Apostila de Cálculo Numérico

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1
 
URI-Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões
Cálculo Numérico 
Prof. Anderson Marolli - Depto. de Matemática – Ed. 2015/2. 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE 
 
1.1. Representação de Números num Sistema de Aritmética de 
Ponto Flutuante 
 
O Sistema Computacional de Aritmética de Ponto Flutuante é 
utilizado por calculadoras e computadores na representação dos 
números e execução das operações. Um número qualquer na base β 
em aritmética de ponto flutuante de t dígitos tem a forma: 
 
 
 
 
 
 
d1 0≠
 
- um número em aritmética de ponto flutuante está normalizado se
 
- o número máximo de dígitos da mantissa (t) é definido em termos do 
comprimento da palavra do computador 
- dado um número N, sua representação em aritmética de ponto 
flutuante de t dígitos é efetuada por truncamento ou arredondamento. 
- erros decorrentes da impossibilidade de se representar um número 
dado: 
"OVERFLOW" SE e M> 
"UNDERFLOW" SE e m< 
 
Preservamos o máximo de exatidão normalizando todos os resultados. 
 
Ex.: 
t m
M
= = −
= =
3 4
10 4β 
 
 REPRESENTAÇÃO 
x ARREDONDAMENTO TRUNCAMENTO 
1,25 
2.71828 
-238.15 
0.000007 
718235.82 
0.125 x 10 
0.272 x 10 
-0.238 x 103 
- 
- 
0.125 x 10 
0.271 x 10 
-0.238 x 103 
- 
-
 
 
 
onde
 é a é a mantissa , 0 ≤ dj ≤ β - 1, j = 1, ... t e é um 
expoente no intervalo [m, M] 
 
Observações: - m, M dependem da máquina utilizada 
 
 2
Uma representação com t dígitos na mantissa é dada estar em precisão 
simples. Um sistema de precisão dupla é um sistema de aritmética de 
ponto flutuante com aproximadamente o dobro de dígitos disponíveis 
para a mantissa 
 
1.2. ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS 
 
ERRO ABSOLUTO: É a diferença entre o valor exato de um número 
x e seu valor aproximado x : 
EA x x
X
= − 
Ex.: ( )pi pi∈ 314 315. , . , um valor tomado dentro deste intervalo, 
EA
pi
pi pi= − < 0 01. (limitante superior p/ o módulo do erro) 
Ex.: 
( )x x
EA
x
=
⇒ ∈
<
2112 9
2112 8 2113
01
.
. ,
.
 
EAy
y y
<
=
⇒ ∈
01
5 3 5 2 5 4
.
. ( . , . ) 
 
ERRO RELATIVO: É o quociente do erro absoluto pelo valor 
aproximado: 
 
ER
EA
x
x x
x
x
x
= =
−
 
 
Ex.:
 
x
ER
EA
x
x
EA
x
x
x
=
⇒ = < ≅
<
−
2112 9
01
2112 9 4 7 10
01
5
.
.
.
,
.
 
1.0
02.0
3.5
1.0
3.5
<
≅<=⇒
=
y
y
y
EA
y
EA
ER
y
 
 
∴ o erro relativo fornece uma indicação do grau de precisão da 
representação. 
 
 
1.3. ERROS DE ARREDONDAMENTO E TRUNCAMENTO 
EM UM SISTEMA DE ARITMÉTICA DE PONTO 
FLUTUANTE 
 
Se um dado número x não tem representação finita na base numérica 
empregada numa máquina, ou se o comprimento da palavra não 
comporta x, uma aproximação será obtida por arredondamento ou por 
truncamento. Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de t 
dígitos (base 10); x pode ser escrito na forma: 
 
 
 3
 
.10 11.01010 <≤<≤×+×= − xx
te
x
e
x gefondegfx
 
Exemplo: 
7.02345.0
107.0102345.0
57.234,4
13
==⇒
×+×=
==
−
xx gef
x
xt
 
 
 
TRUNCAMENTO: 
O termo 
 ter)pode f que mínimo valor o é 0.1 (pois
10
101.0
10
10
10
)1|g| (pois1010
10
 dodespreza é10
x
1
x
+−
−
−
−−
−
=
×
<
×
×
==
<<×=−=
×=∴
×
t
e
te
e
x
te
xx
x
tete
xx
e
x
te
x
f
g
x
EA
ER
gxxEA
fx
g
 
 
 
ARREDONDAMENTO: 
 
Arredondamento simétrico: 
 






≥+×
<×
=
−
2
1
,1010
2
1
,10
x
tee
x
x
e
x
gsef
gsef
x 
 
110
2
1
101.0
1021
10
10
10
2
110
:
2
1
+−
−
−
−−
×=
×
×
<
×
×
==
<×=−=
<
t
e
te
e
x
te
xx
x
tete
xx
x
f
g
x
EA
ER
xgxxEA
gSe
 
 
( ) ( )
( )
 
10
2
1
101.0
1021
10
1021
1010
1021
10
2
1101 
1010 
10101010
:21
1+−
−−
−
−
−−
−−
−−
×=
×
×
<
×
×
<
+×
×
≤=
×≤×−=
−×=
+×−+×=−=
≥
t
e
te
e
x
te
tee
x
te
x
x
tete
x
tete
x
tee
x
te
x
e
xx
x
ffx
EA
ER
xg
g
fxgfxxEA
gSe
 
 
 4
 
RESUMO 
 
TRUNCAMENTO
 
EA
ER
x
e t
x
t
<
<
−
− +
10
10 1
 
ARREDONDAMENTO 
110
2
1
10
2
1
+−
−
×<
×<
t
x
te
x
ER
EA
 
 
Exemplo: 
2
4
101272.0
? 
10937.0
×=
=+
×=
y
yx
x
 
 
Solução 
A mantissa do número de menor expoente deve ser deslocada para a 
direita de um número de casas igual à diferença entre os dois 
expoentes. 
 
{x x y x
x y x x
= =
∴ + = + =
−
0937 10 0 001272 10
0 937 0 001272 10 0 938272 10
4
4 2
4
4 4
. .
( . . ) .
resultado exato
1 244 344
 
 
Sistema com t = 4 
truncamento x y x
arredondamento x y x
= + =
= + =
0 9382 10
0 9383 10
4
4
.
.
 
 
Para o caso de arredondamento: 
414
15
10510
2
1
10
2
1109841.2
9383.0
9383.0938272.0)()(
−+−
+−−
+
==
<=
−
=
+
+−+
=
x
x
yx
yxyxER tyx
 
Ex.: 
x
x
x
x
1
2
1
01246 10
0 3290 10
=
=
−
.
.
 
( )
)( 101278.101278. 
10003290.1246. 103290.101246.
1
21
1
111
21
otruncamentxx
xxx
×=+∴×=
+=×+×=+ −
 
 
Exemplo: 
x.y = ? 
Solução: 
6
6
6
6
24
101192.0.
101191.0.
101191864.0
10)1272.0937.0(
)101272.0()10937.0(.
×=
×=∴
×=
×=
×=
yxentoarredondam
yxotruncament
x
xxyx
 
 
 
 5
O zero em ponto flutuante é, em geral, representado com o menor 
expoente possível da máquina. O exemplo a seguir ilustra a razão 
desta necessidade. 
 
Exemplo: 
 
x x
y x
x y x x
x y x
=
=
⇒ + = + =
⇒ + =
0 0000 10
01234 10
0 0000 0 001234 10 0 001234 10
0 0012 10
4
2
4 4
4
.
.
( . . ) .
.
 
 
∴ Exemplo de zero de ponto flutuante: 0 0000 10 50. x − 
 
1.4. PROPAGAÇÃO DE ERRO
 
 
Obtenção de expressões para os erros absoluto e relativo no resultado 
de cada uma das quatro operações aritméticas, como funções de seus 
operandos e de seus erros. 
 
(a) Adição (x+y) 
)()()()( yxyx EAEAyxEAyEAxyx +++=+++=+ 
∴EA EA EA
x y x y+
= + 
ER
EA
x y
EA
x
x
x y
EA
y
y
x yx y
x y x y
+
+
=
+
=
+





+
+





 =. 
⇒ ER ER
x
x y
ER
y
x yx y x y+
=
+





 +
+





. 
 
(b) Subtração (x-y) 
EA EA EA
x y x y−
= − 
ER ER
x
x y
ER
y
x yx y x y−
=
−





−
−





. 
 
(c) Multiplicação: (x.y)
 
x y x EA y EA xy xEA yEAx y y x. ( ).( )= + + = + + +
 
∴ ER x EA y EA
x y y x.
. .= + 
 
ER
x EA y EA
x y
EA
x
EA
yx y
y x x y
.
. .
.
=
+
= + 
∴ER ER ER
x y x y.
= + 
 
 
(d) Divisão (x/y) 
 
x
y
x EA
y EA
x EA
y EA
y
x EA
y
EA
y
x
y
x
yx y
=
+
+
=
+
+






=
+
+






−
.
1
1
1
1
 
 
 6
aproximaç ão do binômio
r nr p rn( ) , /1 1 1+ ≅ + << 
 
∴ ≅
+
−






x
y
x EA
y
EA
y
x y
. 1 
= − + −
x
y
xEAy
y
EAx
y2
 
∴ ≅ + −
∴ ≅ −
x
y
x
y
EA
y
x EA
y
EA
EA
y
x EA
y
x y
x y
x y
.
.
/
2
2
 
∴EA
y EA x EA
yx y
x y
/
. .
=
−
2 
 
ER
y EA xEA
y
y
x
EA
x
EA
yx y
x y x y
/
.
.=
−
= −2 
 
∴ = −ER
EA
x
EA
yx y
x y
/
 ∴ER ER ER
x y x y/
= − 
 
Exemplo: 
Sistema de aritmética de ponto flutuante 
 
t = 4
= 10β 
dosrepresentaexatamente merosnú
102585.0
102145.0
107237.0
1
3
4





×=
×=
×=
−
z
y
x
 
Efetuar as operações e obter o erro relativo no resultado 
(arredondamento) 
(a) x + y + z (d) (x y)/z 
(b) x - y -z (e) x . (y/z) 
(c) x/y 
 
Solução de (b) 
{w x y z
s
s
= − −
1
2
124 34
 
4
1
4
4
1
107237.0
1072369998.0
10)00000002.07237.0(
×=∴
×=
×−=−=
s
yxs
 
 
 
4
2
44
12
314
1
107234.0
107234415.010)0002585.07237.0(
10
2
110
2
1
×=∴
×=×−=−=
×=×<∴ −+−
s
zss
ERs
 
 
 7
ERs ERs
s
s z2 1
1
1
=
−





−.
z
s z
RA
1
−





+
 
143
2 102
1
7234.0
7237.010
2
1 +−− ×+×<∴ xERs 
 
3
4
3
2
100002.1
107234.0
100002.1
−
−−
−
×<
×=−−∴
×<
zyxER
zyx
ERs
 
 
 
Exercício: 
Supondo que x é representado num computador por x , onde x é 
obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os 
erros relativos de u=2x e w=x +x . 
Respostas: 
ERu
ERw
t
t
<
<
− +
− +
10
10
1
1 
 
Exercício: 
Idem para u 3x e w = x + x + x 
Respostas: 
ERu e ERw xt t< <− + − +10
4
3
101 1 
 
Exercício:
 
Sejam x e y as representações de x e y obtidas por arredondamento 
em um computador. Deduza expressões de limite de erro para mostrar 
que o limite do erro relativo de u = 3x - y é menor que o limite do 
erro relativo de w=( ) .x x x y+ + − 
Respostas: 
ER x ER xu
t
w
t< <− + − +2 10 7
3
101 1 
 
 
Exemplo: 
Solução do item (d) do exemplo anterior: 
{
1
1
134
1
101552.0
10152336.0102145.07237.0(.
/).(
2
1
×=∴
×=×==
=
−
s
xyxs
zyxw
s
s 4321
 
 
6004.0
6003868.0
10)2585.01552.0(
10
2
1
10
2
110
2
110
2
1
2
11
12
3
1
3141
1
=∴
=
×==
<∴
×==×<∴
−
−
−+−+−
s
zss
ERs
ERs t
 
 
 8
 
 
 
∴ < + =− − −ERs
2
3 3 31
2
10
1
2
10 10 
 
∴( . ) / .
( . ) /
x y z
ER x y z
=
<
−
06004
10 3 
 
Solução do item (e):
 
w x y z
s
s
= . ( / )
1
2
123
124 34
 
4
1
413
1
108298.0
108297872.010)2585.02145.0(
−
−−
×=
×=×==
s
zys
 
 
 
6005.0
6005262.010)8298.07237.0(.
2
44
12
=∴
=×== −
s
xsxs
 
ERs2 = ERs RA ERs1 2
3 31
2
10 1
2
10+ ∴ < +− −
 
 ⇒ < −ERs
2
310 
 
∴( . ) / .
. ( / )
x y z
ERx y z
=
<
−
0 6005
10 3 
 
Ex.:
 implementação com dígito de proteção ou dígito de guarda: 
(imediatamente à direita da mantissa do número de menor expoente). 
 
