Ativ5_Hercules

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Atividade 5 MAT0120 - Álgebra I para Licenciatura (2022)
Hercules Ioannis Gaitanis 3184401 20/05/2022
Um homem vai a uma loja de roupa e compra 12 ternos, uns pretos e outros cinza, por
1.200€. Se os ternos pretos valem mais 30 euros do que os ternos cinzas e ele comprou o
mínimo possível desses últimos, quantos ternos de cada cor ele comprou?
Soluções via chute serão desconsideradas.
x= ternos pretos
y= ternos cinzas
ax+by=1200 (1)
x+y=12 (2) —> y=12-x
a=b+30 : ternos pretos valem mais 30€
eliminando y em (1) e (2):
(b+30) x + b (12-x) = 1200
bx+30x+12b–bx =1200
30x+12b=1200 (3)
Resolvendo (3): mdc(30,12)|1200, Equação tem solução inteira..
mdc(30,12) = 2 mdc(15,6) = 2 . 3 mdc(5,3) = 6 mdc(5,3)
2 2
30 12 6
24 12
6 0
30 = 2.12+6
12 = 2.6+0
6 = 30 - 24
= 30 - ( 2 . 12 )
= 30 (1) + 12 (-2)
reduzimos a equação para : 5x - 2b = 600
Solução Particular:
(1) Identidade de Bézout para coeficientes (5,2):
5 . (1) + 2. (-2) = 1
5 = 2 .2 + 1
1 = 5 - 4
= 1. 5 - 2. 2
(2) Multiplicamos a identidade de Bézout pela constante:
5 . (1 . 200 ) + 2. (-2 . 200 ) = 200
5 . ( 200 ) + 2 . ( -400 ) = 200
Solução Geral da Equação:
x = + t = 200 + t : x = 200 + 2 t𝑥
0
𝑏
𝑑 
2
1 
substituindo em (2) : 200+2t +y = 12 ⇒ 𝑦 = − 188 − 2 𝑡 
0 < -188-2t < 12
0 > 188+2t > -12
-188/2 > t > (-12-188)/2
-100 < t < -94
t -99, -98, -97, -96, -95 }∈ { 
b = - t = –400 - t𝑏
0
𝑎
𝑑 
5
1 
Preços Quantidades Valores Total
Total
Geral
Cinzas Pretos Cinzas Pretos Cinzas Pretos
t b a y x
-99 95 125 10 2 950 250 1200
-98 90 120 8 4 720 480 1200
-97 85 115 6 6 510 690 1200
-96 80 110 4 8 320 880 1200
-95 75 105 2 10 150 1050 1200