Matemática Financeira: Revisão de Porcentagem, Juros Simples e Compostos

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
LUIZ ROBERTO
Rio de Janeiro, 27 de agosto de 2011
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AULA Revisão AV2
Revisão AV2
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AULA Revisão AV2
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PROBLEMAS DE PORCENTAGEM
 Um serviço com preço R$840,00 foi reajustado 
para R$1.092,00. Qual o porcentual de aumento?
Solução:
O produto passou de 840  1092
Aumentou em: 252
 . 840 = 252 logo p = = 30 
Resposta: aumento de 30%
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AULA Revisão AV2
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Suponha que o salário de um gestor que era R$10.000,00 sofreu um aumento de 12%. Qual é o novo salário?
Solução:
 
N = (100% + 12%) de S
N = 112% de 10000 = 1,12 x 10000 = R$11.200,00 
Resposta: devemos multiplicar o salário por 1,12, que é o fator de atualização.
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AULA Revisão AV2
Supondo que em certo trimestre a inflação foi de 6%, 8% e 10% ao mês, respectivamente, qual a inflação acumulada no trimestre?
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AULA Revisão AV2
Acumula %  multiplica fatores
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AULA Revisão AV2
Assinale qual o valor mais próximo para o fator acumulado após reajustes consecutivos em um determinado serviço de frete de 11%, 12% e 13%?
Aplicando fatores de atualização:
1.11 x 1.12 x 1.13 = 1,40
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AULA Revisão AV2
+20%
+20
100
120
?%
+18
+38%
Temos que calcular o percentual de aumento de 120 para 138.
138 – 120 = 18 
Então, .120 = 18 logo: p = 15% 
Exercício 2:
Um prodduto sofreu reajuste acumulado em um bimestre de 38%. Se no 1º mês o aumento foi de 20%, qual o aumento do 2º mês? 
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AULA Revisão AV2
Pelo FA:
1º mês FA = 1,2
2º mês FA= ?
Bimestre FA = 1,38
Então, 1,2 x = 1,38 logo: x = 1,38 / 1,2 = 15% 
desconto %  divide fatores
OU ... Pelos fatores
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AULA Revisão AV2
 Um frete com preço R$120,00 foi reajustado 
para R$150,00. Qual o porcentual de aumento?
Solução:
O produto passou de 120  150
Aumentou em: 150 – 120 = 30
Procurar o porcentual de 120 que corresponde a 30:
 . 120 = 30 logo p = = 25 
Resposta: aumento de 25%
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AULA Revisão AV2
Exemplo de Fluxo de Caixa:
Supondo que não exista correção no tempo, vamos calcular o saldo do fluxo de caixa no dia 31 de janeiro.
SALDO = 1000 – 200 + 100 – 400 – 300 = $200 
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AULA Revisão AV2
O capital de R$9.500,00 aplicado durante um ano e meio a juros simples rendeu R$1.800,00. 
Qual a taxa de juros mensal?
C = 9500
t = 18 m
j = 1800 
j = cit / 100
1800 = 9500 x i x 18
i = 0,0105 = 1,05%
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AULA Revisão AV2
Se R$3.000,00 foram aplicados por 5 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês, determine:
a) os juros recebidos; b) o montante M
C = 3000 t = 5 m i = 4% am
j = = = R$600 
M = 3000 + 600 = R$3.600,00
MONTANTE
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AULA Revisão AV2
JUROS COMPOSTOS
Uma aplicação de R$ 410,00 num investimento que rende 2% ao mês, a juros compostos. Qual o montante ao final de 2 meses?
Fórmula: M = C x (1 + i) 
M = 410 x (1 + 0,02) 
M = 426,56
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AULA Revisão AV2
Taxa Equivalente
Qual a taxa anual equivalente a 6% ao semestre?
Fórmula: 1 + ia = (1 + is)
1 + ia = (1 + 0,06)
Ia = 12,26%
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AULA Revisão AV2
TAXA NOMINAL 
Considere um empréstimo de R$ 110.000,00, que deve ser quitado no final de um ano, pelo valor monetário de R$ 163.900,00, a taxa de juros nominal será dada por:
Taxa nominal = juros / valor nominal
Juros = 163900 – 110000 = 53900
Taxa nominal = 53900 / 110000 = 0,49 = 49%
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TAXA REAL 
Um empréstimo de R$ 110.000,00 deve ser quitado no final de um ano por R$ 163.900,00. Se a inflação no período foi de 25%, qual a taxa real do empréstimo?
(1+ r) = (1 + in ) / (1 + j)
Juros = 163900 – 110000 = 53900
in = 53900 / 110000 = 0,49
j = taxa de inflação = 0,25
1 + r = 1,49 / 1,25 = 1,192 logo: r = 0,192 = 19,2%
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AULA Revisão AV2
Qual será o valor do resgate de uma duplicata de R$100,00, antes do seu vencimento, em um determinado período, supondo que o banco cobre uma taxa de desconto comercial de 5%?
D = 5% de 100 = 5 (desconto comercial)
A = N - D 
  A = 100 – 5 = 95 
 O valor do resgate é R$95,00
DESCONTO COMERCIAL
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AULA Revisão AV2
Qual será o valor do resgate de uma duplicata de R$100,00, antes do seu vencimento, em um determinado período, supondo que o banco cobre uma taxa de desconto racional de 5%?
 Taxa de desconto racional i = 5%  d = 5% de A
 A = N - d   A = 100 – 0,05 A 
 1,05 A = 100   A = 95,24 
valor do resgate é R$95,24
DESCONTO RACIONAL
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AULA Revisão AV2
Exercício 2:
Um caminhão foi comprado com R$1.500,00 de entrada e três prestações mensais iguais de R$1.225,48. Sabendo-se que os juros são 2,5% am, calcule o preço à vista.
Chamando a entrada de E e as prestações de P:
E
1
2
3
A
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AULA Revisão AV2
 O principal (A) corresponde ao valor atual das prestações na data zero somado à entrada (E), pode ser expresso:
A = E + P a3¬2,5
Onde: E = 1500 P = 1225.48
a3¬2,5 = 2,856024 (da Tabela = na prova será dado) 
Logo:
A = 1500 + 1225,48 x 2,856024
A = 1500 + 3500
A = R$5.000,00
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AULA Revisão AV2
O valor de R$50.000,00 foi emprestado a uma taxa de juros mensal de 1,5%. Este empréstimo deverá ser pago em 5 meses segundo o sistema SAC. 
Calcule o valor da segunda prestação.
E = 50.000 i = 1,5% a.m.
Número de parcelas = 5
Podemos calcular o valor da amortização: 
50000 / 5 = 10000 
SAC
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AULA Revisão AV2
SAC
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AULA Revisão AV2
Quatro caminhões devem ser comprados para aumentar a frota de uma determinada empresa de logística. O valor total à vista é R$ 480.000,00. Como o pagamento será feito em uma só parcela para 90 dias, a concessionária cobrou 12% de juros. Qual o valor final dos caminhões?
 