( ) 3321
2
2
3
1
1007467.1003173.1064.
103173.
101064.
×=×−=+
×−=
×=
xx
x
x
 
com dígito de guarda: x x x
1 2
27467 10+ =. 
sem digito de guarda: x x x
1 2
27460 10+ =. 
 
Exemplo: 
 
ivo!significat é não zero este 
 
106550.100655.
101976.102631.
1
21
2
21
2
2
2
1
↑
×=+∴×=+
×=×=
xxxxx
xx
 
 
Exemplo: 
99
21 10999.10999. ×=×= xx 43421 
Supor que é o maior valor possível na representação da máquina: 
 
 
 9
flutuantepontodeOverflowxx ""109998.1 9921 ⇒×=+∴ 
(interrupção). 
 
 
1.5. REPRESENTAÇÕES EM DIFERENTES SISTEMAS DE 
NUMERAÇÃO 
 
 
a) decimal flutuante
 
Notação utilizada: 
x f
f
e
=
≤ <
. 10
1
10
1 
f mantissa
e característica
:
:


 
 
 
entoarredondamER
otruncamentER
t
x
t
x
1
1
10
2
1
10
+−
+−
<
<
 
 
 
 
b) máquina binária 
 
x f
f
e
=
≤ <
. 2
1
2
1 
Porquê f ≥ 1
2
 para base 2? 
 
Ex.: Considere-se o decimal 30: 
)(246875.030
)(29375.030
6
5
bou
a
×=
×=
 
 
Optando-se por (a): 
9375.0
16
1
8
1
4
1
2
11111.0
1110.0
020
0.125.0
50.1275.0
75.12875.0
875.129375.0
=+++→








=×
=×
=×
=×
=×
x
 
 
Optando-se por (b): 
 
0.467875 x 2 = 0.9375 
 . 
1o dígito = 0 
 
ER arredondamento
ER truncamento
x
t
x
t
<
<
−
− +
2
2 1
 
 
 
c) sistema 
hexadecimal 
x f
f
e
=
≤ <
. 16
1
16 1
 
 
 
 
ER x arredondamento
ER x truncamento
x
t
x
t
<
<
−
−
8 16
16 16
 
 
 
 
 10
Exercício: obter as expressões dos erros relativos para os sistemas 
binário e hexadecimal. 
 
 
Diz-se que um computador digital tem uma precisão de t dígitos se há 
t dígitos na mantissa no número de ponto flutuante. A precisão está 
relacionada com o número de algarismos significativos. Também se 
diz que um computador tem t dígitos significativos se, quando os 
números são truncados, o limite do erro relativo é 10 1− +t . 
 
 
Exemplo: IBM 360 e 370 
 mantissa com 6 dígitos hexadecimais 
 p = ? (dígitos significativos) 
 
sist. decimal = 10 101 1− + − +=td p 
sist. hexadecimal = 56 1616161616 −−− == xx th 
 
∴ =− + −10 161 5p 
( )
7
10ln
16ln51
10ln
16ln51
16ln510ln1
≅⇒+=
−
=+−
−=+−
pp
p
p
 
 
Exercício: computador binário com 27 bits na mantissa; p = ? 
(dígitos decimais significativos). 
 
 
Apêndice ao capítulo: breves considerações sobre sistemas de 
numeração 
 
A tabela a seguir sumariza algumas das características de algumas 
bases de sistemas de numeração: 
 
BASE DÍGITOS DENOMINAÇÃO 
 2 
 8 
 10 
 16 
0,1 
0,1,2,...,7 
0,1,2,...,7,8,9 
0,1,2,...,9,A,B,C,D,E,F, 
binário 
octal 
decimal 
hexadecimal 
 
Considere-se inicialmente o número 2526 (base 10), denotado aqui 
por 2526
10
 Este número pode ser escrito em termos de potências da 
base como: 
 
2526 2 10 5 10 2 10 6 10
10
3 2 1 0
= + + +x x x x 
 
 
Mudança de uma base para outra 
 
Para conversão de um número da base 10 para qualquer uma das 
outras bases, divide-se o número pela base, anotando-se o quociente e 
o resto. Caso o quociente seja diferente de zero, este deverá ser 
dividido pela base, anotando-se os novos valores de quociente e resto. 
O processo deve ser continuado até que se obtenha um quociente igual 
a 0. O número, na base de interesse, terá como dígitos os restos 
obtidos, justapostos em ordem contrária à de geração. 
 
 
 
 11
Exemplo: Converter 29
10
 para os sistema binários, octal e 
hexadecimal. 
 
 
29 2 
(1) 14 2 29 1110110 2= 
 (0) 7 2 
 (1) 3 2 
 (1) 1 2 
 (1) 0 
 
 
29 8 
(5) 3 8 29 3510 8= 
 (3) 0 
 
 
29 16 
(13) 1 16 29 110 16= D 
 (1) 0 
 
 
Para conversão da representaçãonas bases 2, 8 e 16, para a base 10, 
basta utilizar a representação do número em termos de potência das 
bases, como ilustrado no exemplo a seguir. 
 
Ex.:
 mostrar como são convertidos as representações 11101
2
, 
35 10
8 16
e para base 10 
 
( )
( )
( )
11101 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2 29
35 3 8 5 8 29
10 1 16 13 16 29
2
4 3 2 1 0
10 10
8
1 0
10
16
1 0
10
= + + + + =
= + =
= + =
x x x x x
x x
x x
 
 
Para conversão da representação na base 2 para as bases 8 e 16, basta 
agrupar os bits da representação binária em conjuntos de 
( ) ( )3 2 8 4 2 163 4= =e bits, respectivamente, como ilustrado no 
exemplo a seguir. 
 
 
Ex.: obter as representações nas bases 8 e 16 para o número 11101
2
 
 
{{011101
11101 35
2 2 5
2 2 3
2 8
2 0
1 0
⇒ =
+ =
+ = 
 
 
0001 1101
11101 1
2 2 2 13
2 1
2 16
3 2 0
0
123 123
⇒ =
+ + =
=
D
 
 
 
Os exemplos a seguir ilustra a conversão de números fracionários, de 
base 10 para base 2. 
 
 
 
 
 12
Ex.: obter a representação, na base 2, do número 0687510. 
 
0.6875 x 2 = 
0.375 x 2 = 
0.75 x 2 = 
0.50 x 2 = 
0.00 x 2 = 
1. 
0. 
1. 
1. 
0. 
375 
75 
50 
00 
00 
 
∴ =0 6785 0101110 2. . 
 
Observar que a conversão para a base 10 segue o mesmo esquema 
apresentado para inteiros, ou seja: 
( )01011 1 2 0 2 1 2 1 2 0 6875
2
1 2 3 4
10 10
. .= + + + =− − − −x x x x 
 
 
Ex.: obter a representação, na base 2, do número 0.110
 
0.1 x 2 = 0.2 
0.2 x 2 = 0.4 
0.4 x 2 = 0.8 
0.8 x 2 = 1.6 
0.6 x 2 = 1.2 
0.2 x 2 = 0.4 
0.4 x 2 = 0.8 
0.8 x 2 = 1.6 
0.6 x 2 = 1.2 
 . 
01 0 00011001100
10
. . ...= 
 
Notar que o número 0110. não tem representação exata na base 2. 
CAPÍTULO 2 
 
RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há a necessidade de se 
determinar um número ρ que anule uma determinada função F(x), isto 
é, F(ρ ) = 0. Este número ρ é chamado de raiz da equação F(x) = 0 
ou zero da função y= F(x). 
 
Classificação: 
 
(i) eq. algébricas: Ex.: x x x x4 3 25 6 4 8 0− + + − = 
(ii) eq. transcendentes: Ex.: x x x e xxsen ( ) cos+ + =2 4 
 
Etapas no cálculo de uma aproximação para a raiz: 
 
(i) isolamento da raiz: determinação de um intervalo [a,b] o menor 
possível contendo uma e somente uma raiz da equação F(x) = 0 
(ii) melhoramento do valor da raiz aproximada até o grau de exatidão 
requerido. 
 
 
EQUAÇÕES TRANSCENDENTES 
 
2.1.1 ISOLAMENTO DE RAÍZES - MÉTODO GRÁFICO 
 
Uma raiz real de uma equação F(x) = 0 é a abscissa de qualquer ponto 
no qual a função y = F(x) intercepta o eixo 0x: 
 
 13
 
Ex.: seja y = F(x) = ex - senx - 2 
 
-2 -1 1 2 3 4
-1
-0.5
0.5
1
 
 
Como se observa, para esta equação, 06.1≅ρ . 
 
Pode-se também identificar duas funções g(x) e h(x) a partir da 
função F(x), impondo-se a condição de que F(x) = g(x) - h(x). 
Constroem-se os gráficos de y1 = g(x) e de y2 = h(x). Estes se 
interceptam num ponto cuja abscissa é x = x0: 
 
 
⇒ g(x0) - h(x0) = F(x0) = 0 
⇒ ρ = x0 
 
 
Exemplo:
 isolar todas as raízes da equação 
{ 43421
)()(
2
2
)1(sen
1sen)(
xhxg
xx
xxxF
+−=
−−=
 
Gráfico de 2)( xxg = : 
 
-2 -1 1 2
1
2
3
4
 
 
 
 
 14
Gráfico de h(x) = sen x + 1: 
 
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
 
 
 
Gráficos de g(x) e h(x) superpostos: 
 
 
-2 -1 1 2
1
2
3
4
 
 
 
Como se observa, há duas raízes reais, localizadas nos seguintes 
intervalos: 
)2,1(
2
)0,1(
1
∈−∈ ρρ e . 
 
 
Exercício: 
Localize, graficamente, as raízes das equações abaixo: 
032)
0
2
)
01log)
039)
0)cos(4)
3
2
=−
=−
=−
=+−
=−
xe
xtgxd
xxc
xxb
exa
x
x
 
 
 
2.1.2 GRAU DE EXATIDÃO DA RAIZ
 
Uma vez isolada uma raiz num intervalo [a,b] passa-se a calculá-la 
através de métodos numéricos. Estes métodos fornecem uma 
seqüência {xi}de aproximações cujo limite é a raiz exata ρ. 
 
 
TEOREMA: Seja ρ uma raiz isolada exata e ρ uma raiz aproximada 
da equação F(x)=0, com ρ e ρ pertencentes ao intervalo [a,b] e 
.b][a, intervalo nox todopara,0)(' >≥ mxF 
Então a seguinte desigualdade se verifica: 
 
m
F )(ρρρ ≤−
 
 
 
Exemplo:
 Sendo 1)sen()( 2 −−= xxxF , delimitar o erro cometido 
com ρ = 1.4 no intervalo [1,0,1,5]. 
 
