Aritmética computacional em Python

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Aritmética computacional em Python
Prof. Francisco Roberto da Rocha Gomes
Descrição
Aritmética Computacional, apresentação dos erros comuns na linguagem Python e métodos clássicos de
obtenção de raízes de funções não lineares.
Propósito
Entender a aritmética computacional como ferramenta essencial para os profissionais que utilizaram
programação para resolver problemas de modelagem matemática e os possíveis erros que podem ocorrer
na execução de algoritmos em uma linguagem específica.
Preparação
Para compreender os conceitos abordados, é necessário prévio conhecimento básico da linguagem Python.
Objetivos
Módulo 1
Recursos do Python: programação e bibliotecas
Reconhecer os conceitos básicos da linguagem Python.
Módulo 2
Aritmética computacional: representação numérica
Aplicar os recursos do Python na Aritmética Computacional.
Módulo 3
Aritmética computacional: erros
Distinguir os principais tipos de erros computacionais.
Módulo 4
Zeros de funções não lineares
Calcular zeros de funções não lineares utilizando Python.
Este conteúdo não é um manual abrangente de Python. O único objetivo é fornecer informações
fiáveis para lhe dar um bom começo, se você não estiver familiarizado com Python. Se você conhecer
outra linguagem de computador, e presumimos que sim, não é difícil que compreenda conforme
avança.
Os programas Python não são compilados em código de máquina, mas são executados por um
interpretador. A grande vantagem de uma linguagem interpretada é que os programas podem ser
testados e depurados rapidamente, permitindo que o usuário se concentre mais nos princípios por
trás do programa e menos na programação em si. Não há necessidade de compilar, vincular e
executar após cada correção. Programas Python podem ser desenvolvidos em muito menos tempo
do que os programas Fortran ou C equivalentes.
O interpretador Python pode ser facilmente encontrado para ser baixado no site oficial.
Normalmente, vem com um bom editor de código chamado Idle, que permite a você executar
programas diretamente do editor. Se você usa Linux, é muito provável que o Python já esteja em
paralisado em sua máquina. O download inclui dois módulos de extensão que usamos em nossos
Introdução
1 - Recursos do Python: programação e bibliotecas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os conceitos básicos da linguagem
Python.
O meu primeiro programa
Faremos um programa Python para avaliar uma fórmula simples. Nosso primeiro exemplo diz respeito à
programação de um modelo matemático que calcula a altura de um objeto atirado na direção vertical,
partindo de uma altura inicial igual a zero. Da 2ª lei de Newton, e ao assumir uma resistência do ar
desprezível, obtemos um modelo matemático que determina a posição vertical y da bola no tempo t:
Rotacione a tela. 
programas: o módulo numpy, que contém várias ferramentas para operações de array, e o módulo
gráfico matplotlib, utilizado na plotagem.
y = v0t + 0.5gt
2
Rotacione a tela. 
Onde:
V0
É a velocidade inicial da bola.
g
É a aceleração da gravidade no local, que pode ser aproximado por 10m/s2.
Para obter a altura ao decorrer do tempo, precisamos saber da velocidade inicial, que, para o nosso exemplo,
será de 5m/s. Então, podemos escrever um arquivo chamado de primeiroprograma.py, com o seguinte
conteúdo:
Python 
Agora, vamos entender as linhas do que seria o nosso primeiro programa em Python.
#
A primeira observação que vamos realizar é sobre as palavras iniciadas com #. Isso significa
que o interpretador que executará o seu programa vai considerar o que vem depois de # como
tá i I é it i t t d t à
 # Programa para calcular a altura de um objeto em movimento vertical
 v0 = 5 # Velocidade inicial
 g = 10 # Aceleração da gravidade
 t = 0,5 # Tempo
 y = v0 * t - 0,5 * g * t ** 2 # Posição vertical
 print(y)
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Vamos falar um pouco sobre o termo atribuição de variáveis. Observe que utilizamos o operador = para
atribuir um valor numérico a uma representação, como no exemplo v0, t e g. Nesse ponto, a linguagem de
comentários. Isso é muito importante para documentar o seu programa, e, às vezes, nos
lembrar do que realmente estamos fazendo.
v0 = 5 # Velocidade inicial
Essa linha é uma atribuição de variável, ou seja, toda a vez que aparecer v0, o Python vai
entender que é uma representação de 5m/s. Uma maneira simples de entender o que é
atribuição seria pensar que o Python gera uma "caixa" no computador (memória) com o nome
v0 escrito no topo. O número 5 é, então, colocado nessa caixa. Sempre que o Python, mais
tarde, encontra o nome v0 no código, ele encontra a caixa, de modo que o Python tira o
número cinco e substitui o nome v0 pelo número. Isso também acontece com as linhas
seguintes: g = 10 e t = 0,5.
y = v0 * t - 0,5 * g * t ** 2 # Posição vertical
O Python já conhece três “caixas” com seus respectivos valores v0, g e t, então, a linha
seguinte contém a fórmula do nosso modelo matemático: y = v0 * t - 0,5 * g * t ** 2.
Novamente, de acordo com suas regras, Python interpreta * como multiplicação, - como
menos e ** como exponenciação. O Python executa a matemática e atribui o resultado (neste
caso, o número 1,25) à variável de nome y.
print(y)
Na última linha, vem o comando print(y), que é um comando de impressão na tela do valor de
y, pois, caso não seja colocado essa função print, o Python executaria a fórmula e atribuiria na
“caixa” y o valor de 1,25 e nada aparecia na tela.
programação difere da linguagem matemática. Para exemplificar essa diferença, usaremos a expressão x=
4-x. Veja o que essa expressão significa em cada caso:
Matemática
É uma simples equação, onde a variável x = 2.
Programação
É necessário saber qual é o valor x do lado direito, subtraí-lo de 4 e atribuir esse resultado a x do lado
esquerdo. Geralmente, isso acontece em processos iterativos.
Nas próximas seções, serão apresentados alguns comandos e estruturas básicas do Python, lembrando que
as seções não são um aprofundamento da linguagem Python, mas o básico para começarmos a trabalhar
com a modelagem matemática.
Strings
Agora, vamos tratar de recursos adicionais da linguagem para apoiar o desenvolvimento dos códigos: os
strings. O Python usa a tabela de caracteres, que depende do seu sistema operacional, como, por exemplo,
ASCII e UTF-8. Os strings são colocados entre aspas simples (‘) ou duplas (“) e os caracteres que são não
imprimíveis podem ser expressos com a “barra-invertida” (\). Seguem alguns exemplos:
\n
Cria uma nova linha.
\t
Cria uma tabulação.

