2a
√
a
(x− a) + f(a) = − 1
2a
√
a
(x− a) + 1√
a
.
(b) Errado. Veja que Ra = (xa, 0). Uma vez que esse ponto pertence à reta La temos
que
0 = La(xa) = −
1
2a
√
a
(xa − a) +
1√
a
,
de modo que −xa + a = −2a, ou ainda, xa = 3a. Assim Ra = (3a, 0).
(c) Errado. A base do triângulo ∆OPaRa mede 3a e sua altura mede f(a). Como a
área de um triângulo é igual à metade do produto entre a base e a altura, a área
em questão é igual a 1
2
3af(a) = 3
2
√
a
a.
(d) Correto. Observe que Qa = (0, y) e pertence à reta La. Assim,
y = La(0) = −
1
2a
√
a
(0− a) + 1√
a
=
1
3
√
a
.
Como o triângulo ∆O PaQa tem base medindo y e altura medindo x = a, conclúımos
que sua área é dada por 1
2
3
2
√
a
a
(e) Errado. Pelos itens (c) e (d), a área de ∆O PaQa vale a metade da área de ∆OPaRa.
Lista de Aplicações da Semana 01 - Página 2 de 6
3) Uma amostra radioativa emite part́ıculas alfa e, consequentemente, sua massa M =
M(t) é uma função decrescente do tempo. Suponha que, para um determinado material
radioativo, essa função seja dada por M(t) = M0e
−k1t, onde M0 > 0 é a massa inicial,
k1 > 0 é uma constante e t > 0 é o tempo medido em anos. A meia-vida do material é o
tempo necessário para que a massa se reduza à metade da massa inicial.
(a) Calcule k1 sabendo que, depois de um ano e meio, a massa restante é 1/8 da inicial.
(b) Usando o item anterior, determine a meia-vida do material.
(c) Calcule quantos anos devemos esperar para que 99% da amostra tenha se desinte-
grado (use as aproximações ln 2 = 0, 7 e ln 5 = 1, 6).
(d) Suponha que outra amostra radioativa tenha massa N(t) = M0e
−k2t, com k2 > 0.
Estabeleça uma relação entre k1 e k2 sabendo que a meia-vida desse segundo material
é igual ao triplo da meia-vida do primeiro.
Soluções:
(a) Note que
M0
8
= M(3/2) = M0e
−k1 32 .
Cancelando o termo M0 e aplicando o logaritmo dos dois lados obtemos
−3
2
k1 = ln(1/8) = − ln 8 = − ln 23 = −3 ln 2.
(b) Basta notar que, se t0 é a meia-vida do material, então M(t0) = M0e
−2ln2 t0 = M0/2.
Dessa forma, mais uma vez cancelando o termoM0 e aplicando o logaritmo dois lados
obtemos
t0 =
ln 2
k1
. (1)
(c) Procuramos o instante t1 para o qual M(t1) = 0, 01M0. Utilizando o fato de que
ln 100 = ln(4 · 25) = 2(ln 2 + ln 5)
e procedendo como em (b) encontramos t1.
(d) Considere agora o material cuja massa é N(t). Procedendo de forma análoga ao
item (b), conclúımos que a sua meia vida é dada por
t0 =
ln 2
k2
. (2)
Como t0 = 3t0, combinando-se (1) e (2) obtemos que k2 = k1/3.
Lista de Aplicações da Semana 01 - Página 3 de 6
4) Uma espira circular está imersa em uma região de campo magnético uniforme e constante.
O fluxo magnético pela espira é dado por φ(α) = AB cos(α), onde A é a área da espira,
B é a intensidade do campo e α ∈ [0, 2π] é o ângulo entre o vetor normal ao plano da
espira e as linhas de campo. Supondo inicialmente que, em unidades f́ısicas apropriadas,
AB = 4, resolva os itens a seguir.
(a) Calcule o menor e o maior valor que o fluxo φ pode assumir.
(b) Determine um ângulo α0 ∈ [0, 2π] tal que φ(α0) = 2.
(c) Se a espira tivesse o dobro do diâmetro e estivesse imersa no mesmo campo, qual
seria o valor do produto AB ?
(d) Para uma espira com o dobro do diâmetro, use o valor encontrado no item (c) para
determinar um ângulo α1 ∈ [0, π] tal que o fluxo magnético seja igual a 4.
Soluções:
(a) Como para todo ângulo α temos −1 ≤ cos(α) ≤ 1, ∀α, segue que −4 ≤ φ(α) ≤ 4.
Além disso, φ(0) = φ(2π) = AB = 4 e φ(π) = −AB = −4. Desse modo
max
α∈[0,2π]
φ(α) = 4 e min
α∈[0,2π]
φ(α) = −4.
(b) Procuramos por α0 ∈ [0, π] tal que 4 cos(α0) = 2 ou, equivalentemente, cos(α0) =
1/2. Basta então escolher α0 = π/3 ou α = 5π/3.
(c) Sejam A0 e A, respectivamente, as áreas da espira inicial e da espira com o diâmetro
dobrado. Note que se A0 = πr
2, onde r > 0 é o raio da espira inicial, então:
A = π(2r)2 = 4πr2 = 4A0.
Logo,
AB = 4A0B = 16.
(d) Aqui, basta resolver a equação 16 cos(α) = 4. Observe que a função
cos : [0, π] → [−1, 1]
é invert́ıvel. Sua inversa, chamada de arco-cosseno, é dada por
arccos : [−1, 1] → [0, π],
onde
arc cos y = x ⇔ cosx = y.
Desse modo, para que 16 cos(α) = 4, devemos ter α = arccos(1/4).
Lista de Aplicações da Semana 01 - Página 4 de 6
5) O objetivo desse exerćıcio é usar as propriedades da função exponencial ex para investigar
as propriedades das funções cosseno e seno hiperbólicos dadas por
cosh(t) =
et + e−t
2
e senh(t) =
et − e−t
2
.
Lembrando que ex+y = exey, onde e é a base Neperiana, resolva os itens abaixo.
(a) Mostre que
cosh2(t)− senh2(t) = 1.
Fazendo x = cosh(t) e y = senh(t), isso mostra que
o ponto (x, y) está sobre a hipérbole unitária dada
por
x2 − y2 = 1.
(b) Verifique a fórmula do cosseno hiperbólico da soma
cosh(s+ t) = cosh(s)cosh(t) + senh(s)senh(t).
(c) Verifique a fórmula do seno hiperbólico da soma
senh(s+ t) = senh(s)cosh(t) + senh(t)cosh(s).
(d) Verifique que cosh(t) é uma função par enquanto senh(t) é uma função ı́mpar.
(e) Prove que não existe t ∈ R tal que senh(t) = cosh(t).
Compare as propriedades dos itens acima com as suas análogas para as funções trigo-
nométricas.
Soluções:
(a) Uma vez que exe−x = e0 = 1, segue que
cosh2(t) =
(
et + e−t
2
)2
=
(et)2 + 2 + (e−t)2
4
=
(et)2 + (e−t)2
4
+
1
2
e
senh2(t) =
(
et − e−t
2
)2
=
(et)2 − 2 + (e−t)2
4
=
(et)2 + (e−t)2
4
− 1
2
.Isso que mostra que
cosh2(t)− senh2(t) = 1.
(b) Usando que ex+y = exey, temos que
cosh(s)cosh(t) =
(
es + e−s
2
)(
et + e−t
2
)
=
es+t + es−t + e−s+t + e−s−t
4
e que
senh(s)senh(t) =
(
es − e−s
2
)(
et − e−t
2
)
=
es+t − es−t − e−s+t + e−s−t
4
.
Isso mostra que
cosh(s)cosh(t) + senh(s)senh(t) =
2es+t + 2e−s−t
4
=
es+t + e−(s+t)
2
= cosh(s+ t).
Lista de Aplicações da Semana 01 - Página 5 de 6
(c) Usando que ex+y = exey, temos que
senh(s)cosh(t) =
(
es − e−s
2
)(
et + e−t
2
)
=
es+t + es−t − e−s+t − e−s−t
4
logo, trocando s por t, temos que
senh(t)cosh(s) =
et+s + et−s − e−t+s − e−t−s
4
=
es+t + e−s+t − es−t − e−s−t
4
.
Isso mostra que
senh(s)cosh(t) + senh(t)cosh(s) =
2es+t − 2e−s−t
4
=
es+t − e−(s+t)
2
= senh(s+ t).
(d) Temos que
cosh(−t) = e
−t + e−(−t)
2
=
e−t + et
2
=
et + e−t
2
= cosh(t)
e
senh(−t) = e
−t − e−(−t)
2
=
e−t − et
2
= −e
t − e−t
2
= −senh(t).
(e) Suponha que, para algum t ∈ R, tenhamos senh(t) = cosh(t). Então
et − e−t
2
=
et + e−t
2
,
o que implica que
e−t = 0.
Mas a igualdade acima nunca se verifica, visto que a imagem da função exponencial
é o intervalo (0,+∞).
Lista de Aplicações da Semana 01 - Página 6 de 6
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Cálculo 1
Lista de Exerćıcios – Semana 02
Temas abordados : Limites no ponto (conceito intuitivo e formal)
Seções do livro: 2.1 a 2.4
1) Suponha f(x) > 0 para todo x 6= 2 e f(2) = −3. Decida sobre a veracidade de cada
uma das afirmações abaixo, justificando caso ela seja verdadeira ou apresentando um
contra-exemplo caso seja falsa.