Resolução: 
 
 
 15
)cos(2)('1)sen()( 2 xxxFxxxF −=⇒−−= 
 
Designando ),cos(2 21 xyexy == sobrepondo-se os gráficos destas 
duas funções, obtém-se: 
 
0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
 
 
 
Observa-se que o menor valor (m) de F’(x) no intervalo [1,1.5] ocorre 
em x = 1.0, ou seja: 
m = (2)(1) – cos(1) = 1.460 
 
=≤−∴
m
F )(ρρρ 017,0
46,1
025,0
460,1
)4,1(
==
F
 
417,1383.1017,04,1 ≤≤⇒≤−=−∴ ρρρρ
 
 
Observa-se que o cálculo de m é difícil de ser efetuado na maioria dos 
casos. Por esta razão, no cálculo de uma aproximação para uma raiz 
exata ρ de uma equação F(x) = 0, a cada aproximação obtida, xn, 
utiliza-se um dos critérios abaixo para comparação do resultado obtido 
com uma tolerância L prefixada: 
 
L
nx
nxnxiiiLnxnxiiLnxFi ≤
−
−
≤
−
−≤ 1)(1)()()( 
 
Observações:
 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
 16
 
O MÉTODO DA BISSECÇÃO 
 
 
Seja y = F(x) uma função contínua num intervalo [a,b] e F(a). F(b) < 0 
 
 
Interpretação geométrica: 
 
Construção de uma seqüência { }x x x x xi n n= −0 1 1, ,..., , , tomando-se 
ρ = xn quando algum critério escolhido dentre os anteriores, por 
exemplo, x x Ln n− ≤−1 , for satisfeito: 
 
 
Na aplicação do método, a cada xi obtido, (i ≥ 1), calcula-se 
∈ = −
−i i ix x 1 e verifica-se ∈i satisfaz alguma condição especificada. 
 
 
Teorema:
 
Seja y = F(x) uma função contínua num intervalo [a,b]. Se 
0)().( <bFaF então existe pelo menos um ponto x = ρ entre a e b 
que é zero de y = F(x). 
 
 
 
Sob as hipóteses do teorema anterior, se h = F'(x) existe e preserva o 
sinal em (a, b), então este intervalo contém um único zero de y = F(x). 
 
 ],[,0)(' baxxF ∈∀> ],[,0)(' baxxF ∈∀< . 
 
 
 17
 
Aplicação do método da bisseção: 
 









<
<
=
<
0)().(),(
0)().(),(
0)().(
),(
int
bFxFsebx
ou
xFaFsexa
médiopontox
bFaF
ba
i
ervalo
novo
i
ii
i 321
 
 
 
Exemplo:
 
Determinar, usando o método da bisseção uma aproximação para a 
raiz da equação 
0.01 com (1,2), intervalo no 05)( ≤=−= − εxexxF
 
Resolução: 
i a b xi F(a) F(b) F(xi) ε i i ix x= − −1 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
1 
1 
1.25 
1.38 
1.38 
1.41 
1.43 
2 
1.5 
1.5 
1.5 
1.44 
1.44 
1.44 
1.5 
1.25 
1.38 
1.44 
1.41 
1.43 
1.44 
-0.8 
-0.8 
-0.3 
-0.08 
-0.08 
-0.03 
-0.0007 
0.7 
0.1 
0.1 
0.1 
0.02 
0.02 
0.02 
0.1 
-0.3 
-0.08 
0.02 
-0.03 
-0.0007 
0.02 
ε
i
x x= − =
1 0
0 25.
ε
2 2 1
013= − =x x .
ε
3 3 2
0 06= − =x x .
ε
4 4 3
003= − =x x .
ε
5 5 4
0 02= − =x x .
ε
6 6 5
0 01= − =x x . 
 
Assume-se para aproximação da raiz o último valor obtido para xi, ou 
seja, 44.1=ρ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.4 MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (MIL) 
 
O MIL consiste em transformar a equaçãoF(x) = 0 na equação x = ϕ 
(x), tal que ( ) ( )F x x x= − =ϕ 0 , onde ( )ϕ x é chamada de função de 
iteração. 
 
Suponha que xo corresponda a uma primeira aproximação de ρ; 
geramos uma seqüência do seguinte modo: 
 
 
 18
xo 
x1 = ϕ (xo) 
x2= ϕ (x1) 
xn+1= ϕ (xn) 
Se {xn} é uma seq. convergente, então ∃ ρ tal que 
lim
n
nx
→∞
= ρ 
Como ϕ é contínua: 
)()lim()(limlim 11 ρϕϕϕρ ==== −
∞→
−
∞→∞→
n
n
n
n
n
n
xxx 
Portanto, quando ,∞→n ).()(1 ρϕρϕ =→=+ nn xx Ou seja, .ρρ = 
 
Exemplo: 
Seja 0)sen()( 2 =−= xxxF . Obter funções de iteração para esta 
equação. 
 
Solução:
 
(a) x2 - sen x = 0 
x + x2 - sen x = x 
( ) xxxx sen 21 −+=∴ϕ 
 
( )
senx= x
sensensen 
0sen 
2
2
±
=+−
=−
xxxx
xxb
 
( ) xx sen 2 =∴ϕ 
 
( )
2
2
222
2
 sen 
sen 
sen 
0sen 
xarcx
xx
xxxx
xxc
=
=
−=/−−/
=−
 
( ) 23 sen xarcx =∴ϕ 
 
 
Exemplo:
 
Determinar uma aproximação para a raiz da equação 
( )F x x x= − − =2 1 0sen no intervalo [1.0, 1.5], com grau de exatidão 
310−∈≤ usando o M.I.L. 
 
Solução:
 
Função de iteração: 
( )
1sen
1sen
01sen
2
2
+=⇒
+=⇒
=−−=
xx
xx
xxxF
 
( ) 1sen +=∴ xxϕ 
 
Processo Iterativo: 
( ) ( )
3.1
10 1sen 3111
=
≤−=+=⇒= −
−++
o
nnnnnnn
x
xxxxxx εϕ
 
( ) ( ) 4013.113.1sen1 =+== oxx ϕ 
001.01013.03.14013.111 >=−=−= oxxε 
 
 19
( ) ( ) 4091.114013.1sen12 =+== xx ϕ 
001.00078.0140134091.1122 >=−=−= xxε 
( ) ( ) 4096.114091.1sen23 =+== xx ϕ 
001.00005.0140914096.1233 <=−=−= xxε 
∴ = ρ 14096. 
 
com grau de exatidão ≤ − 10 3 
Obs.: ( ) ( ) ( ) 52 1038.614096.1sen4096.1 −−=−−= xF ρ . 
 
 
Exemplo: 
Seja determinar, iterativamente, uma aproximação para 5 . 
 
(a) tentativa com a função de iteração simplificada: 
x
a
x
ax
ax
=
=
=−
2
2 0
 
 
(função de iteração : x = ϕ(x)) 
x
a
x =)(ϕ
 
)(
4.1
5
1
0
nn xx
x
a
ϕ=



=
=
+
 
 
 
5.1
333.3
5)(
333.3
5.1
5)5.1()(
5.1
12
01
0
===
====
=∴
xx
xx
x
ϕ
ϕϕ
 
( ) 0x=xF 
equação da raiz a para converge não 5)(
333.3
5.1
5)(
2
1
23
=−
==∴
===
+
a
x
xx
xx
n
nn ϕ
ϕ
 
 
(b) 
 tentativa com uma função de iteração mais trabalhada: 
x
a
xaxax =⇒=⇒=− 22 0 






+=∴=






+=∴+=+
++
n
nnnn
x
a
xxxx
x
a
xxx
x
a
xx
2
1)(
2
1
11 ϕ
 
 



=
=
5.1
5
0x
a
 





+=+
n
nn
x
a
xx
2
1
1 
 
1n
-3
 :passo cada 
10 :TOLERÂNCIA
−
−=
≤
nn xxa ε
ε
 
 





=−=
=





+=





+==
=
917.05.1417.2
417.2
5.1
55.1
2
15
2
1)(
5.1
1
0
001
0
ε
ϕ
x
xxx
x
 
 
 20





=−=
=





+==
174.0417.2443.2
243.2
417.2
5417.2
2
1)(
2
12
ε
ϕ xx
 





=−=
=





+==
007.0243.2236.2
236.2
243.2
5243.2
2
1)(
3
23
ε
ϕ xx
 
236.2236.2
10236.2236.2
236.2
236.2
5236.2
2
1)(
3
4
34
≅⇒=∴





<−=
=





+==
−
ρρ
ε
ϕ xx
 
Obs.: K2360679.25 = 
 
 
Convergência no M.I.L. 
 
Para o caso da equação x = 5 , com xo = 1 5. , observamos que: 
( ) convergenão
x
x 
5
1 =ϕ 
( ) convergex 
x
5
+x
2
1
2 





=ϕ 
Por quê? Para concluir sobre isto, basta verificar o comportamento do 
M.I.L. geometricamente. Observe-se inicialmente a situação ilustrada 
na figura a seguir: 
 
( )
( )
( )
( )
( )








=
=
=
=
=
23
12
01
0
0
...
xx
xx
xx
x
xx
xF
LIM
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )x
x
xhxgxF
xxxx
ϕ
ϕϕ
=
=
=−=
=−⇒=
xh 
xg :onde
0
0
 
( )
( )( )1'
! 
direita pela 
=
=
→
xg
bissetrizéxgy
xn ρ
 
 
( ) 1' <∴ xϕ numa vizinhança de ρ. 
 
Observe-se agora a situação ilustrada na figura a seguir: 
 
 21
 
.1)(' ρϕ devizinhançanumax > 
 
A figura a seguir ilustra a situação de “convergência alternada”. 
 
 
 
 
 
 
1)(' <xϕ
 
 
Teorema da Convergência de M.I.L.:
 
 
Seja xo uma aproximação para a raiz ρ da equação F(x) = 0 numa 
vizinhança [ ]., δρδρ +−=I Seja ϕ uma função de iteração para a 
equação F(x) = 0 e suponha-se que ϕ e ϕ ' sejam contínuos em I. 
Então, se ( ) , ,1 ' Ixx ∈∀<ϕ a sequência gerada por 
( ) K,3,2,1,0 ,1 ==+ nxx nn ϕ converge para ρ. 
 
Observação: como o valor de ρ é desconhecido, substitui-se o valor de 
xo na derivada para se concluir sobre a convergência. 
 
Esboço da demonstração: 
 
M.I.L. 
( ) ( )ρϕϕρ −=−
−1nn xx 
 
Teorema do valor médio: 
 
( ) ( ) ( ) ρεϕρϕϕρ −=−=−∴
−− 11 ' nnn xxx 
 
 22
Seja L o valor máximo de ( )ϕ ' x no intervalo I, ou seja, ( ) Lx ' ≤ϕ no 
intervalo I. 
ρρ −≤−∴
−1 nn xLx 
Do mesmo modo 
ρε
ρρ
ρρρρ
→⇒∀〈
−≤−∴
−≤−⇒−≤−
−−−
n
n
n
nnnn
xnIxLSe
xLx
ocontinuand
xLxxLx
 aumentando , intervalo, todoem 1 
 
 
0
0
2
2
21
 
( )
( )
 
 
 diverge processo o 1 ' 
converge processo o 1 '
Ix
x
x
ε
ϕ
ϕ
∀




〉
〈∴
 
 
Exemplo: estudar a convergência das funções de iteração do exemplo 
anterior. 
 
Resolução: 
( ) 5.1 5 0 02 ===−= xaaxxF 
( ) ( )
( )
( ) ( )
ρϕ
ϕ
ϕ
ϕ
 para converge não 
1 222.2
25.2
5
5.1
5
 
 
 
1
22
0
0
'
1
2
'
1
1
>====
−=
=
x
a
x
x
a
x
x
a
xa
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
ρϕ
ϕ
ϕ
ϕ
 para converge 
1 < 611.0222.21
2
1
= 
96.1
51
2
1
 
1
2
1
 
2
1
 
2
0
'
2
2
'
2
2
=−





−=






−=






+=
x
x
a
x
x
a
xxb
 
 
Observações: 
(1) A maior dificuldade de M.I.L. está em encontrar uma função 
de iteração ϕ satisfazendo o critério de convergência. 
(2) O teste ( ) 1 ' 0 <xϕ pode levar a um engano se xo não estiver 
suficientemente próximo da raiz. 
(3) A velocidade de convergência dependerá de ( )ϕ ρ' : quanto 
menor este valor, mais rapidamente o processo convergirá. 
 