\b
É uma backspace.
Vejamos exemplos de aplicação:
Python 
Python 
É possível obter o endereço dos caracteres dos strings usando a notação de índices, string[índice],
observando que, para o Python, o primeiro caractere tem índice 0 e o último tem índice -1. Vejamos alguns
exemplos:
Python 
>>>print('abc\nd')
 abc 
 d
>>>>print('abc\td')
 abc d
>>> palavra = “abcd”
 >>> palavra[0]
 a
 >>>palavra[-1]
 d
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Podemos também fatiar (slices) um string com a notação string[índiceI:índiceF]. Com esse comando, o
Python nos retorna os caracteres, iniciando com o caractere de índiceI (inclusive) e finalizando com o
caractere que fica antes do indiceF. Isso acontece, pois o indiceF é exclusivo. Por exemplo:
Python 
Observe que o caractere correspondente ao índice 2 não apareceu.
Expressões Booleanas
São utilizados para realizar comparações relacionais e retornam verdadeiro (True) e falso (False). Os
operadores são:
Os exemplos a seguir mostram a resposta do Python ao comparar dados com as saídas True e False.
Python 
<
Menor que
>
Maior que
<=
Menor ou igual a
>>> palavra[0:2]
 ab
>>> a = 2 # variável a recebe o valor 2 (int)
 >>> b = 1.99 # variável b recebe o valor 1.99 (float)
 >>> c = ’2’ # variável c recebe o valor 2 em formade um s
 >>> print(a > b) # perceba que o valor de a é maior que o valor
 True
 >>> print(a == c) # note que c recebeu um string ('2') e a um in
 False
 >>> print((a > b) and (a != c)) # os dois precisam ser verdadeiros para retorn
 True
 >>> print((a > b) or (a == b)) # apenas um precisa ser verdadeiro para retorn
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Operadores Aritméticos
No Python, podemos utilizar as operações aritméticas usadas na matemática básica. Veja alguns exemplos
dos operadores que o Python suporta:
A seguir, apresentaremos alguns exemplos dessas operações e como o Python responde.
Python 
Operadores Aritméticos
+
Adição
-
Subtração
*
Multiplicação
 True
>>> s = ’Olá’
 >>> t = ’para você’
 >>> a = [1, 2, 3]
 >>> print(3*s) # Repetição
 Olá Olá Olá
 >>> print(3*a) # Repetição
 [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]
 >>> print(a + [4, 5]) # Adicionando elementos
 [1, 2, 3, 4, 5]
 >>> print(s + t) 
 Olá para você
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No Python, podemos utilizar as operações aritméticas usadas na matemática básica. Veja alguns exemplos
dos operadores que o Python suporta:
Tuplas e Listas
A tupla é uma sequência de objetos arbitrários separados por vírgulas e incluídos entre parênteses. Se a
tupla contém um único objeto, uma vírgula final é necessária; por exemplo, x = (2,). Tuplas suportam as
mesmas operações que strings e são imutáveis. Veja a seguir um exemplo onde a tupla dados contém outra
tupla (31,10,73):
Python 
Uma lista é semelhante a uma tupla, mas é mutável, de modo que seus elementos e comprimento podem
ser mudados. Uma lista é identificada colocando-a entre colchetes. Seguem alguns exemplos da operações
realizadas em listas:
Python 
>>> dados = ('Gomes', 'Roberto', (31,10,73)) # Esta é uma tupla
 >>> sobrenome, nome, data_de_nascimento = dados # Descompactando a tupla
 >>> print(nome)
 Roberto
 >>> Ano_de_nascimento = data_de_nascimento [3]
 >>> print(Ano_de_nascimento)
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 >>> nome_competo = dados [1] + '' + dados [0]
 >>> print(nome_completo)
 Roberto Gomes
 >>> print(rec [0: 2])
 ('Gomes', 'Roberto')
>>> a = [1.0, 2.0, 3.0] # Crie uma lista
 >>> a.append (4.0) # Anexar 4.0 à lista
 >>> print(a)
 [1,0, 2,0, 3,0, 4,0]
 >>> a.insert (0,0.0) # Insira 0.0 na posição 0
 print(a) 
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Se a for um objeto mutável, como uma lista, a instrução de atribuição b = a não resulta em um novo objeto b,
mas, simplesmente, cria uma nova referência para a. Portanto, quaisquer mudanças feitas para b serão
refletidas em a. Veja, a seguir, um exemplo:
Python 
Para criar uma cópia independente de uma lista a, use a declaração c =a[:], conforme mostrado no exemplo
a seguir:
Python 
 [0,0, 1,0, 2,0, 3,0, 4,0]
 >>> print(len (a)) # Determine o comprimento da lista
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 >>> a [2: 4] = [1.0, 1.0, 1.0] # Modifica os elementos selecionados
 >>> print(a)
 [0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 4.0]
>>> a = [1.0, 2.0, 3.0]
 >>> b = a 
 >>> b[0] = 5.0 
 >>> print(a)
 [5.0, 2.0, 3.0]
>>> c = a[:] 
 >>> c[0] = 1.0 
 >>> print(a)
 [5.0, 2.0, 3.0]
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Meu primeiro programa em Python
No vídeo a seguir, apresentamos os principais comandos em Python na prática.
Importando Bibliotecas
Lançamento oblíquo.
Para dar uma visão aplicada ao nosso estudo, começaremos com o problema clássico de física do ensino
médio, que é o lançamento oblíquo, ou seja, quando um objeto inicia seu movimento formando um
determinado ângulo com a horizontal. Nesse tipo de lançamento, o objeto executa dois movimentos
simultâneos, um na vertical e outro na horizontal.


Problema
A bala de um canhão, com massa (m) de 15kg, é lançada com velocidade inicial (v0) de 300m/s. Determine
o alcance horizontal máximo (A) do projétil para o caso de o ângulo (θ) formado entre o canhão e a
horizontal ser de 15°. Considere a gravidade (g) igual a 10m/s.
Dos resultados do ensino médio, utilizaremos a fórmula de alcance máximo para o lançamento oblíquo,
dada por:
Rotacione a tela. 
Onde:
v0
É velocidade inicial.
θ
É o ângulo com a horizontal
Comentário
Não precisaremos recapitular todo o assunto, já visto no ensino médio, para que o objetivo deste
conteúdo seja atingido.

