ABORDAGEM-HISTRICA-E-CONCEITUAL-SOBRE-OS-SISTEMAS-DE-EQUAES-LINEARES-E-SUA-RELAO-COM-MATRIZES-E-DETERMINANTES

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ABORDAGEM HISTÓRICA E CONCEITUAL SOBRE OS SISTEMAS DE 
EQUAÇÕES LINEARES E SUA RELAÇÃO COM MATRIZES E DETERMINANTES 
 
Fabio Barros de Sousa1, Elizabeth Rego Sabino2, Elizete Rego Sabino3 
 
RESUMO 
O presente trabalho tem como objetivo, apresentar através de uma abordagem histórica e conceitual 
sobre os sistemas de equações lineares e a relação com a teoria das matrizes e dos determinantes. A 
razão deste trabalho foi de se tentar evidenciar a indissociabilidade que existe entre esses três assuntos 
que muitas das vezes são tratados separadamente no ensino fundamental e médio. Esta pesquisa foi 
de maneira bibliográfica, usando-se a internet, livros do ensino médio e do ensino superior. Nesse 
sentido está pautada em autores tais como: Boyer (1996), Eves (2004), Lipschutz (1994) e outros. 
 
Palavras-chave: Sistemas de Equações Lineares. Matrizes. Determinantes. 
 
1 Introdução 
Tanto as matrizes quanto os sistemas de equações lineares estão presentes 
em todos os ramos do conhecimento. Nesse sentido Paiva (2009) afirma que os 
sistemas de equações lineares são muito úteis para a resolução de problemas do dia 
a dia, como em um campeonato de futebol, no controle de estoque de um restaurante 
e no teste de qualidade de um produto industrializado. Em relação as matrizes por se 
tratarem de tabelas de números, afirma que elas são muito úteis, pois permitem 
trabalhar de forma simplificada no cruzamento de diversas informações sobre um ou 
mais objetos de estudo, isso justifica a sua utilização em circuitos elétricos, nas linhas 
de transmissão, na expectativa de vida da população de um país, assim como nas 
áreas da estatística e da computação gráfica. 
O presente trabalho tem como principal objetivo evidenciar os ângulos 
concernentes a historicidade do estudo dos sistemas de equações lineares, passando 
pelos primórdios do uso dos sistemas lineares, determinantes e das matrizes, e 
também alguns métodos de resolução de sistemas. O trabalho é composto por: 
 A Origem dos Sistemas de Equações Lineares das Tabletas aos 
Papiros; 
 
1 Mestre em Engenharia Elétrica. Email: fabiufpa@gmail.com. 
2 Mestre em Matemática. Professora Faculdade de Matemática da Universidade Federal do Sul e 
Sudeste do Pará – Campus Marabá – Pará. Email: regosabino@unifesspa.edu.br. 
3 Licenciada em Matemática. Email: zeteiuiqui@gmail.com 
2 
Comunicação Jornada de Estudos em Matemática, 3., 2017, Marabá. ISSN 2448-4342 
Abordagem Histórica sobre os Sistemas de Equações Lineares 
 
 As Contribuições dos Chineses para a Teoria dos Sistemas de Equações 
Lineares; 
 A Relação histórica entre Sistemas de Equações Lineares, Matrizes e 
Determinantes; 
 Equações e Sistemas Lineares 
 Tipos de Sistemas de Equações Lineares 
E por fim as conclusões e referências. As terminologias usadas no trabalho 
seguirão o mesmo padrão das contidas no referencial teórico utilizado, porém com 
algumas modificações necessárias. 
 
