1 Funcoes_vetoriais

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Cálculo 3: Funções Vetoriais
Prof. Angelo Aliano Filho
UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Primeiro semestre de 2021
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 1 / 42
Sumário
1 Funções vetoriais e curvas no espaço
2 Cálculo com funções vetoriais
3 Comprimento de arco
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 2 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
As referências para estas notas estão em [1], [2], [3] e [4]
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 3 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
Sumário
1 Funções vetoriais e curvas no espaço
2 Cálculo com funções vetoriais
3 Comprimento de arco
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 4 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
Funções vetoriais e curvas no espaço
Definição – função vetorial
Uma função vetorial, é uma função cujo domı́nio é um conjunto de
números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores. Estamos mais
interessados em funções vetoriais com imagem um subconjunto de R3.
Isso significa que para cada número no domı́nio de r, há um vetor único
em denotado por r(t) = (x(t), y(t), z(t)) onde x , y e z são as componen-
tes de r. O vetor r(t) pode ser escrito por:
r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, t ∈ R.
Obs.: dizemos que x(t), y(t) e z(t) são as equações paramétricas de r.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 5 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
Funções vetoriais e curvas no espaço
Exemplo: esboço de uma r(t)
Esboce o traço de r(t) =
(cos t , sin t , 2t), t ∈ R
Trata-se de uma hélice circular
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 6 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
Funções vetoriais e curvas no espaço
Exemplo: esboço de uma r(t)
Esboce o traço de r(t) =
(cos t , 2 sin t , 2t), t ∈ R
−2
0
2−2 −1
0
1
2
0
10
20
x
y
z
Trata-se de uma hélice eĺıptica
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 7 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
Funções vetoriais e curvas no espaço
Definição – domı́nio de uma função vetorial
O domı́nio D(r) de uma função vetorial r(t) é o conjunto de todos os
valores de t ∈ R tais que x , y e z existem.
Exemplo
Determine o domı́nio das seguintes funções vetoriais:
a) r(t) = (t3, ln(3− t),
√
t) b) r(t) = (ln |t − 1|,et ,
√
t − 1).
O esboço de uma r(t) é feito atribuindo-se valores para t e determinando-
se os vetores r(t) correspondentes.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 8 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
Funções vetoriais e curvas no espaço
Definição – domı́nio de uma função vetorial
O domı́nio D(r) de uma função vetorial r(t) é o conjunto de todos os
valores de t ∈ R tais que x , y e z existem.
Exemplo
Determine o domı́nio das seguintes funções vetoriais:
a) r(t) = (t3, ln(3− t),
√
t) b) r(t) = (ln |t − 1|,et ,
√
t − 1).
O esboço de uma r(t) é feito atribuindo-se valores para t e determinando-
se os vetores r(t) correspondentes.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 8 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
Funções vetoriais e curvas no espaço
Exemplo
Encontre a equação vetorial da curva em R3 que está na intersecção
de x2 + y2 = 1 e y + z = 2.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 9 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
Funções vetoriais e curvas no espaço
−1
0
1
−1 −0.5 0
0.5 1
0
2
4
x
y
z
Figura: Cilindro x2 + y2 = 1
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 10 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
Funções vetoriais e curvas no espaço
−1
0
1
−1 −0.5 0
0.5 1
0
2
4
x
y
z
Figura: Plano y + z = 2
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 11 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
Funções vetoriais e curvas no espaço
−1
0
1
−1 −0.5 0
0.5 1
0
2
4
x
y
z
Figura: Curva a ser parametrizada
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 12 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
Funções vetoriais e curvas no espaço
Forma vetorial de um segmento e reta
Sejam r0 e r1 dois vetores em R3.
A reta r de equação vetorial r(t) que contém r0 e r1 tem a forma:
r : r(t) = r0 + (r1 − r0)t , t ∈ R
O segmento s de equação vetorial s(t) que contém como
extremos r0 e r1 tem a forma:
s : s(t) = r0 + (r1 − r0)t , t ∈ [0, 1]
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 13 / 42
Funções vetoriais e curvas no espaço
Funções vetoriais e curvas no espaço
Exemplo
Esboce o traço de r(t) = (1− t , 3t , 2t) com t ∈ R.
Exemplo
Parametrize o segmento de extremos r0 = (2,−1, 3) e r1 = (4, 5, 8).
