Cap5_2

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CAPÍTULO 5.2 – PS 
 Prof. César Janeczko – DAELN - UTFPR 
 
Transformada Z 
 
A transformada de Laplace relaciona-se com filtros analógicos, equações 
diferenciais, o domínio s e plano s. 
 A transformada Z relaciona-se com filtros digital recursivos, equações a diferença, o 
domínio z e ao plano z. 
 O plano s está arranjado em sistema de coordenadas retangulares, enquanto o plano 
z está arranjado em sistema de coordenadas polares 
 
 A natureza da transformada Z 
 
 As transformadas de Laplace e Z são técnicas paralelas. 
 Sabemos que: 
 ( ) ( )∫
∞
−∞=
−
=
t
st
dtetxsX 
 
Como, ωσ js += 
 ( ) ( )∫
∞
−∞=
−−
=
t
tjt
dteetx,X
ωσ
ωσ 
 
A transformada de Laplace pode ser mudada para transformada Z em três passos: 
1o mudar de sinal contínuo para discreto, e mudar de integral para somatório. 
 ( ) [ ]∑
∞
−∞=
−−
=
n
njn
eenx,X
ωσ
ωσ 
 
 2o reescrever o termo exponencial. Um sinal exponencial pode ser matematicamente 
representado de dois modos 
 [ ] neny σ−= ou [ ] nrny = 
 2
 
 Então, pode-se dizer que: 
 ( )rln−=σ 
 
 Trocando-se a representação, temos: 
 ( ) [ ]∑
∞
−∞=
−
=
n
njn
ernx,rX
ω
ω 
 
 Assim como, ωσ js += , podemos fazer: 
 
jw
rez
−
= 
 
3o passo é trocar r e ω por z 
 ( ) [ ]∑
∞
−∞=
−
=
n
n
znxzX 
 
Propriedade do Deslocamento 
discretotempoZdaTransforma ↔ 
 [ ] [ ]NnxzzX N −↔⋅ − 
 3
 O plano s é representado em sistema de coordenadas retangulares, enquanto o plano 
z está em coordenadas polares. 
 No eixo imaginário do plano s, temos o=σ , da relação: 
 ( )rln−=σ 
 temos que 1=r 
 Portanto, o eixo imaginário no plano s, torna-se um círculo de raio unitário. 
 
 
 
 
 Análise de Sistemas Recursivos 
 
 
 A função de transferência deste sistema ficaria: 
 
[ ]
[ ]
[ ]zX
zY
entrada
saída
zbzb
zazaa
zH ==
−−−
+++
=
−−
−−
...1
...
2
2
1
1
2
2
1
10
 
 
( ) [ ] [ ] ( )...1... 22
1
1
2
2
1
10 −−−⋅=⋅+++
−−−− zbzbzYzXzazaa 
 
Usando-se a propriedade do deslocamento [ ] [ ] NzzXNnx −⋅↔− 
 
Isolando [ ]ny 
 
Obtemos o sistema recursivo, descrito por uma equação a diferença: 
 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ...21...21 21210 +−+−++−+−+= nybnybnxanxanxany 
 
onde os termos a e b são coeficientes de recursão. 
 4
Um exemplo de filtro digital poderia ser: 
 
[ ]
4321
4321
161.0878.0033.2161.21
389.0558.1338.2558.1389.0
−−−−
−−−−
+−+−
+−+−
=
zzzz
zzzz
zH 
 Multiplicando numerador e denominador por 
4
z tem-se: 
 
[ ]
161.0878.0033.2161.21
389.0558.1338.2558.1389.0
1234
1234
+−+−
+−+−
=
zzzz
zzzz
zH 
 
Tal como com o domínio s, o domínio z também pode ser expresso por pólos e 
zeros 
 
 [ ]
( )( )( )
( )( )( )...
...
321
321
pzpzpz
zzzzzz
zH
−−−
−−−
= 
 
 Exemplo de um filtro notch discreto. 
 
 
 5
 
 Para estes pólos e zeros a função de transferência pode ser escrita como: 
 
 ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )6364.06364.06364.06364.0
0707707.00707707.0
jzjz
jzjz
zH
−−+−
−−+−
= 
 
 Expandindo a função chega-se a: 
 
[ ]
2
2
1273.1810.0
1414.11
zz
zz
zH
+−
+−
= ou [ ]
1273.1810.0
1414.11
12
12
+−
+−
=
−−
−−
zz
zz
zH 
 
Sendo então o filtro recursivo: 
 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2810.01273.1211414.11 −−−+−+−−= nynynxnxnxny