ALGEBRA_LINEAR_E_VETORIAL_-_GABARITO_DAS_AUTO_ATIVIDADES_-_UNIDADE_1_-_TÓPICO_3

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GABARITO DAS AUTO ATIVIDADES – UNIDADE 1 
TÓPICO 3 
QUESTÃO 1: Seja o sistema 𝑆1: {
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 0
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 5
−𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −2
 
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de 𝑆. 
b) Verifique se (0, 0, 0) é solução de 𝑆. 
RESOLUÇÃO: 
Para verificar se um ponto é solução de um sistema, substituímos cada coordenada em sua respectiva 
incógnita 
a) Verifique se (2, -1,1): 
{
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 2 ∙ 2 + 3 ∙ (−1) − 1 = 4 − 3 − 1 = 0
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 2 − 2 ∙ (−1) + 1 = 2 + 2 + 1 = 5
−𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −2 + (−1) + 1 = −2 − 1 + 1 = −2
 
Repare que após a substituição, os resultados são iguais ao do sistema, logo (2,-1,1) é solução de 𝑆. 
b) Veja que ao substituir (0,0,0) na segunda equação, temos: 
{
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 2 ∙ 0 + 3 ∙ 0 − 0 = 0 + 0 + 0 = 0
𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0 − 2 ∙ 0 + 0 = 0 + 0 + 0 = 0
−𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −0 + 0 + 0 = 0 + 0 + 0 = 0
 
Percebemos, que (0,0,0) não é solução de 𝑆, pois, não apresenta a solução correta para a segunda e 
terceira equação. 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 2: Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer. 
a) {
𝑥 + 2𝑦 = 5
2𝑥 − 3𝑦 = −4
 b) {
3𝑥 − 4𝑦 = 1
𝑥 + 3𝑦 = 9
 
RESOLUÇÃO: 
a) Calculando os determinantes 
𝐷 = [
1 2
2 −3
] = −3 − (+4) = −3 − 4 = −7 
𝐷𝑥 = [
5 2
−4 −3
] = −15 − (−8) = − 15 + 8 = −7 
𝐷𝑦 = [
1 5
2 −4
] = −4 − (+10) = −4 − 10 = −14 
Basta agora calcular os valores de 𝑥 e 𝑦: 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
−7
−7
= 1 e 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
−14
−7
= 2 
Portanto, a solução é 𝑠 = {(1, 2)} 
 
b) Calculando os determinantes 
𝐷 = [
3 −4
1 3
] = 9 − (−4) = 9 + 4 = 13 
𝐷𝑥 = [
1 −4
9 3
] = 3 − (−36) = 3 + 36 = 39 
𝐷𝑦 = [
3 1
1 9
] = 27 − (+1) = 27 − 1 = 26 
Basta agora calcular os valores de 𝑥 e 𝑦: 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
39
13
= 3 e 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
26
13
= 2 
Portanto, a solução é 𝑠 = {(3, 2)} 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 3: Se tivermos o sistema abaixo, então 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 é igual a: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1
𝑥 + 𝑧 + 𝑡 = 5
𝑦 + 𝑧 + 𝑦 = 7
𝑥 + 𝑦 + 𝑡 = 4
 
RESOLUÇÃO: 
Uma estratégia interessante é apenas somar as 4 equações. Note que esta soma, produzirá a seguinte 
equação 
3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 + 3𝑡 = 15 
o que dividindo por 3 todos os termos, obtemos a solução procurada 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 5 
Outra forma, é aplicar ao sistema o método de Gauss: 
Matriz aumentada: 
[
1 1 1 0 ⋮ −1
1 0 1 1 ⋮ 5
0 1 1 1 ⋮ 7
1 1 0 1 ⋮ 4
] aplicando 
𝐿2 → 𝐿2 − 𝐿1
𝐿4 → 𝐿4 − 𝐿1
 
