TRABALHO DE CALCULO NUMERICO

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SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO	2
METODO DA FALSA POSIÇÃO (MFP) OU METODO DA SECANTE	3
MÉTODO DA INTERAÇÃO LINEAR (MIL)	4
POLINOMIO INTERPOLADOR – METODO DE NEWTON	4
TEOREMA DE BOLZANO	5
METODO DE NEWTON – RAPHSON OU METODO DAS TANGENTES	5
METODO DA BISSEÇÃO	6
LISTA 1 DE CÁLCULO NÚMERICO	8
LISTA 2 DE CALCULO NUMÉRICO	12
REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA	20
INTRODUÇÃO 
O Calculo numérico compreende:
1. A analise de processos que resolvem problemas matemáticos por meio de operações aritméticas;
2. O desenvolvimento de uma sequencia de operações aritméticas que levam às respostas numéricas desejadas ( Desenvolvimento de Algoritmos)
3. O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica em escrever o método numérico como um programa de computador 
Fontes de erros
Erros de resolução 
1. Precisão dos dados de entrada;
2. Forma como os dados são armazenados; 
3. Operações numéricas efetuadas; 
4. Erro de truncamento ( troca de uma serie infinita por uma serie finita).
Representação Numérica 
O conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto, discreto, ou seja, não é possível representar em uma máquina todos os números de um dado intervalo (a,b). A Representação de um numero depende da BASE escolhida e do número máximo de dígitos usados na sua representação. 
Qualbase utilizamos hoje? 
Base decimal (utiliza-se os algarismo : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9)
A maioria dos computadores usa a base binaria, onde se utiliza os algarismos 0 e 1 
Exemplo: Represente o numero 1100 numa base β=2
(1100)2 = 1.23 + 1.22 + 0.21 + 0.20 = (12)10
Conversão entre bases 
Conforme dito anteriormente , a maioria dos computadores trabalham na base β, onde β é um inteiro ≤ 2; normalmente escolhido como uma potencia de 2
Binário para decimal 
(1101)2 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 = 13 (1101)2 = (13)10 
Decimal para binário 
Na conversão de um numero escrito em base decimal para uma base binaria são utilizadas: o método das divisões sucessivas para a parte inteira e o método das multiplicações sucessivas para a conversão da parte fracionaria do numero em questão. 
Metodo das multiplicações sucessivas
1. Multiplica-se o número (fracionario) por 2 
2. Do resultado, a parte inteira será o primeiro digito do numero na base binaria, e a parte fracionaria é novamente multiplicada por 2.
Método das divisões sucessivas (parte inteira n°)
1. Divida-se o numero inteiro por 2 
2. Divida-se por 2, o quociente da divisão anterior 
3. Repete-se o processo até o ultimo quociente ser igual a 1.
O número binário é então formada pela do ultimo quociente com os restos das divisões, tidos em sentido inverso.
Exemplo: (13,25)10 = (?)2 
13│2 0,25.2 = 0,50 (1101,01)10 
 1 6│2 0,50.2 = 1,00
 0 3│2
 1 1│2
 1 
METODO DA FALSA POSIÇÃO (MFP) OU METODO DA SECANTE 
Seja f(x) uma função comtinua no intervalo (a,b) e seja E, E(a,b) tal que f(ę) = 0 
Então, por indução temos: 
Xn = a – (b-a) .f(a) 
 f(b) – f(a)
Para n = 1, 2, 3...
Se a f(a) . f(xn) < 0 entao temos b = xn, senão a = xn 
Critério de parada
│xn – xn - 1│ ≤ erro (xo = a ou xo = b)
Restrição: 
É necessário conhecer um intervalo que contenha o valor desejado do ę (erro) 
MÉTODO DA INTERAÇÃO LINEAR (MIL)
F(x) = 0 [ y = x ]
 [ y = g(x)] 
Onde g(x) é chamada de função de interação linear. 
Algoritimo: 
Xn = g(xn – 1) para n = 1, 2, 3...