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 14 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Sumário
1 Funções vetoriais e curvas no espaço
2 Cálculo com funções vetoriais
3 Comprimento de arco
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 15 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Limite e continuidade
Seja r(t) uma função vetorial que é definida para todo t em algum
intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em a. Nós escre-
veremos
lim
t→a
r(t) = L
se, e somente se,
‖r(t)− L‖ = 0.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 16 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Teorema
Se r(t) = (x(t), y(t), z(t)) então:
lim
t→a
r(t) =
(
lim
t→a
x(t), lim
t→a
y(t), lim
t→a
z(t)
)
,
se o limite das componentes existem. Reciprocamente, se os limites
das componentes existem, então o limite da função vetorial também
existe.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 17 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Exemplo
Seja r(t) = (t2,et ,−2 cosπt). Calcule lim
t→0
r(t).
Definição – Continuidade
Dizemos que r(t) é cont́ınua em t = a se
lim
t→a
r(t) = r(a).
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 18 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Exemplo
Seja r(t) = (t2,et ,−2 cosπt). Calcule lim
t→0
r(t).
Definição – Continuidade
Dizemos que r(t) é cont́ınua em t = a se
lim
t→a
r(t) = r(a).
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 18 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Derivada de uma função vetorial
Se r(t) = (x(t), y(t), z(t)) é uma função vetorial, definimos como deri-
vada de r com respeito a t sendo a função vetorial r′ dada por:
r′(t) = lim
h→0
r(t + h)− r(t)
h
.
O domı́nio de r′ é o conjunto de valores reais de t para os quais o limite
acima existe.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 19 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Notação
A derivada de r(t) é indicada por:
d
dt
[r(t)],
dr
dt
, r′(t), r′.
Cuidado: r′(t) denota um vetor, não um número!
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 20 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
x
y
r(t 0
)
r(
t 0
+
h)
r(t0 +
h) −
r(t0 )
r′(t0)
r(t)
Figura: Interpretação geométrica de r′(t0)
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 21 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Figura: A medida que h → 0, o vetor secante se aproxima do tangente
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 22 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Interpretação geométrica de r′(t)
Suponha que C seja o gráfico de uma função vetorial r(t) em 2 ou 3
dimensões e que r′(t) 6= 0 e exista. Se o vetor r′(t) está posicionado
com o seu ponto inicial no ponto terminal do raio de r(t), então r′(t) é
tangente a C aponta na direção de crescimento do parâmetro.
r′(t)= v(t) é o vetor velocidade de um projétil no tempo t
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 23 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Interpretação geométrica de r′(t)
Suponha que C seja o gráfico de uma função vetorial r(t) em 2 ou 3
dimensões e que r′(t) 6= 0 e exista. Se o vetor r′(t) está posicionado
com o seu ponto inicial no ponto terminal do raio de r(t), então r′(t) é
tangente a C aponta na direção de crescimento do parâmetro.
r′(t) = v(t) é o vetor velocidade de um projétil no tempo t
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 23 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Teorema
Se r(t) é uma função vetorial, então r é diferenciável em t se, e somente
se, cada uma de suas funções componentes for diferenciável em t .
As componentes de r′(t) são as derivadas das funções componentes
correspondentes de r(t), isto é:
d
dt
[r(t)] =
(
d
dt
(x(t)),
d
dt
(y(t)),
d
dt
(z(t))
)
.
Velocidade escalar ou instantânea é definida por: v = ‖r′(t)‖
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 24 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Teorema
Se r(t) é uma função vetorial, então r é diferenciável em t se, e somente
se, cada uma de suas funções componentes for diferenciável em t .
As componentes de r′(t) são as derivadas das funções componentes
correspondentes de r(t), isto é:
d
dt
[r(t)] =
(
d
dt
(x(t)),
d
dt
(y(t)),
d
dt
(z(t))
)
.
Velocidade escalar ou instantânea é definida por: v = ‖r′(t)‖
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 24 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Exemplo
a) Seja r(t) = (1 + t3)i + te−t j + sin 2tk. Determine r′(t).
b) Determine o tangente unitário no ponto onde t = 0.
Exemplo
Determine as equações paramétricas da reta tangente à Hélice circu-
lar com equações paramétricas
x = 2 cos t , y = sin t , z = t
no ponto P = (0, 1, π/2).
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 25 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Exemplo
a) Seja r(t) = (1 + t3)i + te−t j + sin 2tk. Determine r′(t).
b) Determine o tangente unitário no ponto onde t = 0.
Exemplo
Determine as equações paramétricas da reta tangente à Hélice circu-
lar com equações paramétricas
x = 2 cos t , y = sin t , z = t
no ponto P = (0, 1, π/2).
