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Álgebra Linear Espaço Vetorial Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Espaço Vetorial Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Espaços Vetoriais • Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma, V X V → V, e multiplicação por escalar, R X V→ V, tais que, para Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 multiplicação por escalar, R X V→ V, tais que, para quaisquer u, v, w ∈V e a, b ∈ R, as seguintes propriedades sejam satisfeitas: Espaços Vetoriais • Propriedades: � i) (u + v) + w = u + (v + w) � ii) u + v = v + u � iii) existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u • 0 é o vetor nulo Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 3 • 0 é o vetor nulo � iv) Existe –u ∈ V tal que u + (-u) = 0 � v) a(u + v) = au + av, a escalar � vi) (a + b)v = av + bv, a, b escalares � vii) (ab)v = a(bv) � viii) 1.u = u Espaços Vetoriais • Designamos por vetor um elemento do espaço vetorial • Espaço vetorial é um termo genérico que pode ser designado para representar diferentes tipos de conjuntos Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 4 conjuntos • Exemplo: V = M(2, 2) é o conjunto de matrizes 2x2 � V é um espaço vetorial • Todas as propriedades anteriores são satisfeitas se a adição é entendida como a adição de matrizes Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 1: (u + v) + w = u + (v + w) ( ) ( ) ( ) wvu = + ++ = = + + =++ 121112121111 2221 1211 2221 1211 2221 1211 wwvuvu ww ww vv vv uu uu Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )wvu ++= + + = = ++ ++ + = = ++++ ++++ = ++++ ++++ = = + ++ ++ = 2221 1211 2221 1211 2221 1211 22222121 12121111 2221 1211 222222212121 121212111111 222222212121 121212111111 2221 1211 22222121 12121111 ww ww vv vv uu uu wvwv wvwv uu uu wvuwvu wvuwvu wvuwvu wvuwvu ww ww vuvu vuvu Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Operação vetorial genérica Axioma 2: u + v = v + u Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 6 11 12 11 12 11 12 11 12 21 22 21 22 21 22 21 22 u u v v v v u u u u v v v v u u + = + = + = + u v v u Interpretação concreta Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 3: Existe um elemento 0 em V, chamado um vetor nulo para V, tal que u + 0 = u para todo u em V. 0 ≡ Então,. 00 00 Seja Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 7 u0uu 0 = = + =+∈∀ ≡ 2221 1211 2221 1211 00 00 , Então,. 00 Seja uu uu uu uu V Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 4: Para todo u em V, há um objeto –u em V, chamado um oposto ou negativo ou simétrico de u, tal que u + (-u) = 0 u −− −− ≡− Então,. Seja 1211 uu uu Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 8 ( ) 0 uuu = = −− −− = −+−+ −+−+ = −− −− + =−+∈∀ −− 00 00 )()( )()( , 22222121 12121111 22222121 12121111 2221 1211 2221 1211 2221 uuuu uuuu uuuu uuuu uu uu uu uu V uu Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 5: k (u + v) = k u + k v ( )vu vv vv uu uu kk = + =+ 2221 1211 2221 1211 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 9 ( ) ( ) ( ) ( ) vu kk vkvk vkvk ukuk ukuk vkukvkuk vkukvkuk vukvuk vukvuk vuvu vuvu k += + = ++ ++ = ++ ++ = ++ ++ = 2221 1211 2221 1211 22222121 12121111 22222121 12121111 22222121 12121111 22212221 Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 6: (k + l ) u = k u + l u ( ) ( )u uu uu lklk = +=+ 2221 1211 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 10 ( ) ( ) ( ) ( ) uu lk ulul ulul ukuk ukuk ulukuluk ulukuluk ulkulk ulkulk uu += + = = ++ ++ = ++ ++ = 2221 1211 2221 1211 22222121 12121111 2221 1211 2221 Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 7: k (l u) = (k l ) (u) ( )u uu uu lklk = = 2221 1211 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ulk uu uu lk ulkulk ulkulk ulkulk ulkulk ulul ulul k = = = = = 2221 1211 2221 1211 2221 1211 2221 1211 Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 8: 1u = u uu = = = = 2221 1211 2221 1211 2221 1211 11 11 11 uu uu uu uu uu uu Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 12 Espaços Vetoriais • Contra-Exemplo: Um conjunto que não é um espaço vetorial: � Seja u = (u1, v1) e v = (u2, v2) � Seja V = R2 e adição e multiplicação definidas como: • u + v = (u1 + u2, v1 + v2) Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 13 • u + v = (u1 + u2, v1 + v2) • k.u = (ku1, 0) � Nesse caso, o axioma 8 não vale, pois: • 1u = 1(u1, u2) = (u1, 0) ≠ u � Logo V não é um espaço vetorial Subespaços Vetoriais • Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se: � i) Para quaisquer u, v ∈W, tivermos u + v ∈W � ii) Para quaisquer a ∈ R, u ∈W, tivermos au ∈W Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 14 Subespaços Vetoriais • Observações: � 1) Ao operarmos em W (soma e multiplicação por escalar) não obteremos um vetor fora de W � Isso é suficiente para afirmar que W é ele mesmo um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 15 vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas � Assim, não precisamos verificar novamente as propriedades (i) a (viii) de espaço vetorial porque elas são válidas em V, que contém W Subespaços Vetoriais • Observações: � 2) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) da definição quando a = 0) Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 16 � 3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois subespaços (que são chamados de subespaços triviais): • O conjunto formado apenas pelo vetor nulo • O próprio espaçovetorial Subespaços Vetoriais • Exemplo 1: V = R3 e W ⊂ V, um plano passando pela origem W Observe que, se W não passasse pela origem, não seria um subespaço Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 17 W pela origem, não seria um subespaço Os únicos subespaços de R3 são a origem, as retas e planos que passam pela origem e o próprio R3 Subespaços Vetoriais • Exemplo 2: V = R5 e W = {(0,x2,x3,x4,x5); xi∈R} � Isso é, W é o conjunto de vetores de R5 com a primeira coordenada nula � Vamos verificar as condições (i) e (ii): Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 18 � (i):u = (0, x2, x3, x4, x5), v = (0, y2, y3, y4, y5) ∈W Então: u+v=(0, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5) ∈W � (ii) ku = (0, kx2, kx3, kx4, kx5) ∈W � Portanto, W é subespaço vetorial de R5. Subespaços Vetoriais • Teorema: Interseção de subespaços � Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção W1∩∩∩∩W2 ainda é um subespaço de V • Observe que W1 ∩W2 nunca é vazio já que eles sempre contêm, pelo menos, o vetor nulo Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 19 contêm, pelo menos, o vetor nulo • Exemplo 1: V = R3, W1∩∩∩∩W2 é a reta de interseção dos planos W1 e W2 W1 W2 Subespaços Vetoriais • Embora a interseção gere um subespaço vetorial, isso necessariamente não acontece com a união • Teorema: Soma de subespaços � Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 20 � Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V. Então o conjunto • W1 +W2 = {v∈V; v=w1 + w2, w1∈W1, w2∈W2} � é subespaço de V • Exemplo 1: Se W1 e W2 são duas retas, W = W1+W2 é o plano que contém as retas Subespaços Vetoriais • Quando W1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é chamado soma direta de W1 com W2, denotado por W1 ⊕W2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 21 denotado por W1 ⊕W2 Combinação Linear • Sejam V um espaço vetorial real, v1, v2, ..., vn ∈V e a1, a2, ...,an números reais • Então o vetor � v = a1v1 + a2v2 + .... anvn • é um elemento de V ao qual chamamos de Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 22 • é um elemento de V ao qual chamamos de combinação linear de v1, v2, ..., vn � Uma vez fixados vetores v1, v2, ..., vn em V, o conjunto W de todos os vetores de V que são combinação linear desse é um subespaço vetorial • W é chamado de subespaço gerado por v1, v2, ..., vn • W = [v1, v2, ..., vn] Combinação Linear • Exemplo 1:V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1) � Logo, V = [v1, v2], pois dados v = (x, y)∈V, temos (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) • Ou seja, v = x.v1 + y.v2 • Exemplo 2: Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 23 1 0 0 0 v1 = 0 1 0 0 v2 = Então [v1, v2] = : a, b ∈ Ra b 0 0 Dependência e Independência Linear • Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, ..., vn ∈V. Dizemos que o conjunto {v1,v2, ...,vn} é linearmente independente (LI), ou que o vetores v1, v2, ..., vn são LI se a equação: � a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 24 1 1 2 2 n n implica que a1 = a2 = .... = an = 0 � {v1,v2, ...,vn} é LD se, e somente se, um destes vetores for combinação linear dos outros. • Se algum ai ≠ 0, dizemos que {v1,v2, ...,vn} é linearmente dependente (LD) ou que os vetores v1,v2, ...,vn são LD Dependência e Independência Linear • Exemplo 1: V = R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) • e1 e e2 são LI, pois � a1.e1 + a2.e2 = 0 � a1.