E1_FUUV

Prévia do material em texto

FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL
E-book 1
Carla Vital
Neste E-Book:
INTRODUÇÃO ���������������������������������������������� 3
NÚMEROS REAIS ���������������������������������������� 5
CONJUNTOS NUMÉRICOS ����������������������� 8
DESIGUALDADES �������������������������������������20
Igualdade ��������������������������������������������������������������� 20
Desigualdade ��������������������������������������������������������� 21
Propriedades ��������������������������������������������������������� 22
INTERVALOS ���������������������������������������������� 25
Intervalo aberto de extremos ������������������������������� 25
Intervalo fechado de extremos ���������������������������� 26
Intervalo fechado à esquerda, ou aberto à 
direita ou semiaberto �������������������������������������������� 26
Intervalo fechado a direita, ou aberto à 
esquerda ���������������������������������������������������������������� 27
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL ��������29
PLANO CARTESIANO �������������������������������31
CONSIDERAÇÕES FINAIS ���������������������� 35
SÍNTESE �������������������������������������������������������37
2
INTRODUÇÃO
Nesta disciplina, iremos estudar de maneira mais 
profunda as funções de uma variável, também co-
nhecidas como função afim ou função do primeiro 
grau; este é um conteúdo já visto na educação básica, 
mas é retomado no ensino superior, pois é uma base 
importante para diversos conteúdos, por exemplo, 
Cálculo Diferencial e Integral, por isso, é essencial 
que se tenha domínio do mesmo�
Dessa forma, nesta primeira unidade, serão revisados 
conceitos básicos de matemática� São eles:
 ● Números reais;
 ● Conjuntos numéricos;
 ● Desigualdades;
 ● Intervalos;
 ● Módulo de um número real;
 ● Plano cartesiano�
Como citado, são conteúdos que já foram estudados 
na educação básica, porém é importante que estas 
concepções básicas estejam claras e concisas, pois 
são essenciais para disciplinas mais avançadas� Os 
conceitos de números reais e conjuntos numéricos 
são importantes para qualquer conteúdo matemá-
tico� Já as desigualdades, intervalos numéricos e 
módulo de um número real são específicos, principal-
3
mente para os estudos de funções – posteriormente, 
iremos nos aprofundar nesse assunto. E, finalmente, 
o estudo do plano cartesiano compreende diversas 
aplicações tanto cotidianas quanto para princípios 
avançados de matemática, essencialmente para o 
estudo de Cálculo Diferencial e Integral�
4
NÚMEROS REAIS
Neste tópico são apresentados exemplos e uma de-
finição geral sobre os números racionais. Eles estão 
presentes em tudo o que fazemos, desde o salário, 
pagamento de contas, cálculos matemáticos, etc�
Podcast 1 
Os números, assim como a matemática no geral, sur-
giram de uma necessidade; a matemática mais antiga 
veio “dos primeiros esforços do homem para siste-
matizar os conceitos de grandeza, forma e número, 
é por aí que começaremos, focalizando, de início, o 
surgimento no homem primitivo do conceito de nú-
mero e do processo de contar”� (EVES, 2011, p� 25)
O conceito de números surgiu através da deficiência 
em se quantificar as mais diversas coisas; como 
animais, comida, pessoas, etc�, mesmo que ainda 
não houvesse essa formalização sobre os números, 
os humanos tinham a ideia de mais e menos, pois 
é provado cientificamente que os animais possuem 
esse conhecimento (EVES, 2011)� Inicialmente, o 
conceito de contagem era feito por meio de corres-
pondências, por exemplo, para contar a quantidade 
de animais, poderia se fazer ranhuras em uma pedra 
para cada animal, nós em uma corda, ou até mesmo 
fazer a equivalência com pedras ou ossos, cada peça 
correspondendo a um animal�
5
https://famonline.instructure.com/files/132537/download?download_frd=1
Dessa maneira, eles tinham um controle dos ani-
mais que estavam pastando. Crê-se que eles faziam 
o controle da seguinte maneira: o total de animais 
correspondia ao total de pedras dentro de um saco, 
quando um animal saía para pastar, tirava-se uma 
pedra do saco; se ele voltasse, a pedra era devolvida 
para o saco� Porém, se o animal não voltasse, a pedra 
era descartada, o que significava que o animal tinha 
fugido, perdeu-se ou fora comido por outro animal�
A partir disso, o homem precisava controlar melhor 
as quantidades de tudo o que possuía� Por exemplo, 
para conferir o número total de animais, ele sempre 
teria de conferir a quantidade de pedras com a quan-
tidade do que ele queria contar, isso levava muito 
tempo, além de ter que guardar as pedras� Caso elas 
fossem perdidas, não teriam como conferir� Assim, 
acredita-se que posteriormente foi desenvolvido, 
um arranjo de sons vocais para registrar ver-
balmente o número de objetos de um grupo 
pequeno. E mais tarde ainda, com o aprimo-
ramento da escrita, foram surgindo arranjos 
de símbolos para representar esses números. 
