MODELAGEM MATEMÁTICA AV1 2022 1

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Disc.: MODELAGEM MATEMÁTICA 
 
Acertos: 10,0 de 10,0 
 
 
 
1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Para evitar erros de cancelamento em operações de subtração de dois números numa 
notação de ponto flutuante, é comum reorganizar as operações. Seja a expressão: 
s=√ x+1 −√ x s=x+1−x 
onde x=100000x=100000 num computador FP(10,5,−6,6)FP(10,5,−6,6), observe 
que nesse computador x+1=xx+1=x, para x=100000x=100000, resultando s=0s=0. 
Determine uma expressão equivalente e o seu valor para x=100000x=100000. 
 
 ln(√ x+1 −√ x )e1,5811x10−3ln(x+1−x)e1,5811x10−3 
 1√ x+1 +√ x e1,5811x10−31x+1+xe1,5811x10−3 
 ln(√ x+1 +√ x )e1,5811x10−3ln(x+1+x)e1,5811x10−3 
 1√ x+1 −√ x e1,5811x10−31x+1−xe1,5811x10−3 
 x2√ x2+1 +1e0,013x10−3x2x2+1+1e0,013x10−3 
 
 
Explicação: 
Gabarito: 1√ x+1 +√ x e1,5811x10−31x+1+xe1,5811x10−3 
Justificativa: 
Tem-se que a expressão equivalente pode ser obtida da seguinte maneira: 
s=√ x+1 −√ x s=x+1−x 
ou seja, 
s=1√ x+1 +√ x s=1x+1+x 
Então, o valor de s para x=100000x=100000 é 
s=1√ x+1 +√ x =12√ 100000 =1,5811×10−3s=1x+1+x=12100000=1,5811×10−3 
 
 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
(Metrô - SP / 2010) Na conversão de uma base decimal para outra base qualquer, o 
processo direto é composto por duas partes: 
 
 
Soma sucessiva da parte inteira e multiplicação sucessiva da parte fracionária. 
 Divisão sucessiva da parte inteira e multiplicação sucessiva da parte 
fracionária. 
 
Subtração sucessiva da parte inteira e multiplicação sucessiva da parte 
fracionária. 
 
Divisão sucessiva da parte inteira e subtração sucessiva da parte fracionária. 
 
Divisão sucessiva da parte inteira e soma sucessiva da parte fracionária. 
 
 
Explicação: 
Gabarito: Divisão sucessiva da parte inteira e multiplicação sucessiva da parte fracionária. 
Justificativa: A resposta é simplesmente a definição de transformação de um número 
decimal para uma base b, observando que, nesse processo, nos interessa os restos e o 
quociente final das divisões sucessivas da parte inteira, e na parte fracionária, a parte 
inteira do produto. 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Quando queremos ajustar a uma linha reta um conjunto de m dados é necessário 
determinar dois parâmetros e para isso devemos resolver um sistema Ax=b, onde a 
matriz A é na ordem mxn e m é número de linhas e n é o número de colunas, então 
podemos afirma que n é igual a: 
 
 
4 
 
3 
 
m 
 2 
 
5 
 
 
Explicação: 
Como temos 2 parâmetros a quantidade de colunas de A é diretamente relacionada a 
quantidade de parâmetros , ou seja 2. 
 
 
 
 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Desejamos calcular √ 12 12 utilizando interpolação, para isso usamos os seguintes dados: 
 
O valor encontrado, utilizando Newton com 2 casas decimais é: 
 
 3.49 
 
3.94 
 
3.76 
 
3.67 
 
3.23 
 
 
Explicação: 
Executando o seguinte script: 
 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de cos(-x) no intervalo 
de 0 a 1. Divida o intervalo de integração em 10 partes. Utilize o método de Simpson: 
 
 0,841 
 
0,641 
 
0,941 
 
0,741 
 
0,541 
 
 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo). 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = cos(-x); 
- O valor inicial do intervalo de integração é 0; 
- O valor final do intervalo de integração é 1; e 
- O intervalo de integração é dividido em 10 partes, de modo que o tamanho de cada 
intervalo é 0,1. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Simpson, temos o código em Python 
indicado a seguir: 
 
import numpy as np 
import math 
f = lambda x: np.cos(-x) 
a = 0; b = 1; N = 10 
x = np.linspace(a,b,N+1) 
y = f(x) 
dx = (b-a)/N 
soma_Simpson = dx/3 * np.sum(y[0:-1:2] + 4*y[1::2] + y[2::2]) 
print("Integral:",soma_Simpson) 
 
O resultado obtido corresponde à alternativa indicada como correta na questão. 
 
 
 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de sen(x) no intervalo de 
0 a 1. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2: 
 
 
0,41970 
 0,45970 
 
0,49970 
 
0,65970 
 
0,55970 
 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = sen(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 0; 
- O valor final do intervalo de integração é 1; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos ensinados na aula de hoje para o método de Romberg, temos 
o código em Python indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x:sp.sin(x) 
result = integrate.romberg(func, 0, 1, show=True) 
 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 
1ª ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,30. Utilize o método de 
Runge-Kutta: 
 
 
2,509 
 
2,609 
 
2,409 
 
2,709 
 2,309 
 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer 
que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = cos(y) + sen(y); 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.308 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da 
EDO de 1ª ordem y' = y + 3, sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de 
Euler: 
 
 
6,185 
 
6,085 
 
5,985 
 5,785 
 
5,885 
 
 
Explicação: 
Como vimos neste tema, a resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais 
ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos 
importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; O ponto inicial; O 
ponto final; A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e O valor da 
função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y + 3; O ponto 
inicial é 0; O ponto final é 0,4; O tamanho de cada intervalo é 0,1; e O valor da função no 
ponto inicial é 3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da resolução da EDO 
de 1ª ordem y' = 2y, sendo y(0) = 3. Considere h = 0,10. Utilize o método de Runge-
Kutta: 
 
 
22,567 
 
22,757 
 
22,367 
 22,167 
 
22,957 
 
 
Explicação: 
A Como vimos neste tema, a resolução do problema de valorinicial em equações diferenciais 
ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, 
como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = 2y; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 1; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,1; e 
- O valor da função no ponto inicial é 3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 22.16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 
1ª ordem y' = sen(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-
Kutta: 
 
 
2,52 
 
2,42 
 
2,62 
 
2,32 
 2,22 
 
 
Explicação: 
Aa resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem 
requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = sen(y); 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,2. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.22.