(a) lim
x→2
f(x) não existe (b) lim
x→2
f(x) = −3 (c) Se existir, lim
x→2
f(x) é positivo.
2) Calcule os limites abaixo (veja Texto 1).
(a) lim
x→1
(−3x2 + 3x+ 5) (b) lim
s→0
√
2s2 + 3s− 4
4s− 4 (c) limx→2
8− 2x
|x− 4|
(d) lim
x→4+
8− 2x
|x− 4| (e) limx→1−
|x− 1|
x− 1 (f) limx→1
|x− 1|
x− 1
3) Dadas f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1,
x+ 1 se x > 1,
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1,
2 se x > 1,
resolva os itens abaixo.
(a) Esboce os gráficos de f e g.
(b) Decida sobre a existência dos limites lim
x→1
f(x) e lim
x→1
g(x).
(c) Dê a expressão de h(x) = f(x)g(x) e verifique se existe lim
x→1
h(x).
4) Limites do tipo limx→a
f(x)
g(x)
com o numerador e o denominador se aproximando de zero
são chamados de indeterminações do tipo 0/0 (veja v́ıdeo). Eles são delicados porque não
podemos aplicar a regra do quociente. Se f e g são polinômios, então f(a) = g(a) = 0,
e portanto x = a é uma raiz do numerador e do denominador. Deste modo, podemos
fatorá-los na forma (x − a)p(x), com p sendo um polinômio de grau menor. Em alguns
casos, isso permite eliminar a indeterminação, como no exemplo abaixo
lim
x→3
x2 − 4x+ 3
6− 2x = limx→3
(x− 3)(x− 1)
−2(x− 3) = limx→3
x− 1
−2 =
2
−2 = −1.
Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.
(a) lim
z→0
z2 + 2z
z
(b) lim
x→2
2x2 − 6x+ 4
2− x (c) limt→1
t− 1
t3 − 1
Dica: para fatorar o polinômio (t3 − 1) divida-o por (t− 1). (veja v́ıdeo)
5) O limite trigonométrico fundamental nos diz que lim
x→0
sen(x)
x
= 1 (veja Texto 3 e/ou v́ıdeo). Use
essa informação para calcular os limites abaixo.
(a) lim
x→0
sen(6x)
2x
(veja v́ıdeo) (b) lim
x→0
sen(5x)
sen(9x)
(c) lim
x→0
cos(x)− 1
x
Dica: para o item (c), multiplique o numerador e o denominador por (cos(x) + 1)
Lista de Exerćıcios – Semana 02 - Página 1 de 3
http://www.mat.unb.br/furtado/homepage/c1/limite.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=4XybQeeAFt8
https://www.youtube.com/watch?v=Mx8kR4mdDdE
http://www.mat.unb.br/furtado/homepage/c1/limite-trigonometrico.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=y23ZaUb21BY
https://www.youtube.com/watch?v=ZhB8IjKfDYw
6) Algumas indeterminações do tipo 0/0 podem ser resolvidas usando-se o artif́ıcio de mul-
tiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de um deles, conforme o exemplo
abaixo
lim
x→4
√
x− 2
x− 4 = limx→4
(
√
x− 2)
(x− 4)
(
√
x+ 2)
(
√
x+ 2)
= lim
x→4
x− 4
(x− 4)(√x+ 2) = limx→4
1√
x+ 2
=
1
4
.
Utilize a ideia acima para calcular os limites a seguir.
(a) lim
x→9
2
√
x− 6
x− 9 (b) limx→7
5−
√
4 + 3x
7− x (c) limx→0
1− cos(x)
x2
Observação: vale a pena tentar o artif́ıcio acima no item (a) do exerćıcio 4 para se convencer de que, naquele caso, o melhor
caminho é mesmo a fatoração
7) Calcule cada um dos limites abaixo (veja Texto 2).
(a) lim
x→1
x2 − 3x+ 2
x3 − x2 + x− 1 (b) limx→a
√
x−√a
x− a (c) limx→0−
x sen(x)
1− cos(x)
(d) lim
x→0
x sen
(
1
x
)
(e) lim
x→1
√
x− 1√
2x+ 3−
√
5
(f) lim
x→π
sen(x− π)
x− π
(g) lim
x→1+
x2 − 5x+ 4
|x− 1| (h) limx→a
xn − an
x− a (i) limx→a
3
√
x− 3√a
x− a
Dica: nos dois últimos, use a identidade (xn − yn) = (x− y)(xn−1 + xn−2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1), para n ∈ N
8) Se a posição de um carro no instante t > 0 é dada por s(t), então a sua velocidade pode
ser calculada a partir do seguinte limite (veja v́ıdeo)
v(t) = lim
h→0
s(t+ h)− s(t)
h
.
Calcule a velocidade em cada um dos casos abaixo.
(a) s(t) = t3 (b) s(t) =
√
t+ 1 (c) s(t) = sen(t)
Dica: para o item (c), lembre que sen(a + b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) e use o exerćıcio 5
9) Suponha que a velocidade de um carro é v(t), para t > 0. Usando a ideia do exerćıcio
acima, escreva a expressão da aceleração a(t) em termos de um limite envolvendo a
aceleração média. Em seguida, determine a aceleração no caso em que v(t) = cos(t).
Dica: para o cálculo do limite, lembre que cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b) e use o exerćıcio 5
10) Sejam I ⊂ R um intervalo aberto e f : I → R uma função. Dado a ∈ I, lembre que a
reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) é a (única) reta que passa pelo ponto
(a, f(a)) e tem inclinação igual a
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a ,
quando o limite existe (veja v́ıdeo). Neste caso, a equação da reta tangente y = y(x) é dada
por y − f(a) = f ′(a)(x− a).
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f ′(a) em um ponto genérico.
Em seguida, calcule a equação da reta tangente no ponto indicado.
(a) f(x) = 2x2, no ponto (3, f(3)) (b) f(x) =
5
x
, no ponto (2, f(2))
(c) f(x) = x|x|, no ponto (0, f(0)) (d) f(x) = |x|, no ponto (0, f(0))
Lista de Exerćıcios – Semana 02 - Página 2 de 3
http://www.mat.unb.br/furtado/homepage/c1/limite-propriedades.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=xUb149lSis0
https://www.youtube.com/watch?v=HEcY_rvdUlM
RESPOSTAS
1) Todas as afirmações são falsas. Para os dois primeiros itens um posśıvel contra-exemplo
é a função f(x) =
{
1 se x 6= 2
−3 se x = 2 . Para o terceiro f(x) =
{
|x− 2| se x 6= 2
−3 se x = 2
2) (a) 5 (b) 1 (c) 2 (d) −2 (e) −1 (f) não existe
3) (b) os limites não existem, pois nos dois casos os limites laterais no ponto x = 1, apesar
de existirem, são diferentes.
(c) h(x) =
{
x4 + 3x2 se x ≤ 1
2x+ 2 se x > 1
, de modo que lim
x→1
h(x) = 4.
4) (a) 2 (b) −2 (c) 1/3
5) (a) 3 (b) 5/9 (c) 0
6) (a) 1/3 (b) 3/10 (c) 1/2
7) (a) −1/2 (b) 1/(2√a) (c) 2 (d) 0 (e)
√
5/2
(f) 1 (g) −3 (h) nan−1 (i) (1/3)a−2/3
8) (a) v(t) = 3t2 (b) v(t) = 1
2
√
t+1
(c) v(t) = cos(t)
9) A aceleração é dada pelo limite a(t) = lim
h→0
v(t+ h)− v(t)
h
. Se v(t) = cos(t), então a ela
é dada por a(t) = − sen(t).
10) (a) f ′(a) = 4a; reta tangente no ponto (3, 18) é y − 18 = 12(x− 3)
(b) f ′(a) = − 5
a2
; reta tangente no ponto (2, 5
2
) é y − 5
2
= −5
4
(x− 2)
(c) f ′(a) =
{
2a, se a ≥ 0
−2a, se a < 0 ; reta tangente no ponto (0, 0) é y = 0
(d) f ′(a) =
{
1, se a > 0
−1, se a < 0 ; a reta tangente no ponto (0, 0) não existe porque os
limites laterais de (f(x)−f(0))/(x−0), quando x → 0 pela esquerda e pela direita,
são diferentes. Observe contudo que, em qualquer outro ponto (a, f(a)), com a 6= 0,
a função possui reta tangente. Ela tem equação y = x se a > 0, e y = −x se a < 0.
Lista de Exerćıcios – Semana 02 - Página 3 de 3
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Cálculo 1
Lista de Aplicações – Semana02 – Soluções
Temas abordados : Limites no ponto (conceito intuitivo e formal)
Seções do livro: 2.1 a 2.4
1) Suponha que um comprimido tenha a forma de um cilindro circular reto de raio da base
igual a 4 mm, altura h > 0, e deva ter volume igual a 20 mm3. Como o processo de
fabricação está sujeito a erros, a altura h deve ser razoavelmente precisa, uma vez que
dela depende a dosagem de medicamento que é ingerida pelo paciente.
(a) Determine, em função de h, o volume V (h) do com-
primido.
(b) Determine o valor h0 para que o volume do compri-
mido seja igual a V (h0) = V0 = 20 mm
3.
h
4 mm
(c) Determine, em mm, o erro máximo tolerado na altura h de maneira que |V (h)−20|
seja inferior a 1/10.