Esse desenvolvimento hipotético encontra 
respaldo em relatórios de antropólogos que 
estudaram povos primitivos em nossa época. 
(EVES, 2011, p. 26)
Portanto, a origem da palavra “cálculo” vem desses 
princípios utilizados pelo homem para contar com 
6
contas ou pedras, originalmente em latim, “calculus” 
que significa conta ou pedrinha.
SAIBA MAIS
Você sabia que o termo “cálculo renal” é origi-
nário também de “calculus”? É o diminutivo de 
“calx”, que quer dizer pedra, assim, “cálculo renal” 
refere-se a uma pedrinha no rim formada pelo 
acúmulo de minerais�
Agora, podemos partir para a definição matemática 
a respeito dos números reais� De maneira generali-
zada, o conjunto dos números reais é definido como 
a união dos números racionais com o dos números 
irracionais, ou seja, por todos os números existentes 
na reta numérica real, por exemplo:
 ● : número irracional definido pela razão entre o 
cumprimento de uma circunferência e seu diâmetro;
 ● : frações;
 ● : é comum que este é um número irracional, pois 
não pode ser escrito na forma de fração;
 ● : números que possuem casas decimais, etc�
7
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Nesta seção, você irá se familiarizar com os conjun-
tos numéricos existentes: o dos números reais, for-
mado por dois subconjuntos: conjunto dos números 
irracionais e o conjunto dos números racionais, que, 
por sua vez, contêm o conjunto dos números inteiros 
e o conjunto dos números naturais�
Apesar de não haver uma definição exata em matemáti-
ca, conjuntos representam uma coleção de elementos� 
Georg Cantor foi quem desenvolveu a teoria dos con-
juntos, por volta do final do século 19. O matemático 
chegou a este objeto de estudo após investigar sobre 
o conceito de infinito, concluindo que o tamanho de 
alguns infinitos pode ser maior do que outros, ou seja, 
há infinitos maiores que outros – o que ele chamou de 
teoria dos números transfinitos. (EVES, 2011)
Utilizando o conceito de conjuntos, mais especifi-
camente no caso dos números, podemos dizer que 
conjuntos numéricos seriam uma coleção de núme-
ros� A seguir, estudaremos mais detalhadamente os 
principais conjuntos numéricos�
A teoria dos conjuntos influenciou praticamente to-
dos os campos da matemática, por isso é importante 
trazê-las neste contexto para que você se familiarize 
melhor sobre a história da matemática� Como já ob-
servado, os números surgiram a partir de uma neces-
sidade; da mesma forma os conjuntos numéricos�
8
Os números reais (ℝ ) são definidos como todos os 
números; matematicamente o conceituamos como 
o conjunto numérico formado pela soma do conjunto 
dos números racionais ( ) com o conjunto dos nú-
meros irracionais ( )� Ou seja, são representados 
pelos números que podem ser escritos em forma de 
fração e corresponde aos números que não podem 
ser escritos em forma de fração; são números deci-
mais, infinitos e não periódicos. Formalmente, temos 
as seguintes definições:
1. Inicialmente verificaremos os conjuntos que for-
mam os números racionais e, em seguida, defini-lo: 
1.1 Números naturais: esses são os números que 
não são decimais, ou seja, os números quesão in-
teiros; mas para este conjunto há uma condição, são 
números não negativos� Podemos representá-los da 
seguinte maneira:
Podemos representá-los dessa forma na reta 
numérica:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Figura 1: Conjunto dos Números Naturais. Fonte: infoescola
FIQUE ATENTO
Os números naturais são infinitos.
9
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais
1.2 Números inteiros: este conjunto é representado 
por todos os números que não são decimais, ou seja, 
todos os números inteiros, tanto positivos quanto 
negativos� Podemos representá-los:
Podemos representá-los da seguinte forma na reta 
numérica:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Figura 2: Conjunto dos Números Inteiros. Fonte: infoescola
REFLITA
Qual é a relação entre o conjunto dos números 
inteiros e dos números naturais?