[
1 1 1 0 ⋮ −1
0 −1 0 1 ⋮ 6
0 1 1 1 ⋮ 7
0 0 −1 1 ⋮ 5
] aplicando 𝐿3 → 𝐿3 + 𝐿2 
[
1 1 1 0 ⋮ −1
0 −1 0 1 ⋮ 6
0 0 1 2 ⋮ 13
0 0 −1 1 ⋮ 5
] aplicando 𝐿4 → 𝐿4 + 𝐿3 
[
1 1 1 0 ⋮ −1
0 −1 0 1 ⋮ 6
0 0 1 2 ⋮ 13
0 0 0 3 ⋮ 18
] 
Por fim, façamos a leitura das linhas das matrizes, iniciando pela última linha: 
Da 4ª linha obtemos 
3𝑡 = 18 ⟹ 𝑡 = 6 
Da 3ª linha obtemos 
𝑧 + 2𝑡 = 13 ⟹ 𝑧 + 2 ∙ 6 = 13 ⟹ 𝑧 = 13 − 12 ⟹ 𝑧 = 1 
Da 2ª linha obtemos 
−𝑦 + 𝑡 = 6 ⟹ −𝑦 + 6 = 6 ⟹ 𝑦 = 0 
Da 1ª linha obtemos 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 ⟹ 𝑥 + 0 + 1 = −1 ⟹ 𝑥 − 2 
Logo, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = −2 + 0 + 6 + 1 = 5, como já havíamos verificado. 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 4: (UFBA) Dado o sistema {
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −3
3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = −5
, qual o valor de 𝑥 + 𝑦 + 𝑧? 
RESOLUÇÃO: 
Resolução pelo método de Gauss: 
Matriz Aumentada: 
[
2 −1 1 ⋮ 1
1 2 −1 ⋮ −3
3 4 2 ⋮ −5
] aplicando 𝐿1 → 𝐿2 
[
1 2 −1 ⋮ −3
2 −1 1 ⋮ 1
3 4 2 ⋮ −5
] aplicando 
𝐿2 → 𝐿2 − 2𝐿1
𝐿3 → 𝐿3 − 3𝐿1
 
[
1 2 −1 ⋮ −3
0 −5 3 ⋮ 7
0 −2 5 ⋮ 4
] aplicando 𝐿3 → 𝐿3 −
2
5
𝐿2 
[
1 2 −1 ⋮ −3
0 −5 3 ⋮ 7
0 0 19/5 ⋮ 6/5
] 
Por fim, façamos a leitura das linhas das matrizes, iniciando pela última linha: 
Da 3ª linha obtemos 
19
5
𝑧 =
6
5
⟹ 𝑧 =
6
5
∙
5
19
⟹ 𝑧 =
6
19
 
Da 2ª linha obtemos 
−5𝑦 + 3𝑧 = 7 ⟹ −5𝑦 + 3 ∙
6
19
= 7 ⟹ −5𝑦 = 7 −
18
19
⟹ −5𝑦 =
115
19
⟹ 𝑦 = −
115
19 ∙ 5
⟹ 𝑦 = −
23
19
 
Da 1ª linha obtemos 
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −3 ⟹ 𝑥 + 2 ∙ (−
23
19
) −
6
19
= −3 ⟹ 𝑥 −
46
19
−
6
19
= −3 ⟹ 𝑥 = −3 +
52
19
⟹ 𝑥 = −
5
19
 
Logo, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −
5
19
−
23
19
+
6
19
= −
22
19
. 
QUESTÃO 5: (ACAFE) Considerando o sistema {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 9
𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 2
, qual o valor da incógnita 𝑧? 
RESOLUÇÃO: 
Como nesta questão basta calcular 𝑧, iremos recorrer à regra de Cramer: 
𝐷 = |
1 1 1
2 1 −1
1 −2 2
|
1 1
2 1
1 −2
= 2 − 1 − 4 − (1 + 2 + 4) = −3 − 7 = −10 
𝐷𝑧 = |
1 1 7
2 1 9
1 −2 2
|
1 1
2 1
1 −2
= 2 + 9 − 28 − (7 − 18 + 4) = −17 − (−7) = −17 + 7 = −10 
Logo, 𝑧 =
−10
−10
= 1 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 6: O sistema linear {
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 2
2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 9
𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 7
 
a) Admite solução única. 
b) Admite infinitas soluções. 
c) Admite menos de cinco soluções. 
d) Não admite soluções. 
RESOLUÇÃO: 
Note que a segunda equação é o resultado da combinação da soma da primeira com a terceira equação. 
Logo o sistema admite infinitas soluções. 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 7: Resolva o seguinte sistema de equações: {
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 2
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 + 𝑤 = 3
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 2𝑤 = 4
 