(d) Dado ε > 0, encontre δ > 0 tal que o erro |V (h) − 20| no volume do comprimido
seja menor do que ε sempre que o erro na altura |h− h0| seja menor do que δ.
Soluções:
(a) O volume de um cilindro reto é dado pela área base vezes a sua altura, de modo
que V (h) = 42πh.
(b) Basta resolver a equação V (h0) = 20 para obter h0 = 20/(4
2π).
(c) Para estimar o erro do volume em termos do erro na altura basta notar que
|V (h)− 20| = |V (h)− V (h0)| = |42πh− 42πh0| = 42π|h− h0|.
Logo |V (h)− 20| < 1/10, sempre que |h− h0| < 1/(10× 42π). Dessa forma, o erro
máximo é dado por 1/(10× 42π).
(d) Basta usar as ideias do item anterior, substituindo 1/10 por ε e considerando δ > 0
como o erro máximo. Da fato,
|V (h)− V (h0)| = |42πh− 42πh0| = 42π|h− h0| (1)
Logo, se
|h− h0| < ε/(42π)
Temos por (1) que
|V (h)− V (h0)| < ε
Logo basta tomar δ < ε/(42π).
2) Uma companhia de turismo cobra uma taxa de serviço fixa de R$ 50,00 para pacotes
tuŕısticos de valor menor ou igual a R$ 1.000,00. Para pacotes de valor superior a
R$ 1.000,00 e menor ou igual a R$ 5.000,00, a companhia cobra uma taxa fixa de R$ 30,00
acrescida de 2% do valor do pacote. Para os demais pacotes, a taxa fixa é de R$ c, acres-
cida de 1% do valor do pacote. Indicando por T (x) o valor total da taxa de serviço
cobrada por um pacote tuŕıstico no valor de x reais, julgue os itens abaixo, justificando
suas respostas.
(a) O gráfico da função T (x) contém o ponto (3000, 90).
(b) Para c = 100, não é posśıvel encontrar um pacote tuŕıstico de valor R$ x0 de modo
que se tenha T (x0) = 140.
(c) limx→1000+ T (x) = 50.
(d) Não existe o limite limx→1000 T (x).
(e) limx→5000+ T (x) não depende de c.
(f) c = 80 se, e somente se, limx→5000 T (x) = T (5000).
Soluções:
Note que 0, 02x é a maneira anaĺıtica de expressarmos 2% de um dado valor x. Logo
T (x) =



50, se x ∈ (0, 1000],
30 + 0, 02x, se x ∈ (1000, 5000],
c+ 0, 01x, se x ∈ (5000,+∞).
(a) Como T (3000) = 30 + 0, 02 × 3000 = 90 o ponto (3000, 90) pertence ao gráfico da
função.
(b) Observe que se T (x0) = 140 então x0 > 5000. Dáı considere c = 100 na expressão
acima e desenhe o gráfico de T .
Para resolver os quatro últimos itens basta lembrar que limx→a T (x) existe se, e somente
se, os limites laterais no ponto existem e são iguais. Nesse caso, esse valor comum é igual
ao valor do limite.
(c) No cálculo de limx→1000+ T (x) lembre que interessam somente os valores de T (x)
quando x está à direita e próximo do ponto a = 1000. Assim,
lim
x→1000+
T (x) = lim
x→1000+
(30 + 0, 02x) = 30 + 0, 02× 1000 = 50.
(d) O mesmo racioćınio nos permite concluir que
lim
x→1000−
T (x) = 50,
o que em conjunto com o item (c) nos garante que
lim
x→1000
T (x) = 50.
(e) Observe que
lim
x→5000+
T (x) = 50 + c
(f) Aqui precisamos verificar duas afirmações. De fato, queremos saber se é verdade
que:
(i) Se c = 80 então limx→5000 = T (5000).
(ii) Se limx→5000 = T (5000) então c = 80.
Para o subitem (i), veja que se c = 80
lim
x→5000+
80 + 0, 01x = lim
x→5000−
30 + 0, 02x = 130 = T (5000).
Para o subitem (ii), suponha que limx→5000 = T (5000).
Em particular,
T (5000) = lim
x→5000−
T (x) = 130,
pelo que vimos no subitem (i).
Assim, já que por hipótese
T (5000) = lim
x→5000+
c+ 0, 01x = c+ 50,
segue-se que c = 80.
3) Um gás é mantido a uma temperatura constante em um pistão. À medida que o pistão
é comprimido, o volume do gás decresce com a função V (P ) = 200/P litros, até atingir
a pressão cŕıtica de 100 torr quando ele se liquidifica, havendo nesse momento uma
variação brusca de volume. Em seguida, o seu volume passa a ser dado pela função
V (P ) = −0, 01P + 2 até que seja atingida a nova pressão cŕıtica de 150 torr, a partir da
qual o volume permanece constante e igual a 0,5 litros.
(a) Determine a expressão de V (P ).
(b) Calcule os limites laterais lim
P→P
−
0
V (P ) e lim
P→P
+
0
V (P ) para P0 = 100. Em seguida,
decida sobre a existência do limite lim
P→P0
V (P )
(c) Repita o item acima para P0 = 150.
(d) O que acontece com o volume V (P ) para valores P próximos de zero?
Soluções:
(a) De acordo com as informações do enunciado temos que
V (P ) =



200/P, se 0 < P ≤ 100,
−0, 01P + 2, se 100 < P ≤ 150,
0, 5, se 150 < P.
(b) Temos que
lim
P→100−
V (P ) = lim
P→100−
200
P
= 2
e
lim
P→100+
V (P ) = lim
P→100+
(−0, 01P + 2) = −1 + 2 = 1.
Apesar dos limites laterais existirem eles não são iguais. Desse modo, conclúımos
que não existe limite quanto P tende para 100.
(c) Temos que
lim
P→150−
V (P ) = lim
P→100−
(−0, 01P + 2) = −1, 5 + 2 = 0, 5
e
lim
P→150+
V (P ) = lim
P→100+
0, 5 = 0, 5.
Os limites laterais existirem e são iguais, de modo que o limite quanto P tende para
150 existe. Mais especificamente limP→150 V (P ) = 0, 5.
(d) Quando P está próximo de zero o quociente 200/P se torna cada vez maior.
4) Considere o ćırculo unitário da figura abaixo, em que α denota um ângulo no intervalo
(0, π/2). O triângulo ∆OAB, cuja altura está representada por h, está contido no setor
circular SOAB, que, por sua vez, está contido no triângulo ∆OCB de altura H .
(a) Determine, em termos de h, α e H , as expressões
das áreas do triângulo ∆OAB, do setor circular SOAB
e do triângulo ∆OCB. Em seguida, use a figura para
comparar tais grandezas.
(b) Determine, com ajuda de funções trigonométricas
convenientes, uma equação que relaciona α e h; e
outra que relaciona α e H .
(c) Use os itens (a) e (b) para mostrar que se α ∈
(0, π/2), então vale 0 < senα < α < tgα.
(d) Use o item (c) para mostrar que limα→0+ senα = 0.
(e) Usando o mesmo método para ângulos pertencentes
ao intervalo (−π/2, 0), mostre que limα→0− senα =
0. Em seguida, conclua que limα→0 senα = 0.
O
A
B
C
h
H
α
OA = OB = 1
Soluções:
(a) Usando as fórmulas da área de triângulos e setores circulares, temos que
A∆OAB =
OB h
2
=
h
2
, ASOAB =
α OB
2
2
=
α
2
e A∆OAC =
OB H
2
=
H
2
Observe que o triângulo ∆OAB está contido no setor circular SOAB e, SOAB está
contido no triângulo ∆OAC . Logo, comparando-se as áreas
h < α < H. (2)
(b) Note que
senα =
h
OA
= h e que H =
H
OB
= tgα. (3)
(c) Veja que se 0 < α < π/2, temos que o triângulo ∆OAB está contido no setor circular
SOAB e, SOAB está contido no triângulo ∆OAC . Combinando-se (2) e (3) o resultado
segue.
(d) Como sen(α) = h e o triângulo está contido no setor circular, temos que 0 < sen α <
α, para todo α ∈ (0, π/2). Segue do Teorema so Sandúıche que
lim
α→0+
senα = 0. (4)
(e) Suponha que −π/2 < α < 0. Considerando uma
construção como na figura 2 (veja abaixo), temos:
De forma análoga a que fizemos nos itens (a)-(c) con-
clúımos que
0 <
−sen α
2
<
−α
2
(5)
Usando (4) e o Teorema do Sandúıche mostramos
que
lim
α→0−
senα = 0. (6)
Combinando-se (4) e (6) o resultado segue.
O
A′
B
C ′
h
H
α
OA′ = OB = 1
5) Ainda com respeito à figura do exerćıcio acima, vamos mostrar o Limite Trigonométrico
Fundamental.
(a) Sabendo que cosα > 0 sempre que α ∈ (−π/2, π/2) faça cosα =
√
1− (senα)2 e
conclua que limα→0 cosα = 1.
(b) Inverta a desigualdade senα < α < tgα, válida para α ∈ (0, π/2).
(c) Lembrando que se α ∈ (0, π/2) temos senα > 0 use o item acima para mostrarque,
nesse intervalo, vale cosα <
senα
α
< 1.
(d) Mostre que limα→0+
senα
α
= 1.
(e) Use um procedimento análogo para ângulos pertencentes ao intervalo (−π/2, 0) e
mostre que limα→0−
senα
α
= 1. Em seguida, conclua que limα→0
senα
α
= 1.