Note que o conjunto dos números naturais repre-
senta um subconjunto dos números inteiros, pois 
os números inteiros compreendem tanto os posi-
tivos quanto os números negativos� Os números 
naturais são infinitos, logo, o conjunto dos intei-
ros também é infinito, porém é um infinito maior 
que o dos números inteiros�
1.3 Números racionais: como já foram apresentados 
os subconjuntos dos números racionais podemos, 
finalmente, apresentar sua definição:
10
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais
,
dessa forma, o valor de b precisa ser de 0, pois 
pela definição de fração o seu denominador não 
pode ser zero porque qualquer número divido por 
0 é igual a zero, assim não representa uma fração� 
Ainda no conjunto dos racionais, podemos definir 3 
subconjuntos: 
1) + = conjunto dos racionais não negativos,
2) - = conjunto dos racionais não positivos e
3) * = conjunto dos racionais não nulos� 
Essa mesma simbologia vale para os outros 
conjuntos;
Podemos mostrar alguns exemplos de números 
racionais
,
Já reta numérica, temos:
0-1 1/2 1 21,8-2,5-3
Figura 3: Conjunto dos Números Racionais. Fonte: infoescola
2. Números irracionais: , de maneira 
simplificada é o conjunto dos números reais menos 
os números racionais, ou seja, aqueles que não po-
dem ser escritos na forma de fração, como dízimas 
11
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais
não periódicas ou números que possuem infinitas 
casas decimais�
Por exemplo:
Assim, podemos concluir a respeito dos números 
inteiros:
3. Números reais: lê-se conjunto dos 
números inteiros é igual a união do conjunto dos 
números racionais com o conjunto dos números 
irracionais�
FIQUE ATENTO
Os números reais representam todos os números 
existentes na reta numérica�
4. Números complexos
Além desses conjuntos, há outro que se chama nú-
meros complexos, representado por , apesar de 
ele estar contido no conjunto dos números reais, 
ele possui uma definição um pouco diferente dos 
demais� Ele é composto por uma parte real e uma 
parte imaginária, a qual denominaremos � A parte 
imaginária, é definida como a raiz quadrada de -1, 
ou seja:
,
para fins de cálculos matemáticos, usa-se muito a 
multiplicação 
12
Todo número complexo obedece a seguinte forma 
geral tal que,
Os números complexos podem ser escritos como pa-
res ordenados em que representa a parte real 
e a parte imaginária� A sua origem deve-se ao fato 
da necessidade de usar as raízes quadradas de núme-
ros negativos em cálculos matemáticos avançados� 
No século 16, Raphael Bombeli foi quem trouxe, ini-
cialmente, a definição de � Ele criou as expressões 
e , denominando-as respectivamente “più di meno” 
e “meno di meno”, o que o levou a criar a regra do 
produto como descrito abaixo (VIEIRA, 1999, p. 24):
Più via più di meno fa più di meno
Meno via più di meno fa meno di 
meno
Più via meno di meno fa meno di 
meno
Meno via meno de meno fa più di 
meno 
Più di meno via più di meno fa 
meno
Meno di meno via più di meno fa più
Meno di meno via meno di meno fa 
meno
13
Alguns exemplos de número complexos:
4.1 Operações com números complexos
As operações com os números complexos são di-
ferentes das realizadas com os números reais, pois 
eles possuem a parte imaginária e a parte real� Para 
soma e subtração é permitido fazer operações ape-
nas entre as partes semelhantes, ou seja, pode ope-
rar-se a parte imaginária de um número apenas com 
a parte imaginária de outro, assim como a parte real 
que só pode operar com a parte real de outro número� 
Estudaremos, mais detalhadamente, que a multipli-
cação e a divisão obedecem a regras diferentes�
4.1.1 Adição de Números Complexos
Considere dois números imaginários:
Algebricamente, ao somar com , temos:
Por exemplo, se e , teremos:
14
4.1.2 Subtração de Números Complexos
A soma obedece ao mesmo princípio da subtração, 
porém altera-se o sinal operador� Considere dois nú-
meros imaginários:
Algebricamente, ao subtrairmos menos , temos:
Se pegarmos os mesmos números do exemplo da 
soma em que e , teremos:
4.1.3 Multiplicação de Números Complexos
Já a multiplicação obedece à propriedade distribu-
tiva� Observe:
Algebricamente, ao multiplicarmos por , aplican-
do a propriedade distributiva teremos:
como , temos:
, separando a parte real da imagi-
nária, finalmente temos:
15