RESOLUÇÃO: 
Resolvendo pelo método de Gaus: (Obs: há várias formas de realizar este procedimento) 
Matriz Aumentada: 
[
2 1 1 1 ⋮ 1
1 2 1 1 ⋮ 2
1 1 2 1 ⋮ 3
1 1 1 2 ⋮ 4
] aplicando 𝐿1 → 𝐿2 
[
1 2 1 1 ⋮ 2
2 1 1 1 ⋮ 1
1 1 2 1 ⋮ 3
1 1 1 2 ⋮ 4
] aplicando 
𝐿2 → 𝐿2 − 2𝐿1
𝐿3 → 𝐿3 − 𝐿1 
𝐿4 → 𝐿4 − 𝐿1 
 
[
1 2 1 1 ⋮ 2
0 −3 −1 −1 ⋮ −1
0 −1 1 0 ⋮ 1
0 −1 0 1 ⋮ 2
] aplicando 𝐿2 → −𝐿3 
[
1 2 1 1 ⋮ 2
0 1 −1 0 ⋮ −1
0 −3 −1 −1 ⋮ −1
0 −1 0 1 ⋮ 2
] aplicando 
𝐿3 → 𝐿3 + 3𝐿2
𝐿4 → 𝐿4 + 𝐿2 
 
[
1 2 1 1 ⋮ 2
0 1 −1 0 ⋮ −1
0 0 −4 −1 ⋮ −4
0 0 −1 1 ⋮ 1
] aplicando 𝐿3 → −𝐿4 
[
1 2 1 1 ⋮ 2
0 1 −1 0 ⋮ −1
0 0 1 −1 ⋮ −1
0 0 −4 −1 ⋮ −6
] aplicando 𝐿4 → 𝐿4 + 4𝐿3 
[
1 2 1 1 ⋮ 2
0 1 −1 0 ⋮ −1
0 0 1 −1 ⋮ −1
0 0 0 −5 ⋮ −10
] obtemos a matriz ampliada escalonada. 
Por fim, façamos a leitura das linhas das matrizes, iniciando pela última linha: 
Da 4ª linha obtemos 
−5𝑡 = −10 ⟹ 𝑡 =
−10
−5
⟹ 𝑡 = 2 
Da 3ª linha obtemos 
𝑧 − 𝑡 = −1 ⟹ 𝑧 − 2 = −1 ⟹ 𝑧 = −1 + 2 ⟹ 𝑧 = 1 
Da 2ª linha obtemos 
𝑦 − 𝑧 = −1 ⟹ 𝑦 − 1 = −1 ⟹ 𝑦 = −1 + 1 ⟹ 𝑦 = 0 
Da 1ª linha obtemos 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 2 ⟹ 𝑥 + 2 ∙ 0 + 1 + 2 = 2 ⟹ 𝑥 = 2 − 3 ⟹ 𝑥 = −1 
Logo, a solução para o sistema é 𝑠 = {(−1, 0, 2, 1)} 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 8: Discuta o sistema {
3𝑥 + 𝑚𝑦 = 2
𝑥 − 𝑦 = 1
 
RESOLUÇÃO: 
A ideia deste problema é identificar para certos valores possíveis para 𝑚, se o sistema é Possível e 
Determinado (SPD), ou Possível e Indeterminado (SPI), ou Impossível (SI). 
Utilizaremos a regra de Cramer para realizar está análise. Vamos calcular o determinante dos 
coeficientes da matriz: 
|
3 𝑚
1 −1
| = 3 − 𝑚 
1. Se o determinante for diferente de zero, ou seja, se 𝑚 ≠ −3 o sistema terá uma única solução, ou seja, 
se trata de um SPD. 
2. Se o determinante for igual a zero, pode ser SPI ou SI. Vamos analisar então, quando 𝑚 = −3, com 
isso o sistema fica assim apresentado: 
{
3𝑥 − 3𝑦 = 2
𝑥 − 𝑦 = 1
 
Multiplicando a 2º equação por 3 teremos o seguinte sistema: 
{
3𝑥 − 3𝑦 = 2
3𝑥 − 3𝑦 = 3
 
Note que as duas equações são incompatíveis (temos “3𝑥– 3𝑦” do lado esquerdo de ambas, com valores 
diferentes do lado direito das ambas); não havendo solução. Logo é um caso impossível. Portanto, se 
𝑚 = −3 então é SI. 
_____________________________________________________________________________________________________________________QUESTÃO 9: Determine 𝑚, de modo que o sistema {
𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4
 seja impossível. 
RESOLUÇÃO: 
Perceba que, ao olhar apenas para a segunda e terceira equação, ao somar elas, obtemos uma relação 
que proporcionará a resolução do problema. 
{
𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑧 = 0
−𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4
 
