CONTEXTUALIZADA - ÁLGEBRA LINEAR

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ÁLGEBRA LINEAR 
ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA 
 
Aluno: Anderson Hewitson dos Santos 
Matrícula: 01430904 
Curso: Engenharia Mecânica 
Instituição: Uninassau 
Polo: São Luis/MA 
 
 
INTRODUÇÃO: 
A seguinte atividade mostra os resultados dos estudos no decorrer da disciplina por meio de uma 
pesquisa de um bioquímico acerca de uma determinada população de bactérias e suas características 
de algumas gerações e para este evento, será feita abordagem do tema Cadeia de Markov e processos 
estocásticos, que será usado como base para análise a ser desenvolvida. Em seguida os resultados 
obtidos, serão expostos e aplicados para as questões apresentadas no decorrer da atividade, com 
complemento da conclusão. 
OBJETIVOS: 
Desenvolver a análise de uma determinada população de bactérias estudada por um bioquímico, 
descrevendo as possíveis características através das gerações por meio dos genótipos AA,Aa e aa. 
Um bioquímico está estudando uma bactéria capaz de combater determinada doença. Ele sabe que, 
para tal, certo genótipo deve controlar as características necessárias para combater a doença. O 
genótipo desejado é constituído por dos alelos dominantes (ou seja, genótipos AA). 
Dessa forma o bioquímico montou uma tabela que indica a probabilidade do cruzamento das bactérias 
que carregam os três diferentes genótipos (AA,Aa,aa) resulta em indivíduos com genótipo de interesse 
AA. 
 
 
 
 
 
 
 GENÓTIPO DE ORIGEM 
 AA*AA Aa*Aa Aa*AA 
PROBABILIDADE DE GENÓTIPO AA 100% 50% 0% 
PROBABILIDADE DE GENÓTIPO Aa 0% 50% 100% 
PROBABILIDADE DE GENÓTIPO aa 0% 0% 0% 
 
 
 
 
 
 
 
DESENVOLVIMENTO: 
O desenvolvimento será de acordo com a análise do assunto apresentado nesta atividade, e, para isto, 
teremos a apresentação de que um bioquímico está realizando uma pesquisa sobre determinada 
bactéria que tem capacidade para combater células cancerígenas. 
A partir destas informações iremos analisar a evolução destas proporções no decorrer das gerações. 
Para tal, usaremos através da cadeia de Markov, a análise de processos. Para aplicarmos a cadeia de 
Markov, será incluída o princípio de matriz de probabilidade de transição assim como o vetor de 
probabilidade(Bordini et al, 1980) 
O pesquisador determinou a população de indivíduos com genótipo AA de x1, a população de indivíduos 
Aa de x2 e a população de indivíduos aa de x3, com isso, definiu equações que descrevem a 
probabilidade de indivíduos de cada genótipo estarem presentes em uma próxima geração, 
considerando que um dos indivíduos de origem possui sempre o genótipo AA: 
 
x1(n) = 1 . x1(n - 1) + 
1
2 
. x2(n - 1) 
x2(n) = 
1
2 
 . x2(n – 1)¹ . x3(n – 3) 
x3(n) = 0 
 
Por fim o bioquímico traduziu essas equações na forma de uma transformação linear: 
T: R³ → R³; [
𝑥1(𝑛)
𝑥2(𝑛)
𝑥3(𝑛)
] = [ 
1
1
2 
0
0
1
2 
1
0 0 0
] x [
𝑥1(𝑛 − 1)
𝑥2(𝑛 − 1)
𝑥3(𝑛 − 1)
] 
 
É importante ressaltar que o subscrito (n) indica a geração de bactérias a qual estamos nos referindo, 
enquanto (n-1) se refere à geração anterior. Se analisarmos bem a expressão, veremos que se trata de 
uma cadeia Markov. 
Adotemos como referência, ainda, o texto apresentado no case. Além da transformação que descreve a 
proporção de indivíduos através das gerações, sabemos também a proporção inicial das bactérias 
estudadas com os três diferentes genótipos. São ela x1=10%, x2=60% e x3=30%. Temos, portanto, o 
seguinte vetor: 
 