Levando em consideração os mesmos números do 
exemplo da soma em que e , 
multiplicando-os teremos:
Aplicando a relação encontra acima, temos,
Ou podemos multiplicar, aplicando a propriedade 
distributiva diretamente, o que nos dará o mesmo 
resultado, observe:
como 
4.1.4 Divisão de Números Complexos
Para efetuar divisão de números complexos, pode-
mos pegar a multiplicação para facilitar os cálculos� 
Tomando 3 números complexos, , e tal que
Assim é possível inferir que , utilizando o 
princípio multiplicativo, teremos
16
Os números complexos obedecem à seguinte equi-
valência quando são iguais, as partes reais preci-
sam ser iguais, assim como as partes complexas 
também; dessa forma, teremos o seguinte sistema 
de equações:
, isolando na primeira equação 
, substituindo na da segunda equação 
𝑑𝑑 ∗ 𝑎𝑎+𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐 + 𝑐𝑐𝑑𝑑 = 	𝑏𝑏 ∴
𝑎𝑎𝑑𝑑+𝑑𝑑2𝑑𝑑
𝑐𝑐 +
𝑐𝑐2𝑑𝑑
𝑐𝑐 = 	
𝑏𝑏𝑐𝑐
𝑐𝑐 ∴
 , isolando 
Agora que temos o valor de podemos substituir 
em :
17
Somando os termos semelhantes, que estão em ver-
melho, e colocando c em evidência no numerador, 
teremos:
Tomando um exemplo de divisão de números com-
plexos, podemos pensar de maneira um pouco dife-
rente do que foi demonstrado; lembre-se da raciona-
lização, processo de eliminar a raiz de uma fração�
Escrevendo em forma de fração: � Multiplicando 
o numerador e o denominador por i, a fim de elimi-
narmos a raiz do denominador teremos:
Note que todos os números são complexos, por 
exemplo, 5 pode ser escrito da seguinte maneira 
, ou seja, a sua parte imaginária é zero� 
Agora que finalizamos os conjuntos numéricos, ob-
serve a formação do conjunto dos números com-
18
plexos� É formado pelos reais; é formado pela união 
do conjunto dos números irracionais com o dos ra-
cionais, que compreende o conjunto dos números 
inteiros, que possui um subconjunto, os números 
naturais, e o conjunto dos números� Dessa forma, 
podemos concluir que , lembre-se que 
�
R
C
I
N Z Q
Figura 4: Conjunto Numéricos. Fonte: brasilescola
A origem de alguns conjuntos é conhecida; os núme-
ros naturais, por exemplo, surgiram devido à ânsia 
de se fazer cálculos� Era necessário representar os 
ganhos e perdas de maneira diferente, daí surgiram 
os números positivos e negativos� Já os números 
racionais emergiram para representar as “partes” 
de um todo, já que as operações poderiam resultar 
em números decimais� Já o conjunto dos números 
reais surgiu a partir da necessidade de formalizar e 
denominar a união dos conjuntos�
19
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-complexos.htm
DESIGUALDADES
Aqui você aprenderá a diferenciar uma igualdade 
de uma desigualdade, bem como descobrirá que 
as desigualdades possuem algumas propriedades 
interessantes� Este conceito será importante para o 
estudo de funções�Igualdade
Igualdade é um termo comumente utilizado no co-
tidiano, mas nem sempre é formalizado; este con-
ceito define equivalência entre duas expressões ou 
termos� Por exemplo, as equações são exemplos de 
igualdades:
Ao resolver esta equação, temos: 
Observe que, se substituirmos o valor de x antes do 
símbolo igual, teremos: , agora 
vamos resolver o outro lado da igualdade para ver se 
eles são iguais: 
�Observe que ambos os lados são iguais, por isso, 
damos o nome de igualdade�
20
Desigualdade
Podcast 2 
A desigualdade talvez não seja algo tão comum no 
quotidiano, mas matematicamente é algo muito pre-
sente em diversos tipos de problemas� Ela é utilizada 
para determinar uma relação entre duas expressões 
ou termos, e pode ser determinada utilizando os se-
guintes símbolos:
 ● : lê-se menor que, indica que o termo antes da 
desigualdade é menor que o elemento posterior a ela;
 ● : lê-se menor ou igual que, indica que o termo 
antes da desigualdade é menor ou igual ao elemento 
posterior a ela;
 ● : lê-se maior que, indica que o termo antes da 
desigualdade é maior que o elemento posterior a ela;
 ● : lê-se maior ou igual que, indica que o termo 
antes da desigualdade é maior ou igual ao elemento 
posterior a ela;
Um exemplo interessante em que as desigualdades 
são bastante utilizadas é nas inequações; observe:
A o r e s o l v e r e s t a i n e q u a ç ã o , t e m o s : 
� Assim, po-
demos determinar o conjunto solução desta desigual-
dade como sendo os números maiores ou iguais a 3.