2 A Origem dos Sistemas de Equações Lineares e o método da Falsa Posição 
 
A história dos sistemas de equações lineares diz que os mesmos passaram por 
diversas contribuições de vários matemáticos até chegar ao que se conhece hoje, as 
notações, os conceitos e os teoremas foram modificados e aperfeiçoados ao longo do 
tempo. O estudo de sistemas de equações lineares deu origem inicialmente ao estudo 
dos determinantes e posteriormente ao das matrizes. As provas mais antigas desta 
utilização são as inscrições em tabletas babilônicas feitas de argila datadas de cerca 
de 300 a.C. e as representações dos coeficientes de sistemas lineares em barras de 
bambu que constam no livro Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, publicado entre 
200 a.C. e 100 a.C. na China. Consta nesta obra uma das mais antigas menções 
sobre a ideia de matrizes. 
A teoria dos determinantes surgiu simultaneamente através dos estudos de 
dois grandes matemáticos: Seki Shinsuke Kowa no Japão, e Gottfried Wilhelm Leibniz 
na Alemanha, ambos resolviam sistemas de equações lineares de maneiras 
diferentes, porém com o mesmo propósito: encontrar as soluções através de 
eliminações. O termo matriz veio com James Joseph Sylvester, em 1850, e com seu 
amigo Arthur Cayley, em 1858. 
Há inscrições matemáticas que também são encontradas em papiros, como por 
exemplo, o papiro de Rhind ou Ahmes, que hoje está no British Museum, em Londres 
e resiste ao desgaste do tempo por mais de três milênios. Ressalta Boyer (1996), que 
este papiro com 85 problemas tem cerca 30 cm de altura e 5m de comprimento, o 
qual traz em seu extenso tamanho uma composição do que seria a comprovação de 
que os egípcios também utilizavam a matemática como sua aliada nas tarefas diárias 
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desde os tempos mais remotos. Eves (2004, p. 73), afirma que não só o papiro de 
Ahmes como também o papiro de Moscou não fazem referências a objetos concretos, 
específicos, que envolvem, por exemplo, cerveja ou pães, mas traz soluções de 
frações unitárias, operações aritméticas e geométricas, razões trigonométricas e 
também equações lineares. Os problemas de cunho algébrico diferem-se dos demais, 
pois trabalham com números desconhecidos e também apontam soluções de 
equações lineares, das quais hoje teriam a seguinte representação: 
 baxx  ou cbxaxx  , (2.1) 
com a, b e c conhecidos e x desconhecido ou “aha”. 
A título de esclarecimento, Eves (2004, p. 73) nos propõe o seguinte problema 
nas notações de hoje: 
 
24
7

x
x . 
(2.2) 
Uma proposta para a solução é assumindo para o valor de 7x . Então 
substituindo x por 7 teríamos a equação 248
7
7
7  , o que não satisfaz a equação 
sugerida no problema, porém poderemos utilizar esse falso número como mostra o 
quadro 2.1: 
Quadro 2.1. Método da Falsa Posição. 
 Número Resultado 
Falso 
Verdadeiro 
 
Para resolvê-la pode-se usar a razão e proporção: 
 
21
8
128
7248
24
87
 xxx
x
 
(2.3) 
ou “[...] assume-se um valor conveniente para x , digamos 7x . Então 8
7

x
x , em 
vez de 24 . Como 8 deve ser multiplicado por 3 para se obter 24 , o valor correto de 
x deve ser )7(3  ou 21”. (EVES, 2004, p. 73). 
 
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3 As Contribuições dos Chineses para a Teoria dos Sistemas de Equações 
Lineares 
 
As inscrições por diagramas dos coeficientes lineares em barras de bambus 
marcaram uma importante contribuição dos Chineses para a álgebra. Essa é uma 
maneira peculiar na representação dos sistemas de equações lineares, sendo um 
marco na matemática oriental e que também merece destaque, pois se sabe que: “[...] 
a cultura chinesa foi seriamente prejudicada por quebras abruptas” (BOYER, 1996, 
p.135). Isso ocorreu quando o imperador da China Shi Huang-ti que em 213 a.C., 
ordenou a queima de livros, ou qualquer registro, cabendo aos chineses somente a 
cópia das obras que sobraram ou a transmissão oral das que se perderam. Isso que 
nos leva a crer que a matemática chinesa renasceu das cinzas. 
Um dos livros mais antigo da matemática Chinesa é o Chiu-Chang Suan-Shu, 
(Os Nove Capítulos da Arte da Matemática), de autor desconhecido. Foi escrito por 
volta de 250 a.C. durante a dinastia Han, a obra traz em seu conteúdo representações 
em barras de bambu dos coeficientes de sistemas lineares escritos sobre quadrados 
em tabuleiros. Boyer (1996) define esta obra como sendo talvez o mais influente livro 
da matemática chinesa, que contém 246 problemas envolvendo medidas de terras, 
agricultura, sociedades, engenharia, impostos, cálculos, soluções de equações e 
propriedades dos triângulosretângulos, além disso consta também a utilização do 
método da “falsa posição”, assemelhando a obra à matemática egípcia, na utilização 
deste artifício, apesar da matemática chinesa parecer independente dessas 
influências. 
Vale destacar que o capítulo oitavo do Chiu-Chang Suan-Shu, traz soluções de 
problemas de equações lineares usando tanto números positivos, quanto negativos 
como também os que envolvem sistemas de equações lineares com três equações e 
três incógnitas. Segue abaixo um exemplo de um problema que envolve sistema de 
equações lineares do livro Kake fukudai no ho, escrito pelo matemático japonês Seki 
Kowa, que utiliza o mesmo método do livro chinês: 
Existem 3 tipos de milho. Três pacotes do primeiro, dois do segundo e um do 
terceiro somam 39 unidades de milho. Dois pacotes do primeiro, três pacotes 
do segundo e um do terceiro somam 34 unidades. E um pacote do primeiro, 
dois do segundo e três do terceiro somam 26 unidades. Sabendo que os 
pacotes de milho do mesmo tipo contêm a mesma quantidade de unidades, 
quantas unidades de milho contém um pacote de cada tipo? (KOWA apud 
SÁ, 2004, p. 02). 
 