𝑚𝑦 + 𝑦 = 4 
𝑦(𝑚 + 1) = 4 
𝑦 =
4
𝑚 + 1
 
Note que, se 𝑚 + 1 = 0, teremos uma impossibilidade para o sistema. Portanto, se 𝑚 = −1, o sistema é 
impossível. 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 10: Verifique se o sistema {
3𝑥 − 2𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 0
 é determinado ou indeterminado. 
RESOLUÇÃO: 
Isolando a variável 𝑥 na segundo equação obtemos a seguinte relação 
𝑥 = −𝑦 (III) 
Substituindo (III) na primeira equação, teremos 
3𝑥 − 2𝑦 = 0 ⟹ 3(−𝑦) − 2𝑦 = 0 ⟹ −5𝑦 = 0 ⟹ 𝑦 = 0 
Trocando o valor encontrado de 𝑦 na relação (III), determinamos o valor de 𝑥 
𝑥 = −𝑦 ⟹ 𝑥 = 0 
Portanto, o sistema é possível e determinado cuja solução é 𝑠 = {(0, 0)}. 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
 
Questão 11: Determine 𝑚 para que o sistema {
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0
𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑚𝑦 + 2𝑧 = 0
 tenha única solução. 
RESOLUÇÃO: 
Para que o sistema tenha solução única, o determinante dos coeficientes, deve ser diferente de zero. Logo: 
[
2 −1 3
1 4 −5
3 𝑚 2
] ≠ 0 
(16 + 15 + 3𝑚) − (36 − 10𝑚 − 2) ≠ 0 
31 + 3𝑚 − 34 + 10𝑚 ≠ 0 
13𝑚 ≠ 3 
𝑚 ≠
3
13
 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
Questão 12: Escalone e resolva os sistemas lineares a seguir: 
a) {
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1
3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 8
2𝑦 + 𝑧 = 0
 
RESOLUÇÃO: 
[
2 3 1 ⋮ 1
3 −3 1 ⋮ 8
0 2 1 ⋮ 0
] aplicando 𝐿2 → 𝐿2 −
3
2
𝐿1 
[
2 3 1 ⋮ 1
0 − 15 2⁄ −
1
2⁄ ⋮
13
2⁄
0 2 1 ⋮ 0
] aplicando 𝐿2 → −
2
15
𝐿2 
[
2 3 1 ⋮ 1
0 1 1 15⁄ ⋮ −
13
15⁄
0 2 1 ⋮ 0
] aplicando 𝐿3 → 𝐿3 − 2𝐿2 ⟹ [
2 3 1 ⋮ 1
0 1 1 15⁄ ⋮ −
13
15⁄
0 0 13 15⁄ ⋮
26
15⁄
] 
Por fim, façamos a leitura das linhas das matrizes, iniciando pela última linha: 
Da terceira linha obtemos 
13
15
𝑧 =
26
15
 
𝑧 =
26
15
∙
15
13
 
𝑧 = 2 
Da segunda linha obtemos 
𝑦 +
1
15
𝑧 = −
13
15
 
𝑦 +
2
15
= −
13
15
 
𝑦 = −
13
15
−
2
15
= −
15
15
 
𝑦 = −1 
Da primeira linha obtemos 
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1 
2𝑥 + 3(−1) + 2 = 1 
2𝑥 − 3 + 2 = 1 
2𝑥 = 1 + 1 
𝑥 =
2
2
 
𝑥 = 1 
 
Logo, a solução para o sistema é 𝑠 = {(1, −1, 2)} 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
b) {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 5
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 13
 
RESOLUÇÃO: 
[
1 1 1 ⋮ 6
4 2 −1 ⋮ 5
1 3 2 ⋮ 13
] aplicando 
𝐿2 → 𝐿2 − 4𝐿1
𝐿3 → 𝐿3 − 𝐿1 
 
[
1 1 1 ⋮ 6
0 −2 −5 ⋮ −19
0 2 1 ⋮ 7
] aplicando 𝐿3 → 𝐿3 + 𝐿2 ⟹ [
1 1 1 ⋮ 6
0 −2 −5 ⋮ −19
0 0 −4 ⋮ −12
] 
Por fim, façamos a leitura das linhas das matrizes, iniciando pela última linha: 
Da terceira linha obtemos 
−4𝑧 = −12 
𝑧 =
−12
−4
 