21
https://famonline.instructure.com/files/132538/download?download_frd=1
Ao pegarmos um número aleatório qualquer, 
vamos observar se esta desigualdade é ver-
dadeira� Se escolhermos 7, que é um número 
maior ou igual a 3, substituindo em , temos: 
, note que o resul-
tado a que chegamos é verdadeiro, 13 é maior ou 
igual a 5; neste caso, é maior� 
Propriedades
A desigualdade e a igualdade têm as propriedades 
que servem para facilitar os cálculos� Podemos fa-
zer operações com ambos os lados; na igualdade, 
podemos fazer quaisquer operações, desde que a 
mesma operação seja realizada em ambos os termos 
da igualdade� Já na desigualdade, o fato de fazer as 
operações com os termos de um lado e do outro da 
desigualdade, obedece a mesma relação; porém, o 
sinal de desigualdade pode inverter, de acordo com 
a operação� Vamos observar mais detalhadamente 
as propriedades com as desigualdades:
a) Somar um mesmo número à ambos, os termos 
da desigualdade, não altera o seu sentido;
b) Subtrair um mesmo número à ambos, os termos 
da desigualdade, não altera o seu sentido;
c) Multiplicar por um número positivo, ambos os 
termos da desigualdade, não altera o seu sentido;
22
d) Multiplicar por um número negativo ambos, os 
termos da desigualdade, altera o seu sentido, ou 
seja, inverte o sinal de desigualdade�
Vamos a um exemplo prático com inequação�
Utilizando a propriedade a ou b, podemos somar ou 
subtrair quaisquer números em ambos os termos 
que ela não ira se alterar� Que tal somarmos 2?
Perceba que nada mudou� Agora, vamos multiplicar 
a inequação por (-1):
 de acordo com a propriedade d, a de-
sigualdade é invertida, ficando com a seguinte ine-
quação: 
Note que e são equivalentes, pois, 
escolhendo um número arbitrário que seja maior 
ou igual a dois, conforme o resultado acima, vamos 
verificar para ambas as desigualdades:
Se x = 5, temos
1. (verdade)
A g o r a , m u l t i p l i c a n d o p o r ( - 1 ) 
, chegando ao 
seguinte resultado:
2. (verdade)
23
Observe que para ambos os casos a desigualdade é 
satisfeita; portanto, guarde este conceito�
FIQUE ATENTO
Multiplicar uma desigualdade por um número ne-
gativo inverte o seu sentido, o que era menor que 
(<) passa a ser maior que (>), o que era maior que 
(>) passa a ser menor que (<), o que era menor ou 
igual que (≤) passa maior ou igual que (≥) e, final-
mente, o que era maior ou igual que (≥) passa a 
ser menor ou igual que (≤).
24
INTERVALOS
Nesta seção, serão apresentados os intervalos nu-
méricos� Podemos dizer que eles são pequenos 
conjuntos numéricos; estes são determinados por 
algumas condições� A partir dos números reais, po-
demos designar dois números e para definirmos 
conjuntos especiais, tal que é menor ou igual a 
, estes, por sua vez, recebem a denominação de 
intervalos� Apresentaremos os conceitos com base 
no que é explanado por Iezzi e Murakami (1997).
Os intervalos numéricos podem ser de diferentes 
tipos; são eles:
Intervalo aberto de extremos
Ele recebe este nome, pois os extremos não fa-
zem parte do intervalo� Por definição, temos: 
, ou seja, os valores maio-
res que e valores menores que �
Na reta numérica podemos representá-lo:
a b
Figura 5: Intervalo aberto de extremos. Fonte: Elaboração Própria.
Os números que fazem parte deste intervalo são os 
números entre e que estão representados com 
cor mais escura, e são representados por bolas 
abertas porque não fazem parte do intervalo�
25
Intervalo fechado de extremos
Ele recebe este nome, pois os extremos fa-
zem parte do intervalo� Por definição, temos: 
[𝑎𝑎, 𝑏𝑏]	 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ; 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏}, ou seja, os valores maio-
res ou iguais a e valores menores ou iguais a �
Na reta numérica podemos representá-lo:
a b
Figura 6: Intervalo aberto de extremos. Fonte: Elaboração Própria.