A =
v20 sen 2θ
g
g
É a gravidade.
Então, colocamos as vaiáveis do problema e a fórmula A=v0**2*sin(2*theta)/g. Ao executar o Python,
aparece a seguinte mensagem de erro:
Python 
O que isso significa? O Python não reconheceu a função seno. Isso acontece
porque muitas funcionalidades do Python estão disponíveis em bibliotecas
adicionais, chamadas de módulos.
Embora o Python tenha muitas funções internas, como o print(), também possui um conjunto de bibliotecas-
padrão, que são programas em Python que podem ser incluídos no seu programa. Usaremos o módulo
math, pois ele disponibiliza diversas funções matemáticas. Existem certas formas de “chamar” esses
módulos no seu programa, a seguir veremos algumas.
Python.
import “alguma-coisa”
A palavra-chave, nessa situação, é import, e, logo depois, coloca-se o módulo. Por questão de organização, o
ideal é colocar sempre no início do programa. Então, antes de começar o programa para resolver o nosso
problema, devemos escrever:
NameError: name 'sin' is not defined1
Python 
Quando fazemos isso, temos acesso a todas as funções da biblioteca math, mas devemos informar ao
Python de qual biblioteca estamos chamando a função, para isso utilizamos a sintaxe módulo.função().
Desse modo, utilizaremos o math.sin() e o math.pi. Então, nosso programa pode ser escrito da seguinte
maneira:
Python 
O resultado obtido é A = 4500.
from módulo import alguma-funções
Em nosso problema inicial, essa forma de “chamar” as funções do módulo sem utilizar o prefixo ficaria:
Python 
>>>import math
>>>import math
 >>>v0 =300
 >>>g=10
 >>>theta=15
 >>>A= (v0**2/g)*math.sin(2*theta*math.pi/180)
 >>>print(A)
 4500
>>>from math import sin, pi
 >>>v0 =300
 >>>g=10
 >>>theta=15
 >>>A= (v0**2/g)*sin(2*theta*pi/180)
 >>>print(A)
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Caso seja necessário utilizar todas as funções da biblioteca, basta usar o comando from módulo import *.
Veja o exemplo:
Python 
Importar um módulo com “apelidos”
O Python permite que importemos um módulo e atribuamos a ele um “apelido”, para utilizar como prefixo ao
chamar uma função. O comando é import módulo as “apelido”. Desse modo, quando utilizar uma função da
biblioteca, basta usar o seguinte formato: apelido.função(). Por exemplo:
Python 
Observe que o apelido será m; assim, chamamos a função seno com m.sin(). De maneira análoga, podemos
atribuir “apelidos” para as funções from módulo import função as apelido. Por exemplo:
Python 
>>>from math import *
 >>>v0 =300
 >>>g=10
 >>>theta=15
 >>>A= (v0**2/g)*sin(2*theta*pi/180)
 >>>print(A)
>>>import math as m
 >>>v0 =300
 >>>g=10
 >>>theta=15
 >>>A= (v0**2/g)*m.sin(2*theta*m.pi/180)
 >>>print(A)
>>>from math import cos as c, sin as s
 >>>print(c(0) + s(0))
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Funções
Até agora, vimos sobre biblioteca de funções, módulos, parâmetros, utilizando, no entanto, o que o Python já
tem pronto. É possível também criar a nossa própria função e seus respectivos argumentos. Essa
necessidade geralmente ocorre quando algum procedimento se repete no programa. Por exemplo, vamos
supor que em um problema você tenha que calcular diversos alcances de um lançamento oblíquo para
diversos ângulos, respectivamente, 15º, 30º, 45º, 60ºe 75º, usando esse programa.
Python 
Uma solução para isso é criar uma função, e a estrutura para declarar uma função em Python é dada da
seguinte maneira:
def nome.Da.Minha.Função(Argumentos1, Argumentos2,….Argumentosn):
     Declarações
     return valor-de-retorno
A seguir, apresentaremos formas de executar procedimentoscondicionados e recursivos, que são
importantes e comuns em funções.
Condicionais (if)
A construção de uma estrutura de condicionais no Python é dada por:
if condições:
     bloco de instruções
elif condições:
>>>import math
 >>>v0 =300
 >>>g=10
 >>>theta=15 
 >>>
 >>>print(A)
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     bloco de instruções
else:
     bloco de instruções
O exemplo a seguir é uma aplicação da estrutura if, onde o script decide se o número é positivo, negativo ou
zero:
Python 
O Comando for
Antes de falarmos sobre o comando for, vamos abordar a função range. A função range retorna uma
progressão aritmética de inteiros numa lista com a seguinte estrutura: range (início,parada,incremento),
onde:
Início
É um parâmetro opcional e o primeiro valor a ser gerado, quando não indicado, por default é o
número zero (0).
>>>def sinal_numerico(a):
 >>> if a < 0.0: # Se a menor que zero
 >>> sinal = ’negativo’
 >>> elif a > 0.0: # Se a maior que zero
 >>> sinal = ’positivo’
 >>> else: # Senão, ou seja, se a não é maior, nem menor que zero 
 >>> sinal = ’zero’
 >>> return sinal
 >>> a = 1.5
 >>>print(’a é ’ + sinal_numerico(a))
 a é positivo
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Parada
É o limite da progressão, que termina no último valor antes da parada.
Incremento
É um parâmetro opcional e indica o passo da progressão. O default, caso não seja informado, é um
(1).
Vejamos uma aplicação:
Python 
O comando for permite que nos informemos sobre os elementos de uma lista. De modo geral, o comando é
expresso da seguinte maneira:
for variável in lista : comandos
Uma grande utilidade da função range é construir a lista de iteração, como no exemplo a seguir:
Python 
>>> range(3) # parada indicada 3, como não foram indicados, o início será 0 e incre
 [0,1,2]
 >>> range(2,5,2) # início 2, parada 5 e incremento 2
 [2,4]
 >>> range(5,2,-2) # o incremento é negativo 
 [5,3]
>>> for i in range(1,7): print(i)
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Solução do Problema
Agora, vamos retornar ao nosso problema anterior, ou seja, calcular diversos alcances de um lançamento
oblíquo para diversos ângulos, por exemplo: 15º, 30º, 45º, 60ºe 75º. Uma maneira de resolver esse problema
é:
Python 
Como fazer grá�cos com o módulo matplolib.pyplot
Vamos retornar ao nosso problema do início do conteúdo, ou seja: determinar a posição vertical y da bola no
tempo t. Para construir o gráfico dessa função, utilizaremos o módulo matplotlib, usado, em geral, para
realizar gráficos em 2D.
Python 
>>> import math
 >>> def Alcance(V0,theta,g): 
 >>> return (v0**2/g)*math.sin(2*theta*math.pi/180)
 >>> v0=300
 >>> theta = [15,30,45,60,75]
 >>> n=len(theta)
 >>> A =[]
 >>> for i in range(len(theta)):
 >>> A.append(Alcance(v0,theta[i],10))
 >>> print(A)
 4499.999999999999, 7794.228634059948, 9000.0, 7794.2286340599485, 4499.9999999999
>>>import numpy as np
 >>>import matplotlib.pyplot as plt
 >>>v0 = 5 # Velocidade inicial
 >>>g = 10 # Aceleração da gravidade
 >>>t = np.linspace(0,1,1001)# Tempo
 >>>y = v0 * t - 0.5 * g * t ** 2 # Posição vertical
 >>>plt.plot(t,y) # plotar o grafico yxt
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Como saída, o Python apresenta o seguinte gráfico:
Gráfico: Resultado gerado no matplotlib.pyplot. 
Elaborado por: Francisco Roberto da Rocha Gomes em código Python.
No programa apresentado, temos que destacar 2 pontos:
1. A função linspace retorna um vetor e a construção genérica dele é linspace(a,b,n), onde gera um vetor
no intervalo [a,b] e com n pontos.
2. Quando utilizamos t como vetor, a função da altura y(t) torna-se também um vetor.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Módulo 1 - Vem que eu te explico!
Utilização de uma IDL Python ( Jupyter)

 >>>plt.xlabel('t (s)') # eixo x com t(s)
 >>>plt.ylabel('y (m)') # eixo y como y(m)
 >>>plt.show() #mostrar a figura
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Módulo 1 - Vem que eu te explico!
Construir grá�cos com Python

Falta pouco para atingir seus
objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Calcule o valor da expressão escrita em Python – (9**4 +2)*6 - 1.
A 39378
B 39377
C 39376
D 39375
E 39374
Responder
Questão 2
Seja o seguinte comando em Python:
a=[1,2,3,4,5]
a[-5]
Ao executá-lo, o que aparece?
A 1
B 5
C [3,4]
D [4, 5]
E [1,2,3,4,5]
Responder

2 - Aritmética computacional: representação numérica
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar os recursos do Python na Aritmética
Computacional.
Representação de números inteiros
Representação dos números inteiros positivos
A representação dos números inteiros positivos na base decimal (10) consiste em um número de algarismo
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), o qual depende da respectiva posição na representação.
Exemplo
O número 179 significa uma (1) centena (100) mais (+) sete (7) dezenas (10) e nove (9) unidades,
ou, de forma simplificada, por símbolos matemáticos: 179 = 1x102 + 7x10 + 9.