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Nas notações de hoje este problema se apresentaria como o seguinte sistema 
do primeiro grau: 
 
{
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 39
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 34
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 26
 
(3.1) 
O sistema foi resolvido por meio de operações efetuadas com os elementos da 
seguinte tabela, que organiza seus coeficientes: 
 
 
 
 
 
 
 
Note que a única diferença entre o método atual para o chinês (antigo) é que 
escrevemos as equações lineares como as linhas da matriz em vez de colunas. Além 
disso, as equações nas colunas são escritas da direita para a esquerda. Dessa 
maneira a solução do sistema linear é: 
4
11
z ; 
4
17
y e 
4
37
x . 
 Portanto foi possível determinar as unidades do terceiro tipo de milho z 
existente em cada pacote. As unidades do primeiro x e do segundo tipo y são obtidas 
por substituição. 
A tabela utilizada no método chinês é atualmente denominada matriz e a 
redução é um processo análogo à eliminação Gaussiana, isso nos remete a dizer que 
o estudo das matrizes foi motivado historicamente pela necessidade de se resolver 
sistemas de equações lineares. 
De certa forma o uso de sistemas de equações lineares na China traz em sua 
essência uma lenda, que afirma o gosto dos chineses por diagramas. Foi devido ao 
primeiro que apareceu por lá, que segundo uma lenda foi trazido por uma tartaruga 
no Rio Lo, este suposto diagrama que veio impresso no casco dessa tartaruga, 
chamado “quadrado mágico” consistia em uma matriz quadrada, cuja soma na 
horizontal, na vertical e na diagonal dos números é sempre igual a 15. 
 
1 2 3 
2 3 2 
 3 1 1 
26 34 39 
0 0 3 
0 5 2 
36 1 1 
99 34 39 
Reduzindo-a teremos 
 
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Figura 1 - Representação da tartaruga do Rio Lo. Quadrado mágico. 
Fonte: http://matematicanaarea.blogspot.com.br/2009/12/v-behaviorurldefaultvml-o.html. 
Isto mostra que o uso de tabelas numéricas, já era frequente entre os antigos 
chineses dessa época, mesmo que de maneira lendária. Assim com o estudo desse 
“quadrado mágico” o autor dos Noves Capítulos foi instigado a criar e resolver 
problemas relacionados aos sistemas de equações lineares por meio de matrizes. 
 