𝑧 = 3 
Da segunda linha obtemos 
−2𝑦 − 5𝑧 = −19 
−2𝑦 − 5 ∙ 3 = −19 
−2𝑦 = −19 + 15 
𝑦 =
−4
−2
 
𝑦 = 2 
Da primeira linha obtemos 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 
𝑥 + 2 + 3 = 6 
𝑥 = 6 − 5 
𝑥 = 1 
 
Logo, a solução para o sistema é 𝑠 = {(1, 2, 3)} 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
c) {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 7
2𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 21
−3𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = −8
 
RESOLUÇÃO: 
[
1 2 1 ⋮ 7
2 7 1 ⋮ 21
−3 −5 2 ⋮ −8
] aplicando 
𝐿2 → 𝐿2 − 2𝐿1 
𝐿3 → 𝐿3 + 3𝐿1 
⟹ [
1 2 1 ⋮ 7
0 3 −1 ⋮ 7
0 1 5 ⋮ 13
] aplicando 𝐿2 → 𝐿3 
[
1 2 1 ⋮ 7
0 1 5 ⋮ 13
0 3 −1 ⋮ 7
] aplicando 𝐿3 → 𝐿3 − 3𝐿2 ⟹ [
1 2 1 ⋮ 7
0 1 5 ⋮ 13
0 0 −16 ⋮ −32
] 
Por fim, façamos a leitura das linhas das matrizes, iniciando pela última linha: 
Da terceira linha obtemos 
−16𝑧 = −32 
𝑧 =
−32
−16
 
𝑧 = 2 
Da segunda linha obtemos 
𝑦 + 5𝑧 = 13 
𝑦 + 5 ∙ 2 = 13 
𝑦 = 13 − 10 
𝑦 = 3 
Da primeira linha obtemos 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 7 
𝑥 + 2 ∙ 3 + 2 = 7 
𝑥 = 7 − 8 
𝑥 = −1 
 
Logo, a solução para o sistema é 𝑠 = {(−1, 3, 2)} 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
 
QUESTÃO 13: (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana. Sabendo que ela adquiriu a 
mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de lapiseiras, o número de 
corretores comprados foi igual a: 
 
 
 
 
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 
RESOLUÇÃO: 
Como sabe-se que foram comprados pelo menos um item de cada tipo, temos que para comprar a maior 
quantidade possível de lapiseiras a única opção é de que são 5 canetas e 7 lapiseiras (aqui o intuito é usar 
da lógica para identificar estes valores, o que facilita a resolução), pois 3 ∙ 5 + 5 ∙ 7 = 50. Agora, como a 
quantidade de cadernos é igual a de canetas, e chamando a quantidade de canetas de 𝑥, segue: 
4 ∙ 5 + 2𝑥 = 44 
2𝑥 = 44 
𝑥 =
22
2
= 11 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 14: (UERJ) No sistema mostrado, x e y são números reais: {
2𝑥(𝑥 − 1) + 𝑦(𝑥 − 1) = 4(𝑥 − 1)
𝑥2 + 𝑦 = 7
. 
A soma de todos os valores de 𝑥 que satisfazem a esse sistema é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
RESOLUÇÃO: 
Note que a primeira equação possui o termo (𝑥 − 1) como fator comum. Colocando-o em evidência, vem: 
2𝑥(𝑥 − 1) + 𝑦(𝑥 − 1) = 4(𝑥 − 1) 
2𝑥(𝑥 − 1) + 𝑦(𝑥 − 1) − 4(𝑥 − 1) = 0 
(𝑥 − 1)(2𝑥 + 𝑦 − 4) = 0 
Então, para satisfazer a primeira equação podemos ter: 
1° (𝑥 − 1) = 0 
2° (2𝑥 + 𝑦 − 4) = 0 
Ou seja, poderemos ter duas soluções para o sistema. Para o primeiro caso: 
{
𝑥 − 1 = 0
𝑥2 + 𝑦 = 7
 
No que tiramos que 
𝑥 − 1 = 0 
𝑥 = 1 
𝑥2 + 𝑦 = 7 
12 + 𝑦 = 7 
𝑦 = 6 
A segunda possibilidade é o seguinte sistema: 
{
2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
𝑥2 + 𝑦 = 7
⟹ {
2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
𝑥2 + 𝑦 − 7 = 0
 