 
Exemplo:
 
( )
( )
( )
( ) 1 555.0
9
5
'
2360679.2 
3
5
0
2
0
0
0
2
<==−=
≅



=
=
=
=−=
x
a
x
x
a
x
a
x
axxF
ϕ
ρ
ϕ
 
 
 23
 
Aplicação:
 
( )
( )
( ) converge! não 667.1
999.2
5
999.2
667.1
5
667.1
3
5
3
23
12
01
0
===
===
===
=
xx
xx
xx
x
ϕ
ϕ
ϕ
 
 
Exemplo:
 estudar a convergência das funções de iterações obtidas 
anteriormente para a equação 
( ) 9.0 0sen 02 ==−= xparaxxxF , 
obter uma aproximação para a raiz da equação. 
 
Sol.:
 
( )
( )
( )
iteração de funções 
 sen 
 sen
sen
2
3
2
2
1






=
=
−+=
xarcx
xx
xxxx
ϕ
ϕ
ϕ
 
 
Derivadas: 
( )
( ) x
x
x
xx
 cos 
 sen2
1
 xcos12
'
2
'
1
⋅=
−+=
ϕ
ϕ
 
( ) x
x
x2 
1
1
4
'
3 ⋅
−
=ϕ 
No ponto :9.0 x0 = 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) 1 069.39.01
9.0.29.0
1 351.0
0885.2
622.0
9.0sen2
9.0cos9.0
1 178.29.0cos19.029.0
4
'
20
'
2
'
20
'
2
'
10
'
1
>=
−
==
<====
>=−+⋅==
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
x
x
x
 
 
∴Somente ( )
 2 xϕ deverá convergir. 
 
Isolamento da raiz: 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) .senxg= 
sen
2
2
xxhexxgondexh
xxxF
==−
−=
 
 
 
Aplicação de M.I.L ( ) ( ) 320 10 sen e 9.0 −〈=== εϕϕ xxxx 
 
 24
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 001.0 878.0879.0sen
006.0 879.0885.0sen
015.0 885.09.0sen
9.0
323
212
101
0
====
====
====
=
εϕ
εϕ
εϕ
xx
xx
xx
x
 
( ) ( )
( ) ( )
ρ para oaproximaçã uma é 877.0 
10 877.0877.0sen
001.0 877.0878.0sen
3-
545
434
=
〈===
====
ρ
εϕ
εϕ
xx
xx
 
Obs.: 
( ) ( ) ( ) ( ) 42 10051.3877.0sen877.0877.0 −=−== xFF ρ 
 
 
Exercícios: 
 
(1) Calcular a raiz da equação ( ) .01.0 com 0ln2 ≤=+= εxxxF 
Usar o M.I.L. ( )65.0 : =ρR 
(2) Calcular a raiz da equação ( ) .01.0 com 0103 ≤=−= εxxF 
Usar o M.I.L. ( )15.2 : =ρR 
(3) Calcular a raiz da equação ( ) 0332 =−+= xexxF , 
-310 com ≤ε , usando o M.I.L. ( )R: . ρ = 03521 
 
 
 
Adaptado para determinar uma aproximação para a raiz da equação 
( ) 01sen2 =−−= xxxF , usando a função de iteração: 
( ) 1sen += xxϕ 
 
 
 
 25
MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON (N-R) 
 
Descrição 
 
Seja I um intervalo contendo a raiz ρ da equação F(x) = 0. Suponha-se 
que F'(x) ≠ 0 ∀ ∈x I. 
F(x) = 0 0)('
)(
=−⇒
xF
xF
x
xF
xF
x =−⇒ )('
)(
 )('
)()(
xF
xF
xx −=∴ϕ 
∴ )('
)(
1
n
n
nn
xF
xF
xx −=+ 
,...2,1,0
)(
=
−
n
RN
 
 
Como no M.I.L., o objetivo é gerar uma seqüência {xn} a partir de 
uma aproximação inicial xo: 
)('
)()(
)('
)()(
)('
)()(
1
1
1
112
0
0
001
n
n
nnn
xF
xF
xxx
xF
xF
xxx
xF
xF
xxx
−==
−==
−==
+ ϕ
ϕ
ϕ
MM
 
Encontra-se portanto uma aproximação xn+1 de ρ. 
 
 
Exemplo: 
 
Seja calcular uma aproximação para a raiz da eq. F(x) = x2 - senx - 1 
= 0 no intervalo [1.0, 1.5], com grau de exatidão 310−≤ε , utilizando 
o método de N-R e adotando 3.10 =x . 
 
Resolução: 
 
xxxFy
xxxFy
cos2)(''
1sen)( 2
−==
−−==
 
 
Equação para iteração: 






−
−−
−=∴−= ++
kk
kk
kk
k
k
kk
xx
xx
xx
xF
xF
xx
cos2
1sen
)('
)( 2
11 
3101173.03.14173.1011
4173.1
3325.2
2736.0
3.1
)3.1cos()3.1(2
1)3.1sen(2)3.1(
3.11
3.10
−
>=−=−=
=
−
−=
−
−−
−=
=












xx
x
x
ε
 
4096.1
3100001.04097.14096.1233
4096.1
6590.2
41002.2
4097.1
)4097.1cos()4097.1.(2
1)4097.1sen(2)4097.1(
4097.13
0076.04173.14097.1122
4097.1
6817.2
0205.0
4173.1
)4173.1cos()4173.1.(2
1)4173.1sen(2)4173.1(
4173.12
=∴
















−
<=−=−=
=
−
−=
−
−−
−=
=−=−=
=−=
−
−−
−=
ρ
ε
ε
xx
x
x
xx
x
 
 
 
 
 26
 
 
)1(
)1(
12
)1(
)1()21(
)1()21()1(
)1(
21
0)1(
xF
xF
xx
xF
xF
xx
xFxxxF
xF
xx
xF
tg
′
−=⇒
′
−=−−⇒
=−′⇒
′=
−
−
=β
 
)0(
)0(
01
01)0(
)0(
)1(0()0()0(
)0(
10
0)0(
xF
xF
xx
xx
xF
xF
xxxFxF
xF
xx
xF
tg
′
−=⇒
−=
′
−⇒
−′=⇒
′=
−
−
=α
 
 
O método de N-R é conhecido como método das tangentes. 
 
∴ )('
)(
1
n
n
nn
xF
xF
xx −=+ 
,...2,1,0
)(
=
−
n
RN
 
 
 
Obtenção da fórmula de N-R a partir do desenvolvimento de 
y= f(x) em série de Taylor
 
 
...).(
!2
)("))(()f(x=f(x)
:Taylor de Fórmula
2
00
000
+−





+−′+
xxxf
xxxf 
0))(()(
...2,1,00))(()()(
1
11
=−′+⇒
==−′+=
+
++
nnnn
nnnnn
xxxFxF
nxxxFxFxF
 
0)(
)(
1 =−+
′
⇒ + nn
n
n xx
xF
xF
 
⇒ )(
)(
1
n
n
nn
xF
xF
xx
′
−=+ n = 0,1,2... 
 
 
SOBRE A CONVERGÊNCIA DO MÉTODO
 
Para que um processo iterativo x x= ϕ( ) seja convergente, devemos ter 
0,1)( Ix x ∈∀<′ϕ , onde I0 é uma vizinhança da raiz ρ da equação 
F(x)=0. 
2))((
)(").(
2))((
)(").(2))((2))((
2))((
)](").()().([
1)(
)(
)()(
xF
xFxF
xF
xFxFxFxF
xF
xFxFxFxF
x
xF
xF
xx
′
=
′
+′−′
=
′
−′′
−=′⇒
′
−=
ϕ
ϕ
 
Portanto, o processo será convergente se 
Interpretação Geométrica
 
 27
1)]([
)(").()( 2 <
′
=′
xF
xFxF
xϕ 
Observe-se que: 
10)]([
)(").()(
0)(
2 <=
′
=′
=⇒=
ρ
ρρρϕ
ρρ
F
FF
Fx
 
Se F’ e F’’ são contínuos em I, ϕ’ é contínua em I e, portanto, desde 
que ϕ ρ′ =( ) 0, existe uma vizinhança I I′⊂ tal que Ixx ∈∀<′ 1)(ϕ '. 
 
 
Conclusão: o método de N-R, quando pode ser aplicado, é sempre 
convergente. A dificuldade está em determinar este 
subintervalo I´ onde seguramente ϕ′ <( )x 1 . 
 
Exemplo:
 
Para o problema de se determinar uma aproximação para a raiz da eq. 
F x x x( ) sen= − − =2 1 0 no intervalo [1.0, 1.5], com x0 1 3= . , estudar 
quanto à convergência as funções de iterações utilizadas nos métodos 
M.I.L. e N.R. 
 
Resolução: 
 
(a) M.I.L
 
1sen2
cos
cos.
1sen2
1)(1sen)(
+
=
+
=′∴+=
x
x
x
x
xxx ϕϕ 
43421
1954.0
1)3.1sen(2
)3.1cos()( 0 <=
+
=′ xϕ 
 0 xse∴ estiver suficientemente próximo da raiz, a aplicação do 
método deverá ser convergente.
 
 
(b) método de N-R 
xxFxxxFxxxF
xF
xFxF
x
sen2)(",cos2)(,1sen)(
)(
)(").()(
2
2
+=−=′−−=
′
=′ϕ
 
[ ][ ]
[ ]
43421
11490.0
)3.1cos()3.1.(2
)3.1sen(21)3.1sen()3.1(
)(
)(").()( 2
2
2
0
00
0
<=
−
+−−
=
′
=′∴
xF
xFxF
xϕ
 
 0 xse∴ estiver suficientemente próximo da raiz, a aplicação do 
método deverá ser convergente. 
 
 
APLICABILIDADE DO MÉTODO N-R (Teorema de Fourier)
 
 
É condição suficiente para a convergência do método de N-R que 
F´(x) e F"(x) não se anulem e mantenham sinais constantes numa 
vizinhança I de uma raiz ρ da equação F(x)=0 e que o processo se 
inicie num ponto Ix ∈0 tal que 0)(").( 00 >xFxF . 
 