4 A Relação entre Sistemas de Equações Lineares, Matrizes e Determinantes 
 
Os sistemas de equações lineares, matrizes e determinantes parecem ser 
assuntos diferentes, porém a história nos prova o contrário. A primeira ideia de 
determinante como polinômio que associa a um quadrado de números, surgiu em 
1683, pelo matemático japonês Seki Kowa, que sistematizou o velho procedimento 
chinês somente para o caso de duas equações, pois não mostrou algo que fosse 
válido para casos gerais. Em sua obra escreveu vários exemplos de sistemas de 
equações lineares em forma matricial. 
No ocidente o uso de determinante iniciou-se também em 1683, através do 
matemático alemão Leibniz (1649 - 1716), que em uma correspondência para o 
matemático francês L'Hospital (1661 - 1704), usou combinações de coeficientes para 
resolver sistemas de equações lineares e encontrou uma maneira de indexar tais 
coeficientes com números. Em seus estudos estabeleceu a condição de 
compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do 
determinante de ordem 3, formado pelos coeficientes e pelos termos independentes. 
Leibniz também criou formalmente uma notação com índices para os coeficientes bem 
próxima da que usamos hoje 𝑎12 indicava por 12. 
O matemático alemão Jacobi também se preocupou com a notação adequada 
para determinantes, criou algoritmos e regras para a sua utilização, sendo 
considerado um dos responsáveis pela Teoria dos Determinantes. 
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Quem também contribuiu para a teoria dos determinantes foi o escocês Colin 
Maclaurin (1698 - 1746), que em 1730 escreveu “Um Tratado sobre Álgebra”. Esse 
livro foi publicado postumamente em 1748, nele encontra-se o “teorema geral” para 
eliminação de incógnitas de sistemas lineares, onde traz demonstrações para 
matrizes de ordem 2, 3 e 4. Porém, não há comentários para os casos de matrizes de 
ordem > 4. Este teorema é o que conhecemos hoje por regra de Cramer, pois o 
matemático suíço Gabriel Cramer (1704 - 1752) publicou o livro “Introdução à Análise 
de Curvas Algébricas”, em 1750, que apresentava resultados para matrizes de ordem 
𝑛. Porém, a demonstração da regra não se encontra no livro, somente o valor das 
incógnitas em forma de frações, com o numerador e denominador sendo combinações 
dos coeficientes do sistema linear. Isto é, o que conhecemos, atualmente, por 
determinantes, porém com notação diferente. 
O matemático francês Cauchy (1789 - 1857), atribui o termo determinante no 
sentido atual, em 1812 provou o teorema da multiplicação de determinantes, através 
da utilização de permutações e também melhorou a notação de determinantes. 
Porém, a notação de duas barras verticais ladeando um quadrado de números para 
indicar determinante, só foi apresentada em 1841 pelo matemático inglês Cayley 
(1821 - 1895). 
O nome matriz foi instituído pelo matemático inglês James Joseph Sylvester 
(1814 - 1897) em 1850, e que mais tarde recebeu grandes contribuições do seu amigo 
Cayley, o qual, deu o primeiro significado da palavra Matriz, como sendo o lugar onde 
algo se gera ou cria, denominou em um artigo de como sendo: 
[...]um bloco retangular de termos [...] que não representa um determinante, 
mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários 
sistemas de determinantes, ao fixar um número “p” e escolher a vontade “p” 
linhas e “p” colunas[...] (CAYLEY Apud KRAIESKI, 1999, p. 03). 
As matrizes, de certa forma, não eram objetos de investigação de Sylvester, 
pois em seus trabalhos as concebia como um simples ingrediente dos determinantes. 
Mas é com um artigo de Cayley de1855 que as matrizes saíram das sombras dos 
determinantes. Logo o mérito da invenção confere a ele, apesar de que declarou ter 
chegado à teoria das matrizes a partir da ideia de determinante e também salientou 
que pela lógica a noção de matriz antecede a de determinante. Há controvérsias 
quanto a afirmação de que Cayley foi o principal inventor dessa teoria, pois como já 
mencionado os chineses séculos antes de Cristo já usavam os determinantes para 
resolver sistemas de equações lineares. 
Cayley introduziu a notaçãode matrizes para simplificar a notação de uma 
transformação linear, assim como segue: 
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{
𝑥′ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
𝑦′ = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦
 escrevia (𝑥′, 𝑦′) = [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ∗ (𝑥, 𝑦) 
(4.1) 
A partir dessas duas transformações sucessivas criou a definição de produto 
de matrizes, como também a matriz inversa, a matriz identidade, a matriz nula e a 
matriz idêntica. No entanto, somente três anos mais tarde introduziu o conceito de 
soma e produto de matrizes por escalares, dando ênfase para as propriedades 
algébricas dessas operações. 
Em suma, boa parte dos resultados sobre a Teoria das Matrizes, foram 
descobertos pelos matemáticos do século XVIII e XIX, dentre eles Lagrange, quando 
começaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas, as quais eram escritas 
escalarmente: 
 𝑞(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2 = [𝑥, 𝑦] ∗ [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ∗ [
𝑥
𝑦]. 
(4.2) 
Contudo o que se pode afirmar é que esta teoria, como outras não teve 
contribuição de somente um matemático e tão somente uma nação, ou seja, o que 
conhecemos e utilizamos hoje sobre sistemas de equações lineares e seus métodos 
de resolução e discussão foram desenvolvidos ao longo da história e das 
necessidades da humanidade. 
 