Os números que fazem parte deste intervalo são 
os números e e os números entre e , e 
são representados por bolas fechadas porque fazem 
parte do intervalo�
Intervalo fechado à esquerda, ou 
aberto à direita ou semiaberto
Definindo como a extremidade esquerda e como 
extremidade direita, ele recebe este nome, pois é 
fechado em e aberto em , por definição temos:
[𝑎𝑎, 𝑏𝑏[	= {𝑥𝑥 ∈ ℝ; 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑏𝑏} �
Na reta numérica podemos representa-lo:
a b
Figura 7: Intervalo fechado à esquerda. Fonte: Elaboração Própria.
26
Apenas pertence ao intervalo, sendo uma extre-
midade bola aberta�
Intervalo fechado a direita, ou 
aberto à esquerda
Definindo como a extremidade esquerda e como 
extremidade direita, ele recebe este nome, pois é 
aberto em e fechado em , por definição temos:
[𝑎𝑎, 𝑏𝑏[	= {𝑥𝑥 ∈ ℝ; 𝑎𝑎 < 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏} �
Na reta numérica podemos representá-lo:
a b
Figura 8: Intervalo fechado à direita. Fonte: Elaboração Própria.
Apenas pertence ao intervalo, sendo uma extre-
midade bola aberta�
Alguns exemplos de intervalos são:
a) [2, 5]
Este é um intervalo fechado; assim temos: 
[2,5] 	= {𝑥𝑥 ∈ ℝ; 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5 ,
b) ]-3,0[
Este é um intervalo aber to; assim temos: 
,
c) [1,3[
27
Este é um intervalo fechado à esquerda, ou 
semiaberto ou semifechado; assim temos:
	[1,3[	= {𝑥𝑥 ∈ ℝ; 1 ≤ 𝑥𝑥 < 3 } �
d) ]4,6]
Este é um intervalo fechado à direita, ou se-
miaber to ou semifechado; assim temos: 
[4,6[	= {𝑥𝑥 ∈ ℝ; 4 < 𝑥𝑥 ≤ 6 } �
Ainda, existem os intervalos infinitos. 
, é definido por todos os 
números reais menores que 
, é definido por todos os 
números reais menores ou iguais a 
, é definido por todos 
os números reais maiores que 
𝒊𝒊𝒗𝒗)	[𝒂𝒂,+∞[	= {𝒙𝒙 ∈ ℝ;𝒙𝒙 ≥ 𝒂𝒂} , é definido por todos 
os números reais maiores ou iguais a 
, é definido por todos os números 
reais�
, é o conjunto vazio e quando definido quanto 
intervalo é aberto e fechado�
Uma propriedade interessante dos intervalos é 
que se e pertencem a um intervalo I, o mes-
mo vale para quaisquer números que estejam 
dentro do intervalo, matematicamente temos: 
∀	𝑎𝑎,𝑏𝑏 ∈ 𝐼𝐼, 𝑎𝑎 ≤ 𝑐𝑐 ≤ 𝑏𝑏	 ⇒ 𝑐𝑐 ∈ 𝐼𝐼 �
28
MÓDULO DE UM 
NÚMERO REAL
Muitas vezes, precisamos calcular apenas distâncias, 
e nem sempre o sinal de um número é tão relevante, 
levando em consideração determinado problema� 
Nesta seção, iremos estudar como se dá a definição 
de módulo de um número real�
Em poucas palavras, podemos dizer que mó-
dulo de um número real é o seu valor absoluto� 
Historicamente, diz-se que este conceito surgiu quan-
do houve a necessidade de medir a distância de um 
númeronegativo até o zero. Em termos de distância, 
não faz sentido ter uma distância negativa; assim, 
o módulo de um número negativo foi criado para 
torná-lo positivo ou nulo� O módulo de um número 
também pode ser chamado de valor absoluto�
Por definição, temos:
1. Se o número for positivo, seu módulo será o pró-
prio número;
2. Se o número for negativo, seu módulo será o seu 
simétrico ou oposto, basta multiplicá-lo por -�
Ou seja,
−𝐱𝐱 = 	%
				𝑥𝑥, 𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥 > 0
	
	−𝑥𝑥, 𝑠𝑠𝑠𝑠	𝑥𝑥 < 0
29
Por definição, o módulo de zero é sempre zero, ou 
seja, 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎
Exemplos:
 ● | + 𝟒𝟒| 	 = 	𝟒𝟒
 ● −𝟒𝟒 = 	− −𝟒𝟒 = 𝟒𝟒
 ● −𝟒𝟒+ 𝟑𝟑 −𝟏𝟏 = −𝟏𝟏− 𝟏𝟏 = −𝟐𝟐 =	 − −𝟐𝟐 = 𝟐𝟐
 ● −𝟏𝟏 + 	 𝟒𝟒 − −𝟖𝟖 =	1	+	4	– 8	=	– 3
30
PLANO CARTESIANO
Nesta seção, serão apresentados os conceitos bási-
cos a respeito do plano cartesiano� Ele surgiu a partir 
na necessidade de se localizar pontos em um deter-
minado espaço� Essa ideia foi formalizada por René 
Descartes� Atualmente, este plano cartesiano é utiliza-
do em diversas áreas, como cartografia e matemática
O plano cartesiano é composto por dois eixos: um 
horizontal chamado de eixo , ou abcissa, e um 
vertical denominado eixo , ou ordenada; estes são 
perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 90º 