 
[
𝑥1(0)
𝑥2(0)
𝑥3(0)
] = [
0,1
0,6
0,3
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com a equação que descreve a transformação linear em mãos, somos capazes de estimar a população 
de indivíduos com genótipo AA, através das mais diversas gerações. A partir disso, vamos propor, 
então, algumas perguntas. 
RESULTADO E DISCUSSÃO: 
A partir do que já foi apresentado, serão realizados os cálculos para sanarmos as questões apresentadas 
nesta atividade. 
1) Qual a população de bactérias com o genótipo Aa (ou se já, X2) na primeira geração ? E na segunda 
geração? 
 
R: Na primeira geração x2 Aa é dada por 0,6x100 = 60% ---- Na segunda geração x2 é dada por 
0,6x100 = 30% 
 
Podemos chegar aos resultados citados acima, resolvendo a multiplicação de matrizes da seguinte 
forma: 
 
1ª Geração 
 
[
1
1
2
0
0
1
2
1
0 0 0
] x [
0,1
0,6
0,3
] = [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = (
𝑥1 = (1.0,1) + (
1
2
. 0,6) + (0.0,3) = 0,4
𝑥2 = (0.0,1) + (
1
2
. 0,6) + (1.0,3) = 0,6
𝑥3 = (0.0,1) + (0.0,6) + (0.0,3) = 0,0
) = (𝟔𝟎%) 
 
 
 
2ª Geração 
 
[
1
1
2
0
0
1
2
1
0 0 0
] x [
0,4
0,6
0,0
] = [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = (
𝑥1 = (1.0,4) + (
1
2
. 0,6) + (0.0,0) = 0,7
𝑥2 = (0.0,4) + (
1
2
. 0,6) + (1.0,0) = 0,3
𝑥3 = (0.0,4) + (0.0,6) + (0.0,0) = 0,0
) = (𝟑𝟎%) 
 
 R: Então, a primeira geração X1, será representada por 0,6x100 = 60 e a segunda geração X2, será 
representada por 0,3x100= 30% 
Explicação: Inicialmente para realizar o cálculo de forma mais objetiva, foi usada a forma aprendida 
durante os estudos das unidades, que consiste em multiplicar (LinhaxColuna), onde os cálculos 
mostram que a população de bactérias com genótipos Aa na 1ª geração será de 60%, sendo ele o 
dobro em comparação ao número da 2ª geração que mostra 30%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2) Qual a proporção de bactérias do genótipo aa (ou seja, x3) na terceira geração? Essa proporção se 
altera na quarta geração? 
 
R: Na 3ª geração x3 = 0% -------- Na 4ª geração x3 = 0%, ou seja, o valor não se altera. 
 
Podemos chegar aos resultados citados acima, resolvendo a multiplicação de matrizes da seguinte 
forma: 
 
3ª Geração 
 
[
1
1
2
0
0
1
2
1
0 0 0
] x [
0,7
0,3
0,0
] = [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = (
𝑥1 = (1.0,7) + (
1
2
. 0,3) + (0.0,0) = 0,85
𝑥2 = (0.0,7) + (
1
2
. 0,3) + (1.0,0) = 0,15
𝑥3 = (0.0,7) + (0.0,3) + (0.0,0) = 0,0
) = (𝟖𝟓%) 
 
4ª Geração 
 
[
1
1
2
0
0
1
2
1
0 0 0
] x [
0,85
0,15
0,0
] = [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = (
𝑥1 = (1.0,85) + (
1
2
. 0,15) + (0.0,0) = 0,925
𝑥2 = (0.0,85) + (
1
2
. 0,15) + (1.0,0) = 0,075
𝑥3 = (0.0,85) + (0.0,15) + (0.0,0) = 0,0
) = (0) 
 
 
R: Na 3ª geração X3 irá ficar sendo representado por 0*100 = 0%, e esta proporção não se altera na 
quarta geração. 
 