Subtraindo a segunda equação pela primeira, obtemos a seguinte relação: 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 
Cuja raízes são 𝑥1 = −1 e 𝑥2 = 3 
Logo, a soma dos valores de 𝑥 são: 1 + (−1) + 3 = 3 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 15: (UERJ) Jorge quer distribuir entre seus filhos os ingressos ganhos para um show. Se cada 
um de seus filhos ganhar 4 ingressos, sobrarão 5 ingressos; se cada um ganhar 6 ingressos, ficarão 
faltando 5 ingressos. Podemos concluir que Jorge ganhou o número total de ingressos correspondente a: 
a) 15 b) 25 c) 29 d) 34 
RESOLUÇÃO: 
Sendo 𝑥 o número de filhos e 𝑦 o total de ingressos, temos: 
{
4𝑥 + 5 = 𝑦
6𝑥 − 5 = 𝑦
 
Podemos assim, igualar as equações: 
4𝑥 + 5 = 6𝑥 + 5 
2𝑥 = 10 
𝑥 = 5 
Se 𝑥 = 5, termos que 𝑦 = 4 ∙ 5 + 5 = 25. 
_____________________________________________________________________________________________________________________ 
QUESTÃO 16: (UERJ) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00 utilizando moedas e 
cédulas de R$ 1,00, R$ 5,00 e R$ 10,00 num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de moedas 
de um e cédulas de dez reais sejam iguais. Neste caso, a quantidade de cédulas de cinco reais de que o 
comerciante precisará será igual a: 
a) 12 b) 28 c) 40 d) 92 
RESOLUÇÃO: 
Iremos chamar de x, y, z a quantidade de cédulas de cada valor, assim: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 92
𝑥 + 5𝑦 + 10𝑧 = 500
𝑥 = 𝑧
 
Substituindo 𝑧 = 𝑥, na segunda e primeira equação, geramos o sistema: 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑥 = 92
𝑥 + 5𝑦 + 10𝑥 =500
⟹ {
2𝑥 + 𝑦 = 92
11𝑥 + 5𝑦 = 500
 
Multiplicando a primeira equação por (−5) e somando com a segunda, segue: 
{
−10𝑥 − 5𝑦 = −460
11𝑥 + 5𝑦 = 500
 
11𝑥 − 1𝑥 = 500 − 460 
𝑥 = 40 
E assim sendo: 
2 ∙ 40 + 𝑦 = 92 
𝑦 = 12 
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QUESTÃO 17: (UERJ) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são 
vendidos a R$ 12,00 a unidade, as galinhas a R$ 5,00 e os marrecos a R$ 15,00. Considere um comerciante 
que tenha gastado R$ 440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do 
que marrecos. O número de patos que esse comerciante comprou foi igual a: 
a) 25 b) 20 c) 12 d) 10 
RESOLUÇÃO: 
Vamos considerar que 𝑝 = patos; 𝑔 = galinhas e 𝑚 = marrecos. Com isso podemos escrever o seguinte 
sistema: 
{
𝑝 + 𝑔 + 𝑚 = 50
12𝑝 + 5𝑔 + 15𝑚 = 440
 
Multiplicando a primeira equação por (−5) e somando com a segunda, temos: 
{
−5𝑝 − 5𝑔 − 5𝑚 = −250
12𝑝 + 5𝑔 + 15𝑚 = 440
 
7𝑝 + 10𝑚 = 190 
𝑚 =
190 − 7𝑝
10
= 19 −
7𝑝
10
 
Como a solução é inteira, podemos notar que 𝑝 deve ser um múltiplo de 10. Agora respeitando também 
o fato que 𝑝 > 𝑚, vamos testar valores: 
𝑝 = 10 ⟹ 𝑚 = 19 −
7 ∙ 10
10
= 19 − 7 = 12 (não gera 𝑝 > 𝑚) 
𝑝 = 20 ⟹ 𝑚 = 19 −
7 ∙ 20
10
= 19 − 14 = 5 (gera 𝑝 > 𝑚) 
𝑝 = 30 ⟹ 𝑚 = 19 −
7 ∙ 30
10
= 19 − 21 = −2 (não pode ser negativo) 
Logo são 20 patos. 
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QUESTÃO 18: (UERJ) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras, 
por apenas 2 pessoas, num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é: 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 
RESOLUÇÃO: 
Considerando 𝑥 o número de mesas com quatro pessoas e 𝑦 o número de mesas com duas. Então, 
podemos montar o seguinte sistema 
{
𝑥 + 𝑦 = 12
4𝑥 + 2𝑦 = 38
 