entre si e se cruzam nas origens dos dois eixos� Os 
eixos são numerados de acordo com o conjunto dos 
números reais� Observe abaixo uma representação 
do plano cartesiano�
Figura 9: Plano Cartesiano. Fonte: infoescola
31
https://www.infoescola.com/matematica/plano-cartesiano
Para localizar um ponto no plano cartesiano é ne-
cessário ter as suas coordenadas e � Para isso, 
é utilizada a seguinte notação em que e 
determinam as coordenadas dos pontos em seus 
respectivos eixos� Vamos a um exemplo� Leve em 
consideração o ponto � Note que a coorde-
nada de B é 2 e a coordenada de B é 1� Dessa 
maneira, marcamos plano cartesiano
Figura 10: Plano Cartesiano. Fonte: Elaboração Própria.
O plano cartesiano é dividido em quadrantes, os 
quais indicam o sinal positivo ou negativo para cada 
um dos eixos. Observe a figura abaixo; foram marca-
dos 4 pontos, um em cada quadrante. No primeiro 
quadrante, temos V (2, 1); no segundo I (-4,3); no 
terceiro A (-2,-1), e no quarto N (1, -2)�
32
Figura 11: Quadrantes do Plano Cartesiano. Fonte: Elaboração Própria.
Há uma definição muito importante, o produto carte-
siano. Podemos definir da seguinte maneira: sejam 
dois conjuntos não vazios A e B, chamados produto 
cartesiano de A por B, o conjunto A X B (lê-se A carte-
siano B ou A produto cartesiano B), cujos elementos 
são todos os pares ordenados (x, y) tal que o primeiro 
elemento, x pertence a A e o segundo elemento y per-
tence a B (IEZI; MURAKAMI, 1997). Matematicamente 
definimos �
Caso A ou B for vazio, definimos o A X B como um 
conjunto vazio, veja:
33
Exemplo, seja A = {1,6} e B ={-1,3}, temos que:
A X B = {(1, -1), (1,3), (6, -1), (6, 3)}
e B X A = {(-1,1), (-1,6), (3,1), (3,6)}
34
CONSIDERAÇÕES 
FINAIS
Neste módulo, pudemos relembrar conceitos muito 
importantes para a matemática. Falamos sobre as 
definições dos conjuntos numéricos complexos ( ) e 
como são efetuadas operações com esses números 
que apresentam especificidades. Ainda, foi estudado 
que o conjunto dos números complexos é a união de 
todos os outros conjuntos, os conjuntos irracionais 
( ) e o conjunto dos números reais ( ) que, por sua 
vez, é formado pelo conjunto dos números racionais 
( ), conjunto dos números inteiros ( ) e, dos núme-
ros naturais ( )�
Lembrando que os números irracionais não con-
têm nenhum outro conjunto numérico, mas , 
 logo, � A partir destes con-
ceitos básicos, pudemos refletir sobre como a huma-
nidade tem evoluído matematicamente, levando em 
consideração suas necessidades� Desde os tempos 
antigos, o homem utiliza a matemática como ferra-
menta, a fim de facilitar as suas tarefas e trabalhos 
cotidianos�
Também foram abordados os conceitos de desigual-
dade, bem como propriedades das operações reali-
zadas com as desigualdades, operações de soma, 
subtração que não altera o sentido da desigualdade, 
porém ao multiplicar por -1 o sentido da desigualdade 
inverte�
35
Os diferentes tipos de intervalos numéricos foram 
explanados: aberto, fechado ou semiaberto, além 
dos intervalos com o infinito. Além do que, quando 
considerado intervalo, é aberto e fechado�
Trouxemos a respeito do módulo de um número – 
esse conceito, inicialmente, foi utilizado para medida 
da distância de um número até o zero na reta numé-
rica� Explicitamos sobre o módulo de qualquer núme-
ro, independentemente de ser positivo ou negativo, 
sempre resultará em um número positivo�
Ainda foram abordados os princípios básicos a res-
peito do plano cartesiano e quais as suas principais 
características� Depois dessa revisão de conteúdos 
já estudados anteriormente, esperamos que você 
esteja mais familiarizado com essas definições para 
que não tenha dificuldades durante os próximos mó-
dulos� Revise o que foi estudado quantas vezes for 
necessário�
36
SÍNTESE
Plano cartesiano: pudemos conhecer as 
principais características do plano 
cartesiano, como marcar um ponto ou 
identificar as suas coordenadas, ainda foi 
explicitado sobre como se dá o produto 
cartesiano. 