(1, 0) + a2.(0, 1) = 0 � (a1, a2) = (0, 0) � a = 0 e a = 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 25 � a1 = 0 e a2 = 0 • Exemplo 2: De modo análogo, para V =R3, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) são LI • Exemplo 3: V = R2 � {(1, -1), (1, 0), (1, 1)} é LD pois: � ½.(1, -1) -1.(1, 0) + ½.(1, 1) = (0, 0) Base de um Espaço Vetorial • Definição: Um conjunto {v1,v2, ...,vn} de vetores de V será uma base de V se: � i) {v1,v2, ...,vn} é LI Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 26 � i) {v1,v2, ...,vn} é LI � ii) [v1,v2, ...,vn] é V Esse conjunto gera todos os vetores de V. Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 1: V = R2, e1=(1,0) e e2=(0,1) • {e1, e2} é base de V, conhecida como base canônica de R2 • O conjunto {(1,1),(0,1)} também é uma base de V = R2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 27 V = R �De fato, se (0,0) = a(1,1) + b(0,1) = (a, a + b), então a = b = 0 • Assim, {(1, 1), (0, 1)} é LI �Ainda [(1, 1), (0, 1)] = V pois dado v = (x, y) ∈ V, temos: (x, y) = x(1, 1) + (y – x)(0, 1) �Ou seja, todo vetor de R2 é uma combinação linear dos vetores (1,1) e (0,1) Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 2: {(0,1), (0,2)} não é base de R2, pois é um conjunto LD �Se (0,0) = a(0,1) + b(0,2), então a = -2b e a e b não são zero necessariamente • Exemplo 3: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 28 base de R3 �Base canônica de R3 � i) {e1, e2, e3} é LI � ii) (x, y, z) = x.e1 + y.e2 + z.e3 • Exemplo 4: {(1,0,0), (0,1,0)} não é base de R3 �É LI mas não gera todo R3 Base de um Espaço Vetorial • Teorema: Sejam v1,v2, ...,vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então dentre esses vetores podemos extrair uma base de V. � Isso independe de v1,v2, ...,vn serem LD ou LI Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 29 • Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1,v2,...,vn. • Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores) Base de um Espaço Vetorial • Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de V, e denotado por dim V • Exemplo 1: V = R2: dim V = 2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 30 • Exemplo 1: V = R : dim V = 2 � {(1,0), (0,1)} e {(1,1),(0,1)} são bases de V • Exemplo 2: V = R3: dim V = 3 • Exemplo 3: V = M(2, 2): dim V = 4 1 0 0 0 0 1 0 0 É uma base de V 0 0 1 0 0 0 0 1 Base de um Espaço Vetorial • Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V • Corolário: Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 31 vetores LI formará uma base de V • Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então dim U ≤ dim V e dim W ≤ dim V. Além disso: �dim(U + W) = dim U + dim W – dim(U ∩W) Base de um Espaço Vetorial • Teorema: Dada uma base β = {v1,v2, ...,vn} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v1, v2, ...,vn. • Definição: Sejam β = {v1,v2, ...,vn} base de V e v ∈ V onde v = a1v1 +...+ anvn. Chamamos Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 32 v ∈ V onde v = a1v1 +...+ anvn. Chamamos esses números ai de coordenadas de v em relação à base β e denotamos por: [v]β = a1 ... an Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 1: V = R2 • β = {(1, 0), (0, 1)} • (4, 3) = 4.(1, 0) + 3.(0, 1) • Logo: [(4, 3)]β = 4 Observe que os coeficientes são representados como elementos Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 33 [(4, 3)]β = 3 como elementos de uma matriz coluna. Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 2: V = R2 • β = {(1, 1), (0, 1)} • (4, 3) = x.(1, 1) + y.