Agora, vamos generalizar essa notação matemática. Para isso, vamos adotar como representação para
qualquer digito numérico decimal a letra di, onde i é a posição no número N com n+1 dígitos. Por exemplo,
no número 179, o dígito decimal 1 encontra-se na posição i=2; 7 na posição i=1; e 9 na posição i=0. Em uma
forma de notação matemática, temos:
Rotacione a tela. 
Onde
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Outra notação comum para representar um número inteiro positivo na base 10 é (dndn-1....di...d1d0 )10. Essa
notação nos leva a outra, caso se deseje representar o número com uma base diferente de 10, que seria N=
(dndn-1....di...d1d0 )b , com b sendo uma base diferente de 10; consequentemente, teremos 0≤ di < b.
Rotacione a tela. 
As bases mais comuns na aritmética computacional são:
b=2
Binário
N = dndn−1. . . . di, . . . d1d0 = dn×10
n + dn−1×10
n−1
+. . . +d1×10
1 + d0×10
0,
0 ≤ di < 10, i = 0, 1, … ,n
N = (dndn−1. . . . di, . . . d1d0)b = dn×b
n + dn−1×b
n−1
+. . . +d1×b
1 + d0×b
0
b=8
Octodecimal
b=16
Hexadecimal
Observe que, para b=2, por definição, os valores possíveis de d são 0 ou 1; de maneira análoga, quando b=8,
os valores que podem assumir são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Para os dígitos maiores que 9, adotamos as letras do
nosso alfabeto, ou seja, A,B,C ,…. Nesse caso, para a base hexadecimal (b=16), os dígitos possíveis são 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F, onde A corresponde, na base decimal, ao número 10, B corresponde ao 11,
e assim, sucessivamente, até F, que corresponde ao 15 . Vejamos alguns exemplos:
Rotacione a tela. 
Mudança da base b para a base decimal 10 e da base 10 para a base b
A conversão de um número inteiro positivo, que se encontra em uma base numérica b para a base decimal
(10), é possível por meio da solução da seguinte expressão:
Rotacione a tela. 
Então, veja o exemplo a seguir:
(101)2 = 1 × 2
2 + 0 × 21 + 1 × 20
(175)8 = 1 × 8
2 + 7 × 81 + 5 × 80
(A2D)16 = A × 16
2 + 2 × 161 + D × 160
N = (dndn−1. . . . di, . . . d1d0)b = dn×b
n + dn−1×b
n−1
+. . . +di×b
i+. . . . +d1×b
1 + d0×b
0
Rotacione a tela. 
De modo geral:
Rotacione a tela. 
Onde N terá outros dígitos na base 10, como visto nos exemplos anteriores.
Para converter um número inteiro positivo N na base 10, para uma base b, é necessário determinar os seus
respectivos dígitos: di, de (dn dn-1....di,...d1 d0 )b. Para entender o procedimento, devemos nos lembrar do
algoritmo da divisão de números inteiros positivos, onde, ao dividir um número D por um número d, obtém-
se um quociente q e um resto r; e quando r=0, dizemos que a divisão foi exata e o resto só pode assumir os
valores de 0,1,2...d-1. Formalizando por símbolos matemáticos:
D=d×q+r, onde 0≤ r ≤d-1
Rotacione a tela. 
Agora, vamos fazer a divisão de N, na base 10, pela base b que desejase transformar. Dessa forma, D=N e
d=b, sendo necessário descobrir quem será o q e o r. Lembrando o princípio da igualdade: se A=b, então,
B=A. Podemos observar que, na mudança da base b para a base 10, temos:
Rotacione a tela. 
(101)2 = 1 × 2
2 + 0 × 21 + 1 × 20 = 4 + 0 + 1 = 5
(175)8 = 1 × 8
2 + 7 × 81 + 5 × 80 = 1 × 64 + 7 × 8 + 5 × 1 = 125
(A2D)16 = A × 16
2 + 2 × 161 + D × 160 = 10 × 162 + 2 × 16 + 13 = (2605)10
(dndn−1 … di, … d1d0)b = dn × b
n + dn−1 × b
n−1
+ … + di × b
i + … + d1 × b
1 + d0 × b
0 = (N)10 = N
dn × b
n + dn−1 × b
n−1 + … + di × b
i + … + d1 × b
1 +
d0 × b
0 = (N)10 = N
Logo, pelo princípio da igualdade:
Rotacione a tela. 
Se colocarmos b em evidência no n-1 primeiros termos da segunda parte da expressão, obtém-se:
Rotacione a tela. 
Comparando com D=dxq +r, concluímos que:
Rotacione a tela. 
Então, quando dividimos o número inteiro positivo N, na base 10, por um número b na base desejada,
obtemos o resto r igual ao último digito d0 da representação de N-decimal na base b. Sabemos, pelo
exemplo anterior, que 2605 = (A2D)16, onde a letra D é o ultimo dígito na representação da base 16; de fato,
quando dividimos 2605 por 16, resulta, como quociente, q=162 e resto r=13, que, na representação na base
16, é a letra D.
Portanto, o processo adotado será dividir N por b e obter q0 e r0 = d0; depois, divide-se q0 por b, resultando
em q1 e r1 = d1, e assim sucessivamente; os respectivos restos serão os dígitos di, na base b, e o quociente
da n-ésima e última divisão será o dn.
N = dn × b
n + dn−1 × b
n−1 + … + di × b
i + … + d1 × b
1 + d0 × b
0
q = dn × b
n−1 + dn−1 × b
n−2 + … + di × b
i−1 + … + d1 × b
0
N =
(dn × bn−1 + dn−1 × bn−2 + … + di × bi−1 + … + d1 × b0) × b + d0
q = dnxb
n−1 + dn−1xb
n−2 + … + djxb
i−1 + … + d1
xb0 e r = d0
Atenção

Representação dos números inteiros negativos
Binário
A representação dos números inteiros não positivos é realizada utilizando a ideia do bit, ou seja, são
convencionadas para os sinais positivo (+) ou negativo (-) as representações de zero (0) ou um (1). O único
problema dessa representação ocorre em operações para obter os números +0 e -0, que, embora para o
computador sejam números diferentes, sabemos que são iguais.
Representação dos números reais
O número real 95,32, representado na base decimal (10), pode ser escrito da seguinte maneira:
Define-se como bit (binary digit) o elemento de memória básico de um computador que assume
dois estados, que são representados pelos dígitos zero (0) e um (1). O número de bits disponíveis
para uma representação numérica de inteiros positivos corresponde ao maior inteiro que o
computador pode representar, ou seja, com m bits é possível representar 2m números. Por
exemplo, para representar os oito dígitos decimais, seriam necessários três bits, pois 23 = 8,
entretanto, para representar 10 dígitos decimais são necessários quatro bits, pois 24 = 16
configurações, o que é excedente, ou seja, no sistema decimal há desperdício de bits.
Comentário
Existem diversas formas de resolver esse problema, mas não é o objetivo deste conteúdo.