6
Módulo de um número real: 5
Intervalos: os intervalos numéricos de 
diferentes tipos foram abordados 
intervalos abertos, intervalos fechados, 
intervalos semiabertos e intervalos 
infinitos;
4
Desigualdades: foram abordados os 
conceitos de igualdade e desigualdade, 
bem como as propriedades das operações 
com as desigualdades;
3
Conjuntos numéricos: pudemos entender 
o que são os conjuntos numéricos, mais 
especificamente os conjuntos dos 
números naturais, conjunto dos números 
inteiros, conjunto dos números racionais, 
conjunto dos números reais, conjunto dos 
números irracionais e conjunto dos 
números complexos bem como as 
propriedades das operações dentro 
desses conjuntos;
2
Nesta unidade vimos os seguintes 
tópicos importantes para o
estudo de funções: 
Números reais: pudemos revisar sobre a 
sua origem;1
FUNÇÕES DE 
UMA VARIÁVEL 
Referências 
Bibliográficas 
& Consultadas
BASSANEZI, R� C� Introdução ao cálculo e aplica-
ções� São Paulo: Contexto, 2015� [Biblioteca Virtual]
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo� São Paulo: 
Pearson Addison Wesley, 2011� [Biblioteca Virtual]
EVES, H� Introdução à história da matemática� 5� 
ed� Campinas: Unicamp, 2011�
GOLDSTEIN, L� J� Matemática aplicada� Porto 
Alegre: Bookman, 2012� [Minha Biblioteca]
GONÇALVES, M. B.; FLEMMING, D. M. Cálculo A: fun-
ções, limite, derivação e integração� 6� ed� São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2006� [Biblioteca Virtual]
GONICK, L� Cálculo em quadrinhos� São Paulo: 
Blucher, 2014. [Biblioteca Virtual]
GUIDORIZZI, H� L� Um curso de cálculo� Rio de 
Janeiro: LTC, 2001� v� 1� [Minha Biblioteca]
HARIKI, S�; ABDOUNUR, O� J� Matemática aplicada� 
São Paulo: Saraiva, 1999.
HENRIQUE, O�; SILVA, M� Matemática e física: apro-
ximações� Curitiba: InterSaberes, 2017� [Biblioteca 
Virtual]
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de mate-
mática elementar: Conjuntos e funções. v.1. 3. ed. 
São Paulo: Atual, 1997.
PEREIRA NETTO, J� C� Física, Matemática e 
Química: um modelo de interdisciplinaridade� V� 1� 
Mogi das Cruzes: J� C� Pereira Netto, 2001� 
THOMAS, G� B�; WEIR, M� D�; HASS, J� Cálculo� 
12� ed� São Paulo: Pearson Education, 2012� 1� v� 
[Biblioteca Virtual] 
VIEIRA, L� H� S� Epistemologia dos números com-
plexos. 199. 49 f. Trabalho de Conclusão de Curso 
(Curso de Matemática) - Habilitação Licenciatura� 
Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 
1999. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/bits-
tream/handle/123456789/97064/Lucia_Helena_Silva_
Vieira.PDF?sequence=1&isAllowed=y� Acesso em: 7 
ago. 2019.
	INTRODUÇÃO
	NÚMEROS REAIS
	CONJUNTOS NUMÉRICOS
	DESIGUALDADES
	Igualdade
	Desigualdade
	Propriedades
	INTERVALOS
	Intervalo aberto de extremosIntervalo fechado de extremos
	Intervalo fechado à esquerda, ou aberto à direita ou semiaberto
	Intervalo fechado a direita, ou aberto à esquerda
	Módulo de um número real
	Plano cartesiano
	Considerações finais
	Síntese