Explicação: Diferente da 1ª e 2ª geração, a 3ª geração das bactérias x3, junto com o genótipo aa tem 
o valor de 0%, sendo assim, ele não se altera na 4ª geração x3. 
 
3) Em que geração a população de bactérias do genótipo AA atinge 85% do total? 
 
R: 3ª Geração. 
 
[
1
1
2
0
0
1
2
1
0 0 0
] x [
0,7
0,3
0,0
] = [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = (
𝑥1 = (1.0,7) + (
1
2
. 0,3) + (0.0,0) = 0,85
𝑥2 = (0.0,7) + (
1
2
. 0,3) + (1.0,0) = 0,15
𝑥3 = (0.0,7) + (0.0,3) + (0.0,0) = 0,0
) = (𝟖𝟓%)Explicação: 
 
Após a obtenção dos resultados da matriz da 3ª geração, chega-se ao resultado de x1 que é igual a 0,85 
e com esse valor chegamos ao resultado das questões apontadas. Na 3ª geração a população de 
bactérias do genótipo AA atingirá o valor de 85%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40
70
85
92,5
60
30
15
7,5
0 0 0 0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1ª geração 2ª geração 3ªgeração 4ª geração
Acompanhamento de gerações de bactérias X Probabilidade de genótipo
AAX1 AaX2 aaX3
Para uma limpa visualização dos resultados obtidos, segue abaixo uma representação gráfica onde será 
possível notar a diferença das proporções ao longo das gerações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cadeia Markov: 
A cadeia Markov é um processo estocástico com a propriedade Markov. O termo “cadeia de Markov” se 
refere à sequência de vareáveis aleatórias, tais um processo move-se através de, com a propriedade de 
Markov definido a dependência de ´serie única entre períodos adjacentes, como em uma cadeia. Desta 
forma, pode ser usado para sistemas que seguem uma cadeia de eventos ligados, onde o que acontece 
em seguida depende apenas do estado atual do sistema. 
 
Uma vez queo sistema altera aleatoriamente, é geralmente impossível prever com exatidão o estado 
de uma cadeia de Markov num dado momento no futuro. No entanto as propriedades estatísticas do 
futuro do sistema podem ser previstas. Em muitas aplicações, elas são importantes. A famosa cadeia de 
Markov é chamado de “andar de bêbado”, um passeio aleatório na linha número onde, a cada passo, a 
posição pode mudar por um ou -1 com igual probabilidade. A partir de qualquer posição há duas 
transições possível, para o seguinte ou anterior inteiro. As probabilidades de transição dependem 
somente da posição atual, não sobre o modo em que a posição foi alcançada. Por exemplo, as 
probabilidades de transição de 5-4 e 5-6 ambos 0.5, e todos os outros a partir de probabilidades de 
transição 5 é 0. Estas probabilidades são independentes do fato de se o sistema foi anteriormente em 4 
e 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: 
 
Com o cálculo de probabilidade desenvolvido nesta atividade, foi apresentada a evolução de uma 
população de bactéria em relação ao genótipo. E para andamento, foram usados conceitos aprendidos 
ao longo dos estudos desta disciplina, tal como matriz e suas operações. Junto à isto, foi demonstrada 
uma breve descrição sobre cadeia Markov ao qual foi usada como ferramenta de cálculo das proporções 
dos genótipos de bactérias ao longo da das gerações. Ao final foram apresentados resultados dos 
cálculos propostos através do questionário da atividade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.infoescola.com/matematica/ 
https://matematicabasica.net/matrizes/ 
https://www.inf.ufsc.br/~andre.zibetti/probabilidade/cadeias-de-markov.html 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.infoescola.com/matematica/
https://matematicabasica.net/matrizes/
https://www.inf.ufsc.br/~andre.zibetti/probabilidade/cadeias-de-markov.html