Soluções:
(a) Observe que como cos α =
√
1− sen2 α e
lim
α→0
√
1− sen2 α =
√
lim
α→0
(
1− sen2 α
)
=
√
1−
(
lim
α→0
sen α
)2
,
usando o item (e) da questão acima, obtemos que limα→0 cos α = 1.
(b) Lembre que caso x < y para x 6= 0 e y 6= 0 então
1
x
>
1
y
.
Assim, como senα < α < tgα, então:
1
senα
>
1
α
>
cosα
senα
, ∀α ∈ (0, π/2).
(c) Lembre que caso x < y e c ≥ 0 então cx > cy, para todo x ∈ R e y ∈ R. Logo,
usando o item (b) e o fato de que senα > 0, se α ∈ (0, π/2) temos que
senα
senα
>
senα
α
>
senα cosα
senα
, ∀α ∈ (0, π/2).
Como senα > 0 segue que
1 >
senα
α
> cosα, ∀α ∈ (0, π/2). (7)
(d) Basta combinar os itens (a), (b) e (c) e aplicar o Teorema do Sandúıche. De fato,
lim
α→0+
1 = 1 e lim
α→0+
cosα = 1. (8)
Como (7) é válida para todo 0 < α < π/2, o resultado segue combinando (7), (8) e
o Teorema do Sandúıche.
(e) Lembre que caso x < y e c ≤ 0 então cx < cy, para todo x ∈ R e y ∈ R. Logo,
usando o item (b) e o fato de que senα < 0, se α ∈ (−π/2, 0) temos que
senα
senα
<
senα
α
<
senα cosα
senα
, ∀α ∈ (−π/2, 0).
Como senα 6= 0 segue que
1 <
senα
α
< cosα, ∀α ∈ (0, π/2). (9)
Para provar o resultado basta usar (9) e um racioćınio análogo ao aplicado no item
(d).
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Cálculo 1
Lista de Aplicações – Semana 03 – Soluções
Temas abordados : Continuidade
Seções do livro: 2.6
1) A aĺıquota da conta de água é crescente! Isto quer dizer que quanto mais se consome,
mais caro fica o preço do m3 de água. Suponha que ao se consumir xm3 de água/mês,
o valor mensal a ser pago seja de q(x) reais. Quando x é menor ou igual a 10; maior
que 10 e menor que 15; maior ou igual a 15, paga-se, respectivamente, 1, 60x; 3, 00x+ a;
6, 40x+ b, onde a e b são constantes reais. Assim,
q(x) =



1, 6x se 0 ≤ x ≤ 10,
3x+ a se 10 < x < 15,
6, 4x+ b se x ≥ 15.
(a) Determine o valor de a de forma que q(x) seja cont́ınua em x = 10.
(b) Usando o valor de a calculado acima, determine limx→15− q(x).
(c) Sabendo que q(x) é cont́ınua em x = 15, encontre o valor de b.
(d) Faça um esboço do gráfico de q(x) .
Soluções:
(a) Como
lim
x→10−
q(x) = 16 e lim
x→10+
q(x) = 30 + a,
a condição para que exista o limite no ponto x = 10 é que 16 = 30 + a, isto é,
a = −14. Para esse valor de a temos que limx→10 q(x) = 16 = q(10), e portanto a
função é cont́ınua nesse ponto.
(b) Temos que limx→15− q(x) = limx→15−(3x− 14) = 31.
(c) Como limx→15− q(x) = 45− a = 31 e
lim
x→15+
q(x) = lim
x→15+
(6, 4 x+ b) = 96 + b,
então q é cont́ınua em x = 15 se b = −65.
(d) O gráfico está esboçado abaixo.
10 15
16
31
Lista de Aplicações da Semana 03 - Página 1 de 6
2) Suponha que um painel solar consiga gerar uma quantidade de energia E = Isen(α)
kilojoules, em que I é a intensidade luminosa e α o ângulo de incidência entre os raios de
luz e o painel. Para um determinado dia, o ângulo α e a intensidade luminosa são dados
por α(t) = π
12
t e I(t) = 6t − 1
2
t2, onde t é o tempo medido em horas a partir do nascer
do sol, 0 ≤ t ≤ 12. É claro que para valores de t ∈ (12, 24] a energia gerada é nula, pois
o painel solar não funciona durante a noite.
(a) Obtenha a expressão de E(t) em função de t, para todo t ∈ [0, 24].
(b) Determine os valores de E(2) e E(6). Em seguida, decida se existe t0 ∈ [2, 6] tal
que E(t0) = 13, justificando sua resposta .
(c) Decida se a função E é cont́ınua no ponto t = 12, justificando sua resposta.
Soluções:
(a) De acordo com o enunciado temos
E(t) =





(
6t−
t2
2
)
sen
( π
12
t
)
se 0 ≤ t ≤ 12,
0 se 12 < x ≤ 24.
(b) Como E(2) = 5 e E(6) = 18 então E(2) < 13 < E(6). Como a função E é cont́ınua
em [2, 6], segue do Teorema do Valor Intermediário que existe t0 ∈ [2, 6] tal que
E(t0) = 13.
(c) Como polinômios são cont́ınuos e a função seno é cont́ınua, segue diretamente da
definição que a função E é cont́ınua em [0, 12) ∪ (12, 24]. A fim de verificar que E
é também cont́ınua em t = 12 note que
lim
t→12−
E(t) = lim
t→12+
E(t) = 0 = E(12).
Desse modo a função é cont́ınua em todo o intervalo [0, 24].
Lista de Aplicações da Semana 03 - Página 2 de 6
3) Um dos elevadores mais rápidos do mundo, localizado no Taipei Financial Center, subia
com velocidade constante de 10 m/s, quando subitamente, após 5 segundos de sua partida,
suas cordas de sustentação se partem. Felizmente, neste momento, não há ninguém em
seu interior. A função que descreve a altura do elevador em relação ao solo é dada então
pela seguinte expressão
s(t) =
{
10t+ 100, se 0 < t ≤ 5
150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2, se 5 < t < tA
onde tA é o tempo de aterrissagem, a altura é dada em metros e o tempo é dado em
segundos.
(a) Calcule o seguinte limite lateral direito da posição
lim
t→5+
s(t).
(b) A função s é cont́ınua em t = 5?
(c) Calcule o seguinte limite lateral direito da velocidade
média entre os instantes t e 5
lim
t→5+
s(t)− s(5)
t− 5
.
(d) Existe o limite da velocidade média entre os instantes
t e 5 quando t tende à 5?
Soluções:
(a) Para valores de t > 5, temos que s(t) = 150 + 10(t− 5)− 5(t − 5)2, de onde segue
que
lim
t→5+
s(t) = lim
t→5+
150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2 = 150.
(b) Para valores de t ≤ 5, temos que s(t) = 10t+ 100, de onde segue que
lim
t→5−
s(t) = lim
t→5−
10t+ 100 = 150
e que
s(5) = 10(5) + 100 = 150.
Utilizando o item anterior, segue que
lim
t→5−
s(t) = s(5) = lim
t→5+
s(t),
o que mostra que a função s é cont́ınua em t = 5.
(c) Para valores de t > 5, temos que s(t) = 150+10(t−5)−5(t−5)2. Como s(5) = 150,
segue que
lim
t→5+
s(t)− s(5)
t− 5
= lim
t→5+
(150 + 10(t− 5)− 5(t− 5)2)− 150
t− 5
= lim
t→5+
10(t− 5)− 5(t− 5)2
t− 5
= lim
t→5+
10− 5(t− 5) = 10.
Lista de Aplicações da Semana 03 - Página 3 de 6
(d) Para valores de t ≤ 5, temos que s(t) = 10t+ 100, de onde segue que
lim
t→5−
s(t)− s(5)
t− 5
= lim
t→5−
10t+ 100− 150
t− 5
= lim
t→5−
10t− 50
t− 5
= lim
t→5−
10(t− 5)
t− 5
= 10.
Como os dois limites laterais existem e coincidem, segue que existe o limite
lim
t→5
s(t)− s(5)
t− 5
= 10.
Lista de Aplicações da Semana 03 - Página 4 de 6
4) Em um certo páıs, o imposto de renda é cobrado da seguinte maneira: aqueles que ganham
até R$10.000,00 são isentos; os que ganham mais de R$10.000,00 e até R$20.000,00 pagam
10% sobre a renda, menos um valor fixo c e, de todos os demais, é cobrada uma taxa de
20% da renda. Nessas circunstâncias,
(a) determine a função I(x) que associa a renda x ao valor do imposto.
(b) calcule a parcela a deduzir c, de forma que I seja cont́ınua em x = 10.000.
(c) supondo que o valor de c é como acima, decida se existe algum contribuinte que
paga R$3.000,00 de imposto de renda, justificando sua resposta.
(d) ainda considerando o valor de c obtido no item (b), faça um esboço do gráfico de
I(x).
Soluções:
(a) De acordo com o enunciado temos
I(x) =



0 se 0 ≤ x ≤ 10.000,
0, 1 x− c se 10.000 < x ≤ 20.000,
0, 2 x se 20.000 < x.
(b) Como
lim
x→10.000+
I(x) = 1.000− c e lim
x→10.000−
I(x) = 0,
a condição para existência de limite no ponto x = 10.000 é que 1.000 − c = 0, isto
é, c = 1.000. Para esse valor de c temos que limx→10.000 I(x) = 0 = I(10.000), e
portanto I(x) será cont́ınua em x = 10000.