5. Equação Linear 
Uma equação é linear nas incógnitas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, se todas de grau um, 
geralmente está escrita na forma 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + … ,+𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏, onde 
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 são números reais denominados coeficientes e 𝑏 também número 
real, o qual é chamado de termo independente. 
5.1 Solução de uma Equação Linear 
Uma sequência de 𝒏 números reais (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛), tais que substituídos 
ordenadamente no lugar de 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 , tornam a igualdade verdadeira. 
 Assim: 
 𝑎1𝛼1 + 𝑎2𝛼2 + 𝑎3𝛼3 + … ,+𝑎𝑛𝛼𝑛 = 𝑏. (5.1) 
Diz-se que este conjunto de valores satisfaz a equação. O conjunto de todas 
as soluções é chamado conjunto solução, ou solução geral, ou simplesmente solução 
da equação. 
As incógnitas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 em geral aparecem como 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 … por convenção 
indica-se uma solução de uma equação linear obedecendo a ordem alfabética de suas 
incógnitas. 
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6 Sistema de Equações Lineares 
Denomina-se sistema de equações lineares, a um conjunto (S) de duas ou mais 
equações lineares. Pode-se representar um sistema de 𝒎 equações lineares nas 𝒏 
incógnitas (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) de ℝ
𝑛 da seguinte forma: 
 
(𝑆)
{
 
 
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 +⋯+ 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑏3
 … … …
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + 𝑎𝑚3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
. 
 
(6.1) 
Em que: 
 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, são as incógnitas; 
 𝑎𝑖𝑗 ∊ ℝ, são os coeficientes das incógnitas, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛; 
 𝑏𝑖 ∊ ℝ, são os coeficientes das incógnitas, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚. 
O sistema linear acima é conhecido por sistema linear 𝑚 por 𝑛 e se indica por 
𝑚 ∗ 𝑛. 
6.1 Representação de um Sistema Linear por meio de Matrizes 
Um sistema linear de 𝒎 equações com 𝒏 incógnitas poderá ser escrito na forma 
matricial, para isso basta separarmos seus componentes por matrizes. 
Sejam: 
 𝐴𝑚∗𝑛 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚∗𝑛 , 𝑋𝑛∗1 = (𝑥𝑗)𝑛∗1 e 𝐵𝑚∗1 = (𝑏𝑖)𝑚∗1. (6.2) 
 
 𝐴𝑚∗𝑛, é a matriz dos coeficientes das incógnitas; 
 𝑋𝑛∗1, é a matriz das incógnitas; 
 𝐵𝑚∗1, é a matriz dos termos independentes. 
Considerando o sistema linear (𝑺) da definição anterior. Pode-se escrevê-lo de 
forma matricial: 
 
𝐴 ∗ 𝑋 = 𝐵 ⟹
[
 
 
 
 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛]
 
 
 
 
∗
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋮ 
𝑥𝑛]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏𝑚]
 
 
 
 
. 
 
(6.2) 
 
Onde 𝑋 = 𝐴−1 ∗ 𝐵. 
 
 
 
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6.2 Matrizes Associadas a um Sistema Linear 
 
Outra maneira de representar o sistema de equações lineares é pela matriz 
associada ou matriz completa. Considera-se o mesmo sistema linear (𝑺) da definição 
anterior e associa-se a esse sistema duas matrizes cujos elementos são os 
coeficientes e os termos independentes das equações que formam o sistema: 
 
𝑀 =
[
 
 
 
 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛
 
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏𝑚]
 
 
 
 
. 
 
(6.3) 
 
Denomina-se matriz associada ou matriz completa ao sistema (𝑺) que pode ser 
denotada por [𝐴|𝐵]. 
 
6.3 Solução de um Sistema de Equações Lineares 
 
A solução desse sistema será toda 𝑛 − 𝑢𝑝𝑙𝑎 ordenada de números reais 
(𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛) se e somente se satisfazem simultaneamente a cada uma das 𝑚 
equações lineares desse sistema. 
 
 
(𝑆)
{
 
 
 
 
𝑎11𝛼1 + 𝑎12𝛼2 + 𝑎13𝛼3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝛼𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝛼1 + 𝑎22𝛼2 + 𝑎23𝛼3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝛼𝑛 = 𝑏2
𝑎31𝛼1 + 𝑎32𝛼2 + 𝑎33𝛼3 +⋯+ 𝑎3𝑛𝛼𝑛 = 𝑏3
 … … …
𝑎𝑚1𝛼1 + 𝑎𝑚2𝛼2 + 𝑎𝑚3𝛼3 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝛼𝑛 = 𝑏𝑚
. 
 