 28
 
Exemplo: 
Calcular a raiz da equação 0sen)( 2 =−= xxxF usando o método de 
N-R )10;9.0( 30 −∈<=x 
Resolução:
 
)(
)(
1
n
n
nn
xF
xF
xx
′
−=+ 
xxxF
xxxF
cos2)(
sen)( 2
−=′
−=
 
nn
nn
nn
xx
xx
xx
cos2
)sen( 2
1
−
−
−=⇒ + 
 
 
Condições para convergência:
 
xxF
xxxFa
sen2)("
cos2)()(
+=
−=′
 
 
Conclui-se, pelo método grãfico, que ρ∈( . , )0 5 1 com relação a F´(x): 
 
 
 
 
4434421
anula se .não
sinal .preserva
0cos2)(
)0.1,5.0(
>−=′
∈∀∴
xxxF
x
 
 
Com relação a F"(x): 
.0sen2)(",)0.1,5.0( >+=∈∀ xxFx 
 
9.00
cos2
sen
2
1
0)0(").0(
783.2)9.0sen(2)9.0(")0("
03.0)9.0sen(2)9.0()9.0()0()(
=
−
−
−=+
>
=+==
=−==








x
nxnx
nxnx
nxn
x
xFxF
FxF
FxFb
 
[ ]
[ ]
3100006.08773.08767.02
8767.0
1154.1
410395.6
8773.0
)8773.0cos()8773.0.(2
8773.0sen(2)8773.0(
8773.02
0227.09.08773.01
8773.0
1784.1
0267.0
9.0
)9.0cos()9.0.(2
)9.0sen(2)9.0(
9.01
−
<=−=
=
=
−
−=
−−
−=
=−=
=−=
−
−
−=
ε
ε
x
x
x
 
∴ 8767.0=ρ 
 
 
Exemplo:
 
Calcular a raiz da equação F(x) = 2x - cos x usando o método de N-R ( )410−∈< 
 
Resolução:
 
 
 29
 
 
 
 
 
{ {h(x) - g(x) = F(x)
 xcos2x
 
 ]5.0,0[∈∴ρ 
 
Função de iteração
 
x
xx
xx
x
xx
xx
xxF
xxxF
n
xF
xF
xx
n
nn
nn
n
n
nn
sen2
)cos2()(
sen2
)cos2(
sen2)(
cos2)(
...2,1,0)(
)(
1
1
+
−
−=∴
+
−
−=⇒
−=′
−=
=
′
−=
+
+
ϕ
 
 
Condições para convergência (suficientes)
 
a. vizinhançna sinal o preservam e anulam se 
0)("
0)(
]5.0,0[
]5.0,0[
cos)("
sen2)(
não
xF
xF
xxF
xxF
x



>
>′
∈∀
∈
=
+=′ ρ
 
 
0)(").(
010cos)("
010cos0.2)(
0
0)(").()(
00
0
0
0
00
<⇒
>==
<−=−=
=
>
xFxF
xF
xF
x
xFxFb
 
0)(").(
0878.0)5.0cos()("
0>0.12=0.878-1)5.0cos(-)05.(2)(
5.0
00
0
0
0
>⇒
>==
==
=
xFxF
xF
xF
x
 
 
Aplicação do método de N-R
 
[ ] 4506.0
4794.2
1224.05.0
5.0sen2
)5.0cos()5.0.(25.0
5.0
sen2
)cos2(
1
0
1
=−=
+
−
−=
=
+
−
−=+
x
x
x
xx
xx
n
nn
nn
 
[ ]
4502.0
4355.2
10014.14506.0)4506.0sen(2
)4506.0cos()4506.0.(24506.0
0494.05.04506.0
3
2
011
=
−=
+
−
−=
=−=−=
−x
x
xxε
 
[ ]
4502.0
4355.2
1099.34502.0)4502.0sen(2
)4502.0cos()4502.0.(24502.0
0004.04506.04502.0
5
3
122
=
−=
+
−
−=
=−=−=
−x
x
xxε
 
 
 30
4
233 10
−<−=∴ xxε 
∴ 4502.0=ρ 
 
 
Exercício
 
Dada a função: 
F(x) = x ln x - 1 = 0 
pede-se calcular uma aproximação para a sua raiz usando o método de 
N-R com 410−≤∈ ( )763.1=ρ 
 
 
Exercício:
 
Usando o método de N-R determine a menor raiz positiva das 
equações abaixo. 
( )
( )
( )43097.106)(
754.0cos2)(
2748.40
2
)(
5
2/
==−
==
==−
ρ
ρ
ρ
xc
exb
tgxxa
x
 
Considere 410−≤ε . 
 
 
Exercício:
 
Seja F(x) = ex - 4x2 . Obter uma aproximação para ρ com 410−≤ε 
usando o método de N-R ( . )ρ = 0 7148 
 
 
 
 
 31
 
2.2 ESTUDO DAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
2.2.1 INTRODUÇÃO 
 
Seja uma equação algébrica (polinomial) de grau ( )1≥nn : 
( ) 0... 012211 =+++++= −−−− axaxaxaxaxP nnnnnn 
onde os coeficientes ai são números reais e an ≠ 0 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
 
Todo eq. algébrica de grau n, n ≥ 1, tem exatamente n raízes, que 
podem ser reais ou complexas, e não necessariamente distintas. 
 
Uma raiz ρ da equação ( ) 0=xP é dita ter multiplicidade m se: 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) 0
0..."' 1
≠
=====
−
ρ
ρρρρρ
m
m
P
ePPP
 
 
Exemplo: 
Mostrar que ρ = 2 é raiz da equação algébrica 
( ) 08465 234 =−++−= xxxxxP 
com multiplicidade m = 3 
 
Solução: 
( )
( )
( ) 0424603242.122.152.42'
412154' 
08824401682.42.62.522 
23
23
234
=++−=++−=⇒
++−=
=−++−=−++−=
P
xxxxP
P
 
( )
( ) 0126048122.302.122"
123012" 
2
2
=+−=+−=⇒
+−=
P
xxxP
 
( )
( ) 01830482'''
3024''' 
≠=−=⇒
−=
P
xxP
 
 2 =∴ ρ é raiz e tem multiplicidade 3. 
 
2.2.2 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO 
 
Dado um polinómio ( )xP , um problema que se coloca é o de calcular 
o valor numérico de ( )xP para x x= 0 , ou seja, ( )0xP . Observe-se que 
o cálculo de ( )0xP requer n adições e ( )2
1+nn
 multiplicações. De 
fato: 
 
( )
{ {
produtoprodutosprodutos
axaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 0
1
01
1
1
0100 ... ++++=
−
−
− 43421
 
( ) ( ) ( )
2
112...21 +=+++−+−+ nnnnn 
 
( )
n. termosde ,1,
2
.
:..
1
1
===
+
=
númeroanacom
aanSAP
n
n
n
 
 
Então, se o grau n do polinômio for elevado (digamos, 20≥n ), o 
cálculo de ( )0xP , além de se tornar muito laborioso, é também 
ineficiente do ponto de vista computacional. 
 
 
 
 32
Exemplo: 
Dado o polinômio 
( ) 5316231521023 23456789 −+−+−−+−+= xxxxxxxxxxP 
seja determinar ( )2P . 
 
Resolução: 
( )
( ) 3212
52.32.162.22.32.152.22.102.22.32 23456789
=⇒
−+−+−−+−+=
P
P
 
 
2.2.3 MÉTODO DE BRIOT-RUFFINI 
 
Dado o polinômio ( ) 0111 . axaxaxaxP nnnn ++++= −− K , 
dividindo-se ( )xP pelo binômio ( )cx − , obtém-se a igualdade: 
 
( ) ( ) ( ){ {
divisão
da resto
quociente
polinômio
rxQcxxP +−= 
 
onde ( )xQ é da forma: 
 
( ) 12211 . bxbxbxbxQ nnnn ++++= −−− L 
 
Como determinar os coeficientes nibi ,,1, L= e o resto r? 
( ) ( )( )
( )
( ) 12211
01
1
1
bxbxbxbxQ
axaxaxaxP
rcxxQxP
n
n
n
n
n
n
n
n
++++=
++++=
+−=
−
−
−
−
−
L
L
 
 
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) rcbxcbbxcbb
xcbbxcbbxb
rcxbxbxbxb
axaxaxa
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+−−+−+
+−+−+=
+−++++
=++++
−
−−
−
−
−
−
−
−
−
121
2
32
2
12
1
1
12
2
1
1
01
1
1
L
L
L
 
 
Obtém-se, da redução a termos semelhantes: 
01
121
212
11
.
.
.
.
abcr
abcb
abcb
abcb
ab
nnn
nnn
nn
+=
+=
+=
+=
=
−−−
−−
M
 
 
Ou, equivalentemente, 
01
1
.
Ruffini)-Briot de (algoritmo11.
abcr
nkabcb
ab
knknkn
nn
+=
−≤≤+=
=
−+−− 
 
 
EXEMPLO:
 Seja dividir 
( ) 10167 23 −+−= xxxxP 
pelo binômio ( )2−x , usando o método de Briot-Ruffini 
 
Solução: 
( ) ( ) ( )
( ) 1223
.2
bxbxbxQ
rxQxxP
++=
+−=
 
 
 
 33
Cálculo dos bi's
 i = 1 2 3, , 
( )
( ) 6165.2.
571.2.
1
121
232
33
=+−=+=
−=−+=+=
==
abcb
abcb
ab
 
 
Cálculo do resto: 
( )
( )
2
65
2106.2
2
01
=
+−=∴
=−+=+=
r
xxxQ
acbr
 
 
Usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
ai s'6 74444444 84444444
 
 
1 7 16− 
-10 
2 2 10− 12 
 
1 5 6−
bi s'
1 2444 3444
 
{
r
2 
 
 
Exemplo:
 Seja dividir 
( ) 10167 23 −+−= xxxxP 
Pelo binômio ( )3+x , usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. 
 
Resolução: 
 
 
1 7 16− 
 -10 
-3 − 3 30 -138 
 
1 10 46−
 
 -148 
 
( )
148
46102
−=
+−=∴
R
xxxQ
 
 
Observe-se que: ( ) ( ) ( ) ( ) 148103163.733 23 −=−−+−−−=−P 
 
 
Teorema:
 o valor numérico de ( )xP em x c= é igual ao resto da 
divisão de ( )xP por ( )cx − 
Demonstração: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) rcP
rcQcccP
cx
rxQcxxP
=⇒
+−=⇒
=
+−=
.
 
 
 
Exemplo: 
Dado o polinômio 
( ) ,5316231521023 23456789 −+−+−−+−+= xxxxxxxxxxP seja 
calcular ( )2P usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini. 
 
Resolução: 
 
 3 2 -10 2 -15 -3 2 -16 3 -5 
2 6 16 12 28 26 46 96 160 326 
 3 8 6 14 13 23 48 80 163 321 
 
( ) 3212 =∴P 
 
 
 34
 
Teorema: o valor numérico da derivada de ( )xP para x c= é igual ao 
resto da divisão de ( )xQ por ( )cx − , onde ( )xQ é o polinômio 
quociente da divisão de ( )xP por ( )cx − . 
 
Demonstração: 
( ) ( ) ( )
tecons
rxQcxxP
tan
. +−= 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )cQcP
cQcccQcQcP
temoscxpara
cxxQxQxP
=⇒
=−+=
=
−+=
'
.''
:,
''
 
 
 
Pelo teorema anterior sabemos que ( )cQ é igual ao resto da divisão de 
( )xQ pelo binômio ( )cx − . 
 
 
Exemplo: 
Dado o polinômio ( ) 030202 23 =+−−= xxxxP 
seja calcular ( )2'P usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini.Resolução: 
 
 1 -2 -20 +30 
 
2 2 0 -40 
 
 1 0 -20 -10 
2 2 4 
 
 1 2 -16 
 
 ( ) 102 −=∴P e ( ) 162' −=P 
 
Observe-se que: 
( )
( ) ( ) (( ) ) 3020230202
30202
2
23
+−−=+−−=⇒
+−−=
xxxxxxxP
xxxxP
 
( ) (( ) ) 103040302202222 −=+−=+−⋅−=∴P 
( ) ( )
( ) ( ) 1620420242.32'
20432043' 2
−=−=−⋅−=⇒
−−=−−=
P
xxxxxP
 
 
 
2.2.4 MÉTODO DE HORNER 
 
( )
( )
(( ) )
(({ ) ) 0121
1
012
3
1
2
012
2
1
1
01
2
2
1
1
)( axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxaxP
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+++++=
+++++=
+++++=
+++++=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
LL
M
L
L
L
 
 
 
Exemplo: 
Dado ( ) 84252 234 −+−−= xxxxxP , calcular ( )3P (Horner). 
 
Resolução: 
( )
( )
( )( )
( )( )( ) 84252
84252
84252
84252
2
23
234
−+−−=
−+−−=
−+−−=
−+−−=
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxP
 
 
 35
( ) ( )( )( ) ( ) 13383432353.23 =⇒−⋅+⋅−⋅−=∴ PP 
 
 
Exemplo: 
Dado ( ) ,5316231521023 23456789 −+−+−−+−+= xxxxxxxxxxP 
calcular ( )2P pelo método de Horner. 
 