(c) Caso existisse um tal contribuinte, sua renda deveria ser maior que 10.000, para
que ele entrasse em alguma das duas últimas faixas de tributação. Lembrando que
c = 1.000 e resolvendo a equação 0, 1 x−1.000 = 3.000 obtemos x = 40.000, que fica
fora da segunda faixa. Analogamente, resolvendo 0, 2 x = 3.000 obtemos x = 15.000,
que agora fica fora da 3a faixa. Logo, não existe contribuinte que paga 3.000 reais
de imposto de renda.(d) O gráfico está esboçado abaixo.
104 2× 104
103
4× 103
Lista de Aplicações da Semana 03 - Página 5 de 6
5) As funções trigonométricas são cont́ınuas? A resposta é sim, conforme vamos verificar!
Lembre que, na lista da semana 2, provou-se na questão 4 que a função seno é cont́ınua
na origem, ou seja, que
lim
t→0
sen(t) = sen(0) = 0.
(a) Use a relação sen2(t) + cos2(t) = 1 para isolar cos(t) em termos de sen(t), para
valores de t ∈ (−π/2, π/2). Lembre que, para tais valores de t, o cosseno é positivo.
(b) Com ajuda do item acima, mostre que a função cosseno é cont́ınua em x = 0.
(c) Note que, para uma dada função f , vale
lim
x→a
f(x) = lim
t→0
f(t+ a),
desde que o primeiro limite exista. Usando a expressão acima com f(x) = sen(x) e
sabendo que sen(x+ y) = sen(x) cos(y) + sen(y) cos(x), mostre que a função seno é
cont́ınua em todo ponto a ∈ R.
(d) Usando agora f(x) = cos(x) juntamente com a fórmula cos(x+y) = cos(x) cos(y)−
sen(x)sen(y), mostre que a função cosseno é cont́ınua em todo ponto a ∈ R.
Soluções:
(a) Uma vez que o cosseno é positivo no primeiro e no quarto quadrante, obtemos
cos(t) =
√
1− sen2(t) para todo t ∈ (−π/2, π/2). (1)
(b) Usando (1) segue que
lim
t→0
cos(t) = lim
t→0
√
1− sen2(t) = 1 = cos(0),
o que mostra que o cosseno é cont́ınuo na origem.
(c) Agora, dado a ∈ R, temos que
lim
x→a
sen(x) = lim
t→0
sen(t+ a)
= lim
t→0
( sen(t) cos(a) + sen(a) cos(t)) = 0 · cos(a) + sen(a) · 1
= sen(a),
ficando assim estabelecida a continuidade da função seno no ponto a ∈ R.
(d) Use que
cos(t + a) = cos(t) cos(a)− sen(t) sen(a)
e argumente como no item (c).
Lista de Aplicações da Semana 03 - Página 6 de 6
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Cálculo 1
Lista de Exerćıcios – Semana 04
Temas abordados : Limites envolvendo o infinito; Asśıntotas
Seções do livro: 2.4
1) Explique o que significa dizer que a reta x = a é uma asśıntota vertical da função f . Em
seguida, considerando as funções esboçadas nos gráficos abaixo, determine as asśıntotas
verticais sugeridas por cada um deles.
x
y
−1
Figura 1
x
y
−1
1
π/2
−π/2
Figura 2
x
y
−2
2
3
Figura 3
2) No limite lim
x→a
f(x)/g(x), quando o numerador se aproxima de um número diferente de
zero e o denominador tende para zero com um sinal definido, temos um limite infinito.
Neste caso, é necessário estudar o sinal da fração quando x está próximo de a, de modo
a decidir se o limite é +∞ ou −∞. Por exemplo,
lim
x→1+
x2 + 4x− 2
1− x3 = −∞,
pois o numerador se aproxima de 12 + 4 · 1− 2 = 3 > 0 e o denominador se aproxima de
zero por valor negativos, pois x > 1 (lembre que o limite é pela direita). Assim, a fração
tem sinal negativo e, em módulo, fica muito grande.
Siga este procedimento para calcular os limites abaixo. (veja v́ıdeo)
(a) lim
x→3−
2x− 8
x− 3 (b) limx→2
1− 4x
(x− 2)2
(c) lim
x→(−1)+
x2 − 2x+ 4
x2 + x
(d) lim
x→2−
√
4x+ 8
−x2 + 3x− 2
3) Calcular asśıntota verticais não é o mesmo que igualar denominadores a zero! Por exem-
plo, o denominador da função f(x) = (x2 − 4)/(x− 2) se anula em x = 2, mas
lim
x→2
x2 − 4
x− 2 = limx→2
(x− 2)(x+ 2)
(x− 2) = 4,
e portanto x = 2 não é asśıntota vertical. Para as funções abaixo, determine os can-
didatos à asśıntota para, em seguida, checar se cada um deles é de fato asśıntota.
(veja Exemplo 4 do Texto 1)
(a) f(x) =
3x+ 12
x2 − 3x− 28 (b) f(x) =
x
x3 − x (c) f(x) =
sen(x)
x
Lista de Exerćıcios – Semana 04 - Página 1 de 4
https://www.youtube.com/watch?v=feJ06ey_E6c
http://www.mat.unb.br/furtado/homepage/c1/volume-pistao.pdf
4) Explique o que significa dizer que a reta y = L é uma asśıntota horizontal da função f .
Em seguida, considerando os gráficos esboçados no Exerćıcio 1, determine as asśıntotas
horizontais sugeridas por cada um deles.
5) Em alguns casos, o cálculo do limite no infinito de frações pode ser feito identificando-
se os termos dominantes do numerador e do denominador, e colocando-se um deles em
evidência. Por exemplo,
lim
x→−∞
x2 + 4x− 2
1− x3 = limx→−∞
x3( 1
x
+ 4
x2
− 2
x3
)
x3( 1
x3
− 1) = limx→−∞
1
x
+ 4
x2
− 2
x3
1
x3
− 1 =
0
−1 = 0.
Siga este procedimento para calcular os limites abaixo. (veja v́ıdeo)
(a) lim
x→+∞
4x+ 9
2x2 − 4x− 1 (b) limx→−∞
4x2 − 4x+ 8
8x− x2 (c) limx→+∞
x2 + 4
x− 1
(d) lim
x→−∞
8x3 − 3
2x3 + 4x− 7 (e) limx→±∞
√
x2 − 2x+ 2
x+ 1
(f) lim
x→−∞
x+ 3
√
x
x2 + 1
Dica: no item (e) lembre que
√
x2 = |x| e proceda como neste v́ıdeo
6) Calcule os limites abaixo.
(a) lim
x→−1−
(
3
x+ 1
− 5
x2 − 1
)
(b) lim
x→5−
√
25− x2
5− x
(c) lim
x→−∞
(3x3 − 4) (d) lim
x→+∞
5− 4x
2x− 3
(e) lim
x→−∞
3
√
2 +
3
x
(f) lim
x→+∞
cos(x)
(g) lim
x→+∞
x+ sen3(x)
5x+ 6
(h) lim
x→−∞
x2(1 + cos2(x))
(x+ cos(x))2
(i) lim
x→+∞
(
√
x2 − 1− x) (j) lim
x→+∞
x(
√
x2 − 1− x)
Dica: Se tiver dúvida nos dois últimos itens, veja o Exemplo 6 do Texto 2. Para aqueles que envolvem as funções seno e
cosseno lembre que elas são periódicas e limitadas.
7) Determine todas as asśıntotas das funções abaixo. (veja v́ıdeo)
(a) g(x) =
2x2 + 1
2x2 − 3x (b) f(x) =
2x√
x2 + 4
(c) f(x) =
|x− 2|
x− 2 (d) f(x) =
x√
x2 − 4
(e) f(x) = x+ sen(x) (f) f(x) =







x+
1
3
√
x
, se x < 0
x− 4√
x− 2 se x ≥ 0, x 6= 4
Dica: se tiver dúvidas no no item (f), veja este v́ıdeo
8) Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, onde a > 0 e b, c, d ∈ R são dados. Calcule os limites no
infinito e, em seguida, use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar f possui pelo
menos uma ráız. O que se pode dizer se a < 0?
Lista de Exerćıcios – Semana 04 - Página 2 de 4
https://www.youtube.com/watch?v=wOwXEMUVsSE
https://www.youtube.com/watch?v=BOvB0NtUBFg
http://www.mat.unb.br/furtado/homepage/c1/concentracao-med.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=r1OTT50sXio
https://www.youtube.com/watch?v=fKHzhL42ITk
9) Dizemos que uma reta y = mx+ b é uma asśıntota do gráfico de uma função f quando
lim
x→+∞
[f(x)− (mx+ b)] = 0 ou lim
x→−∞
[f(x)− (mx+ b)] = 0.
Quando m = 0, temos a asśıntota horizontal y = b. Quando m 6= 0 temos uma asśıntota
obĺıqua. Por exemplo, a reta y = x − 4 é uma asśıntota obĺıqua de f(x) = x
2 − 3x+ 2
x+ 1
,
uma vez que
lim
x→+∞
[
x2 − 3x+ 2
x+ 1
− (x− 4)
]
= lim
x→+∞
[
(x2 − 3x+ 2)− (x2 − 3x− 4)
x+ 1
]
= lim
x→+∞
[
6
x+ 1
]
= 0.