Critério de parada 
│xn – xn-1) ≤ erro 
Melhor extremo 
Empiricamente, sabe-se que o método tem sucesso quando │g’(x) │< 1 em todo intervalo. 
O extremo mais rápido para iniciar o método é aquele para o qual o módulo da 1° derivada é menor
Se │g’(a) │< │g’ (b) │ então xo = a, senão xo = b
POLINOMIO INTERPOLADOR – METODO DE NEWTON 
Sejam pontos base 
	Xi
	Xo
	X1
	X2
	.......
	xn
	Yi f(x)
	Yo
	Y1
	Y2
	.......
	yn
O polinômio de Newton de grau n é dado por: 
Pn(x) = Δ0 yo + Δ1 yo (x – xo) + Δ2 yo (x – xo) . (x – x1) + ..... + Δn yo (x – xo) . (x – x1) ... (x-xn-1)
Onde Δk yo = [xo, x1, x2, ..... xk] são operadores de diferença divididas de ordem k entre os pontos base.
Operador de diferença dividida seja a função y = f(x) que passa pelos pontos (xi, yi), i= 0, 1, 2, ...., n. O operador de diferença dividida Δ é definida como sendo. 
· Ordem 0: Δ0 yi = yi = [xi]
· Ordem 1: Δ1 yi = Δ0 y1 – Δ0 yi =[ xi, xi + 1]
· Ordem n: Δn yi = Δn+1 y1 + 1 – Δ1 yi = [ xi, xi + 1..., xi + n]
 xi + n - xi 
TEOREMA DE BOLZANO 
Seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b] e assume valores de sinais opostos nos extremos deste intervalo, isto é f(a) . f(b) < 0, então existe pelo menos uma raiz real de f(x), (x = ę), no intervalo [a,b].
· f continua em [a,b]
· f(a) e f(b) com os sinais contrários 
· f tem uma raiz em [a,b]
METODO DE NEWTON – RAPHSON OU METODO DAS TANGENTES 
É um método para encontramos raízes de uma função 
Caso geral:
Xn + 1 = xn . f(xn+) 
 f’(xn) 
Criterio de Parada: 
│Xn+1 – xn │< ę sendo ę um valor pré estabelecido para a precisão 
Devido a sua interpretação geométrica, o método de newton também é conhecido como método das tangentes. 
METODO DA BISSEÇÃO 
É um método numérico usado para encontrar raízes de uma função. 
Se f(a) . f(b) < 0, então existe pelo menos uma raiz em [a,b].
Como funciona? 
___________________________ x1 = a + b 
a x1 b 2
 
___________________________ x2 = a + b 
a x1 b 2
f(a) . f(x2) < 0
 > 0
 b a
__________________________ __________________________ 
 a x1 x2 x2 b
Quantas interações faremos? 
O intervalo [a,b] vai começar a converge para a raiz, mas com uma certa tolerância ou erro. Vamos chamar esse erro E 
 Número de Interações
n > log (b - a) – log E 
 log 2 
Quando calcular a função trigonométrica na calculadora mudar para radiano.
LISTA 1 DE CÁLCULO NÚMERICO 
Questão 1: Representar na base binária os seguintes números decimais:
a) 13 
b) 29.75 
c) 17.6 
Questão 2: Considere os números x= 12.4, y = 4.18 e z = 6.05, na base decimal, 3 dígitos e arredondamento em todas as operações. Calcule:
a) (x+y)+z; x+(y+z) 
 b) (x-y)-z; x-(y+z)
Questão 3: Estimar o valor da √3, com erro de 0, 01, usando o método
de Newton-Raphson (NR) ou método das Tangentes. Todos os
cálculos devem ser realizados com 6 casas decimais com arredondamento.
Questão 4: Calcular a raiz positiva da equação f(x) = 2x-senx-4, com
erro ≤ 10-3, usando o m´método de Newton-Raphson (NR) ou m´método
das Tangentes. Considere ξ ∈ [2, 3] e com x0 = 3. Todos os cálculos devem
ser realizados com 4 casas decimais com arredondamento.