Rotacione a tela. 
Agora, vamos generalizar essa ideia: um número real r na base dez (10), com n+1 dígitos na parte inteira e m
dígitos na parte fracionária, pode ser representado como:
Rotacione a tela. 
Utilizando o mesmo raciocínio, um número real r, representado em uma base b, pode ser escrito da seguinte
maneira:
Rotacione a tela. 
Mudança de base dez (10) para a base b
Para realizarmos a mudança de base dez para uma representação na base b de um número real no formato
r = i,f; onde:
i
É a parte inteira.
9 × 101 + 5 × 100 + 3 × 10−1 + 2 × 10−2
r = (dndn−1 … di, … d1d0, d−1d−2 … d−m)10
dn × 10
n + dn−1 × 10
n−1 + … + d1 × 10
1 + d0 × 10
0 + d−1 × 10
−1
+d−2 × 10
−2 + … + d−m × 10
−m
r = (dndn−1 … di, … d1d0, d−1d−2 … d−m)b
dn × b
n + dn−1 × b
n−1 + … + d1 × b
1 + d0 × b
0 + d−1 × b
−1 + d−2 × b
−2 + … + d−m × b
−m
f
É a parte fracionária.
Devemos reparar ambas as partes, ou seja, fazer r = i + 0,f; tomando como exemplo 95, temos 32 = 95 +0,32.
Já vimos nas seções anteriores a transformação da parte inteira; agora, vamos focar somente na parte
fracionária 0,f. Então, vamos considerar que o nosso número real r só contém a parte fracionária:
Rotacione a tela. 
O procedimento seria, primeiramente, lembrar que, para transformar um inteiro na base (10) para uma base
b, deveríamos dividir o número por b, sucessivamente, e obter os restos. A ideia será a mesma, porém com
uma diferença, ao contrário de fazer divisões, faremos multiplicações, ou seja, o primeiro passo será
multiplicar o número real r pela base que se deseja transformar, b. Em símbolos matemáticos, teríamos:
Rotacione a tela. 
Obtém-se uma parte inteira, d-1, e a parte fracionária começa com d-2. Multiplicando a parte fracionária
restante por b, o resultado será d-2, e, assim, sucessivamente. A seguir, veremos dois exemplos de
conversão dos número reais 0,625 e 0,2 para a base binária, o seja base dois (2):
Exemplo 1
0,625 x 2 = 1,250 = 1 + 0,250
0,250 x 2 = 0,500 = 0 +0,500
0,500 x 2 = 1,000 = 1 + 0,000
Portanto, (0,625)10 = (0,101)2.
r = (0, d−1d−2 … d−m)b = d−1 × b
−1 + d−2 × b
−2 +
… + d−m × b
−m
r × b = d−1 + d−2 × b
−1 + … + d−m × b
−m+1
Exemplo 2
0,2 x 2 =0,4 = 0 + 0,4
0,4 x 2 = 0,8 = 0 + 0,8
0,8 x 2 = 1,6 = 1 + 0,6
0,6 x 2 =1,2 = 1 + 0,2
Começa a repetir, portanto, (0,2)10 = (0,001100110011...)2.
Esses dois exemplos ilustram que é possível, numa transformação de base dois de um número real na base
10, obter um resultado cuja representação possui um número finito de zeros e um ou um número infinito
(dízima periódica) de zeros e um.
Mudança da base b para a base 10
Seja r um número real na base b, (0, d-1d-2....d-m )b, para obter a sua representação na base 10, basta aplicar
a fórmula matemática já vista na seção anterior:
Rotacione a tela. 
Por exemplo, converter o número (0,561)8 para a base 10, aplicando a fórmula:
Rotacione a tela. 
Notação Cientí�ca dos números reais
r = (0, d−1d−2 … d−m)b = d−1 × b
−1 + d−2 × b
−2 +
… + d−m × b
−m
(0, 561)8 = 5 × 8−1 + 5 × 8−2 + 5 × 8−3 = 0,
720703124
Nas ciências, é comum encontramos fenômenos ou grandezas cujos valores são altos ou baixos, por
exemplo, na Astronomia ou na Nanotecnologia. Para a representação desses números, é necessária uma
quantidade grande de dígitos. A solução desse problema é usar a notação cientifica, cuja representação de
um número real é dada da seguinte forma:
Rotacione a tela. 
Onde:
M
É um inteiro real não negativo, chamado de mantissa.
b ≥ 2
É um número inteiro positivo, chamado de base.
e
É chamado de expoente.
No entanto, essa notação possui uma ambiguidade. O número 0,1, por exemplo, pode ser representado de
formas equivalentes:
Rotacione a tela. 
r = ±M × be
0, 1 × 10∘ = 1 × 10−1 = 0, 01 × 101 = 0, 001 × 102 = 50
× 10−2 = …
Para resolver essa situação, foi imposta a seguinte condição à mantissa:
Rotacione a tela. 
Essa condição define uma notação normalizada.
Representação em ponto �utuante
A notação científica abrange todos os números reais e, como sabemos, essa quantidade é infinita, o que
torna impossível de ser implementada em um computador que possua uma quantidade finita de dígitos. A
solução foi modificar um pouco a normalização da notação científica da seguinte maneira:
Mantissa
Alterar para um número finito p de dígitos.
Expoente
Criar um intervalo para o expoente, ou seja, o expoente e possui um valor mínimo (emin) e um valor
máximo (emax).
A notação que usaremos é FP(b,p, emin, emax), para nos referirmos ao número no sistema de ponto flutuante
de base b, na qual a mantissa possui p dígitos (na base b) e os expoentes estão contidos no intervalo
fechado [emin, emax], ou seja, r=0 ou r=±M×be, onde b-1 ≤ M ≤ 1 - b-p.
Tomamos como exemplo um número real representado em ponto flutuante FP(10,4,-99,99). Pode ser escrito
de forma genérica como r=±(0,d-1d-2 d-3 d-4)×10e, onde -99≤ e ≤ 99. Observe que essa representação não é
capaz de representar o número real 0,1x10100, pois o expoente é igual a 100 > 99, que é o expoente máximo.
M = 0 se r = 0 e b−1 ≤ M < 1 se r ≠ 0

Mudanças de Bases em Python
No vídeo a seguir, abordaremos os principais comandos em Python que são utilizados para mudanças de
bases.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Atenção
Em uma modelagem matemática, isso é chamado de overflow. De maneira semelhante, 0,1x10-100,
e o motivo é o mesmo -100<-99, que é o valor mínimo. Essa situação é definida como underflow.


Módulo 2 - Vem que eu te explico!
Exemplos de mudanças de base
Módulo 2 - Vem que eu te explico!
Solução de exercícios

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus
objetivos.
Questão 1
Qual é a representação do número 125 na base 6?
A (E2A)6
B (111)6
C (325)6
D (235)6
E (125)6
Responder
Questão 2
Obtenha a representação na base 4 do número (101,01)2.
A (11,1)4
B (111)4
C (10,1)4
D (1,11)4
E (10,1)4
Responder

3 - Aritmética computacional: erros
Ao �nal deste módulo, você será capaz de distinguir os principais tipos de erros
computacionais.
Erros na aritmética em pontos �utuantes
Neste módulo, vamos analisar o quanto a representação finita dos pontos flutuantes influencia nos números
reais. Por exemplo, se verificarmos no Phyton se 22 = 4, a resposta será verdadeira, mas quando verificamos
se , a resposta é falsa.
Erros de representação
A representação em pontos flutuantes só consegue ser realizada de maneira exata para alguns números.
Para outros números reais, poderá indicar algum erro, logicamente supondo que os números não sejam
overflow ou underflow. Definiremos um número real, que esteja contido em um sistema ponto flutuante
FP(b,p, emin, emax ), de forma exata, de r=fl(r). Caso contrário, obteremos a resposta r=fl(r) + erro.
Caso não seja possível representar o número real r no sistema de ponto flutuante com exatidão, existem
duas técnicas possíveis fl(r):
(√5)2 = 5
Dada uma mantissa M de um número real r, com número de dígitos m> p, onde p é o número de
dígitos do sistema de ponto flutuante; define-se o truncamento ao desprezar todos os dígitos a partir
da posição p+1. Por exemplo, seja o número real, na sua notação cientifica na base 10, igual a
r=0,341592654 x 10, se o representarmos num sistema de ponto flutuante FP(10,4,-99,99), então, o
resultado será fl(r) = 0,3415x10.
Essa técnica é a mais comum e tem por objetivo reduzir o erro entre o ponto flutuante fl(r) e o valor
exato r, ou seja, o valor mais próximo. Utilizando o exemplo anterior, aproximar fl(r) para 0,3416x10
tem um erro menor que aproximar para o valor truncado.
O critério arrendondamento por aproximação, às vezes, pode apresentar uma ambiguidade, por
exemplo, quando o número real 0,15 for arrendondado para um dígito, os números 0,1 e 0,2 estão
igualmente próximos. Para resolver esse problema, foram desenvolvidas várias soluções e, para o
sistema binário (b=2) e decimal (b=10), a mais comum é arrendondar de forma que o último dígito
seja par.
Agora, podemos analisar os erros de representação de um número real e sem perda de generalidade. Vamos
considerar somente os números reais positivos exatos na notação cientifica normalizada, ou seja, r = Mxbt, e
o seu correspondente no sistema de ponto flutuante fl(r) = mxbt, não necessariamente normalizada. Define-
se como erro absoluto E por:
Arrendondamento por truncamento 
Arrendondamento por aproximação 
Atenção
Os arrendondamentos por truncamento e aproximação são realizados somente na mantissa, ou
seja, não é considerado erro no expoente.