Resolução: 
 
( )
( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )( )( )( )
( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) 32152321622232152221022232
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
5316231521023
2
23
234
2345
23456
234567
2345678
23456789
=−+−+−−+−⋅+⋅=∴
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
−+−+−−+−+=
P
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxP
 
 
Observe-se que é possível obter a forma fatorada final diretamente, 
em um único “passo”: 
 
( )
( )( )( )( )( )( )( )( )xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxP
3210215321635
3210215321635 98765432
++−++−+−++−++−=
++−+−−+−+−=
 
 
2.2.5 MÉTODO DE BIRGE-VIETA 
 
O algorítmo obtido quando usamos os resultados dos teoremas 
anteriores para aplicar o método de N-R é chamado de método de 
Birge-Vieta: 
 
( )
( ) ,...2,1,0'1 =−=+ nxP
xP
xx
n
n
nn 
onde: 
 
( )nxP é o resto da divisão de ( )xP por ( )nxx − ( )nxP' é o resto da 
divisão do quociente obtido quando do cálculo da divisão de ( )nxP 
pelo binômio ( )nxx − . 
 
 
Exemplo:
 
Calcule uma aproximação ρ para a raiz ρ de 
( ) 4616327633 −+−= xxxxp no intervalo (20,25) tal que 210−<ε , 
usando o método de Brige-Vieta. Assumir x0 22 5= . como 
aproximação inicial da raiz. 
 
Resolução: 
 
Cálculo de 1x : 
 
)5.22('
)5.22(5.22)('
)(
0
0
01 P
P
xP
xP
xx −=−= 
 
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 36
 3 -76 +163 -46 
22.5 67.5 -191.25 -635.63 
 3 -8.5 -28.25 -681.63 
22.5 67.5 1.327,5 
 3 59 1.299,25 = P'(22.5) 
 
02.23
25,299.1
63.6815.221 =
−
−=⇒ x 
52.05.2202.23011 =−=−= xxε 
 
Cálculo de 2x : 
 
)02.23('
)02.23(02.23)('
)(
1
1
12 P
P
xP
xP
xx −=−= 
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 3 -76 +163 -46 
23.02 69.06 -159.76 +74.61 
 3 -6.94 +3.24 +28.61 
23.02 69.06 1.430.00 
 3 61.12 1.433.24 = P'(23.02) 
 
00.23
24.1433
61.2802.232 =−=⇒ x 
02.002.2300.23122 =−=−= xxε 
 
Cálculo de 3x : 
 
)23('
)23(23)('
)(
2
2
23 P
P
xp
xp
xx −=−= 
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 3 -76 +163 -46 
23 69 -161 46 
 3 -7 2 0 = p(23) 
 < 10-2 
232 ===∴ xρρ 
 
 
2.2.6 NÚMERO DE ZEROS REAIS DE UM POLINÔMIO COM 
COEFICIENTES REAIS 
 
Regras de Sinais de Descartes: 
 
O número de raízes reais posistivas n+ de uma equação algébrica é 
igual ao número de variações de sinais na seqüência dos coeficientes, 
ou menor que este número por um inteiro, par, não negativo, sendo 
que uma raiz de multiplicidade m é contada como m raízes e que 
coeficientes iguais a zero não são considerados. 
Para se determinar o número e raízes reais negativas, n-, aplica-se a 
regra anterior a P(-x). 
 
Exemplos: 
 
( ) ( ) 0302975 234 =+++−= xxxxxPa 
+ − − + +123 123 
n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas 
 
 37
( ) 302975 234 +−−+=− xxxxxP 
+ + − − +123 123 
n- = 2 ou 0 raízes reais negativas 
 
( ) ( ) 1432 345 ++−−= xxxxxPb 
+ + 321321 −−+ 
n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas 
( ) 1432 345 +−+−−=− xxxxxP 
− − + − + 123123123 
n- = 3 ou 1 raízes reais negativas 
 
( ) ( ) 144 235 −−+−= xxxxxPc 
{{{ −−+−+ 
n+ = 3 ou 1 raízes reais positivas 
 
( ) 144 235 −+++−=− xxxxxP 
− + + − + 123 123 
n- = 2 ou 0 raízes reais negativas 
 
( ) ( ) 1 7 += xxPd 
+ + 123 
n+ = 0 raízes reais positivas 
( ) 17 +−=− xxP 
− + 123 
n- = 1 raíz real negativa 
 
2.2.7 LIMITAÇÃO DAS RAÍZES REAIS DE UMA EQUAÇÃO 
ALGÉBRICA: MÉTODO DE LAGUERRE 
 
Limitar as raízes de uma equação F(x)=0 é determinar um intervalo 
onde estão todas as raízes da equação. 
 
 
O MÉTODO DE LAGUERRE 
 
Seja determinar um número real Ls tal que, dada a função polinomial 
y = P(x), P(x) > 0 0 >≥∀ Lx .Diz-se que Ls é um limitante superior 
para as raízes da equação algébrica P(x) = 0. 
 
Para se determinar Ls divide-se sucessivamente P(x) por (x - xk), xk 
= 1, 2, ... até que para um particular valor de x, digamos xL, tem-se 
todos os coeficientes do quociente e o resto da divisão positivos. 
 
Dividindo-se P(x) pelo binômio (x - Ls) obtém-se: 
 
( ) ( ) ( ) RxQLxxP S +−= 
onde Q( x ) é da forma: 
 
12
1
1
1 bxbnx
n
bnxnb +++
−
−
+− L 
 
Obviamente: 
( ) .0 0R e ,,,2,1 ,0 ,0 >>=>>≥ xPentãonibLxSe iS L 
 
 
 
 
 38
( ) 302975 234 ++−−= xxxxxP . 
Encontrar um limitante superior para os seus zeros. 
 
Resolução:
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 1 -5 -7 29 30 
1 1 
 1 − <4 0 
 
 1 -5 -7 29 30 
2 2 
 1 − <3 0 
 
 1 -5 -7 29 30 
3 3 
 1 − <2 0 
 
 1 -5 -7 29 30 
4 4 
 1 −1 
 
 1 -5 -7 29 30 
5 5 0 
 1 0 − <7 0 
 
 1 -5 -7 29 30 
6 6 6 
 1 1 − <1 0 
 
 
 1 -5 -7 +29 +30 
7 7 14 49 546 
 1 2 7 78 576 
 
∴ =LS 7 é um limitante superior para os zeros da função 
polinomial y = P(x). 
 
Para se determinar um limitante inferior, Li, para as raízes reais não 
positivas da eq. algébrica P(x) = 0, procede-se como indicado a seguir. 
Seja n o grau da equação algébrica P(x) = 0. Então: 
(a) se n é par, determina-se o limitante superior Ks de y=P(-x) e 
toma-se Li=Ks. 
(b) se n é ímpar, determina-se o limitante superior Ks de y=-P(-x) e 
toma-se Li=-Ks. 
 
 
 
Exemplo: Seja o polinômio:
 
 
 9
 
Caso (b): 
 
 
Exemplo: 
Determinar um limitante inferior para os zeros do polinômio do 
exemplo anterior. 
 
Solução: 
) 302975 234 ++−−= xxxxxP 
n = 4, para ⇒ Li = - Ks 
onde Ks limite sup. para P( -x) 
 
Determinação de Ks: 
302975 234 +−−+=− xxxxx) 
Graficamente: Caso (a):
P(
( ) 
 
 40
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: 
 
 1 5 -7 -29 30 
1 1 6 
 1 6 -1 < 0 
 
 1 5 -7 -29 30 
2 2 14 14 
 1 7 7 -15 < 0 
 
 15 -7 -29 30 
3 3 24 51 66 ⇒ ks = 3 
 1 8 17 22 96 
 
3−=−=∴ si kL é um limitante inferior para os zeros da função 
polinomial y = P(x). 
 
Observação: as raízes da equação 0302975 234 =++−− xxxx são: 
( ) 4,3,2,1 , 7,3 
,5 ,3 ,1 ,2 4321
=−∈∴
==−=−=
iiρ
ρρρρ
 
 
 
Exemplo completo: 
Dada a equação algébrica: ( ) 013 345 =++−−= xxxxxP 
pede-se determinar: 
(a) o número de raízes reais positivas 
(b) o número de raízes reais negativas 
(c) um limitante superior para as raízes reais 
(d) um limitante inferior para as raízes reais 
(e) um intervalo contendo no mínimo uma raiz real. 
(f) a raiz isolada usando o método de Birge-Vieta. 
 
( ) ( ) 013 345 =++−−= xxxxxPa 
+ − − + + 
1 1
123 123 
n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas 
 
( ) ( ) 013 345 =+−+−−=− xxxxxPb 
− − + − +
11 1
123123123 
n- = 1 ou 3 raízes reais negativas 
 
(c) 
 3 -1 -1 0 1 1 
1 3 2 1 1 2 ⇒ Ls = 1 
 3 2 1 1 2 3 
 
(d) n = 5 ⇒ Li = - Ks Ks limitante superior de -P( -x) 
 
( )
( ) 13
13
345
345
−+−+=−−
+−+−−=−
xxxxxP
xxxxxP
 
 3 1 -1 0 1 -1 
1 3 4 3 3 4 
 3 4 3 3 4 3 
⇒ Li = - Ks = -1 ∴ = − Li 1 
 
De ( ) ( ) ( ) ( )1,10:: e −∈⇒=ℜ∈∀ ρρρ Pdc 
 
(e) P(xi ) = ? xi ∈(-1, 1) 
 Do item (c) : P( 1 ) = 3 > 0 
P(0) = 1 > 0 
P( -1) = ? 
Do item (d): - P ( -1) = 3 ⇒ P( -1 ) = -3 
 
 41
 
Separação das raízes 
 
( i ) raízes positivas (?) 
 
 P( 0 ) = 1 > 0 P( 1 ) = 3 > 0 
 P( 0.5) = ? 
 
 3 -1 -1 0 1 1 
0.5 1.5 0.25 -0.3753 -0.188 0.407 
 3 0.5 -0.75 -0.375 0.813 1.407 
⇒ P(0.5) = 1.407 > 0 
 
Nada se pode concluir sobre as raízes positivas a partir dos valores 
obtidos. 
 
( ii ) raízes negativas (?) 
 
 
P( 0 ) = 1 > 0 
P( -1) = -3 < 0 
P( -0,5) = ? 
( )0,1 ; −∈∃ ρρ real
 
 
 
 3 -1 -1 0 1 1 
- 0.5 -1.5 1.25 -0.125 0.0625 -0.531 
 3 -2.5 0.25 -0.125 1.0625 0.469 
 
⇒ P(-0..5) = 0.469 > 0 
( )5.0- ,1 ; −∈∃ ρρ real 
 
(f) determinação da raiz real negativa 
 
Método de Birge-Vieta: 
 
( )
( )
)(arbitrado6.0
,2,1,0 , 
'
0
1
−=
=−=+
x
n
xP
xP
xx
n
n
nn L
 
 
Verificação quanto à convergência: 
 
 3 -1 -1 0 1 1 
-0.6 -1.8 1.68 -0,41 0.25 -0.75 
 3 -2.8 0.68 -0.41 1.25 0.25 = P ( -0.6) 
-0.6 -1.8 2.76 -2.06 1.48 
 3 -4.6 3.44 -2.47 2.73 = P' ( - 0.6) 
-0.6 -1.8 3.84 -4.368 
 3 -6.4 7.28 -6.838 ⇒ P''(-0.6)=-13.676 
 
1459.0)73.2(
)676.13)(25.0(
)(
)(").()( 22
0
00
0 <=
−
=
′
=′
xP
xPxP
xϕ 
 
. de próximo mentesuficienteestiver xse iaconvergênc haverá 0 ρ∴ 
 
Cálculo de 1x : 
 
( )
( )
( )
( )6.0'
6.06.0
'
1
0
0
01
−
−
−−=⇒−=
P
P
x
xP
xP
xx
69.0 
73.2
25.0
- 6.0 11 −=⇒−=⇒ xx 
( ) 2011 1009.06.0069 −>=−−−=−= xxε 
 
 
 42
Cálculo de 2x : 
 
( )
( )
( )
( )69.0'
69.069.0
' 1
1
12
−
−
−−=−=
P
P
xP
xP
xx 
 
 3 -1 -1 0 1 1 
-0.69 -2.07 2.12 -0.77 0.53 -1.06 
 3 -3.07 1.12 -0.77 1.53 -0.06 = P ( -0.69) 
-0.69 -2.07 3.55 -3.22 2.75 
 3 -5.14 4.67 -3.99 4.28 = P' ( - 0.6) 
 
68.0
28.4
06.069.02 −=
−
−−=⇒ x 
( ) 01.069.068.0122 =−−−=−= xxε 
∴∴∴∴ 68.0−=ρ 
 ( ) ?=ρP 
 
 3 -1 -1 0 1 1 
-0.68 -2.04 2.07 -0.73 0.50 -1.02 
 3 -3.04 1.07 -0.73 1.50 0.02 = P ( -0.68) 
 
 
Exercício: 
Dada a equação algébrica: 
( ) 0104079218579 2345 =+−++−= xxxxxxP 
pede-se determinar: 
(a) o número de raízes reais positivas 
(b) o número de raízes reais negativas 
(c) um limitante superior para as raízes reais 
(d) um limitante inferior para as raízes reais 
(e) a forma obtida da aplicação do método de Honer. 
(f) o valor numérico de P(x) nos pontos -5 e 4. 
 