(6.4) 
 
O conjunto (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛) é chamado conjunto solução do sistema (𝑺). 
 
7 Tipos de Sistemas de Equações Lineares 
 
Assim como nas equações lineares, o sistema de equações lineares também 
tem seus tipos, cada um com suas especificidades e maneiras de resolução e 
discussão. Vejamos os seus tipos a seguir: 
 
7.1 Sistemas de Equações Lineares Equivalentes 
 
 Diz-se que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo 
conjunto solução. Indica-se por 𝑆~𝑆′ ou 𝑆′~𝑆 . 
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Se 𝑆~𝑆′, a matriz associada 𝑀 e 𝑀’ são também respectivamente equivalentes 
e possuem as seguintes propriedades: 
 
1) Se 𝑀~𝑀 (Reflexiva); 
2) Se 𝑀~𝑀′ , então 𝑀′~𝑀 (Simétrica); 
3) Se 𝑀~𝑀′ e 𝑀′~𝑀′′, então 𝑀~𝑀′′ (Transitiva). 
 
Teorema 1: Se aos elementos de uma linha qualquer da matriz 𝑴, associada ao 
sistema (𝑺) somarem-se os elementos correspondentes de outra linha de 𝑴 , a nova 
matriz 𝑴′ que se obtém é equivalente à matriz 𝑴 . 
 
Demonstração: Seja [𝐴|𝐵] a matriz completa do sistema (𝑆) : 
 
𝑀 =
[
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 𝑎𝑖3 … 𝑎𝑖𝑛
 
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏𝑖
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑗1 𝑎𝑗2 𝑎𝑗3 … 𝑎𝑗𝑛 𝑏𝑗
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚]
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
e 
 
𝑀′ =
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑖1 + 𝑎𝑗1 𝑎𝑖2 + 𝑎𝑗2 𝑎𝑖3 + 𝑎𝑗3 … 𝑎𝑖𝑛 + 𝑎𝑗𝑛𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏𝑖 + 𝑏𝑗
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
 𝑎𝑗1 𝑎𝑗2 𝑎𝑗3 … 𝑎𝑗𝑛 𝑏𝑗
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
Onde 𝑴’ é a matriz associada ao sistema (𝑺’) : 
(𝑆′)
{
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎11𝛼1 + 𝑎12𝛼2 + 𝑎13𝛼3 + … + 𝑎1𝑛𝛼𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝛼1 + 𝑎22𝛼2 + 𝑎23𝛼3 + … + 𝑎2𝑛𝛼𝑛 = 𝑏2
𝑎31𝛼1 + 𝑎32𝛼2 + 𝑎33𝛼3 + … + 𝑎3𝑛𝛼𝑛 = 𝑏3
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
 (𝑎𝑖1𝑎𝑗1)𝛼1 + (𝑎𝑖2𝑎𝑗2)𝛼2 + (𝑎𝑖3𝑎𝑗3)𝛼3 + … + (𝑎𝑖𝑛𝑎𝑗𝑛)𝛼𝑛 = 𝑏𝑖 + 𝑏𝑗
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
 𝑎𝑗1𝛼1 + 𝑎𝑗2𝛼2 + 𝑎𝑗3𝛼3 + … + 𝑎𝑗𝑛𝛼𝑛 = 𝑏𝑗
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑚1𝛼1 + 𝑎𝑚2𝛼2 + 𝑎𝑚3𝛼3 + … + 𝑎𝑚𝑛𝛼𝑛 = 𝑏𝑚
. 
 
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Abordagem Histórica sobre os Sistemas de Equações Lineares 
 
Comparando-se os sistemas 𝑺 e 𝑺’, a única diferença está na 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 linha 
de 𝑺’ . Se (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛) é uma solução se 𝑺’, pois: 
(𝑎𝑖1 + 𝑎𝑗1)𝛼1 + (𝑎𝑖2 + 𝑎𝑗2)𝛼2 + (𝑎𝑖3 + 𝑎𝑗3)𝛼3 +⋯+ (𝑎𝑖𝑛 + 𝑎𝑗𝑛)𝛼𝑛 = 
= (𝑎𝑖1𝛼1 + 𝑎𝑖2𝛼2 𝑎𝑖3𝛼3 +⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝛼𝑛) + (𝑎𝑗1𝛼1 + 𝑎𝑗2𝛼2 𝑎𝑗3𝛼3 +⋯+ 𝑎𝑗𝑛𝛼𝑛) = 𝑏𝑖 + 𝑏𝑗 
 
A recíproca demonstra-se facilmente. Logo 𝑀′~𝑀. 
 