FA = 100% + 12% = 112% = 1,12
1,12 x 480.000 = R$537.600,0
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AULA Revisão AV2
O projeto de implantação de um nova loja exigiu um empréstimo de R$ 300.000,00 a uma taxa de juros de 12% ao ano a ser pago em 24 meses. Qual o valor a ser pago no final?
Fórmula: M = C x (1 + i)n
 t = 24 meses logo n = 2 anos
M = 300.000 x (1,12)2 = R$376.320,00
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AULA Revisão AV2
Tabela Price (Sistema Francês)
Essa forma de amortização é representada por uma série de pagamentos uniformes e periódicos, ou seja, tem as prestações fixas. 
Por este sistema o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais entre si. A dívida será quitada na última prestação. 
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AULA Revisão AV2
Exemplo: Um empréstimo de R$10.000,00 deverá ser pago pela Tabela Price em cinco prestações mensais à taxa de 3% ao mês. Determine a planilha de pagamentos.
C = 10000
i = 3% am
Amortizações mensais iguais: 5 (Tabela Price)
Chamamos de planilha de pagamento à tabela que discrimina em cada instante o valor da prestação, os juros, a amortização e o saldo devedor.
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AULA Revisão AV2
Para calcular a prestação:
10000 = P . a5¬3
10000 = P . 4,579707 (da tabela)
Logo: P = 10000 / 4,579707 = 2.183,55
Serão 5 prestações iguais de R$2.183,55. 
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AULA Revisão AV2
Tabela Price (Sistema Francês)
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AULA Revisão AV2
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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO
Um empréstimo de R$50.000,00 a juros de 1,5% am deverá ser pago em cinco vezes pelo Sistema Americano de Amortização. 
C = 50.000
I = 1,5% am
Amortização: 5º mês
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AULA Revisão AV2
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Exemplo PAYBACK
Considere um investimento de R$ 20 milhões que gera retornos líquidos anuais de R$ 5 milhões, a partir do final do primeiro ano, durante 10 anos. Calcule o payback:
O período de re-pagamento (payback) é calculado pela razão entre investimento e receita anual:
PaybackA = 20 mi / 5 mi = 4 anos.
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AULA Revisão AV2
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EXERCÍCIO 1:
Analise o fluxo de caixa a seguir e calcule o payback (considere que não há incidência de juros).
Solução:
Payback = 250000 / 62500 = 4 anos
Taxa de juros
Taxa de juros
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Taxa de juros
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