Exercício: 
Dada a equação algébrica: 
( ) 0306 23 =+−−= xxxxP 
pede-se determinar: 
(a) o número de raízes reais positivas 
(b) o número de raízes reais negativas 
(c) um limitante superior para as raízes reais 
(d) um limitante inferior para as raízes reais 
(e) a forma obtida da aplicação do método de Honer. 
(f) o valor numérico de P(x) nos pontos -2 e 99. usando a expressão 
obtida no item interior. 
 
Exercício: 
Dada a equação algébrica: 
( ) 096106 234 =+−+−= xxxxxP 
pede-se determinar: 
(a) o número de raízes reais positivas e negativas. 
(b) um limitante superior e um limitante inferior para as raízes reais. 
(c) a forma obtida da aplicação do método de Honer. 
 
 
Exercício: 
Dada a equação algébrica: 
( ) 022 23 =−+= xxxP 
Pede-se determinar: 
(a) o número de raízes positivas 
(b) o número de raízes negativas 
(c) um limitante superior para as raízes reais 
 
 43
(d) um limitante inferior para as raízes reais 
(e) um intervalo contendo no mínimo uma raiz real positiva 
(f) uma raiz real positiva ( )ρ no intervalo identificado no item 
anterior (Birge-Vieta) 
(g) o valor numérico de ( )ρP . 
 
Obs.: tomar 310−≤ε 
Resp.: 8581.0=ρ 
 
 
2.2.9
 
MÉTODO DAS SEQÜÊNCIAS DE STURM 
 
Seqüência de funções ( ){ } ( ) ( ) ( )xgxgxgxg noi ,,,: 1 L construída do 
seguinte modo: 
( ) ( )
( ) ( )xPxg
xPxgo
'1 =
=
 
( ) 2, ≥kxgk , é igual ao simétrico do resto da divisão de 12 −− kk gporg 
 
O número de zeros da função ( )xPy = no intervalo (a,b) é a diferença 
entre o número de variações de sinal da seqüência 
( ) ( ) ( )agagag n,,,, 10 L e da seqüência ( ) ( ) ( )bgbgbg n,,, 10 L . 
 
 
Exemplo 
Aplicar o método das seqüências de Sturm para localizar todas as 
raízes reais de: 
 
( ) 032.06.003.14.2 234 =−++−= xxxxxP 
 
Resolução: 
 
(a) seqüência ( ){ }xgi 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )xgxgrestoxg
xxxxg
xxxxgxPxg
xxxxxgxPxg
102
23
1
23
11
234
00
15.0515.08.1
46.006.22.74'
32.06.003.14.2
−=
++−=
÷++−=⇒=
−++−=⇒=
 
 
23.0759.0565.0
09.0309.008.16.0
32.045.0515.06.0
6.015.0515.08.1
15.0515.08.132.06.003.14.2
2
23
23
234
23234
−+−
++−
−++−
−−−+−
++−−++−
xx
xxx
xxx
xxxxx
xxxxxxx
 
 
( ) ( )
( ) 4071.0343.1
565.023.0759.0565.0
2
2
2
2
+−=⇒
÷+−+=∴
xxxg
xxxg
 
 
( ) ( ) ( )( )
336.05059.0
1860.0613.0457.0
15.01079.0457.0
457.04071.0343.1
4071.0343.115.0515.08.1
2
2
23
223
213
+−
+−+
++−
−−+−
+−++−
−=
x
xx
xx
xxx
xxxxx
xgxgrestoxg
 
 
( ) ( )
( ) 6642.0
5059.0336.05059.0
3
3
−=⇒
÷−=∴
xxg
xxg
 
 
 44
 ( ) ( ) ( )( )
( ) 0438.0
0438.0
4509.06788.0
4071.06788.0
6788.06642.0
6642.04071.0343.1
4
2
2
324
=∴
−
−+
+−
−+−
−+−
−=
xg
x
x
xxx
xxx
xgxgrestoxg
 
 
 
(b) Tabela de sinais: 
Ls = ? 
 
 1 -2.4 1.03 0.6 -0.32 
3 3.0 1.8 8.49 27.27 ∴ LS = 3 
 1 0.6 2.83 9.09 26.95 =P(3) 
 
 
LI = ? 
32.06.003.14.2)(
32.06.003.14.2)(
234
234
−−++=−
−++−=
xxxxxP
xxxxxP
 
 
 1 2.4 1.03 -0.6 -0.32 
1 1 3.4 4.43 3.83 LI = −1 
 1 3.4 4.43 3.83 3.51 = P(-1) 
 
 
Tabela: 
 
x g0 g1 g2 g3 g4 VARIAÇÃO 
-1 + - + - + 4 
 0 - + + - + 3 
 1 - - + + + 1 
 2 + + + + + 0 
 3 + + + + + 0 
 
Observações sobre a construção da tabela acima: 
g0(3) = P(3) = 26.95 > 0 
g1(3) = ? g1(x) = x3 - 1.8 x2 + 0.515x + 0.15 
g1(3) = 12.495 > 0 
g2(3) = ? g2(x)= x2 - 1.343 x + 0.4071 
g2(3) = 5.3781 
g3(3) = ? 
g3(x) = x - 0.6642 ⇒ g3(3) > 0 
g4(3) > 0 
 
 
(c) Interpretação: 
 
Seja v(xi) o número de variações de sinal da seqüência {gi (x)} em 
x = xi. 
 
 45
)2,1(
0)2(
1)1(
)1,0(,
1)1(
3)0(
)0,1(
3)0(
4)1(
4
32
1
∈⇒
=
=
∈⇒
=
=
−∈⇒
=
=−
ρ
ρρ
ρ
v
v
v
v
v
v
 
 
 
(d) continuação da aplicação do método de Sturm: 
g0(0.6) = 0.022 > 0 
g1(0.6) = ? 
g1(0.6) = 0.027 
g2(0.6) = ? 
g2(0.6) = 0.0387 
g3(0.6) = 0.6 - 0.6642 = -0.0642 < 0 
g4(0.6) > 0 
 
∴ 0 - + + - + 3 
 0.6 + + - - + 2 
 1 - - + + + 1 
 
)1,6.0(
1)1(
2)6.0(
)6.0,0(
2)6.0(
3)0(
3
2
∈⇒
=
=
∈⇒
=
=∴
ρ
ρ
v
v
v
v
 
 
 
Observação quanto às raízes isoladas: 
 
(i) verificação dos intervalos: 
 
)0,1(
032.0)0(
051.3)1(
1 −∈



<−=
>=− ρ
P
P
 
 
)2,1(
08.1)2(
009.0)1(
4 ∈



>=
<−= ρ
P
P
 
 
)2,1(
)1,6,0(
0)2(
0)1(
)6.0,0(
)0,1(
0)6.0(
0)0(
0)1(
4
3
2
1
∈∴
∈∴
>
<
∈∴
−∈∴
>
<
>−∴
ρ
ρ
ρ
ρ
P
P
P
P
P
 
 
(ii) raízes da equação P (x) = 0: 
6.1,8.0,5.0,5.0 4321 ===−= ρρρρ 
 
 
Exemplo completo:
 
 
Dada a equação algébrica 
( ) ,0245.44.0 23 =+−+= xxxxP determinar aproximações para as 
suas raízes utilizando o método de Birge-Vieta ( )01.0 ≤ε 
 
 
 
 46
Resolução:
 
 
(a) Regra de sinais de Descartes (número de raízes) 
( )
43421321 + + + 
245.44.0 23
−−
+−+= xxxxP
 
n+ = 2 ou 0 raízes reais positivas 
 
( )
43421321 + 
245.44.0 23
++−
+++−=− xxxxP
 
n- = 1 raiz real negativa 
 
(b) Limitantes para as raízes
 
 
 
Método de Laguerre 
Ls = ? 
 
 
1 0 4 4 45. .− 2 
1 1 1 4. 
 
1 1 4 - 3.05. 
 
 
 1 0.4 -4.45 2 
2 2 4.8 0.7 ∴ Ls = 2 
 1 2.4 0.35 2.7 
 
LI= ? ( ) 245.44.0 23 +−+= xxxxP 
( ) 245.44.0 23 +++−=− xxxxP 
( ) 245.44.0 23 −−−=−− xxxxP 
 
 
 1 -0.4 -4.45 -2 
1 1 0.6 
 1 0.6 -3.85 
 
 1 -0.4 -4.45 -2 
2 2 3.2 
 1 1.6 -1.25 
 
 1 -0.4 -4.45 -2 
3 3 7.8 10.05 ∴ LI= -3 
 1 2.6 3.35 8.05 
 
 
(c) Isolamento das raízes 
 
(c.1) Método das seqüências de Sturm: 
 
(c.1.1) Seqüência { }(x)g i : 
 
245.44.0)( 230 +−+= xxxxg
 
 
)3(45.48.03)( 21 ÷−+= xxxg 
483.1267.0)( 21 −+= xxxg
 
 
( ))(/)(g resto - )( 102 xgxxg = 
 
 
 47
197.2003.3/
197.0036.0133.0
2967.2133.0/
133.0483.1267.0
483.1267.0|245.44.0
2
2
23
223
+−
+−−
+−
++−−
−++−+
x
xx
xx
xxxx
xxxxx
 
 
197.2003.3)(2 −=∴ xxg 
 
732.0)(2 −=∴ xxg
 
 
 
( ))(/)(g resto - )( 213 xgxxg = 
 
 1 0.267 -1.483 
0.732 0.732 0.731 
 1 0.999 -0.752 
 
752.0)(3 =∴ xg
 
 
 
(c.1.2) Tabela de sinais 
 
LI = -3, Ls = 2 
 
 
 
 
 
x g0 g1 g2 g3 VARIAÇÃO 
-3 - + - + 3 
-2 + + - + 2 Qρ1 3 2∈ − −( , ) 
 1 + - - + 2 
0 + - - + 2 ρ2 0 1∈( , ) 
1 - - + + 1 
2 + + + + 0 ρ3 1 2∈( , ) 
 
 
(c.2) Briot-Ruffini
 
 
( ) 245.44.0 23 +−+= xxxxP 
 
 1 0.4 -4.45 2 
2.0 2.0 4.8 0.7 
 1 2.4 0.35 2.7 = P (2.0) > 0 
 
 
 1 0.4 -4.45 2 
1.0 1.0 1.4 -3.05 
 1 1.4 -3.05 -1.05 = P (1.0) < 0 
 
 
)0.2,0.1(1 ∈∴ ρ 
 
)1,0(02)0( 2∈⇒>= ρP 
 
 
 1 0.4 -4.45 2 
-1.0 -1.0 +0.6 3.85 
 1 -0.6 -3.85 5.85 = P (-1.0) > 0 
 
)0.2,0.3(
005.8)3(
05.4)2(
3 −−∈



<−=−
>=− ρ
P
P
 
 
 48
 
(d) Verificação quanto à convergência 
5.10 =x (arbitrado) 
 
[ ]20
00
0 )('
)(").()('
xP
xPxP
x =ϕ 
 
 1 0.4 -4.45 +2 
1.5 1.5 2.85 -2.4 
 1 1.9 -1.60 -0.4 = P(1.5) 
1.5 1.5 5.1 
 1 3.4 3.5 = P'(1.5) 
1.5 1.5 
 1 8.9)5.1("2/)5.1("9.4 =⇒= PP
44 344 21
 
 O resto da terceira aplicação do método 
de Briot-Ruffini é igual à metade da 
derivada segunda de P(x) no ponto 
considerado. 
 