(0, 1) ⇒ x=4 e y=-1 • Logo: [(4, 3)]β = 4 Prof. Carlos AlexandreBarros de Mello cabm@cin.ufpe.br 34 [(4, 3)]β = -1 Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 3: Observe que a ordem dos elementos de uma base influi na matriz das coordenadas de um vetor em relação à esta base • V = R2 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 35 • V = R • β1 = {(1, 0), (0, 1)} e β2 = {(0, 1), (1, 0)} [(4, 3)]β1 = 4 3 [(4, 3)]β2 = 3 4 Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 4: Considere: �V = {(x, y, z): x + y – z = 0} �W = {(x, y, z): x = y} �Determine V + W �V: x + y – z = 0 ⇒ z = x + y Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br �V: x + y – z = 0 ⇒ z = x + y • Base: (x, y, x + y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1) • Logo: Base = [(1, 0 , 1),(0, 1, 1)] �W: x = y • Base: (y, y, z) = y.(1, 1, 0) + z.(0, 0, 1) • Logo: Base = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)] 36 cont… Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 4: (cont..) �Como: �V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)] �W = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)] Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br �Então V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0), (0,0,1)] �Mas espera-se que o resultado esteja no R3, logo essa base deve ter algum elemento LD 37 cont… Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 4: (cont..) – Vamos escalonar.... 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 -1 -1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 v1 v2 v3 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 38 cont… 1 1 0 0 0 1 0 -1 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ElementoLD (v3) v3 v4 Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 4: (cont..) �Logo V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (0,0,1)] �Assim, V + W = R3 �dim R3 = dim V + dim W – dim(V∩W) �V∩W = ?? Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br �V∩W = ?? 39 cont… Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 4: (cont..) �V∩W = {(x,y,z); x + y – z = 0 e x = y} = {(x,y,z); x = y = z/2} = [(1, 1, 2)] �dim (V∩W) = 1 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br �dim (V∩W) = 1 �dim R3 = dim V + dim W – dim(V∩W) �dim R3 = 2 + 2 – 1 = 3 • Como esperado.... 40 Mudança de Base • Sejam β={u1,...,un} e β’= {w1,...,wn} duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V • Dado o vetor v ∈V, podemos escrevê-lo como: Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br �v = x1u1 + ... + xnun �v = y1w1 + ... + ynwn (1) 41 Mudança de Base • Como podemos relacionar as coordenadas de v em relação à base β [v]β = x1 … xn Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br • com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base β’ xn [v]β’ = y1 … yn 42 Mudança de Base • Já que {u1,...,un} é base de V, podemos escrever os vetores v e w como combinação linear dos uj, isto é: w1 = a11u1 + a21u2 + ...+ an1un w2 = a12u1 + a22u2 + ...+ an2un (2) Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 2 12 1 22 2 n2 n ...... wn = a1nu1 + a2nu2 + ...+ annun • Substituindo (2) em (1): v=y1w1+...+ynwn=y1(a11u1+...+an1un)+..+yn(a1nu1+...+annun) = u1(a11y1+...+an1yn)+..+un(a1ny1+...+annyn) 43 (2) Mudança de Base • Mas v = x1u1 + ... + xnun, e como as coordenadas em relação a uma base são únicas temos: x1 = a11y1 + ... + an1yn ..... xn = a1ny1 + ... + annyn Observe que as linhas viraram colunas! Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br n 1n 1 nn n • Ou, em forma matricial 44 x1 … xn y1 … yn = a11 ... a1n … … … an1 … ann Mudança de Base • Isso é denotado por: = a11 ... a1n … … … an1 … ann [ I ]β β’ Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br • Temos: 45 an1 … ann [v]β = [ I ] [v]β’β β’ [ I ] ⇒ Matriz de mudança da base β’ para a base ββ β’ Mudança de Base • Observe que, encontrando , podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor v em relação à base β, multiplicando a matriz [ I ]β β’ Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br pelas coordenadas de v na base β’ 46 Mudança de Base • Exemplo: Sejam β={(2,-1), (3,4)} e β’={(1,0),(0,1)} bases de R2: w1 = (1,0) = a11(2,-1) + a21(3,4) = (2a11+ 3a21, -a11+ 4a21) ⇒ 2a +3a = 1 e -a +4a = 0 [ I ] = ?