Multiplicado a primeira equação por 4 e subtraindo a primeira equação pela segunda, teremos: 
{
4𝑥 + 4𝑦 = 48
4𝑥 + 2𝑦 = 38
 
2𝑦 = 10 
𝑦 = 5 
Concluímos assim que 5 mesas são ocupados por 2 pessoas. 
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QUESTÃO 19: (UERJ) Observe os quadros I, II e III, anunciados em uma livraria. 
I - Considere os quadros I e II. Supondo que todos os livros A foram vendidos ao preço regular e todos os 
livros B foram vendidos ao preço de oferta, a quantia total arrecadada pela livraria na venda desses livros 
foi: 
a) R$ 1658,00 b) R$ 1568,00 c) R$ 2340,00 d) R$ 1348,00 
II- Considere agora o Quadro III, que indica a quantia arrecadada na venda de certa quantidade dos 
livros A e B (valores em reais). Utilizando esses dados e os apresentados no Quadro II, a quantidade 
vendida do livro A (ao preço regular, edição de luxo) e a quantidade vendida do livro B (ao preço de 
oferta, edição de bolso) foram, respectivamente. 
a) 100 e 200 b) 45 e 100 c) 50 e 160 d) 40 e 160 
RESOLUÇÃO: 
I) Neste item, basta calcular: 
Livro A: 76 ∙ 8 + 240 ∙ 2 = 608 + 408 = 1088. 
Livro B: 50 ∙ 6 + 180 ∙ 1 = 300 + 180 = 480. 
Assim sendo, o total arrecadado foi 1088 + 480 = R$1568,00 
RESOLUÇÃO: 
II) Usando 𝐿 = Luxo e 𝐵 = Bolso, podemos montar o seguinte sistema sobre o livro B: 
{
8𝐿 + 2𝐵 = 720
6𝐿 + 𝐵 = 440
 
Multiplicando a segunda equação por (−2) e somando com a primeira, segue: 
{
 8𝐿 + 2𝐵 = 720
−12𝐿 − 2𝐵 = −880
 
−4𝐿 = −160 ⟹ 𝐿 = 40 
Usando novamente 𝐿 = Luxo e 𝐵 = Bolso, podemos montar o seguinte sistema sobre o livro A: 
{
8𝐿 + 2𝐵 = 560
6𝐿 + 𝐵 = 340
 
Multiplicando a segunda equação por (−2) e somando com a primeira, segue: 
{
 8𝐿 + 2𝐵 = 560
−12𝐿 − 2𝐵 = −680
 
−4𝐿 = −120 ⟹ 𝐿 = 30 
Como queremos determinar a quantidade da edição de bolso, podemos trocar este resultado na equação 
2, obtendo: 
6𝐿 + 𝐵 = 340 
6 ∙ 30 + 𝐵 = 340 
𝐵 = 340 − 180 
𝐵 = 160 
Desta forma, foram vendidos 40 livros do tipo A ao preço regular edição de luxo e 160 livros do tipo B 
ao preço de oferta edição de bolso. 
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QUESTÃO 20: (UFF – 2000) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário conforme 
ilustrado. Seguindo esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 
450km. Caso a pessoa se desloque de A para B, passando por C, o percurso será de 600km. Para se 
deslocar de B para C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800km. Determine quantos quilômetros esta 
pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C. 
 
RESOLUÇÃO: 
Construindo o sistema da questão, temos: 
{
𝑥 + 𝑦 = 450
𝑦 + 𝑧 = 600
𝑥 + 𝑧 = 800
 
Subtraindo a primeira pela segunda equação, obtemos: 
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 − 𝑧 = 450 − 600 
𝑥 − 𝑧 = −150 
Somando a relação anterior com a terceira equação, obtemos: 
𝑥 − 𝑧 + 𝑥 + 𝑧 = −150 + 800 
2𝑥 = 650 
𝑥 = 325; 
Portanto, para se deslocar de A para B, sem passar por C, percorreremos 325 km.