Teorema 2: Multiplicando-se ou dividindo-se os elementos de uma linha qualquer da 
matriz associada ao sistema por um número real, a nova matriz que se obtém é 
equivalente a matriz. 
 
Demonstração: Seja a matriz completa: 
 
𝑀 =
[
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 𝑎𝑖3 … 𝑎𝑖𝑛
 
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏𝑖
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑗1 𝑎𝑗2 𝑎𝑗3 … 𝑎𝑗𝑛 𝑏𝑗
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚]
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
e, 
𝑀′ =
[
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 𝑎𝑖3 … 𝑎𝑖𝑛
 
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
𝑏𝑖
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝜆𝑎𝑗1 𝜆𝑎𝑗2 𝜆𝑎𝑗3 … 𝜆𝑎𝑗𝑛 𝜆𝑏𝑗
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
Onde 𝑴’ é matriz associada do sistema (𝑺’): 
(𝑆′)
{
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎11𝛼1 + 𝑎12𝛼2 + 𝑎13𝛼3 + … + 𝑎1𝑛𝛼𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝛼1 + 𝑎22𝛼2 + 𝑎23𝛼3 + … + 𝑎2𝑛𝛼𝑛 = 𝑏2
𝑎31𝛼1 + 𝑎32𝛼2 + 𝑎33𝛼3 + … + 𝑎3𝑛𝛼𝑛 = 𝑏3
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
 𝜆(𝑎𝑖1𝑎𝑗1)𝛼1 + 𝜆(𝑎𝑖2𝑎𝑗2)𝛼2 + 𝜆(𝑎𝑖3𝑎𝑗3)𝛼3 + … + 𝜆(𝑎𝑖𝑛𝑎𝑗𝑛)𝛼𝑛 = 𝜆𝑏𝑖
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑚1𝛼1 + 𝑎𝑚2𝛼2 + 𝑎𝑚3𝛼3 + … + 𝑎𝑚𝑛𝛼𝑛 = 𝑏𝑚
 
 
 
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Comparando-se os sistemas 𝑆 e 𝑆’, a única diferença é a 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 linha de 𝑆’ 
se (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛) é uma solução qualquer de , será também de , pois: 
𝜆𝑎𝑖1𝛼1 + 𝜆𝑎𝑖2𝛼2 + 𝜆𝑎𝑖3𝛼3 +⋯+ 𝜆𝑎𝑖𝑛𝛼𝑛 = 
= 𝜆(𝑎𝑖1𝛼1 + 𝑎𝑖2𝛼2 + 𝑎𝑖3𝛼3 +⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝛼𝑛) = 𝜆𝑏𝑖 
Sendo 𝜆 ≠ 0 . O sistema 𝑆’ é combinação linear de 𝑆. A recíproca demonstra-
se facilmente. Logo 𝑀’ = 𝑀. 
 
7.2 Sistemas de Equações Lineares Homogêneas 
 
O sistema (𝑺) de equações lineares é homogêneo se todas as constantes são 
iguais a zero, isto quando é da forma: 
𝐴 ∗ 𝑋 = 0 
Assim, pode-se representar um sistema de equações lineares homogêneas: 
(𝐻)
{
 
 
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 +⋯+ 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 0
 … … …
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + 𝑎𝑚3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0
. 
 
A matriz 𝐵 do sistema 𝐻 é nula, ou seja, todos os termos independentes são 
iguais a zero. 
De modo geral, um sistema de equações lineares homogêneo sempre admite 
uma solução trivial (0, 0, 0, . . . , 0), chamada também de solução zero. Por verificação 
direta vê-se que: 
𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0. 
 
Porém, qualquer outra solução com pelo menos um dos valores 𝑥1 ≠ 0 chama-
se não trivial. Nesse caso, o sistema considerado pode sempre reduzir-se a um 
sistema homogêneo equivalente em forma escalonada: 
{
 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0
 𝑎2𝑗2𝑥𝑗2 + 𝑎2𝑗2+1𝑥𝑗2+1 + 𝑎23𝑥3 + … + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0
 … … …
𝑎𝑟𝑗𝑟𝑥𝑗𝑟 + 𝑎𝑟𝑗𝑟+1𝑥𝑗𝑟+1 + … + 𝑎𝑟𝑛𝑥𝑛 = 0
 
Um sistema linear homogêneo é sempre compatível, portanto, para encontrar 
a solução bastam verificar somente as duas possibilidades: 
 
i) 𝑟 = 𝑛 . O sistema só tem a solução trivial (SPD). 
ii) 𝑟 < 𝑛 . O sistema tem uma infinidade de soluções não-triviais (SPI). 
 