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 25 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Teorema – Regras de Diferenciação
1 d
dt [u(t)± v(t)] = u′(t)± v′(t)
2 d
dt [ku] = ku
′(t)
3 d
dt [x(t)u(t)] = x
′(t)u(t) + x(t)u′(t)
4 d
dt [u(t) · v(t)] = u′(t) · v(t) + u(t) · v′(t)
5 d
dt [u(t)× v(t)] = u′(t)× v(t) + u(t)× v′(t)
6 d
dt [u(x(t))] = x
′(t)u′(x(t))
Exemplo
Prove que, se ‖r(t)‖ = c então r′(t) é ortogonal a r(t) para todo t .
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 26 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Teorema – Regras de Diferenciação
1 d
dt [u(t)± v(t)] = u′(t)± v′(t)
2 d
dt [ku] = ku
′(t)
3 d
dt [x(t)u(t)] = x
′(t)u(t) + x(t)u′(t)
4 d
dt [u(t) · v(t)] = u′(t) · v(t) + u(t) · v′(t)
5 d
dt [u(t)× v(t)] = u′(t)× v(t) + u(t)× v′(t)
6 d
dt [u(x(t))] = x
′(t)u′(x(t))
Exemplo
Prove que, se ‖r(t)‖ = c então r′(t) é ortogonal a r(t) para todo t .
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 26 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Definições: Tangente unitário
Seja r(t) uma curva regular. Então:
O vetor tangente unitário é definido por:
T(t) =
r′(t)
‖r′(t)‖
O vetor normal unitário é definido por:
N(t) =
T′(t)
‖T′(t)‖
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 27 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Velocidade e aceleração
Podemos escrever que
v(t) =
dr
dt
=
dr
ds
ds
dt
=
ds
dt
T(t)
pela regra da cadeia, onde s(t) denota a distância percorrida na
curva no instante t , a partir de algum referencial.
Por definição, o vetor aceleração é dado por
a(t) =
dv
dt
=
d2r
dt2
.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 28 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Definição – Integral de uma função vetorial
Definimos uma integral definida de uma função vetorial r(t) =
(x(t), y(t), z(t)) da seguinte forma:
∫ b
a
r(t) dt =
(∫ b
a
x(t) dt
)
i +
(∫ b
a
y(t) dt
)
j +
(∫ b
a
z(t) dt
)
k.
Pelo TFC (cálculo 1) podemos escrever que:
∫ b
a
r(t) dt = R(t)
∣∣∣
b
a
= R(b)− R(a).
Distância percorrida: s =
∫ b
a ‖r′(t)‖dt
Vetor deslocamento: ∆r =
∫ b
a r
′(t) dt
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 29 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Definição – Integral de uma função vetorial
Definimos uma integral definida de uma função vetorial r(t) =
(x(t), y(t), z(t)) da seguinte forma:
∫ b
a
r(t) dt =
(∫ b
a
x(t) dt
)
i +
(∫ b
a
y(t) dt
)
j +
(∫ b
a
z(t) dt
)
k.
Pelo TFC (cálculo 1) podemos escrever que:
∫ b
a
r(t) dt = R(t)
∣∣∣
b
a
= R(b)− R(a).
Distância percorrida: s =
∫ b
a ‖r′(t)‖dt
Vetor deslocamento: ∆r =
∫ b
a r
′(t) dt
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 29 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Exemplo
Se v(t) = (2 cos t)i + (sin t)j + (2t)k é o vetor velocidade de uma part́ıcula
no instante t , calcule o deslocamento no intervalo 0 ≤ t ≤ π/2.
Exemplo
Calcule r(t) sabendo-se que, r′(t) = (3, 2t) e r(1) = (2, 5).
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 30 / 42
Cálculo com funções vetoriais
Cálculo com funções vetoriais
Exemplo
Se v(t) = (2 cos t)i + (sin t)j + (2t)k é o vetor velocidade de uma part́ıcula
no instante t , calcule o deslocamento no intervalo 0 ≤ t ≤ π/2.
Exemplo
Calcule r(t) sabendo-se que, r′(t) = (3, 2t) e r(1) = (2, 5).
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 30 / 42
Comprimento de arco
Sumário
1 Funções vetoriais e curvas no espaço
2 Cálculo com funções vetoriais
3 Comprimento de arco
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 31 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Definição – Parametrizações regulares
Para eliminar o comportamento indesejado de algumas curvas, nós
diremos que uma curva r(t) é regular ou suave se r′(t) é cont́ınua e
r′(t) 6= 0, para todo t ∈ D(r). Geometricamente, isso significa que
uma curva suavemente parametrizada não tem mudanças abruptas
de direção.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 32 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Comprimento de arco do ponto de vista vetorial
Considere r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Então o comprimento de arco s da
curva r(t) com a ≤ t ≤ b é dado por:
s =
∫ b
a
√
(x ′(t))2 + (y ′(t))2 + (z ′(t))2 dt ,
ou de forma vetorial,
s =
∫ b
a
‖r′(t)‖ dt
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 33 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Demonstração:
Considere uma partição no intervalo [a,b] de modo que ∆t = b−an .