Rotacione a tela. 
É possível demonstrar que para o truncamento e para aproximação.
Define-se como erro relativo e:
Rotacione a tela. 
De maneira análoga, pode-se demonstrar que para o truncamento e 
para a aproximação, onde u é chamado de unidade de arrendondamento.
Erros nas operações aritméticas
Nesta seção, vamos estudar como são os erros nas operações básicas da matemática: soma, subtração,
multiplicação e divisão, quando realizadas em um sistema de ponto flutuante. Primeiramente, vamos
descrever de simplificadamente como são realizadas as quatro operações básicas no sistema ponto
flutuante. Para a soma e subtração de dois números no mesmo sistema de ponto flutuante, x1=m1ba e
x2=m2bc, onde a>c, sua soma e subtração podem ser dadas por:
E = fl(r) − r = m × bt − M × bt = (m − M) × bt
|E| ⩽ bt−p |E| ⩽
1
2
bt−p
e =
fl(r) − r
r
 ou fl(r) = (1 + e)r
e ⩽ u = b1−p e ⩽ u =
1
2
b1−p
Exemplo
Para determinar a unidade de arrendondamento u de FP(2,24,-99,99) para o truncamento, temos: 
.

b = 2 e p = 24,  logo u = b1−p = 21−24 = 2−23 ≃ 0, 16 × 10−6
Soma
Subtração
Para a multiplicação e divisão, temos:
Multiplicação
Divisão
Podemos observar que nas quatro operações, considerando os expoentes inteiros, esses não são fontes de
erros, somente nos casos de overflow e underflow. Portanto, as fontes de erros encontram-se nas operações
das mantissas. Vamos considerar dois valores reais positivos, x1=m1ba e x2=m2bc , e que x1 > x2 sejam os
valores exatos:
Soma
y= x1 + x2
x1 + x2 = m1b
a + m2b
c = (m1 + m2b
a−c)bc
x1 − x2 = m1b
a − m2b
c = (m1 − m2b
a−c)bc
x1×x2 = m1b
a×m2b
c = (m1×m2)b
a+c
x1÷x2 = m1b
a÷m2b
c = (m1÷m2)b
a−c
Subtração
y= x1 - x2
Multiplicação
y= x1 * x2
Divisão
y= x1 / x2
Em seguida, vamos definir as operações no sistema de pontos flutuantes. Por exemplo, quando calculamos
1/7 + 1/60 no sistema decimal FP(10,4,-2,2), temos:
Rotacione a tela. 
No entanto, o resultado exato é 67/20 = 0,1595238… e os erros absolutos e relativos são E=(0,76)*10-4 e e=
(0,48)*10-3. Agora, vamos estimar, de modo geral, os erros absolutos e relativos para as quatro operações e,
como já foi visto, fl(x) = x(1 +e) e |e|< u (unidade de arredondamento). Vamos lá:
Como sabemos:
fl(1/7) = (0, 1429) ∗ 10∘ = (0, 1429) ∗ 10∘
fl(1/60) = (0, 1667)∗10−1 = (0, 1667)∗10∘
y∗ = fl(1/7) + f(1/60) = (0, 1596) ∗ 10∘
Adição 
ŷ = fl (x1 + x2) = (1 + e1)x1 + (1 + e2)x2
O erro absoluto é dado por:
O erro relativo:
E a estimativa:
Análoga à adição, a subtração é dada por:
Logo, os erros absoluto e relativo são dados por:
E as respectivas estimativas:
Tendo y=x1*x2 como o produto exato de x1 e x2 , tem-se que:
Logo, os erros absoluto e relativo são dados por:
E = ŷ − y = e1x1 + e2x2
e =
E
y
= e1 (
x1
x1 + x2
) + e2 (
x2
x1 + x2
)
|E| ≤ 2u∗ y e |e| ≤ 2u
Subtração 
ŷ = fl (x1 − x2) = (1 + e1)x1 − (1 + e2)x2
E = ŷ − y = e1x1 − e2x2
e =
E
y
= e1 (
x1
x1 − x2
) + e2 (
x2
x1 − x2
)
|E| ≤ 2u∗ (|x1| + |x2|) e |e| ≤ 2u ((|x1| + |x2|)/ (|x1 − x2|))
Multiplicação 
ŷ = fl (x1 × x2) = (1 + e1) (1 + e2)x1x2
E = [(1 + e1) (1 + e2) − 1]x1x2
e = (1 + e1) (1 + e2) − 1
Ou seja:
Tendo y=x1/x2 como o quociente exato de x1 e x2, tem-se que:
Logo, os erros absoluto e relativo são dados por:
Ou seja:
fl (x1 × x2) = (1 + e)x1x2 com |e| ≤ 3u
Divisão 
ŷ = fl (x1 ÷ x2) =
(1 + e1)x1
(1 + e2)x2
E = [ (1 + e1)
(1 + e2)
− 1] x1
x2
e =
(1 + e1)
(1 + e2)
− 1
fl (x1 ÷ x2) =
x1
x2
(1 + e) com |e| ≤ 3u
Exemplo
Para entendermos melhor, vamos calcular a subtração dos valores x1 =0,43787 *10-2 e x2 =0,43783
*102, para o sistema de ponto flutuante FP(10,4,-99,99), e obter os erros absolutos e relativo. Para
iniciar, o valor exato da subtração y = 0,4 * 10-6 e para o sistema de ponto flutuante, fl(x1 - x2)
=0,1000 * 10-5. Dessa maneira |E| = 0,60 * 10-6 e |e| = 1,5. Agora, observamos que, embora o erro
absoluto seja pequeno, o erro relativo foi alto. Esse problema é conhecido como cancelamento,
sendo comum nas operações que envolvem subtração. Existem técnicas para diminuir o
cancelamento e uma delas é acrescentar 1 ou 2 dígitos na representação do número arredondado
no sistema de ponto flutuante utilizado.