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma asśıntota da função f indicada:
(a) y = 3x+ 2 de f(x) = 3x+ 2 +
sen(x)
x
;
(b) y = 2x+ 6 de f(x) =
2x3
x2 − 3x+ 1;
(c) y = x e y = −x de f(x) =
√
x2 + 1.
10) Para funções racionais f(x) =
p(x)
q(x)
com grau(p) = 1 + grau(q), sempre há asśıntota
obĺıqua. Por exemplo, se f(x) =
x2
x+ 1
, então, dividindo p(x) = x2 por q(x) = x + 1,
obtemos que f(x) = x − 1 − 1
x+ 1
, donde segue que a reta y = x − 1 é uma asśıntota
obĺıqua para f . Determine as asśıntotas obĺıquas das funções racionais abaixo:
(a) f(x) =
x3
x2 + 1
(b) f(x) =
x4 + 1
x3 + x2
11) Se y = mx+ b é uma asśıntota obĺıqua de f , então
lim
x→+∞
f(x)
x
= m e lim
x→+∞
[f(x)−mx] = b.
Logo, uma estratégia para encontrar as asśıntotas é verificar se o limite lim
x→+∞
f(x)
x
é
finito. Em caso afirmativo, denotamos por m o valor deste limite e verificamos se o limite
lim
x→+∞
[f(x)−mx] é finito. Se este também for finito, denotamos por b seu resultado e
obtemos assim a asśıntota y = mx + b. O mesmo vale quando x → −∞. Utilize este
procedimento para calcular as asśıntotas das funções abaixo:
(a) f(x) =
√
x2 + 3 (b) f(x) = 3
√
8x3 − 5x (c) f(x) = x
2 + 1
3x− 1
Lista de Exerćıcios – Semana 04 - Página 3 de 4
RESPOSTAS
1) A reta x = a é uma asśıntota vertical de f se qualquer um dos limites laterais neste ponto é
igual a +∞ ou −∞.
Os gráficos esboçados, se representam a função f(x), sugerem as seguintes asśıntotas verticais:
• Gráfico 1: a reta x = 0 é uma asśıntota vertical, pois lim
x→0−
f(x) = −∞, ou porque
lim
x→0+
f(x) = +∞.
•Gráfico 2: as retas x = −π/2 e x = π/2 são asśıntota verticais.
• Gráfico 3: a reta x = 3 é uma asśıntota vertical.
2) (a) +∞ (b) −∞ (c) −∞ (d) +∞
3) (a) os candidatos são x = 7 e x = −4. Temos que lim
x→−4
f(x) = −3/11, e portanto x = −4 não
é asśıntota. No outro ponto temos lim
x→7−
f(x) = −∞ e lim
x→7+
f(x) = +∞, e portanto x = 7
é asśıntota vertical.
(b) os candidatos são x = 0, x = −1 e x = 1. A primeira reta não é asśıntota e as duas
últimas são.
(c) o candidato é x = 0, que não é asśıntota pois lim
x→0
sen(x)/x = 1.
4) A reta y = L é uma asśıntota horizontal da função f quando lim
x→−∞
f(x) = L ou lim
x→+∞
f(x) = L.
Os gráficos esboçados, se representam a função f(x), sugerem as seguintes asśıntotas horizontais:
• Gráfico 1: as retas y = 0 e y = −1 são asśıntotas horizontais, pois lim
x→+∞
f(x) = 0 e
lim
x→−∞
f(x) = −1.
• Gráfico 2: as retas y = −1 e y = 1 são asśıntotas horizontais, pois lim
x→±∞
f(x) = ±1.
• Gráfico 3: as retas y = −2 e y = 2 são asśıntotas horizontais.
5) (a) 0 (b) −4 (c) +∞ (d) 4 (e)
{
1 se x → +∞
−1 se x → −∞ (f) 0
6)
(a) −∞ (b) +∞ (c) −∞ (d) −2 (e) 3
√
2
(f) não existe (g) 1/5 (h) não existe (i) 0 (j) −1/2
7) (a) Verticais: x = 0 e x = 3/2, Horizontais: y = 1
(b) Verticais: não existem, Horizontais: y = 2 e y = −2
(c) Verticais: não existem, Horizontais: y = −1 e y = 1
(d) Verticais: x = −2 e x = 2, Horizontais: y = −1 e y = 1
(e) Verticais: não existem, Horizontais: não existem
(f) Verticais: x = 0, Horizontais: não existem
8) Os limites são −∞ e +∞, respectivamente. Deste modo, podemos obter a < b tais que f(a) <
0 < f(b). O TVI implica que f deve se anular em algum ponto do intervalo (a, b).
9) –
10) (a) y = x (b) y = x− 1.
11) (a) y = x e y = −x (b) y = 2x (c) y = x3 + 19 .
Lista de Exerćıcios – Semana 04 - Página 4 de 4
Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Aplicações – Semana 04 – Soluções
Temas abordados : Limites envolvendo o infinito; Asśıntotas
Seções do livro: 2.4
1) Duas part́ıculas carregadas com cargas de módulos q1 e q2 interagem com uma força
eletrostática. Segundo a Lei de Coulomb, o módulo dessa força, em Newtons, é modelado
pela função F : (0,∞) −→ (0,∞) dada por F (x) = Kq1q2
x2
, onde K > 0 é uma constante
que depende do meio e x é a distância, em metros, entre as part́ıculas. Suponha que, em
unidades f́ısicas apropriadas, Kq1q2 = 10 e resolva os itens a seguir.
(a) Encontre δ > 0 suficientemente pequeno tal que se 0 < x < δ, então a força entre
as part́ıculas tem módulo maior que 107N (dez milhões de Newtons).
(b) Encontre M > 0 suficientemente grande tal que se x > M , então a força entre as
part́ıculas tem módulo menor que 10−6N (um milhonésimo de Newton).
(c) Determine limx→0+ F (x) e limx→∞ F (x).
(d) Faça um esboço do gráfico de F .
Soluções:
(a) Note que
F (x) =
10
x2
> 107 ⇔ 107x2 < 10 ⇔ x2 < 10−6 ⇔ x < 10−3.
(b) Procedendo como no item (b) temos
F (x) =
10
x2
< 10−6 ⇔ 10−6x2 > 10 ⇔ x2 > 107 ⇔ x > 107/2 = 103
√
10.
(c) Quando x → 0+, o numerador de F (x) vale
10 e o denominador se aproxima, por valores
positivos, de zero. Desse modo, conclúımos
que limx→0+ F (x) = +∞. Por outro lado,
quando x → +∞, o numerador vale 10 en-
quanto o denominador tende para infinito,
o que mostra que limx→+∞ F (x) = 0. Note
que não pode existir o limite de F (x) quando
x se aproxima de zero, visto que a função F
não está definida em uma vizinha à esquerda
do zero. Também não existe o limite lateral
limx→0+ F (x) visto que um limite (mesmo
lateral) existe somente quando a função se
aproxima de um número real.
0 1 2 3 4 5 6
0
5
10
15
F (x)
Lista de Aplicações da Semana 04 - Página 1 de 5
2) A figura abaixo ilustra um corpo de massa m > 0 pendurado no teto de um trem bala por
um fio inextenśıvel de comprimento L > 0. Quando o trem possui aceleração a o pêndulo
se encontra inclinado, fazendo um ângulo θ com a vertical. Pode-se provar que, se g é
a aceleração da gravidade local, então a(θ) = g tg(θ). Como θ ∈ (−π/2, π/2), temos
que θ(a) = arctg(a/g), onde a função arctg : R −→ (−π/2, π/2) é a função inversa da
tangente. Supondo que g = 10 m/s2, resolva os itens seguintes.
(a) Sabendo que tg(θ) = sen (θ)/ cos(θ), encontre
lim
θ→−π/2+
a(θ) e lim
θ→π/2−
a(θ).
(b) Se a aceleração do trem tomar valores cada vez mai-
ores, o ângulo θ(a) se aproxima de que valor? E se
a → −∞, então θ(a) tende para algum número?
(c) Faça um esboço dos gráficos de a(θ) e θ(a), com suas
asśıntotas.
θ L
m
~a
Soluções:
(a) Basta observar que
lim
θ→−π
2
+
10 tg(θ) = lim
θ→−π
2
+
10 sen(θ)
cos(θ)
= −∞,
visto que o numerador se aproxima de −10 < 0 e o denominador se aproxima de
zero por valores positivos, pois a função cosseno é positiva no 4o quadrante.
Analogamente, conclúımos que
lim
θ→π
2
−
10 tg(θ) = lim
θ→π
2
−
10 sen(θ)
cos(θ)
= ∞,
(b) Observe que θ : R −→ (−π/2, π/2) é a
inversa da função a : (−π/2, π/2) −→ R.
Logo, como
lim
a→π/2−
a(θ) = +∞
segue da definição de limites no infinito e da
definição de função inversa que
lim
a→+∞
θ(a) = π/2.
Por razões análogas, conclúımos que
lim
a→−∞
θ(a) = −π/2,
de forma que as retas y = −π/2 e y = π/2
são asśıntotas horizontais do gráfico de a(θ).
π
2
π
2
−π
2
−π
2
a(θ)
θ(a)
0
Lista de Aplicações da Semana 04 - Página 2 de 5
3) Considerando a função q(x) =
√
x2 + 1
2− x , definida para x 6= 2, resolva os itens abaixo.
