Avaliacao Final de Calculo IV - Eng Controle e Automacao - UEA 2013-02

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Escola Superior de Tecnologia - EST
Avaliac¸a˜o Final de Ca´lculo IV - Engenharia de Automac¸a˜o e Controle
Aluno (a):
Matr´ıcula: Prof. Msc. Jefferson Silva Data: 11/12/2013
Observac¸o˜es: Anexe a esta todas as folhas com resoluc¸o˜es e ca´lculos. Os ca´lculos podem ser feitos a la´pis e a resposta final
deve ser apresentada de caneta azul ou preta.
Questo˜es
Escolher SOMENTE QUATRO das SEIS questo˜es dadas a seguir.
Questa˜o 1. [2, 5 pontos] Resolver as equac¸o˜es de varia´veis separa´veis:
(a) [1, 25 pontos]
dy
dx
= tan2(x+ y).
(b) [1, 25 pontos] cos2 y senxdx+ sen y · cosxdy = 0.
Questa˜o 2. [2, 5 pontos] Resolver a equac¸a˜o dada pelo me´todo de variac¸o˜es de paraˆmetros:
y′′ + a2y = cotg ax.
Questa˜o 3. [2, 5 pontos] Use as propriedades da transformada de Laplace, para mostrar que
o problema de valor inicial
ty′′ − y′ = 2t2, y(0) = 0
pode ser reescrito como uma equac¸a˜o linear da forma
Y ′(s) + P (s)Y (s) = Q(s),
onde Y (s) = L{y(t)}. Depois multiplique esta equac¸a˜o por ψ(s) = e
∫
Pds para resolveˆ-la.
Questa˜o 4. [2, 5 pontos] Resolva, usando o me´todo das transformadas de Laplace, cada um
dos seguintes problemas de valor inicial:
(a) [1, 25 pontos] y′′ − 5y′ + 4y = e2t;y(0) = 1, y′(0) = −1;
(b) [1, 25 pontos] y′′ − 2y′ + y = tet; y(0) = 0, y′(0) = 0.
Questa˜o 5. [2, 5 pontos] A func¸a˜o Gama e´ definida pela integral impro´pria
Γ(p) =
∫ ∞
0
tp−1e−tdt, para p > 0.
(a) [0, 75 pontos] Mostre que Γ(p+ 1) = pΓ(p), para todo p > 0;
(b) [0, 75 pontos] Seja p > −1. Mostre que
L{tp} = Γ(p+ 1)
sp+1
, s > 0.
(c) [1, 0 ponto] Calcular L{t 52} sabendo que Γ (1
2
)
=
√
pi.
Questa˜o 6. [2, 5 pontos] Sendo dado que
∫ ∞
0
e−x
2
dx =
√
pi
2
, determine L{e2tt 32}.
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