 
43421 132.0)5.3(
)8.9)(4.0()(' 20 <=
−
=∴ xϕ 
Portanto, xo suficientemente próximo da raiz implicará na 
convergência da aplicação do método. 
 
 
(e) Cálculo das raízes 
 
 
(e.1) Cálculo de ))0.2,0.1(( 11 ∈ρρ 
)('
)(
1
k
k
kk
xP
xP
xx −=+ 
xo = 1.5 
61.1
5.3
4.05.1)5.1('
)5.1(5.11 =




 −
−=−=
P
P
x 
)61.1('
)61.1(61.1
1011.05.161.1
2
2
011
P
P
x
xx
−=
>=−=−= −ε
 
 
 1 0.4 -4.45 +2 
1.61 1.61 3.2361 -1.9544 
 1 2.01 -1.2139 0.0456 = P(1.61) 
1.61 1.61 5.8282 
 1 3.62 4.6143 = P'(1.61) 
 
01.061.160.1
60.1
6143.4
0456.061.1
122
2
=−=−=
=−=∴
xx
x
ε
 
 
60.11 =∴ ρ
 
 
 
Verificação: 
 
P(1.60) = ? 
 
 49
 
 1 0.4 -4.45 2 
1.60 1.60 3.20 -2 
 1 2.0 -1.25 0.0 = P(1.60) 
 
 
Exercício:
 obter aproximações para as demais raízes usando Birge-
Vieta 
 
 
Exercício:
 
Dada a equação algébrica: 
 
P x x x x( ) = + + − =3 22 10 20 0 
 
pede-se: 
 
(a) o número de raízes reais positivas (n+) e negativas (n-); 
(b) os limitantes superior (Ls) e inferior (LI) para as raízes reais; 
(c) um intervalo com extremos inteiros contendo exatamente uma raiz 
real positiva, usando o método das sequüências de Sturm; 
(d) verificar se o ponto médio do intervalo identificado em (c) satisfaz 
o critério de convergência do método de Newton; 
(e) calcular uma aproximação para a raiz isolada usando o método de 
Birge-Vieta com ∈< −10 2 . 
Resposta: 3688.1=ρ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
3.1. INTRODUÇÃO 
 
Um problema de grande interesse prático é a resolução numérica de 
um sistema S
 de n equações lineares com n incógnitas. 
 





=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
n
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
S
...
...
...
:
2211
22222121
11212111
 
ou 
∑
=
==
n
j
ijijn nibxaS
1
,...,2,1,: 
 
Onde: 
).,...2,1,(tan:,var:,: njitesconsbiáveisxescoeficienta ijij
Sob a forma matricial S 
 
onde: 




















⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
21
22221
11211
 
é a matriz dos coeficientes. 




















⋅
⋅
⋅
=
nx
x
x
X
2
1
 
é o vetor das variáveis 
 
 pode ser representado como: bAX =
=
 
 51
.tantan
2
1
tesconstermosdosvetorouteconsvetoroé
b
b
b
be
n 



















⋅
⋅
⋅
= 
 
A matriz 
[ ]




















⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
bA
....
....
....
:
21
111211
111211é chamada matriz aumentada ou matriz completa do sistema. A 
resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de 
( )njx j ,...,1, = , caso existam, satisfazendo as n equações 
simultaneamente. 
 
 
Exemplo: 
 
Dado o sistema linear 3S : 





−=+−
=−+
=−+
132
3344
532
:
321
321
321
3
xxx
xxx
xxx
S 
 
pede-se: 
(a) escrevê-lo sob a forma matricial 
(b) identificar a sua matriz completa 
(c) mostrar que o vetor 










=
3
2
1
x 
 é o vetor solução para o sistema 
 
Solução 
(a) forma matricial 
( )
{ {
)(
1
3
5
132
344
132
)(
tan
)(
var
3
2
1
bAXformadaéque
x
x
x
b
tescons
termos
dosvetor
X
iáveis
de
vetor
A
escoeficientdosmatriz
=










−
=




















−
−
−
43421
 
 
(b) matriz completa 
[ ]










−−
−
−
=
1132
3344
5132
:bA 
 
 
 52
(c) 
bAX =










−
=










+−
−+
−+
=




















−
−
−
=
1
3
5
3.12.31.2
3.32.41.4
3.12.31.2
3
2
1
132
344
132
 
 
 
SISTEMAS TRIANGULARES 
 
Um sistema linear S AX bn : = é chamado triangular superior se a matriz ( )ijaA = é tal que ( )njiijseaij ,...,2,1,,0 =<= , ou seja: 
 







=
=++
=+++
nnnn
nn
nn
n
bxa
bxaxa
bxaxaxa
S
M
22222
11212111
...
...
: 
 
Um sistema linear bAXSn == é chamado triangular inferior se a 
matriz ( )ijaA = é tal que a ij = 0 para ( )njij ,...,2,1, => , ou seja: 
 







=+++
=+
=
nnnnnn
n
bxaxaxa
bxaxa
bxa
S
...
:
2211
2222121
1111
MM
 
 
Observe-se que os sistemas triangulares em que ( )naii ,...,1,0≠ , são 
facilmente resolvidos por substituição retroativa ou progressiva. 
 
Exemplo: 
Encontrar o vetor solução do sistema linear 4S : 
 
( )
( )
( )
( )






=
=−
−=−+
−=+−+
422
3354
212
110543
:
4
43
432
4321
4
x
xx
xxx
xxxx
S 
 
Resolução: 
 
eq. (4): 
⇒= 22 4x 14 =x 
 
substituições retroativas 
 
eq. (3): 
⇒=−⇒=− 354354 343 xxx x3 2= 
 
eq. (2): 
⇒−=−+ 12 432 xxx 
⇒−=−+ 1222x x2 1= − 
 
eq. (1): 
( ) 1012.5143
10543
1
4321
−=+−−+⇒
−=+−+
x
xxxx
 
⇒=⇒ 33 1x x1 1= 
 
 
 53














−
=∴
1
2
1
1
Xésoluçãovetoro 
 
 
Métodos Numéricos de Resolução: 
 
Métodos diretos: 
são métodos que determinam a solução exata (X) de um sistema linear 
com um número finito de operações aritméticas elementares. 
 
Métodos iterativos 
são métodos que permitem obter uma solução aproximada ( )X para 
um sistema linear, utilizando-se de um método iterativo para gerar 
uma seqüência de aproximações sucessivas ( ) ( ),..., 21 XX a partir de 
uma aproximação inicial escolhida ( )0X . Quando um critério de 
parada é satisfeito, o último vetor de aproximação ( )kX da seqüência é 
tomado para X . 
 
 
3.2. MÉTODOS DIRETOS 
 
3.2.1. MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
 
3.2.1.1. CARACTERIZAÇÃO GERAL 
 
O método da Eliminação de Gauss consiste em transformar o 
sistema linear original num sistema linear equivalente triangular 
superior. 
 
Exemplo: 
Seja resolver o sistema: 
 
( )( )
( )( )
( )( )



−=+−
=−+
=−+
0
321
0
321
0
321
3
3132
23344
1532
:
xxx
xxx
xxx
S 
 
Resolução: 
 
Triangularização do sistema original: 
 
Passo 1: eliminação de x1 das equações ( ) ( ) )0()0( 32 e : 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) 12
22
2
4
0
11
0
311
30
11
0
211
2 ======
a
a
m
a
a
m 
 
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )



−=−=−−
−=−=−−
==−+
001
32
001
32
01
321
1
3
1*133626
1*22272
11532
:
xx
xx
xxx
S 
 
Passo 2: eliminação de x2 da equação ( ) )1(3 : 
( ) ( )
( ) 32
6
1
22
1
322
2 =
−
−
==
a
a
m 
 
 54
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )



−==
=−=−−
==−+
112
3
12
32
12
321
2
3
2*333155
2272
11532
:
x
xx
xxx
S 
 
Resolução do sistema triangularizado: 
determinação do vetor X por substituições retroativas: 
 
( )
( )( )
( )( )
( )( )



=
−=−−
=−+
2
3
2
32
2
321
2
3
3155
272
1532
:
x
xx
xxx
S 
 
eq. ( )( )23 : 3155 33 =⇒= xx 
eq. ( )( )22 : 237272 2232 =⇒−=⇒−=−− xxxx 
eq. ( )( )21 : 16352532 11321 =⇒−+=⇒=−+− xxxxx 










=∴
3
2
1
X 
 
Cálculo do determinante de A: 
 
( )










−−
−
=










−
−
−
=
500
120
132
132
344
132
2AA 
 
det ( )( ) ( ) 205*2*22 −=−=A 
 
 
Exemplo: 
Resolver o sistema: 
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )






=+++
=+++
=+++
=+++
0
4321
0
4321
0
4321
0
4321
4
45234
36223
27322
110432
:
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
S 
 
Resolução: 
 
Triangularização do sistema original: 
 
Passo 1: eliminação de x1 das equações ( )( ) ( )( ) ( )( )000 43,2 e : 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) 41
43
1
3
1
2
0
11
0
411
40
11
0
311
30
11
0
211
2 ========
a
a
m
a
a
m
a
a
m 
 
( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )






−=−=−−−
−=−=−−−
−=−=−−−
=+++
4*1443515105
3*133241084
2*12213443
110432
:
001
432
001
432
001
432
1
4321
1
4
xxx
xxx
xxx
xxxx
S 
 
Passo 2: eliminação de x2 das equações ( )( ) ( )( )11 43 e 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) 667.13
5333.1
3
4
3
4
1
22
1
422
41
22
1
323
2 =
−
−
====
−
−
==
a
a
m
a
a
m 
 
 
 55
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )






−=−=−−
−=−=−
=−=−−−
==+++
112
43
112
43
12
432
12
4321
2
4
2*667.144329.13665.6332.3
2*333.133671.6335.3866.2
2213543
1110432
:
xx
xx
xxx
xxxx
S 
 
Passo 3: eliminação de x3 da equação ( )( )24 : 
( ) ( )
( ) 249.1668.2
332.3
2
33
2
433
4 =
−
−
==
a
a
m 
 
( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )






−=−=−
=−=−−
=−=−−−
==+++
223
4
23
43
23
432
23
4321
3
4
3*249.144997.4500.2
33671.6335.3866.2
2213543
1110432
:
x
xx
xxx
xxxx
S 
 
Determinação do vetor solução X por substituições retroativas: 
eq. ( )( )34 : 999.1997.45.2 44 =⇒−=− xx 
eq. ( )( )33 : 
( )( )
002.0
671.6999.1335.3668.2671.6335.3668.2
3
343
x
xxx
⇒
−=−−⇒−=−−
 
eq. ( )( )32 : 
( )( ) ( )( ) 999.013999.15002.043
13543
22
432
=⇒−=−−−⇒
−=−−−
xx
xxx
 
 
eq. ( )( )31 : 
( )( ) ( )( ) ( )( )
0998.1006.0996.710
10999.14002.03999.02
10432
11
1
4321
=⇒−−−=⇒
=+++⇒
=+++
xx
x
xxxx
 
 