Questão 5: Obter a raiz cúbica de 5, usando o m´método de NewtonRaphson (NR) ou método das Tangentes sendo o erro 10-3. Todos os
cálculos devem ser realizados com 4 casas decimais com arredondamento.
Questão 6: Seja a função f(x) = senx - tgx. Deseja-se saber uma
das raízes desta função usando o m´método de Newton-Raphson (NR) ou
m´método das Tangentes, sabendo-se que está no intervalo [3,4]. Todos os cálculos devem ser realizados com 4 casas decimais com arredondamento e
erro não superior a 0,01.
Questão 7: Calcular a raiz da funcão f (x) = x2+x-6 usando o m´método
das Secantes (MS), sendo x0 = 1, 5 e x1 = 1, 7 e o erro ≤ 10-2. Os cálculos
devem conter atéa 4a casa decimal com arredondamento.
Questão 8: Calcular a raiz da função f (x) = 3x-cosx usando o método
das Secantes (MS), sendo x0 = 0 e x1 = 0; 5 e o erro ≤10-4. Todos os
cálculos devem ser realizados com 5 casas decimais com arredondamento.
Questão 9: Calcular a raiz da fun¸c˜ao f (x) = x3 - 4 usando o m´método
das Secantes (MS), sendo x0 = 1 e x1 = 2 e o erro ≤ 0,05. Todos os
cálculos devem ser realizados com 4 casas decimais com arredondamento.
LISTA 2 DE CALCULO NUMÉRICO
Questão 1: Encontrar pelo Método da Bissecção (MB) a raiz da
função f(x) = x.ln(x) - 3, 2 contida no intervalo [2, 3], com erro ε ≤ 10-2 .
Considere 6 casas decimais com arredondamento.
Questão 2: Encontrar pelo Método da Bissecção (MB) a raiz de
f(x) = x2 - 3, contida no intervalo [1; 2], com erro ε ≤ 10-2 .Considere 6
casas decimais com arredondamento.
Questão 3: Encontrar pelo Método da Bissecção (MB) a raiz da
função f(x) = x2 + ln(x) contida no intervalo [0.5, 1], com erro ε ≤ 10-2 .
Considere 5 casas decimais com arredondamento.
Questão 4: Encontrar pelo Método da Bissecção (MB) a primeira
raiz positiva da função f(x) = e-x - sen(x), com erro ε ≤ 10-2. Considere
5 casas decimais com arredondamento.
Questão 5: Determinar pelo Método da falsa posição (MFP) a
menor raiz positiva da função de quarto grau f(x) = x4 - 26x2 + 24x + 21
contida no intervalo [1,2] até que o erro absoluto seja igual ou inferior a 0.01.
Os cálculos devem ser efetuados com 2 casas decimais e com arredondamento.
Questão 6: Calcular pelo Método da falsa posição (MFP) a raiz
negativa para a função f(x) = eX + x, com o ε ≤ 0.01. Sabe-se que a raiz
está contida no intervalo [-1, 0]. Os cálculos devem ser efetuados com 4 casas
decimais e com arredondamento.
Questão 7: Encontre um polinômio interpolado de grau 2 na forma na
forma de Newton para a tabela 1 abaixo:
Tabela 1: Polinômio de 2° grau
Questão 8: A tabela 2 mostra o número de bactérias, por unidade de
volume, existente em uma cultura após x horas. Observa-se que xi representa
o número de horas e f(xi) representa o número de bactérias por volume
unitário. Considere 3 casas decimais com arredondamento.,
a) Calcule P2(x) (Interpolação Quadrática) utilizando o Polinômio de
Newton por diferenças divididas (DN).
b) Determine P2(3).
Quest˜ao 9: Dada a função f(x) = x2 + 3x - 40, obter sua raiz contida
no intervalo [4, 5; 5, 5], pelo MIL, com erro ≤ 10-4 . Utilize g(x) = √40 - 3x.
REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICA
Caderno da disciplina de cálculo numérico da professora Juliana Cunha 
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