Alguns cálculosem Python
Vamos supor que queiramos realizar as seguintes somas no Python:
1 y = 0.1 + 0.1 + 0.1 sabemos que o resultado é 0,3;
y = para constante e igual a 0,5, o valor exato é 15000;
y = para constante e igual a 0,1, o valor exato é 3000.
Agora, veja a solução em Python:
Python 
Cálculos de erros em Python
No vídeo a seguir, abordaremos os conceitos de erros computacionais e como podem ser observados em
Python.
Σ3000k=1 xk xk
Σ3000k=1 xk xk

# Soma 1
 >>>soma = 0.1 + 0.1 + 0.1
 >>>print('soma = '+str(val))
 soma =0.30000000000000004
 
 # Soma 2
 >>>n = 30000
 >>>lista1 = [0.5] * n
 >>> print('sum(lista1) = '',sum(lista1)')
 sum(lista1) = 15000.0
 
 # Soma 3
 >>>n = 30000
 >>>lista2 = [0.1] * n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Módulo 3 - Vem que eu te explico!
Exemplos de erros de subtração
Módulo 3 - Vem que eu te explico!
Exemplos de over�ow e under�ow


Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus
objetivos.
Questão 1
Sabendo que o valor exato de um número n = 2345.713 e que, por um processo computacional, foi
obtido um valor aproximado de 2346.000. Calcule os erros absoluto e relativo.
A 0.710 e 0.00250000
B 0.716 e 0.00031340
C 0.731 e 0.00030396
D 0.713 e 0.00030369
E 0.713 e 0.00030396
Responder
Questão 2
Para calcular o valor de , é possível utilizar o método iterativo , para
n=0,1,2… Determine o erro relativo entre o chute inicial e .
√2 xn+1 =
1
2
(xn +
2
xn
)
x0 = 1 x1
A 0,05882
B 0,00173
C 0,02222
4 - Zeros de funções não lineares
Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular zeros de funções não lineares utilizando
Python.
D 0,33333
E 0,00001
Responder

Zeros de equações lineares
Neste módulo, vamos estudar alguns métodos mais conhecidos para obter as raízes de funções não
lineares. O problema consiste em, dada uma função não linear f(x), encontrar um z, tal que f(z) seja igual a
zero. Esses métodos são os primeiros algoritmos que vamos estudar, usando técnicas iterativas. Uma
técnica iterativa, geralmente, é realizada da seguinte forma:
Agora, vamos determinar a raiz quadrada de dois, usando o método iterativo, com chute inicial 
. Seja x o valor que queremos encontrar, então, ; somamos em ambos os
lados .
Primeiro passo
É dado um valor inicial ( ), que, às vezes, chamamos de chute inicial.x0
Segundo passo
É calculado o próximo valor , geralmente, com a seguinte formulação matemática: 
, onde p é um passo. O passo pode ser constante ou depender de x, ou seja,
p(x).
x1
x1 = x0 + p
Terceiro passo
São calculados os próximos até o ficar tão pequeno quanto desejamos,
normalmente adotado em uma tolerância, tol. Então, a iteração pode ser dada pela seguinte
anotação:
xi+1 p(xi)
xi+1 = xi + p (xi), |p (x1)| ≥ tol
√2
x0 = L x = √2 ⇒ x
2 = 2
2x2
Rotacione a tela. 
Neste caso, o passo é:
Rotacione a tela. 
Pelo modo iterativo:
Rotacione a tela. 
Agora, com , temos:
Rotacione a tela. 
Método da bisseção
O método da bisseção consiste na ideia de obter uma raiz, z, que esteja exatamente no ponto médio de um
intervalo. Esse intervalo é obtido pelo processo iterativo do método, onde parte da hipótese que existe, pelo
2x2 + x2 = 2x2 + 2
2x2 + 2x2 = x2 + 2 ÷ (2x)
x = x −
x2 − 2
2x
p (x) =
x2 − 2
2x
xi+1 = xi −
x2i − 2
2xi
x0 = 1
x1 = x0 −
x20 − 2
2x0
= 1 −
12 − 2
2 ⋅ 1
= 1, 5
x2 = x1 −
x21 − 2
2x1
= 1 −
1, 52 − 2
2 ⋅ 1, 5
= 1, 4167
menos, uma raiz contida nesse intervalo inicial. Além disso, esse intervalo inicial tem como condição que os
valores da função não linear, no intervalo entre os extremos, tenham os sinais opostos.
Em notação matemática: seja o intervalo I= [a,b], se f(a).f(b)< 0. Nesse intervalo I, existe pelo menos uma
raiz, z. Essa afirmação é do Teorema de Bonzano e pode ser visualizada graficamente a seguir.
Gráfico: Teorema de Bonzano. 
Elaborado por: Francisco Roberto da Rocha Gomes.
Seja o intervalo inicial I0 =[a0,b0] = [a,b], de tal modo f(a) . f(b)< 0, ou seja, f(a) e f(b) possuem sinais
contrários. Adotaremos a notação de Ii = [ai, bi], os intervalos na primeira iteração i=1, na segunda iteração
i=2, e, assim, sucessivamente. Para Ii, teremos o ponto médio, , isto é:
Rotacione a tela. 
Se , então, é o zero da função e interrompe o algoritmo; se não, deverá verificar o
sinal de e . Caso e 
, o o substitui por , determinando o intervalo , ou seja, fizemos a 
 e . Caso contrário de e 
fazemos e .
Assim, podemos garantir que o zero sempre estará em um dos intervalos. Segundo as iterações, e dividindo
pela metade de intervalos, vamos confirmando o zero da função f(x) em um intervalo tão pequeno quanto
desejar.
Python 
xi+1
x1+1 =
ai + bi
2
f (zi+1) = 0 zi+1
f (zi+1). f (ai) f (zi+1).F (bi) f (zi+1). f (ai) < 0 f (zi+1).F (bi) > 0
bi z1+1 Ii+1 = [a1, zi+1]
a1+1 = ai bi+1 = zi+1 f (zi+1). f (ai) > 0 f (zi+1). f (bi) < 0,
ai+1 = zi+1 bi+1 = bi
Método do secante
O método do secante consiste, basicamente, em obter uma reta que contém os pontos 
e , e obter o ponto que é a interseção com a função . A
diferença desse método com o de bissecação é que não é necessário verificar a condição do Teorema de
Bonzano: é ou não menor que zero. O método está ilustrado no gráfico a seguir.
Gráfico: Método do secante. 
Elaborado por: Francisco Roberto da Rocha Gomes.
A expressão que determina o valor de é dada por:
Rotacione a tela. 
(xi−1, f (xi−1))
(xi, f (xi−1)) (xi+1, f (xi+1)) f (x)
f (xi−1) × f (xi)
xi+1
xi+1 =
f (xi)xi−1 − f (xi−1)xi
f (xi) − f (xi−1)
>>>import math >>>from numpy import sign
 >>>def bisection(f,x1,x2,switch=1,tol=1.0e-9):
 >>> f1 = f(x1)
 >>> if f1 == 0.0: return x1
 >>> f2 = f(x2)
 >>> if f2 == 0.0: return x2
 >>> if sign(f1) == sign(f2):
 >>> print('Raiz não se encontra no intervalo informado')
 >>> n = int(math.ceil(math.log(abs(x2 - x1)/tol)/math.log(2.0)))
 >>> for i in range(n):
 >>> x3 = 0.5*(x1 + x2); f3 = f(x3)
 >>> if (switch == 1) and (abs(f3) > abs(f1)) \
 >>> and (abs(f3) > abs(f2)):
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A expressão anterior pode apresentar um erro de cancelamento. Para evitar isso, pode-se reescrever a
expressão como:
Rotacione a tela. 
Agora, vamos ao algoritmo:
Python 
Veja agora um exemplo de uso do método secant expresso no código anterior:
Python 
Xi+1 = xi + pi onde pi = f (xi)/ [f (xi) − f(i − 1))/ (xi − xi−1)]
xi+1 = xi + pi,  onde  pi =
f (xi)
[f (xi) − f (xi−1)/ (xi − xi−1)]
>>>import sys
 >>>def secant(f, x0, x1, eps):
 >>> f_x0 = f(x0)
 >>> f_x1 = f(x1)
 >>> numero_de_iteracoes = 0
 >>> while abs(f_x1) > eps and numero_de_iteracoes < 100:
 >>> try:
 >>> denominador = (f_x1 - f_x0)/(x1 - x0)
 >>> x = x1 - f_x1/denominador
 >>> except ZeroDivisionError:
 >>> print('Erro! - denominador zero para x = ', x)
 >>> sys.exit(1)# Sair do programa caso tenha erro
 >>> x0 = x1
 >>> x1 = x
>>> def f(x):
 >>> return x**2 - 9
 >>> x0 = 1000; x1 = x0 - 1
 >>> solucao, no_iteracao = secant(f, x0, x1, eps=1.0e-6)
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Método de Newton – Raphson
O método de Newton-Raphson partiu da mesma ideia do método da secante, com uma diferenciação: agora,
em vez de iniciar com dois pontos, vamos iniciar somente com um ponto , determinar a reta
tangente a função nesse ponto e obter a interseção dessa reta, como o eixo-x, determinando xi+1,
como ilustra o gráfico a seguir.
Gráfico: Método de Newton-Raphson. 
Elaborado por: Francisco Roberto da Rocha Gomes.
De modo geral, a equaçãoda reta é dada por , onde:
m
É o coeficiente angular.
(xi, f (xi))
f (x)
g (x) = mx − n
 >>> if no_iteracao > 0:# Solucao achada
 >>> print('Numero de fuções calculadas {:d}'.format(2+no_iteracao))
 >>> print('A solução é: {:f}'.format(solucao))
 >>> else:
 >>> print('Solução não achada!')
 Número de funções calculadas: 19 
 A solução é: 3.000000
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n
É o termo independente.
Para determinar esses valores, precisamos de um pouco de álgebra e de conhecimento de cálculo. Do
cálculo, tiramos que m é igual à derivada de f (x) em xi, f’(xi), pois a reta é tangente à função; e da álgebra,
concluímos que a equação dessa reta tangente é:
Rotacione a tela. 
Logo, ao calcular , que é a interseção de g (x) com eixo-x, ou seja, , chegamos a:
Rotacione a tela. 
Ou seja, o passo p_ipi do método de Newton . Porém, nem sempre é possível
obter o valor da derivada algebricamente; na maioria das vezes, a derivada é obtida numericamente
conforme vemos a seguir, com um valor de h muito pequeno, determinado pelo modelo matemático:
Rotacione a tela. 
g(x) = f (xi) − f
′ (xi) (x − xi)
xi+1 g (xi+1) = 0
xi+1 = xi −
f (xi)
f ′ (xi)
xi+1 = xi −
f (xi)
f ′ (xi)
f ′ (xi) ≃
f (xi + h) − f (xi)
h
Atenção