(a) Calcule os limites no infinito da função q e, em seguida, determine a(s) asśıntota(s)
horizontal(is) do gráfico da função q, se esta(s) existir(em).
(b) Calcule os limites laterais de q no ponto x = 2 e, em seguida, determine a(s)
asśıntota(s) vertical(is) do gráfico da função q, se esta(s) existir(em).
(c) Faça um esboço do gráfico de q.
Soluções:
(a) Para os cálculos dos limites no infinito note que
q(x) =
√
x2
(
1 + 1
x2
)
x
(
2
x
− 1
) =
|x|
x
√
1 + 1
x2
2
x
− 1 .
Assim, por exemplo,
lim
x→−∞
q(x) = lim
x→−∞
|x|
x
√
1 + 1
x2
(
2
x
− 1
) = lim
x→−∞
−x
x
√
1 + 1
x2
(
2
x
− 1
) = −
limx→−∞
√
1 + 1
x2
limx→−∞
(
2
x
− 1
) = 1.
Na segunda igualdade acima usamos o seguinte: como x → −∞, interessa somente o
que acontece com a função para valores de x que são grandes em módulo e negativos.
Em particular, podemos supor que x < 0, de modo que |x| = −x. Um racioćınio
análogo nos permite concluir que
lim
x→+∞
q(x) = −1.
Logo, as restas y = 1 e y = −1 são asśıntotas horizontais.
(b) A reta x = 2 é uma candidata natural à
asśıntota vertical, visto que o denominador
da expressão que define a função q se anula
quando x = 2.
Vamos estudar o limite lateral quando x →
2−. Temos que o numerador se aproxima de√
5 e o denominador se aproxima de zero,
sempre assumindo valores positivos, visto
que estamos nos aproximando por valores
menores que 2.
0
y = 1
y = −1
x = 2
Uma vez que
√
5 > 0 conclúımos que limx→2− q(x) = +∞. Um racioćınio análogo mostra
que limx→2+ q(x) = +∞. Logo, a reta x = 2 é de fato uma asśıntota vertical
Lista de Aplicações da Semana 04 - Página 3 de 5
4) Para cada a > 1, o número positivo ln a pode ser caracterizado como a área da região
limitada pelo eixo Ox, pelas retas verticais x = 1 e x = a e pelo gráfico da função
g(t) = 1/t. Por exemplo, o número ln 4 é a área da região compreendida entre o gráfico
da função g e as retas y = 0, x = 1 e x = 4. Na figura foram destacados ainda três
retângulos de base unitária cujas alturas são g(2), g(3) e g(4).
(a) Determine as áreas A1, A2 e A3 dos retângulos indicados,
e faça sua soma.
(b) Usando o resultado anterior, justifique a desigualdade
ln 4 > 1.
(c) Dada uma constante M > 0 arbitrariamente grande,
mostre que se x > 4M , então ln x > M . Conclua dáı que
limx→∞ ln x = ∞.
(d) Sabendo que para todo x > 0 tem-se ex > ln x, investi-
gue a existência de limx→∞ e
x.
(e) Lembre quee−x = 1/ex e calcule limx→∞ e
−x. Esboce o
gráfico das funções ex, e−x e ln x.
0 1 2 3 4
1
A1 A2 A3
g(t)
y
x
Soluções:
(a) Claramente, A1 = (2 − 1)g(2) =
1
2
, A2 = (3 − 2)g(3) =
1
3
e A3 = (4 − 3)g(4) =
1
4
.
Dessa forma, A1 + A2 + A3 =
13
12
.
(b) Observe que a área indicada na figura é maior do que a soma das áreas dos retângulos
A1, A2 e A3. Dessa forma, como a área indicada vale ln 4 temos que ln 4 > A1 +
A2 + A3 =
13
12
> 1.
(c) Como o logaritmo é uma função crescente, aplicando o ln na desigualdade x > 4M
obtemos ln x > M ln 4 > M , donde se conclui que
ln x > M, para cada x > 4M .
Assim,
lim
x→+∞
ln x = +∞.
(d) Primeiro observe que
lim
x→+∞
ex = +∞. (1)
De fato, dado M > 0 note que se x > lnM , então aplicando-se a exponencial nos
dois lados da desigualdade
ex > elnM = M,
e assim (1) segue (note que usamos o fato da função exponencial ser crescente).
Dessa forma, usando as propriedades de limites infinitos
lim
x→+∞
e−x = lim
x→+∞
1
ex
= 0.
(e) Os gráficos são como abaixo.
Lista de Aplicações da Semana 04 - Página 4 de 5
1
1
ex
ln x
1
ex
e−x
5) Suponha que, em um ambiente com capacidade de sustentar um número limitado de
indiv́ıduos, a população após t anos, P (t), seja modelada pela função P (t) =
1100
1 + 9E(t)
,
em que E(t) = 3−t é uma função exponencial, o tempo t ≥ 0 é medido em anos e
t = 0 corresponde à população inicial P (0). O gráfico da função E(t), ilustrado na figura
abaixo, pode ser útil no estudo do comportamento de P (t). A partir dessas informações,
julgue a veracidade dos itens a seguir, justificando suas respostas.
(a) A população inicial é superior a 100 indiv́ıduos.
(b) A função f(t) = 1 + 9E(t) é tal que f(t1) < f(t2)
sempre que t1 < t2.
(c) P (t) é uma função decrescente da variável t.
(d) Após três anos, a população será superior a 800.
(e) Existem valores de t > 0 para os quais a população
apresenta um número superior a 1100 indiv́ıduos.
t
E
Gráfico de E(t)
Soluções: Observe que a função P pode ser escrita como
P (t) =
1100
1 + 9
3t
= 1100
(
3t
3t + 9
)
.
A expressão acima nos permite calcular a população P (t) nos instantes t = 0 (inicial) e
t = 3, entre outros.
(a) Correto, pois P (0) = 110.
(b) Errado. Veja que a função exponencial 3at é decrescente se, e somente se, a < 0.
(c) Errado. Veja que P (0) = 110 < P (1) = 275.
(d) Correto, pois P(3)=825.
(e) Errado, pois 3
t
3t+9
< 1 para todo t ∈ R.
Lista de Aplicações da Semana 04 - Página 5 de 5
Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Aplicações – Semana 05 – Soluções
Temas abordados : Retas Tangentes; Derivada e suas regras básicas
Seções do livro: 2.7; 3.1 a 3.3
1) Para atacar posições inimigas, um avião de caça dá um vôo rasante, percorrendo a tra-
jetória determinada pelo gráfico da função f(x) = 1 + (1/x), para x > 0. O avião efetua
os seus disparos segundo a direção tangente, conforme figura abaixo.
(a) Determine, usando a definição de derivada, a
equação da reta tangente ao gráfico de f(x) em um
ponto genérico (a, f(a)).
(b) Se um disparo é efetuado da posição (1, 2), determine
a abscissa do ponto no eixo Ox atingido.
(c) Determine o ponto sobre o gráfico de f(x) em que o
disparo deve ser efetuado para atingir um alvo situ-
ado no ponto (8, 0).
y = 1
Soluções:
(a) Temos que
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
h→0
1
a+h
− 1
a
h
= lim
h→0
−1
(a+ h)a
=
−1
a2
,
de modo que a equação da reta tangente é
ya(x) =
−1
a2
(x− a) + 1 + 1
a
.
(b) De acordo com o item acima, quando a = 1, o disparo é efetuado ao longo da reta
y(x) = y1(x) = −
1
12
(x− 1) + 11
1
= 3− x.
A abscissa do ponto atingido é exatamente a ráız da reta acima, ou seja, 3.
(c) O valor de a tem que ser tal que a reta ya passe pelo ponto (8, 0), isto é,
0 = ya(8) = −
1
a2
(8− a) + 1 + 1
a
.
A equação acima é equivalente a
1
a2
(8− a) = 1 + a
a
,
que tem como soluções a = 2 e a = −4. Como a deve ser positivo a posição do tiro
deve ser (2, f(2)) = (2, 3
2
).
Lista de Aplicações da Semana 05 - Página 1 de ??
2) Suponha que o eixo Ox representa o solo e uma montanha é modelada pela equação
g(x) = 4 − x2 = (2 + x)(2 − x), onde x ∈ [−2, 2]. Um avião sobrevoa a montanha
horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta y = 9, de modo que, no instante t >
0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por (4t, 9). Considerando
que a luz se propaga em linha reta, resolva os ı́tens abaixo.
(a) Determine, usando a definição de derivada, a
equação da reta tangente ao gráfico de g(x) em um
ponto genérico (a, g(a)).
(b) Determine a equação da reta tangente à monta-
nha que passa por um observador localizado em
(−5/2, 0).
(c) Determine o instante t0 em que o observador do item
b) perde a visão do avião devido à montanha.
(−5/2, 0)
y = 9
y = 4− x2
Soluções:
(a) Expandindo o quadrado e efetuando as simplificações obtemos
g′(a) = lim
h→0
g(a+ h)− g(a)
h
= lim
h→0
−(a + h)2 + a2
h
= −2a,
de modo que a reta tangente é
ya(x) = −2a(x− a) + g(a).
(b) Aqui, precisamos descobrir o ponto (a, g(a)) de tangência da reta. Para tanto note
que ya(−5/2) = 0. Substituindo obtemos a2+5a+4 = 0, isto é, a = −1 ou a = −4.
Como a ∈ (−2, 2) devemos ter a = −1, donde se conclui que a reta em questão é
y(x) = 2x+ 5.
