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Controle de Sistemas Lineares Método do Lugar das Raízes Livro “Sistemas de Controle Moderno”, Autor Richard Dorf, Editora LTC Pólos vs Ganho de Malha • Valor Pólos de malha fechada depende do ganho de malha (k). – Valor dos pólos variam caso o ganho de malha varie. • Exemplo: o sistema de controle da figura abaixo tem como equação caracteristica a equação s(s+1)(s+2)+k=0. – Observe que as raízes (pólos) da equação característica depende do valor de k. Resposta transitória e Localização dos pólos no plano “s” • Característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada está intimamente ligada ao valor dos pólos (σ+jω) de malha fechada e sua consequente localização no plano “s”. Diagrama do lugar das raízes • Um ponto do plano “s” é um pólo caso torne a equação caracteristica nula. – Do diagrama de blocos geral de um sistema de controle com realimentação negativa (vide figs. ao lado), a equação característica pode ser escrita como: 1+G(s)H(s)=0 – Portanto um ponto s1=(σ1+jω1) é pólo do sistema caso torne a equação caracteristica verdadeira, isto é, 1+G(s1)H(s1)=0. Polinônimo característico Diagrama do lugar das raízes – Considerando o pólo na forma polar complexa, a condição anterior pode ser separada em duas condições uma de módulo e outra de fase. • Condição de módulo: • Condição angular: Teste gráfico: conceito • Considere um sistema de controle com realimentação negativa genérico cuja função de transfêrencia é mostrada na figura abaixo. • Um ponto s qualquer do plano “s” é pólo do sistema caso os valores obtidos graficamente satifaz as condições de módulo e fase: Teste gráfico: análise gráfica Lugar das raízes • Lugar das raízes (LR) é o percurso das raízes da equação característica trçado no plano “s”à medida que um parâmetro do sistema é alterado – A constução do (LR) requer o emprego de uma metodologia para sua determinação. – Atualmente os programas compuacionais fazem este trabalho com exatidão mas o uso da metodologia é importante pois seu uso ajuda a compreender e analisar o sistema. Lugar das raízes: Procedimento • Passo 1: determinar os LR sobre o eixo real. – Assinalar as raízes do sistema em malha aberta no plano “s”. – O segmento do eixo real faz parte do LR caso o número de raízes (pólos e zeros) à sua direita no plano seja ímpar. Caso contrário o segmento não faz parte do LR Lugar das raízes: Procedimento • Passo 2: Escrever a equação característica como 1+F(s)=0 e rearrajar a equação tal que o ganho do sistema apareça como fator multiplicativo resultando na forma genérica 1+KP(s)=0. Lugar das raízes: Procedimento • Passo 3: identificar o número de lugares separados (LS) e quantos tendem para infinito. – O número de LS é igual ao número de pólos. – O número de LS que tendem para infinito é igual ao número de pólos menos o número de zeros: np-nz – O restante dos LS tendem para a localização dos zeros – Observação: o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real pois as raízes compexas aparecem como pares complexos conjugados. Lugar das raízes: Procedimento • Passo 4: Determinar as assintotas do LR – Assíntotas são retas suporte ao gráfigo do LR que indicam a direção na qual um LS tende para o infinito. – O número de assíntotas é igual ao número de LS que tende para o infinito: np-nz. – Todas as assíntotas se interceptam no eixo real na mesma coordenada x=σA – Cada assíntota forma ângulo φA com o eixo real Lugar das raízes: Procedimento • Passo 4: Determinar as assintotas do LR – Exemplo: – p1,2=-4 (duplo); p3=-2 e p3=0 – np-nz=4-1=3, daí 3 assíntotas Lugar das raízes: Procedimento • Passo 5: Determinar o ponto de intersecção do LR com o eixo imaginário, se existir. – Aplicar o critério de Routh-Hurwitz. Lugar das raízes: Procedimento • Passo 6: Determinar o ponto de saída do eixo real, se existir – Método: • Do passo 2, fazer K=p(s) • Obter δp/δs=0 • Determinar as raízes de δp/δs Lugar das raízes: Procedimento • Passo 6: – Exemplo Lugar das raízes: Procedimento • Passo 7: Determinar ângulo de partida dos pólo a malha aberta complexos-conjugados. – Método gráfico • Escolher um ponto (s1) próximo ao polo complexo conjugado • Realizar a ligação gráfica do ponto escolhido à todos os pólos e zeros em malha aberta. • Anotar os ângulos das retas de ligação conforme figura • o ângulo de partida θ1 pode ser considerado como o ângulo de partida usando a condição de fase Aproxi mação Exercício • Contrua o LR do sistema cuja a equação caracteristica é: Exercício • Resultado
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