Agora, veja o código Python.
Python 
Cálculos de zeros de funções não lineares em Python
No vídeo a seguir, abordaremos os conceitos de cálculo de zeros de funções em Python.
O método de Newton é eficiente quando o chute inicial, , é próximo da raiz que se deseja
determinar. Algumas vezes, é interessante obter uma raiz aproximada com outro método (por
exemplo, da Bisseção) e aplicar o método de newton para obter uma raiz mais precisa.
x0

>>>def f(x): return x**4 - 6.4*x**3 + 6.45*x**2 + 20.538*x - 31.752
 >>>def df(x): return 4.0*x**3 - 19.2*x**2 + 12.9*x + 20.538
 >>>def newtonRaphson(x,tol=1.0e-9):
 >>> for i in range(30):
 >>> dx = -f(x)/df(x)
 >>> x = x + dx
 >>> if abs(dx) < tol: return x,i
 >>> print('Muitas iterações\n')
 >>>raiz,numIter = newtonRaphson(2.0)
 >>>print( 'Raiz =',raiz)
 >>>print('Numero de iterações =' ,numIter)
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Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Módulo 4 - Vem que eu te explico!
Solução de problemas pelo método grá�co
Módulo 4 - Vem que eu te explico!
Solução de problemas pelo método bisseção
Módulo 4 - Vem que eu te explico!
Solução de problemas pelo método secantes


Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus
objetivos.
Questão 1
Considere a seguinte equação: , em que C é o capital emprestado, M é a
mensalidade, r é a taxa de juro por cada período (expressa como uma fracção) e n é o número de anos.
Uma pessoa pode pagar uma mensalidade de R$1.250,00. Se pretender contrair um empréstimo de
R$10.000,00 a 10 anos, qual é a taxa que poderá suportar?
OBS.: O valor da taxa deve estar entre 0.01 e 0.05. Use um método iterativo que não recorra à derivada.
C =
M
r
[1 − (1 + r)−n]
A 0,0151
B 0,0456
C 0,0428
D 0,0500
E 0,0482
Responder
Questão 2
A relação entre a distância y (quilômetros) percorrida pela lava de um vulcão em erupção e o tempo t
(horas) é dada por:
Existe uma aldeia no sopé da montanha a uma distância de . O gabinete de proteção civil
advertiu os moradores da aldeia de que a lava chegaria às suas casas em menos de 6 horas. Calcule,
utilizando o método de Newton, o instante de tempo em que a lava do vulcão atinge a aldeia. Considere
como tolerância .
Obs: .
y = 7 (2 − 0.9t)
y = 10
10−3
dax
dx
= ax ln(a)
A 5,3141
Considerações �nais
Chegamos ao final deste conteúdo, no qual apresentamos conceitos fundamentais para a modelagem
matemática. Nesta, a representação numérica em base binária possui limitações computacionais que
podem causar erros. Esses erros podem ser mensurados e, dependendo do conhecimento dos valores
exatos, podemos calculá-los.
Para exemplificar essas representações, utilizamos a linguagem Python, iniciamos conceitos de variáveis,
strings, listas e aprendemos a definir funções. O Python, embora seja uma linguagem interpretada, é muito
poderosa e apresenta muitas funcionalidades nos módulos, como, por exemplo, math, numpy e matplotlib,
sendo o último usado para construir gráficos com estilo semelhante ao MatLab.
B 5,4113
C 5,3411
D 5,1341
E 5,3114
Responder

Finalmente, começamos com uns dos primeiros modelos de matemáticos iterativos para determinar os
zeros de funções não lineares. Descrevemos os algoritmos dos métodos da Bisseção, Newton e Secantes.
Os métodos da Bisseção e Secantes não utilizam derivadas, à diferença do método de Newton, em que é
necessário calcular a primeira derivada da função, da qual se deseja calcular o zero e possui a limitação do
chute inicial, que deve se encontrar próximo da raiz. O método da bisseção é necessário para determinar o
intervalo no domínio da função que contenha o zero. Para isso, é utilizado o teorema de Bolzano.
Podcast
Ouça, no podcast, uma explicação a respeito dos recursos do Python na aritmética computacional
e dos principais tipos de erros computacionais.
00:00 05:16
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Referências
BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análise Numérica. São Paulo: Thomson, 2003.
DIEGUEZ, J. P. P. Métodos de Cálculo Numérico. Rio de Janeiro: Fundação Ricardo Franco, 2005.
IEEE. Standard for Floating-Point Arithmetic. In: EEE Std 754-2019 (Revision of IEEE 754-2008), vol., no.,
pp.1-84, 22 July 2019, doi: 10.1109/IEEESTD.2019.8766229.
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo:
Makron Books, 1996.
Explore +
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ti/02279/index.html
Você pode acessar e realizar o download de bibliotecas de Python disponíveis nos sites Phyton, Jupyter e
Colaboratory.
Pesquise o site Matplotlib para explorar diversas maneiras de fazer gráficos e figuras em Python.
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