Esta partição induz uma partição na curva. Seja si o i-ésimo arco
determinado na curva pelo subintervalo [ti , ti+1], i = 0, 1, ...,n − 1
aplicado em r(t).
Seja Pi = (x(ti), y(ti)) e Pi+1 = (x(ti+1), y(ti+1)) dois pontos extremos
do arco si
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 34 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Demonstração:
Considere uma partição no intervalo [a,b] de modo que ∆t = b−an .
Esta partição induz uma partição na curva. Seja si o i-ésimo arco
determinado na curva pelo subintervalo [ti , ti+1], i = 0, 1, ...,n − 1
aplicado em r(t).
Seja Pi = (x(ti), y(ti)) e Pi+1 = (x(ti+1), y(ti+1)) dois pontos extremos
do arco si
Aliano, A. F. (UTFPR)Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 34 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Demonstração:
Considere uma partição no intervalo [a,b] de modo que ∆t = b−an .
Esta partição induz uma partição na curva. Seja si o i-ésimo arco
determinado na curva pelo subintervalo [ti , ti+1], i = 0, 1, ...,n − 1
aplicado em r(t).
Seja Pi = (x(ti), y(ti)) e Pi+1 = (x(ti+1), y(ti+1)) dois pontos extremos
do arco si
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 34 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
x
y
r(t)
t
a b
Figura: Partição no intervalo induzindo uma partição na curva
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 35 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Demonstração:
Vamos olhar apenas para o arco si e estimar seu comprimento.
Primeiramente observamos que:
PiPi+1 = Pi+1 − Pi
= (x(ti+1)− x(ti), y(ti+1)− y(ti))
=
(
x ′(t∗i )(ti+1 − ti), y ′(t̃i)(ti+1 − ti)
)
=
(
x ′(t∗i ), y
′(t̃i)
)
∆t
≈ (x ′(t∗i ), y ′(t∗i )) ∆t ,
onde t∗i , t̃i ∈ [ti , ti+1] e na terceira linha usamos o Teorema do Valor
Médio.
Assim, podemos dizer que:
arco(PiPi+1) ≈ PiPi+1 ≈ r(t∗i )∆t
e a aproximação melhora quando ∆t → 0 ou n→∞.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 36 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Demonstração:
Vamos olhar apenas para o arco si e estimar seu comprimento.
Primeiramente observamos que:
PiPi+1 = Pi+1 − Pi
= (x(ti+1)− x(ti), y(ti+1)− y(ti))
=
(
x ′(t∗i )(ti+1 − ti), y ′(t̃i)(ti+1 − ti)
)
=
(
x ′(t∗i ), y
′(t̃i)
)
∆t
≈ (x ′(t∗i ), y ′(t∗i )) ∆t ,
onde t∗i , t̃i ∈ [ti , ti+1] e na terceira linha usamos o Teorema do Valor
Médio.
Assim, podemos dizer que:
arco(PiPi+1) ≈ PiPi+1 ≈ r(t∗i )∆t
e a aproximação melhora quando ∆t → 0 ou n→∞.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 36 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Veja a ideia por trás disso:
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 37 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Note que o arco si pode ser estimado pelo vetor tangente em cada
ponto multiplicado pela variação ∆t .
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 38 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Demonstração:
Somando os comprimentos do vetor tangente em cada ponto do
subintervalo multiplicado por ∆t e tomando o limite, teremos que:
s = lim
n→∞
n−1∑
i=0
‖r(t∗i )∆t‖
= lim
n→∞
n−1∑
i=0
‖r(t∗i )‖∆t
=
∫ b
a
‖r(t∗i )‖ dt
como queŕıamos. O caso para três dimensões é similar.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 39 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Exemplo
Seja r(t) = (cos t , sin t , t), t ∈ R a hélice circular. Calcule seu compri-
mento de P = (1, 0, 0) a Q = (1, 0, 2π).
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 40 / 42
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Exemplo
Seja r(t) = (t − sin t , 1− cos t), 0 ≤ t ≤ 2π. Esta curva é conhecida como
ciclóide. Calcule seu comprimento.
Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 41 / 42
Comprimento de arco
Referências I
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Aliano, A. F. (UTFPR) Cálculo 3 Primeiro semestre de 2021 42 / 42
	Funções vetoriais e curvas no espaço
	Cálculo com funções vetoriais
	Comprimento de arco
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