β β’ Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br ⇒ 2a11+3a21 = 1 e -a11+4a21 = 0 ⇒ a11 = 4a21 ⇒ a21 = 1/11 e a11 = 4/11 w2 = (0,1) = a12(2,-1) + a22(3,4) = (2a12+ 3a22, -a12+ 4a22) ⇒ 2a12+3a22 = 0 e -a12+4a22 = 1 ⇒ a22 = 2/11 e a12 = -3/11 47 Mudança de Base • Exemplo: (cont.) – Assim: • w1 = (1,0) = (4/11)(2,-1) + (1/11)(3,4) • w2 = (0,1) = (-3/11)(2,-1) + (2/11)(3,4) Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br = 4/11 -3/11 1/11 2/11 [ I ]β β’ 48 Linhas tornam-se colunas!!! Mudança de Base • Exemplo: (cont.) Podemos usar essa matriz para encontrar, por exemplo, [v]β para v = (5, -8) � [(5, -8)]β = [(5, -8)]β’[ I ]β β’ Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br = = 49 4/11 -3/11 1/11 2/11 5 -8 4 -1 Isto é: (5, -8) = 4.(2, -1) + (-1).(3, 4) A Inversa da Matriz Mudança de Base • Temos [v]β = [v]β • Um fato importante é que e são matrizes inversíveis: [ I ]β β’ [ I ]β’ β [ I ]β β’ Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br matrizes inversíveis: � ( )-1 = 50 [ I ]β β’ [ I ]β’ β A Inversa da Matriz Mudança de Base • Exemplo: �Do exemplo anterior, vamos calcular a partir de . Note que é fácil de ser calculada pois β’ é a base canônica: [ I ]β β’ [ I ]β’ β[ I ]β’ β Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br • (2, -1) = 2.(1, 0) + (-1).(0, 1) • (3, 4) = 3.(1, 0) + 4.(0, 1) �Assim: = �Então: = -1 = 51 [ I ]β β’ [ I ]β’ β 2 3 -1 4 2 3 -1 4 4/11 -3/11 1/11 2/11 Espaço Vetorial • Exercício 18: Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,-1,0,0), v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1) e v4=(1,0,0,0) � a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]? Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br � a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]? � b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão? � c) [v1,v2,v3,v4] = R4? 52 Espaço Vetorial • Exercício 18: – a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]? – Ou seja, existem a, b, c, d, tal que: (2, -3, 2, 2) = a.(1,-1,0,0) + b.(0,0,1,1) + Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br (2, -3, 2, 2) = a.(1,-1,0,0) + b.(0,0,1,1) + c.(-2,2,1,1) + d.(1,0,0,0) 53 a – 2c + d = 2 -a + 2c = -3 b + c = 2 b + c = 2 1 0 -2 1 2 -1 0 2 0 -3 0 1 1 0 2 Espaço Vetorial • Exercício 18: – a) O vetor (2, -3, 2, 2) ∈ [v1,v2,v3,v4]? Solução: a = 3, b = 2, c = 0, d = -1 Logo, como existe solução, o vetor pertence a Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br Logo, como existe solução, o vetor pertence a [v1,v2,v3,v4] 54 Espaço Vetorial • Exercício 18: � b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão? Cont. 1 -1 0 0 1 -1 0 0 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 55 1 -1 0 0 0 0 1 1 -2 2 1 1 1 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 Com isso, descobrimos que v2 (ou v3) é combinação linear dos outros vetores. Logo, a base é formada por [v1,v2,v4] ou [v1, v3, v4]. Espaço Vetorial • Exercício 18: � b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão? � Base = [v1,v2,v4] ⇒ dim = 3 Cont.Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br � Base = [v1,v2,v4] ⇒ dim = 3 � c) [v1,v2,v3,v4] = R4? � Como dim Base = 3 e dim R4 = 4, então [v1,v2,v3,v4] ≠ R4 56 Espaço Vetorial • Exercício 19: Considere o subespaço de R3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(0,-1,1) e v3=(1,1,1). • [v ,v ,v ]=R3? Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br • [v1,v2,v3]=R3? 57 Espaço Vetorial • Exercício 19: Solução 1: � Existem a, b, c tal que: (x, y, z) = a.(1,1,0) + b.(0,-1,1) + c.(1,1,1) Cont. Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 58 a + c = x a - b = y b + c = z a = 2x – y - z b = x - y c = -x + y + z Ou seja, há valores para a, b e c que podem gerar qualquer vetor no R3. Espaço Vetorial • Exercício 19: Solução 2: � Vamos tentar escalonar: Cont. 1 1 0 0 -1 1 1 0 0 0 1 0… Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 59 0 -1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 … O que isso significa? Significa que, com esses vetores e operações lineares, conseguimos gerar a base canônica. Logo, podemos gerar todo o R3. Exercícios Sugeridos • 2 • 4 • 6 • 7 • 8 Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 60 • 8 • 9 • 11 • 15 • 25 • 29 A Seguir... • Transformações Lineares Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 61
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