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Consequentemente, se partimos de menos equações do que incógnitas, então, 
na forma escalonada, 𝑟 < 𝑛 e, portanto, o sistema tem uma solução não-nula. 
 
Teorema 3: Um sistema homogêneo de equações lineares com mais incógnitas do 
que equações tem uma solução não-trivial. 
 
Corolário: 
i) Se o número de equações é igual ao número de incógnitas, uma condição 
necessária e suficiente para existir uma solução não-trivial é que seja nulo 
o determinante dos coeficientes, isto é |𝐴| = 0. 
ii) Se existem menos equações do que incógnitas, o sistema homogêneo 
sempre tem solução não trivial. Os sistemas homogêneos como são sempre 
possíveis, são os únicos que podem ser classificados apenas a partir do 
cálculo do determinante dos coeficientes. Como não há chances de o 
sistema homogêneo ser SI, logo se o determinante for nulo o sistema será 
SPI. 
 
7.3 Sistemas de Equações Lineares Degeneradas 
 
Seja o sistema (𝑺), cuja matriz dos coeficientes é nula, logo seu determinante 
também é nulo. 
 Teorema 4: Seja um sistema de equações lineares degeneradas, admite as 
seguintes condições: 
i) Se 𝑏 ≠ 0, o sistema não tem solução. 
ii) Se 𝑏 = 0, qualquer e-nupla (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛) é solução, ou seja, o 
sistema tem infinitas soluções. 
 
7.4 Sistemas De Equações Lineares Normais 
 
É o sistema linear cujo número de equações éigual ao número de incógnitas 
(𝑚 = 𝑛) e o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. 
Seja o sistema: 
{
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2
, é normal se, e somente se, 𝑎1 ∗ 𝑏2 − 𝑎2 ∗ 𝑏1 ≠ 0 . 
 
Essa definição é útil para método de resolução de sistema de equações 
lineares através da regra de Cramer. 
 
 
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5 Conclusão 
Neste trabalho foi possível constatar que os sistemas de equações lineares se 
originaram da necessidade do homem para resolver os problemas do cotidiano, como 
em criações de animais e plantações. Vale destacar a importância de se conhecer a 
história da Matemática, para que os conteúdos desta disciplina sejam repassados aos 
alunos de maneira significativa. Neste caso os sistemas de equações lineares, as 
matrizes e os determinantes, que são normalmente explorados separadamente no 
ensino fundamental e médio, podem sim ser trabalhados simultaneamente e 
conjuntamente. Como já foi exposto neste trabalho, essa indissociabilidade já existia 
muito antes da era cristã. 
 
6 Referências 
 
BOYER, Carl B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: 
Blücher, 1996. 
BLOG Matemática na Área. A Origem dos Quadrados Mágicos. Disponível em: < 
http://matematicanaarea.blogspot.com.br/2009/12/v-behaviorurldefaultvml-o.html>. 
Acesso em: 01/10/2017. 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, Volume Único: Livro do Professor. 1. ed. São 
Paulo: Ática, 2005. 
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. 
Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004. 
JÄNICH, Klaus. Álgebra Linear. Trad. José Antonio e Souza. Rio de Janeiro: LTC, 
1998. 
KRAIESKI, Protasio. ABORDAGEM DE MATRIZES NO ENSINO MÉDIO: Uma 
avaliação crítica através dos livros didáticos com sugestões de aplicações. 
Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/94914>. Acesso em: 
03/02/2014. 
LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear: Teoria E Problemas. 3. Ed. Tradução 
Alfredo Alves de Farias com colaboração de Eliana Farias e Soares; revisão técnica 
Antonio Pertence Júnior. 3ª ed. – São Paulo: Pearson Markron Books, 1994. – 
(Coleção Shaum). 
SÁ, Lúcia Fernanda. Estudos dos Determinantes. Disponível em: 
<http://www.uff.br/dalicenca/images/stories/caderno/volume5/Estudo_dos_Determina
nte s.pdf>. Acesso em: 02/01/ 2014.