(c) Note que no instante t0 o avião está na posição (4t0, 9). Usando o item (a) e
resolvendo 2(4t0) + 5 = y(4t0) = 9, obtemos t0 = 1/2.
3) Um gato está no ponto G = (1, 0), descobre um rato situado na origem O = (0, 0) e
parte em sua perseguição. No mesmo instante, o rato percebe o gato e foge seguindo
a direção positiva do eixo Oy, com velocidade igual à metade da do gato. A trajetória
percorrida pelo gato para alcançar o rato é conhecida como curva de perseguição e tem
a seguinte propriedade: se o rato e o gato estiverem nas posições Q e P ilustradas na
figura abaixo, então a reta determinada pelos pontos P e Q é tangente à curva no ponto
P . No exemplo considerado, pode-se mostrar que a curva de perseguição é o gráfico da
função f : [0, 1] → R dada por f(x) =
√
x
(x
3
− 1
)
+
2
3
.
Lista de Aplicações da Semana 05 - Página 2 de ??
(a) Calcule, pela definição, a derivada de g(x) =
√
x
em um ponto a ∈ (0, 1). Para isso, vale lembrar a
igualdade x− a = (
√
x−
√
a) (
√
x+
√
a).
(b) Use o item anterior e as regras de derivação para
calcular a equação da reta tangente ao gráfico de f
no ponto (a, f(a)).
(c) Determine a posição Q = (0, y0) em que se encontra
o rato no instante em que o gato estiver na posição
P = (1/4, f(1/4)).
(d) Calcule o espaço total percorrido pelo rato antes de
ser apanhado pelo gato.
Q
P
GO
Soluções:
(a) A derivada é dada por
g′(a) = lim
x→a
√
x−
√
a
x− a = limx→a
√
x−
√
a
(
√
x−
√
a)(
√
x+
√
a)
=
1
2
√
a
.
(b) Usando agora a regra do produto para derivadas e simplificando obtemos
f ′(a) = (
√
x)′
(x
3
− 1
)
+
√
x
(x
3
− 1
)
=
1
2
√
x
(x
3
− 1
)
+
√
x
3
=
x− 1
2
√
x
.
A reta tangente no ponto (a, f(a)) tem inclinação f ′(a), e portanto sua equação é
dada por
ya(x) =
(
a− 1
2
√
a
)
(x− a) + f(a).
(c) Faça a = 1/4, de modo que f(1/4) = 5/24 e a reta tangente se torna
y(x) = −3
4
x+
3
16
+
5
24
.
Logo a posição do rato será (0, y(0)) = (0, y0), com y0 =
3
16
+ 5
24
.
(d) Observe que o gato alcança o rato quando x = 0. Assim, 0 espaço total percorrido
pelo rato é exatamente f(0) = 2/3.
4) Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser
abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1
grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água V (t) e a quantidade de sal Q(t)
no reservatório são funções do tempo t ≥ 0, e portanto a concentração de sal c(t) no
reservatório é também uma função do tempo.
(a) Obtenha as expressões dasfunções V (t), Q(t) e c(t).
(b) Calcule o limite c′(t) = lim
h→0
c(t + h)− c(t)
h
, simplificando antes o quociente.
(c) Usando o item anterior, decida em qual dos instantes t0 = 10 ou t1 = 30 a concen-
tração está variando mais rapidamente.
Soluções:
Lista de Aplicações da Semana 05 - Página 3 de ??
(a) Como temos 50 litros de água no ińıcio e a cada minuto entram outros 5 litros
no reservatório então V (t) = 50 + 5t, t ≥ 0. Os 50 litros iniciais são puros e
portanto todo o sal é proveniente do abastecimento. Assim Q(t) = 5t, e portanto a
concentração, em gramas/litro é dada por c(t) = Q(t)/V (t) = t/(10 + t), t ≥ 0.
(b) Usando a expressão de c(t) e fazendo as devidas simplificações obtemos
c(t+ h)− c(t)
h
=
(t+ h)(10 + t)− t(10 + t+ h)
h(10 + t)(10 + t+ h)
=
10
(10 + t)(10 + t+ h)
,
de modo que
c′(t) = lim
h→0
c(t + h)− c(t)
h
=
10
(10 + t)2
, t > 0.
(c) Para o último item basta notar que c′(10) > c′(30).
5) Suponha que a quantidade de bens produzidos por uma fábrica possa ser modelada em
função do número x de empregados, por uma função derivável p(x), em que p(x) é medida
em milhares e x em centenas. A produtividade média por empregado é então dada pela
função M(x) = p(x)/x, e pode-se mostrar que o número x0 de empregados que maximiza
a função M(x) é aquele para o qual M ′(x0) = 0.
(a) Usando as regras de derivação, calcule M ′(x) em termos da derivada p′(x).
(b) Use o item anterior para justificar a afirmação de que M ′(x0) = 0 se, e somente se,
p′(x0) = M(x0).
(c) Calcule p′(x) supondo que p(x) =
2 x2
x2 + 1
.
(d) Determine o número de empregados que maximiza a produtividade média da fábrica.
Soluções:
(a) Observe que por hipótese a função p(x) é derivável em x > 0. Assim a função M(x)
é derivável e podemos usar a regra do quociente para obter
M ′(x) =
(
p(x)
x
)
′
=
xp′(x)− p(x)
x2
.
(b) Usando a expressão do item anterior temos que para x0 > 0
M ′(x0) =
(
p(x0)
x0
)
′
=
x0p
′(x0)− p(x0)
x20
= 0 ⇔ x0p′(x0) = p(x0) ⇔ p′(x0) = M(x0).
(c) Mais uma vez, como x2 e x2 + 1 são diferenciáveis e x2 + 1 é não nulo, pela regra
do quociente temos que
p′(x) =
4x(x2 + 1)− 4x3
(x2 + 1)2
=
4x
(x2 + 1)2
.
(d) Aqui p(x) = 2x2/(x2 + 1). Agora, pelo item (b), se M ′(x0) = 0 temos que p
′(x0) =
M(x0). Assim, para x0 > 0, precisamos resolver a equação
4x0
(x20 + 1)
2
=
2x0
x20 + 1
⇔ 2
x20 + 1
= 1 ⇔ x20 = 1.
Como x0 > 0, conclúımos que x0 = 1.
Lista de Aplicações da Semana 05 - Página 4 de ??
Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Exerćıcios – Semana 06
Temas abordados : Derivada de funções trigonométricas
Seções do livro: 3.4
1) Os passos seguintes nos permitem calcular a derivada de f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x).
(veja Vı́deo 1)
(a) Use o Limite Trigonométrico Fundamental para calcular a derivadas das duas funções
no ponto x = 0, isto é,
f ′(0) = lim
h→0
f(h)− f(0)
h
, g′(0) = lim
h→0
g(h)− g(0)
h
(b) Use a identidade sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a) sen(b), os limites acima e
definição de derivada para concluir que ( sen(x))′ = cos(x).
(c) Repita o argumento acima com a identidade cos(a+b) = cos(a) cos(b)− sen(a) sen(b)
para concluir que (cos(x))′ = − sen(x).
2) Use o exerćıcio anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das funções
abaixo. Em seguida, determine as asśıntotas verticais de cada uma delas. (veja Vı́deo 1)
(a) tan(x) =
sen(x)
cos(x)
(b) sec(x) =
1
cos(x)
(c) csc(x) =
1
sen(x)
(d) cot(x) =
cos(x)
sen(x)
3) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo. (veja Vı́deo 2)
(a) f(x) = cos(x) + (x2 + 1) sen(x) (b) f(x) =
√
x sec(x)
(c) f(x) =
sen(x)(
√
x+ 4)
cos(x)
(d) f(x) =
tan(x)
x+ cos(x)
(e) f(x) = ex sen(x)− 4
x
(f) f(x) = (3x+ 2ex)(1 + tan(x))
4) Considere as funções f e g definidas abaixo
f(x) =
{
x2 sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0,
g(x) =
{
x sen(1/x) se x 6= 0,
0 se x = 0.
Usando a definição, verifique que f é derivável (e portanto cont́ınua) em x = 0. Verifique
em seguida que g é cont́ınua em x = 0 mas não é derivável nesse mesmo ponto.
Lista de Exerćıcios – Semana 06 - Página 1 de 2
https://www.youtube.com/watch?v=lO4S-dxMmuI
https://www.youtube.com/watch?v=lO4S-dxMmuI
https://www.youtube.com/watch?v=E2VaNepC8fI
RESPOSTAS
1)
2) (a) (tan(x))′ = sec2(x)
(b) (sec(x))′ = sec(x) tan(x)
(c) (csc(x))′ = − csc(x) cotan(x)
(d) ( cotan(x))′ = − csc2(x)
3) (a) (2x− 1) sen(x) + (x2 + 1) cos(x)
(b)
√
x sec(x) tan(x) +
1
2
√
x
sec(x)
(c)
cos(x)
(
sen(x)
2
√
x
+ cos(x)(
√
x+ 4)
)
+ sen2(x)(
√
x+ 4)
cos2(x)
(d)
(x+ cos(x)) sec2(x)− tan(x)(1− sen(x))
(x+ cos(x))2
(e) ex( sen(x) + cos(x)) +
4
x2
(f) (3 + 2ex)(1 + tan(x)) + (3x+ 2ex) sec2(x)
Lista de Exerćıcios – Semana 06 - Página 2 de 2
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